計算機數(shù)據(jù)庫實驗報告13w6

第二章極限與連lim第二章極限與連limyn§2.1§2.2§2.62函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)在很短的時間內它們的變化都是很微小的。即：可以用極限來給出其定義中南財大周月3一、函數(shù)的增設函fx)在Ux0一、函數(shù)的增設函fx)在Ux0內有定義,xUx0xxx0yf(x)y稱為自變量在點x0的增量fx0稱為函fx)相應于x的增量.yyfyfx0x0xx00x,可正可負還可為中南財大周月4二連續(xù)函數(shù)的定圖1(連續(xù))y當x時y二連續(xù)函數(shù)的定圖1(連續(xù))y當x時yoxxx10而圖2中的函數(shù)曲線卻間斷當x時y不一定趨于yox中南財大周月51、在x0處連定義設函數(shù)?(x)x0x一個增量Δ1、在x0處連定義設函數(shù)?(x)x0x一個增量Δ當x0時,有y0.即limylim[f(x0x)f(x0)]則稱函數(shù)?(x)x0處連續(xù)x0為連續(xù)點yoxx0中南財大周月6例證ysinxx0x0x例證ysinxx0x0x一個增量Δxysin(x0x)sin2sinxcos(x022xcos(02limyysinxycosxx0中南財大周月7注因lim[fx0xf注因lim[fx0xfx00limfx0xfx0xx0x當x0時,有xx0，從而limy0f(x)f(x0x從而有函數(shù)在一點連續(xù)的等價定定義設函數(shù)?(x)x0limf(x)f(x0x則稱函數(shù)?(x)x0處連續(xù)x0為連續(xù)點中南財大周月8運用《》語言描述它:定義設函數(shù)f(運用《》語言描述它:定義設函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內有定義如果00,使得xfxfx0則稱函數(shù)f(x)在x0處是連續(xù)的中南財大周月9yf(x)f(x0xxlimf(x)Alimf(x)limf(x)因xxx00 limf(x)Alimf(x)limf(x)因xxx00 limf(x)limf(x)f(xf(x)f(x0xxx002、左、右連limf(x)f(x0定義若xx0則稱函數(shù)?(x)在x0處左連續(xù)limf(x)f(x)f(x00x0limfxfx0處右連續(xù)。記為?(x)0x0limf(x)f(x)f(x0中南財大周月0x0結論函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(x)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。即：結論函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(x)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。即：limf(x)f(xlimf(x)limf(x)f(x00xxx003、在區(qū)間內連若函數(shù)?(x)(ab)內的每一點都連續(xù)定義則稱函數(shù)?(x)在開區(qū)(ab)內連續(xù)若函數(shù)?(x)在開區(qū)間(ab)內連續(xù)a右連續(xù)在右端點b左連續(xù)則稱函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a,b]內連續(xù)。中南財大周月例1yx2(例1yx2(-∞∞)證明(-∞∞)內任意一yxx22xxx2limyyx2(-∞∞連續(xù)中南財大周月例2x0(1).f(x)xylim|例2x0(1).f(x)xylim|x|limxy=|xlim|x|limxlim|x|Ox0|x|x0xyy|x|x0連續(xù)中南財大周月x2sin,xx(2).x2sin,xx(2).f(x)x,limf(x)limx2sinx又f(0)fx)x中南財大周月0x1x例0x1x例在xf(2limfxlimlimf(x)lim(2x)故limf(x)f(1)fx)在x1處連續(xù)中南財大周月3x2xxf(x)x3x2xxf(x)xx例4.ksinxk?(x)x0f(0)limfxlim(3x2x1)解f(x)lim(sinx1)xf(x)f(x)f(0k1時fx)在x0處連續(xù)中南財大周月ax2例 確定常數(shù)a,使f(x)ax21xax2例 確定常數(shù)a,使f(x)ax21x1xxf(x)解2(abx1(abx?(x)連續(xù)，則?(x)x±1f(x)f由,limf(x)limf(x)f中南財大周月ab11(aab11(abab2即ab121ab(aba0ba0b1?(x)連續(xù)。中南財大周月三連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的四則運定理若函fg(x)在點x0處連續(xù)f(則三連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的四則運定理若函fg(x)在點x0處連續(xù)f(則f(x)g( f(x)g(在點x0處也連續(xù)(g(x)0g(x3的連續(xù)區(qū)求函例并f(x)xlimf(limf(f(3x2x(x3)(f(x)xx(x3)(xxtanx,cotx,secx,csc因此，有理分式201 們的定義域內皆大周月反函數(shù)與復合函數(shù)的連定理嚴格反函數(shù)與復合函數(shù)的連定理嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù)ysinx在[]上單調增加且連例如 故yarcsinx在[1,1]上也是單調增加且連同理yarccosx在[1,1]上單調減少且連反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)yarctanxyarccotx在[,]上單調且連中南財大周月yyxff1(yyxff1(xf1( yfyfxOyf1(x)的圖形只yf(x)的圖形繞直線翻轉1800而成，故單調性、連續(xù)性仍保持中南財大周月yfu(定理 yf(xfyfu(定理 yf(xf(x)在x0連證明f(x0(x0lim(x)(x0)xlimf(u)f(u)f[(x000limf[(x)]limf(u)f[lim(x)]f[(x0注1、由此可知連續(xù)函數(shù)符號可與極限符號交換位(內函數(shù)的極限存在即可2.變量代(u月梅理論依3、初等函數(shù)的連續(xù)★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的3、初等函數(shù)的連續(xù)★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的指數(shù)函數(shù)yax(aa★在(,)內單調且連對數(shù)函數(shù)yloga★(aa在(0,)內單調且連續(xù)uayauyxaloga★討論不同值在(0)內連續(xù)(均在其定義域周月初等函數(shù)的連續(xù)性結論注1.初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性結論注1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù),在其定ycosxD:x例如這些孤立點的鄰域內沒有定義D:x及xyx2(x1)3在0點的鄰域內沒有定義函數(shù)在區(qū)間[1,)上連續(xù)注初等函數(shù)求極限的方法代入法中南財大周月例7coscose(1lim(11sin 22limsin2e求limx例7coscose(1lim(11sin 22limsin2e求limx原式e解1x21x1x1x2(原式解1x2x1x1大周月(4).limx[lnxln(xx解原式limxx22limxln(1)limln1xx2x2x222limln(4).limx[lnxln(xx解原式limxx22limxln(1)limln1xx2x2x222limln1x22xxx2lnlim122x2可不要這3 2 x2ln1x222lne x2x2xlnlne2中南財大周月(5).limln1xx1原式(5).limln1xx1原式limln(1x)x解1ln[lim(1x)xln中南財大周月1x，x1ln1解令11x，x1ln1解令1x1=u1x1uln1x1x ln1原式ln1xxlim ln1xx1ln1uln1x1ln1:11~中南財大周月無窮小量代換原理及應回顧定理(等價代換如果~（xx~（xxlim110無窮小量代換原理及應回顧定理(等價代換如果~（xx~（xxlim11010x1limlim,limlimlim,1xxxxxx11（自變量的變化過程可以是任意的1 11注1:由此定理可知求兩個無窮小量積或商的極限如果分子（或分子的乘積因子）或分母（分母的積因子）的等價無窮小量存在,則就可用它們各自的價無窮小量來代換原來的分子分母（或分子分的乘積因子使計算簡中南財大周月例8.求下列函數(shù)的極(1).limtan2xsin3tan2xsin3x3x(x例8.求下列函數(shù)的極(1).limtan2xsin3tan2xsin3x3x(x解limtanlim2x23ex(2)..2x x x解：2xlimx中南財大周月13limsinlimtan2xlim2xsin33limsinlimtan2xlim2xsin3解：令xt，則x時tlimtan2xlimtan2(sin3(tansintsint3t中南財大周月1x23(4).;1cos1x21~1cosx(x解3321x213 31x23(4).;1cos1x21~1cosx(x解3321x213 31cosx32lim x(1cos ;1)sin(etan1~tanx~sinx2~x2(xetan解x x(1cos 1221)sinxxxtan中南財大周月(6).limtanxsinxlimtanxsinxlimxx錯啦注1(6).limtanxsinxlimtanxsinxlimxx錯啦注1sinlimtanxsinxlimsinx(1coscos解x2cosxlimx2xcos12cos2中南財大周月sin(7)a【分析】本題屬于已知sin(7)a【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題sin(cosxb)解alimsinx(cosxb)lim(exa)alimsinx(cosxxx1bexb中南財大周月注2：請記住以下幾個常用的等價無窮小當x0注2：請記住以下幾個常用的等價無窮小當x0sinx~ln(1+x)~tanx~arcsinx~6.ex1~8.(1x)1~arctanx~07.1cosx;2例如sinx~x(當x時1f(x),limf(x)ef(x中南財大周梅五閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性?(x)在閉區(qū)五閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性?(x)在閉區(qū)(最大值與最小值定理)若函定理[a,b]上連續(xù)則在[a,b]上?(x)一定有最大值與最小值如右圖中的ξ1ξ2便分別是最小值點與最大值點yobxa中南財大周月注定理中的連續(xù)性與閉區(qū)間條件缺一不可y注定理中的連續(xù)性與閉區(qū)間條件缺一不可yx在(01)10xx1xf(x)13在閉區(qū)間[02]x1,在[0,2]上卻無最大值、最小值.而函數(shù)yo?1ox2中南財大周月 (有界性定理)若函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù) (有界性定理)若函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則?(x)在[a,b]上一定有界.顯然有m≤f(x)≤M定理6(介值定理)若函數(shù)?(x)[a,b]上連續(xù) 且m與M分別為?(x)yM[a,b]上的最小值與最大值則對于任Cm介于m與M之間的實數(shù)C少存在一至axb12f()(a,b),使幾何意義:(如上圖)介于[a,b]內的連續(xù)曲線的最高點最低點之間的任意直線y=y=?(x)相交于一點至少與該曲中南財大周月定理(零點存在定理)若函數(shù)?(x)y閉區(qū)間[a,b定理(零點存在定理)若函數(shù)?(x)y閉區(qū)間[a,b且?(a)與?(b)b(即?(a)?(b)??3aox1(a,b使得f(幾何意義(如右圖)在[a,by?(x)的兩x軸的兩側,則在(a,b)內,此曲線必與X軸至少有一個交點.代數(shù)應用:零點存在定理給了大家一個判定方程在中南財大周月證明方程xasinx證明方程xasinxb0(a,b間0aF(x)xasinxF(0)bF(ab)abasin(ab)ba1sin(a(1).若sin(ab證ab是方程的一根F(ab)(2).若sin(ab)F(ab)由零點定理得存在0,ab,使F即是方程的一根中南財大周月例10.證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內至少有一個實根,求出根的近似值設?(x)=x3-4x2+1=0,則?(x)在閉區(qū)間[0,1]上滿足零點例10.證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內至少有一個實根,求出根的近似值設?(x)=x3-4x2+1=0,則?(x)在閉區(qū)間[0,1]上滿足零點證4210(0故方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內至少有一個實根近似根的求法:(對分區(qū)間法0111)f ) f21而f313f( ) 0 在 )22421而f34)515f()0.320 )內方程至少有一根28中南財大周月繼續(xù)下去，可求出滿足精度要求的近似根。若令近根為（15）9繼續(xù)下去，可求出滿足精度要求的近似根。若令近根為（15）9，則它與精確值的誤差的絕02 1(51)1值不超過區(qū)間長的一半，02 或?(x)在[a,b]則,mMmfxiM(i1,nmf(x1)f(x2)f(xn)n中南財大周月五、函數(shù)的間斷?(x)在五、函數(shù)的間斷?(x)在x0(2)fx)存在且fx)存在00(3)f(x)f(x)f(x000其中有一個條件不滿足就稱?(x)中南財大周月1、定定如果函數(shù)?(x)x0處滿足下述條件中的任何一個1、定定如果函數(shù)?(x)x0處滿足下述條件中的任何一個?(x)x0處沒有定義?(x)x0處雖有定義?(x)x0處雖有定義x但fx)fx)存在x且limf(x)f(x0但x為函數(shù)的間斷點則稱?(x)x0處間斷中南財大周月（1）跳躍間斷右極限都fx)在點x0處左存在,（1）跳躍間斷右極限都fx)在點x0處左存在,但fx00f(則稱點x0為函數(shù)fx)的跳躍間斷點討論函fxx在x0處的連續(xù)性例1xyf(00)f(00)解f(00)f(0x0為函數(shù)的跳躍間斷ox（2）可去間斷點如fx)在點x處的極限存在0或fx)在點（2）可去間斷點如fx)在點x處的極限存在0或fx)在點x0處無定但limfxAf(x0x義則稱點x0為函fx)的可去間斷點例討論函數(shù)yy10xxxf(x)21yx在x1處的連續(xù)性xo1f(1)解f(10)f(10)flimf(x)注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,yf(1)如例中21o0xxfx)1x1在x1處連續(xù)跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷函數(shù)在點x0處的左、右極限都存中南財大周月特（3）第二類間斷如果fx)在點x0處的（3）第二類間斷如果fx)在點x0處的左、右極限至少有一個不存在f(x)的第二類間斷點則稱點x0為函數(shù)xx例討論函fx在x0處的連續(xù)性y解f(00)f(00)這種情況稱為無窮間斷點ox中南財大周月limf(x)limsin例xlimsinlimsinnxx1limf(x)limsin例xlimsinlimsinnxx1limsin1x1xlimsin2n但2x 2n2x0ysinxy1O中南財大周月x3、如何找間斷點3、如何找間斷點?(x)在x0 f(x0),f(x0)是否存在 (3)f f f(x0)注意1、初等函數(shù)在其定義區(qū)間內2、分段函數(shù)在其定義域內不一定連續(xù)中南財大周月01(0,x(1)f(x)xx01(0,x(1)f(x)xx解 (,limf(x)lim1xlimf(x)lim1limf(x)x1是跳躍間斷l(xiāng)imf(x)lim1limf(x)limx2xx(2)f(x)tan2xo,xkxkxlimfx(2)f(x)tan2xo,xkxkxlimf(x)xxta