2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題06 分式方程及其應(yīng)用（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國(guó)通用）（教師版）

專(zhuān)題06分式方程及其應(yīng)用（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1分式方程的定義】 1【考點(diǎn)2分式方程的解】 3【考點(diǎn)3解分式方程】 5【考點(diǎn)4換元法解分式方程】 7【考點(diǎn)5分式方程的增根】 10【考點(diǎn)6分式方程的無(wú)解】 12【考點(diǎn)7不等式與分式方程的綜合】 15【考點(diǎn)8分式方程中的新定義問(wèn)題】 19【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程】 21【考點(diǎn)10分式方程的應(yīng)用】 23【要點(diǎn)1分式方程的定義】分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。【考點(diǎn)1分式方程的定義】【例1】（2022·貴州貴陽(yáng)·二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2?3=x5 B．12x?【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；B．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；C．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；D．方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【變式1-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）下列方程中，不是分式方程的是（

）A．x+1x=3C．xx?4=5x【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義逐項(xiàng)判斷分母中是否含有未知數(shù)即可.【詳解】A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，熟練掌握定義是關(guān)鍵.【變式1-2】（2022·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】等號(hào)兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在下列方程組中，（）是分式方程．A．x2x?1＝1 C．1x+2=3【答案】A【分析】根據(jù)分式方程定義進(jìn)行解答即可．【詳解】A、是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意；B、不是分式方程，是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是分式方程，是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程，關(guān)鍵是掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【考點(diǎn)2分式方程的解】【例2】（2022·浙江·寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個(gè)數(shù)是關(guān)于x的方程x2+kx+3x?1【答案】k=?338或k＝-4或【分析】分四種情況討論：原方程去分母化為2x2?3x?(k+3)=0①．（1）當(dāng)Δ=0時(shí)，?32?4×2×?k+3=8k+33=0，得到k=?338，方程有兩個(gè)相同的正實(shí)根，原方程只存在一個(gè)正實(shí)數(shù)解；（2）原方程的增根x=1是方程2【詳解】解：原方程可化為2x（1）當(dāng)Δ=?32x1（2）當(dāng)x=1是方程①的根時(shí)，2×12?3×1?(k+3)=0此時(shí)方程①為，2x2?3x+1=0故原方程也只有一根x=1（3）當(dāng)方程①有異號(hào)實(shí)根時(shí)，x1x2=?k?32<0（4）當(dāng)方程①有一個(gè)根為0時(shí)，k=?3，另一個(gè)根為x=3綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是：k=?338或k=?4或【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解與字母系數(shù)的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，增根的定義和特點(diǎn)，根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的取值，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，分類(lèi)討論．【變式2-1】（2022·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（A．m≥?4 B．m≥?4且m≠?3 C．m>?4 D．m>?4且m≠?3【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出分式方程的解，然后根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1可得：x=m+4∵方程的解為非負(fù)數(shù)，∴m+42≥0，且解得：m≥?4且m≠?3，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?2+2【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解為x=m+1，根據(jù)解大于1得到關(guān)于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗(yàn)算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x+2x?2得到：x+2+2(x?2)=x+2m整理得到：x=m+1，∵分式方程的解大于1，∴m+1>1，解得：m>0，又分式方程的分母不為0，∴m+1≠2且m+1≠?2，解得：m≠1且m≠?3，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．故答案為：m>0且m≠1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，要注意分式方程的分母不為0這個(gè)隱藏條件．【變式2-3】（2022·四川達(dá)州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+a【答案】±1【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類(lèi)項(xiàng)，化簡(jiǎn)、用a來(lái)表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定a的值．【詳解】解：2x?ax?12x?a(2x?a)(x+1)?(a?2x)(x?1)整理得：x=若分式方程2x?ax?1∵a為整數(shù)，當(dāng)a=±1時(shí)，解得：x=±2，經(jīng)檢驗(yàn)：x?1≠0,x+1≠0成立；當(dāng)a=±2時(shí)，解得：x=±1，經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒(méi)有意義，故舍去；綜上:a=±1，故答案是：±1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)分式方程，最終用a來(lái)表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定a的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn)．【要點(diǎn)2分式方程的解法】①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號(hào)兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母）；②解整式方程（去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類(lèi)項(xiàng)；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗(yàn)：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。【考點(diǎn)3解分式方程】【例3】（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）分式方程3x=2A．x=2 B．x=?6 C．x=6 D．x=?2【答案】C【分析】先去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得出答案，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：3x去分母，得3(x?2)=2x，去括號(hào)，得3x?6=2x，移項(xiàng)，得3x?2x=6，所以x=6．經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程2x【答案】x【分析】根據(jù)解分式方程的方法中確定公分母的方法求解即可．【詳解】解：分式方程2x?1x+1=0∴最簡(jiǎn)公分母為：x(x+1)，故答案為：x(x+1)．【點(diǎn)睛】題目主要考查解分式方程中確定公分母的方法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．先化簡(jiǎn)，再求值：3?xx?4+1，其中解：原式==3?x+x?4=?1【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程3?xx?4【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號(hào)得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是方程的解，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．【變式3-3】（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）按照如圖所示的程序計(jì)算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．【答案】1【分析】根據(jù)程序分析即可求解．【詳解】解：∵輸出y的值是2，∴上一步計(jì)算為2=1x解得x=1（經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的解），或x=當(dāng)x=1>0符合程序判斷條件，x=3故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4換元法解分式方程】【例4】（2022·浙江衢州·二模）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【答案】A【分析】由x2+1x【詳解】解：設(shè)x2∴分式方程x2+1x化為整式方程：3y故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·貴州·仁懷市教育研究室二模）用換元法解方程x2?2x+6x+【答案】

x?3x（答案不唯一）

【分析】利用完全平方公式將x2?2x+6x+9x【詳解】解：∵x2∴x2∴x?3令t=x?3x，可得令t=3x?x，可得?t故答案為：x?3x，t2?2t=0或【點(diǎn)睛】本題考查換元法解方程，利用完全平方公式將原式變形為x?3【變式4-2】（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)一模）用換元法解方程：x2﹣x﹣12x【答案】x【分析】方程的兩個(gè)部分是倒數(shù)關(guān)系，所以可設(shè)x2?x=y，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程，先求y，再求【詳解】設(shè)x2則原方程變形為y?12即y2解得y1當(dāng)y=-2時(shí)，x2因?yàn)椤?1?8=?9<0當(dāng)y=6時(shí)，x2解方程得：x1檢驗(yàn)：把x1所以原方程的根是：x1【點(diǎn)睛】換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．【變式4-3】（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)三模）用換元法解方程組：1x+y【答案】x=?【分析】設(shè)1x+y=a，1x?y=b，得出2x?y=2b，進(jìn)而將原方程組化為關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組求出a，b，可得1x+y【詳解】解：設(shè)1x+y=a，則原方程組可化為：a+2b=1①－②得：3b=?3解得：b=?1把b=?14代入②得：∴1x+y=3∴x+y=4③＋④，得2x＝?8解得x＝?4把x＝?43代入①，得y＝故原方程組的解為x=?4【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解分式方程以及解二元一次方程組，將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5分式方程的增根】【例5】（2022·廣西賀州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后將x=3代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程m+4x?3∴x=3，去分母，得m+4=3x+2x?3將x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無(wú)解問(wèn)題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）關(guān)于x的方程：ax+1x?1－2(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求這個(gè)方程的解；(2)若這個(gè)方程有增根，求a的值．【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.【分析】（1）將a=3代入,求解3x+1x?1－2（2）先求出增根是x＝1，將分式化簡(jiǎn)為ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.【詳解】解：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，原方程為3x+1x?1－2方程兩邊同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，解這個(gè)整式方程得x＝－2，檢驗(yàn)：將x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，∴x＝－2是原分式方程的解．(2)方程兩邊同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，若原方程有增根，則x－1＝0，解得x＝1，將x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程,屬于簡(jiǎn)單題,對(duì)分式方程的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)根是解題關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）關(guān)于x的分式方程mx?2+12?x=1A．﹣1 B．1 C．2 D．5【答案】A【分析】先去分母，用含有m的式子表示x，因?yàn)榉匠逃性龈?，所以x-2=0，從而解出m的值，代入(﹣1)【詳解】解：方程兩邊都乘x-2，得m-1=x-2．解這個(gè)方程，得x=m+1．∵方程有增根，∴x-2=0．即m+1-2=0解這個(gè)方程，得m=1．那么(﹣1)故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了方式方程增根問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是知道分式方程的增根就是使得原分式方程的分母為零的那個(gè)根．【變式5-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問(wèn)題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時(shí)，方程3xx?3探究2：m為何值時(shí)，方程3xx?3+5=m探究3：任意寫(xiě)出三個(gè)m的值，使對(duì)應(yīng)的方程3xx?3探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：m1=15?8a,【分析】解分式方程，根據(jù)方程有增根求得m的值即可，根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論．第三問(wèn)設(shè)方程的三根為a,b,c且a+b=c，再求得對(duì)應(yīng)的m．即可得出它們之間的關(guān)系．【詳解】解：探究1：方程兩邊都乘(x?3)，得∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母(x?3)=0，解得x=3，當(dāng)x=3時(shí)，m=?9，故m的值是?9．探究2：方程兩邊都乘(x?3)，得∵原方程的根為x=?1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=15?m方程的三個(gè)對(duì)應(yīng)根為a,b,c且a+b=c，∴m1m2m探究4：∵a+b=c，∴15?整理得m3故答案為m3【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程，準(zhǔn)確判定方程的增根是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6分式方程的無(wú)解】【例6】（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程xx?1+x?1x=a+bxx2?x【答案】5【分析】先將分式方程通分去分母化成整式方程，再根據(jù)方程無(wú)實(shí)數(shù)解得出關(guān)于含a、b的整式的取值范圍，再據(jù)此作答即可求解．【詳解】將xx?1+x?1∵原分式方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴Δ=(?2?b)2∴4b+8a＜∴4b+8a?5＜∴8a+4b+8a+4b?5【點(diǎn)睛】本題考查了將分式方程化為一元二次方程以及根據(jù)一元二次方程根的情況得到方程判別式的符號(hào)以此來(lái)求解代數(shù)式值的知識(shí)，注重整體代入是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2x+1無(wú)解，則A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類(lèi)討論，當(dāng)m?4=0時(shí)，當(dāng)m?4≠0時(shí)，x=0或2x+1=0，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，整理得(m?4)x=2，∵原方程無(wú)解，∴當(dāng)m?4=0時(shí)，m=4；當(dāng)m?4≠0時(shí)，x=0或2x+1=0，此時(shí)，x=2解得x=0或x=?1當(dāng)x=0時(shí)，x=2當(dāng)x=?12時(shí)，x=2綜上，m的值為0或4；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實(shí)數(shù)A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6?3x即4x=m?6，由題意可知x≠2，即可得到6?m≠8.【詳解】解：m+x方程兩邊同時(shí)乘以2?x得：m+x?6+3x=0，∴4x=m?6，∵分式方程有解，∴2?x≠0，∴x≠2，∴6?m≠8，∴m≠?2，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)二模）對(duì)于非零實(shí)數(shù)a、b，規(guī)定a?b=ba．若x?3?3?2x=0，則x的值為_(kāi)______________；若關(guān)于x【答案】

32；

5【分析】解方程3?2xx?3=0即可；根據(jù)分式方程【詳解】∵a?b=ba，∴3?2xx?3去分母，得3-2x=0，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x=3，系數(shù)化為1，得x=32經(jīng)檢驗(yàn)，x=32∵a?b=ba，方程∴3?2xx?3去分母，得3-2x+mx-2=3-x，∵方程無(wú)解，∴x=3，解得m=53去分母，得3-2x+mx-2=3-x，合并同類(lèi)項(xiàng)，得(m-1)x=2，∵方程無(wú)解，∴m-1=0，故m=1．故答案為：32，5【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，分式方程的解法，分式方程無(wú)解的計(jì)算，熟練掌握分式方程無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7不等式與分式方程的綜合】【例7】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【分析】先通過(guò)分式方程求出a的一個(gè)取值范圍，再通過(guò)不等式組的解集求出a的另一個(gè)取值范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合起來(lái)就得到a的有限個(gè)整數(shù)解．【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x?a?x?1=x?3解得：x=a?2又題意得：a?2>0且a?2≠3∴a>2且a≠5，由y+9≤2y+2得：由2y?a3>1∵解集為y≥5∴3+a解得：a<7綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6它們的和為：13故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組3y?22A．?5 B．?4 C．?3 D．?2【答案】B【分析】先將分式方程化為整式方程，得到它的解為x=6a+4,由它的解為正數(shù)，同時(shí)結(jié)合該分式方程有解即分母不為0，得到a+4>0且a+4≠3，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到a?2<0，綜合以上結(jié)論即可求出【詳解】解：ax?3x?2兩邊同時(shí)乘以（x?2)，ax?3+x?2=1?3x,a+4x=6由于該分式方程的解為正數(shù)，∴x=6a+4，其中∴a>?4，且a≠?1；∵關(guān)于y的元一次不等式組3y?22由①得：y≤0;由②得：y>a?2;∴a?2<0，∴a<2綜上可得：?4<a<2,且a≠?1;∴滿足條件的所有整數(shù)a為：?3，?2,0,1；∴它們的和為?4；故選B．【點(diǎn)睛】本題涉及到含字母參數(shù)的分式方程和含字母參數(shù)的一元一次不等式組等內(nèi)容，考查了解分式方程和解一元一次不等式組等相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生能根據(jù)題干中的條件得到字母參數(shù)a的限制不等式，求出a的取值范圍進(jìn)而求解，本題對(duì)學(xué)生的分析能力有一定要求，屬于較難的計(jì)算問(wèn)題．【變式7-2】（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）從?7，?5，?1，0，1，3這六個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽一個(gè)數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組x?m2>0x?4<3(x?2)的解集為x>1，且關(guān)于x的分式方程1?x2?x+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)不等式組的解集為x>1，求得m≤1，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求得m取值范圍，即可求解．【詳解】解：解不等式組x?m2>0∵不等式組的解集為x>1，∴m≤1，由1?x2?x+m解得x=由題意可得，x≥0，且x≠2可得：m≥?5，且m≠?1此時(shí)m的取值為?5，0，1又∵x為整數(shù)，∴m的取值為?5，1，個(gè)數(shù)為2故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無(wú)解，又使得關(guān)于y的分式方程5A．?4 B．?3 C．?2 D．?5【答案】C【分析】先根據(jù)關(guān)于x的不等式組無(wú)解求出數(shù)a的范圍，再根據(jù)關(guān)于y的分式方程的解不小于1求出數(shù)a的范圍，然后再取數(shù)a的范圍的公共部分，從而即可求解．【詳解】解：解不等式x?a2+1≤x+a解不等式x?2a>6，得x>2a+6，∵于x的不等式組x?a2∴5a?6≤2a+6，∴a≤4；又解分式方程5y?2?a?y2?y=1∵關(guān)于y的分式方程5y?2∴a+72≥1∴a≥?5且a≠?3；綜上可知：?5≤a<?3,?3<a≤4，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為：?5?4?2?1+0+1+2+3+4=?2，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握已知一元一次不等式組的解集求參數(shù)的范圍、已知分式方程的解的范圍求參數(shù)的取值范圍的解題方法是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8分式方程中的新定義問(wèn)題】【例8】（2022·湖南懷化·中考真題）定義a?b=2a+1b，則方程3?x=4?2的解為（A．x=15 B．x=25 C．【答案】B【分析】根據(jù)新定義,變形方程求解即可【詳解】∵a?b=2a+1∴3?x=4?2變形為2×3+1解得x=2經(jīng)檢驗(yàn)x=2故選B【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問(wèn)題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關(guān)鍵【變式8-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=1A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．x=8【答案】A【分析】已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，求出解即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：1x?4去分母得：1=2-x+4，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)x和y，定義一種新運(yùn)算“*”：x?y=1x2+y，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：【答案】x【分析】根據(jù)新定義列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵x?y=1∴12兩邊同時(shí)乘以x+4x?4x?4=x+4+x即x2解得x1經(jīng)檢驗(yàn)x1故答案為：x1【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解分式方程，，直接開(kāi)平方法解一元二次方程，根據(jù)新定義列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+1b【答案】?12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經(jīng)檢驗(yàn)x=?12是方程故答案為：?1【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程】【例9】（2022·遼寧阜新·中考真題）我市某區(qū)為30萬(wàn)人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項(xiàng)工作，實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作．設(shè)原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x?30C．301.2x?30【答案】A【分析】由實(shí)際接種人數(shù)與原計(jì)劃接種人數(shù)間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天接種1.2x萬(wàn)人，再結(jié)合結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，且原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，∴實(shí)際每天接種1.2x萬(wàn)人，又∵結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作，∴30故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·遼寧鞍山·中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車(chē)間同時(shí)加工，已知乙車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車(chē)間加工4000件比乙車(chē)間加工4200件多用3天．設(shè)甲車(chē)間每天加工x件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)________．【答案】4000【分析】根據(jù)題意可得出乙車(chē)間每天加工1.5x件產(chǎn)品，再根據(jù)甲車(chē)間加工4000件比乙車(chē)間加工4200件多用3天，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵甲車(chē)間每天加工x件產(chǎn)品，乙車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，∴乙車(chē)間每天加工1.5x件產(chǎn)品，又∵甲車(chē)間加工4000件比乙車(chē)間加工4200件多用3天，∴4000x故答案為：4000x【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·山東青島·中考真題）為落實(shí)青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng)計(jì)劃，學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3000米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為_(kāi)_________．【答案】3000【分析】根據(jù)比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，可得比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)比賽時(shí)所用時(shí)間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程．【詳解】解：∵比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，∴比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)題意可得3000x故答案為：3000x【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·山東濰坊·中考真題）觀察我國(guó)原油進(jìn)口月度走勢(shì)圖，2022年4月原油進(jìn)口量比2021年4月增加267萬(wàn)噸，當(dāng)月增速為6.6%（計(jì)算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月當(dāng)月增速為?14.0A．x?42714271×100%C．x?4271x×100%【答案】D【分析】根據(jù)題意列式即可．【詳解】解：設(shè)2021年3月原油進(jìn)口量為x萬(wàn)噸，則2022年3月原油進(jìn)口量比2021年3月增加(4271-x)萬(wàn)噸，依題意得：4271?xx故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，關(guān)鍵是找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)10分式方程的應(yīng)用】【例10】（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準(zhǔn)備換車(chē)，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車(chē)．(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用．(2)若燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用比新能源車(chē)多0.54元．①分別求出這兩款車(chē)的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車(chē)和新能源車(chē)每年的其它費(fèi)用分別為4800元和7500元．問(wèn)：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買(mǎi)新能源車(chē)的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）【答案】(1)36a(2)①燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.6元，新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.06元；②每年行駛里程超過(guò)5000千米時(shí)，買(mǎi)新能源車(chē)的年費(fèi)用更低【分析】（1）利用電池電量乘以電價(jià)，再除以續(xù)航里程即可得；（2）①根據(jù)燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用比新能源車(chē)多0.54元建立方程，解方程可得a的值，由此即可得；②設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，買(mǎi)新能源車(chē)的年費(fèi)用更低，根據(jù)這兩款車(chē)的年費(fèi)用建立不等式，解不等式即可得．【詳解】（1）解：新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為60×0.6a答：新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為36a（2）解：①由題意得：40×9a解得a=600，經(jīng)檢驗(yàn)，a=600是所列分式方程的解，則40×9a=40×9答：燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.6元，新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.06元；②設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，買(mǎi)新能源車(chē)的年費(fèi)用更低，由題意得：0.6x+4800>0.06x+7500，解得x>5000，答：每年行駛里程超過(guò)5000千米時(shí)，買(mǎi)新能源車(chē)的年費(fèi)用更低．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程和不等式是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·山東東營(yíng)·中考真題）為滿足顧客的購(gòu)物需求，某水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售.經(jīng)了解，甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購(gòu)進(jìn)甲種水果比用1200元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價(jià)分別為6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是多少？(2)若水果店購(gòu)進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；(2)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是350元．【分析】（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，根據(jù)“甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購(gòu)進(jìn)甲種水果比用1200元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程檢驗(yàn)后可得出答案；（2）設(shè)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤(rùn)為y元，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（150－a）千克，根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×數(shù)量列出y關(guān)于a的一次函數(shù)解析式，求出a的取值范圍，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，由題意得：10001?20解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是分式方程的解且符合題意，則1?20%答：甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；（2）解：設(shè)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤(rùn)為y元，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（150－a）千克，由題意得：y=6?4∵－1＜0，∴y隨a的增大而減小，∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，∴a≥2150?a解得：a≥100，∴當(dāng)a=100時(shí)，y取最大值，此時(shí)y=?100+450=350，150?a=50，答：水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果100千克，