變分原理及變分法

./變分原理與變分法1.1關(guān)于變分原理與變分法〔物質(zhì)世界存在的基本守恒法則大自然總是以可能最好的方式安排一切,似乎存在著各種安排原理：晝/夜,日/月,陰/陽(yáng),靜止/運(yùn)動(dòng)等矛盾/統(tǒng)一的協(xié)調(diào)體；對(duì)靜止事物：平衡體的最小能量原理,對(duì)稱/相似原理；對(duì)運(yùn)動(dòng)事物：能量守恒,動(dòng)量〔矩守恒,熵增原理等。變分原理是自然界靜止<相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)>事物中的一個(gè)普遍適應(yīng)的數(shù)學(xué)定律,獲稱最小作用原理。Examples:①光線最短路徑傳播；②光線入射角等于反射角,光線在反射中也是光傳播最短路徑〔Heron；③光線折射遵循時(shí)間最短的途徑〔Fermat；BABAv1v1v2v2CECESummary:實(shí)際上光的傳播遵循最小能量原理；在靜力學(xué)中的穩(wěn)定平衡本質(zhì)上是勢(shì)能最小的原理。二、變分法是自然界變分原理的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法〔求解約束方程系統(tǒng)極值的數(shù)學(xué)方法,是計(jì)算泛函駐值的數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)上的泛函定義定義：數(shù)學(xué)空間〔集合上的元素〔定義域與一個(gè)實(shí)數(shù)域間〔值域間的〔映射關(guān)系特征描述法：{J:}Examples:①矩陣數(shù)：線性算子〔矩陣空間數(shù)域‖A‖1=；；②函數(shù)的積分：函數(shù)空間數(shù)域Note:泛函的自變量是集合中的元素〔定義域；值域是實(shí)數(shù)域。Discussion：①判定下列那些是泛函：；；3x+5y=2；E、JE、Jconstsq<x>q<x>x物理問題中的泛函舉例xx=0,x=0,固支；x=l,自由i.梁的彎曲應(yīng)變能：ii.彈性地基貯存的能量：iii.外力位能：iv.系統(tǒng)總的勢(shì)能：泛函的提法：有一種梁的撓度函數(shù)〔與載荷無關(guān),就會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)勢(shì)能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數(shù)中,找一個(gè)w<x>,使系統(tǒng)勢(shì)能泛函取最小值。②最速降線問題問題：已知空間兩點(diǎn)A和B,A高于B,要求在兩點(diǎn)間連接一條曲線,使得有重物從A沿此曲線自由下滑時(shí),從A到B所需時(shí)間最短〔忽略摩擦力。作法：i.通過A和B作一垂直于水平面的平面,取坐標(biāo)系如圖。B點(diǎn)坐標(biāo)<a,b>,設(shè)曲線為y=y<x>,并已知：x=0,y=0；x=a,y=bii.建立泛函：設(shè)P<x,y>是曲線上的點(diǎn),P點(diǎn)的速度由能量守恒定律求得：命ds為曲線弧長(zhǎng)的微分,有：xAyxAy重物從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的總時(shí)間：pyBpyBT=泛函駐值提法：在0≤x≤a的區(qū)間找一個(gè)函數(shù)y<x>使其滿足端點(diǎn)幾何條件并使T取最小值。③圓周問題問題：在長(zhǎng)度一定的閉曲線中,什么曲線所圍成的面積最大。作法：i.假設(shè)所考慮的曲線用參數(shù)形式表示：x=x<s>,y=y<s>s為參數(shù)。取s1為曲線上的某一定點(diǎn),則坐標(biāo)表示x1=x<s1>,y1=y<s1>,因曲線是封閉的,必存在一個(gè)s2點(diǎn)使x2=x<s2>,y2=y<s2>與點(diǎn)s1<x1,y1>重合。ii.該封閉曲線的周長(zhǎng)：L=該曲線所圍成的面積：R=iii.轉(zhuǎn)換R的表達(dá)式由Green公式：取P=-,Q=,則：∴泛函駐值的提法：等周問題即是在滿足端點(diǎn)條件x<s1>=x<s2>,y<s1>=y<s2>及周長(zhǎng)一定條件下,尋找一個(gè)曲線函數(shù)使泛函R取駐值。④Discussion懸索線問題：已知空間中A,B兩點(diǎn)及一條長(zhǎng)度L>的懸索,單位長(zhǎng)的質(zhì)量為m。假設(shè)繩索的長(zhǎng)度是不變的,并忽略繩索的彎曲剛度,把此繩索的兩端掛在A,B兩點(diǎn),求在平衡狀態(tài)下繩索的形狀。要求：列出懸索線應(yīng)滿足的泛函式及泛函駐值提法。提示：繩索在平衡狀態(tài)下,其勢(shì)能應(yīng)為最小值。1.2變分法〔泛函駐值的計(jì)算方法關(guān)于計(jì)算固體力學(xué)中的泛函、泛函極值的提法①這里所研究的泛函一般用積分顯式表達(dá),并不等于所有泛函都能用顯式積分表達(dá)。②所要研究的泛函都可表示成在一定區(qū)間或一定區(qū)域的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)〔或偏導(dǎo)數(shù)的積分形式,即：a.b.c.泛函中的可變化函數(shù)稱為自變函數(shù),或稱宗量〔argument,x或y僅是積分變量,是被積函數(shù)的定義域?！脖环e函數(shù)是復(fù)合函數(shù)概念的推廣③要說清楚一個(gè)泛函的極值問題,應(yīng)注意：a.應(yīng)把泛函本身講清楚〔即寫出它的形式；b.還必須講明白自變函數(shù)的性質(zhì),如：-獨(dú)立的自變函數(shù)的個(gè)數(shù)〔導(dǎo)函數(shù)并不獨(dú)立；-每個(gè)自變函數(shù)定義的區(qū)間/區(qū)域；-這些自變函數(shù)應(yīng)滿足的條件〔如：邊界條件及其受約束的條件等。c.除了個(gè)別特殊情況外,一般情況下增加一個(gè)條件會(huì)使泛函極值及相應(yīng)的自變函數(shù)變化性質(zhì)發(fā)生變化。如：極小值可能變大；極大值可能變?。环菢O值的駐值可能成為極值。若干背景知識(shí)①泛函的駐值問題可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的微分方程問題,變分法的理論計(jì)算就是完成這類工作。本章容沿襲此方法,是要把問題的理論基礎(chǔ)講明確。②從近似解的角度出發(fā),直接求解泛函的駐值,比解微分方程更加方便,也更為實(shí)用。特別計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,帶來了大規(guī)模數(shù)值計(jì)算的可能性〔有限元的思想基礎(chǔ)。③經(jīng)Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等數(shù)學(xué)先驅(qū)的卓越工作,完成了①的系統(tǒng)方法。④但把微分方程問題轉(zhuǎn)換為泛函問題還很不成熟。在物理、力學(xué)中,即先猜想一個(gè)泛函的駐值問題,再校對(duì)是否與原微分方程問題等價(jià)。⑤泛函駐值的計(jì)算〔數(shù)值先驅(qū)工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。關(guān)于變分法的一個(gè)預(yù)備定理若f<x>在[a,b]上連續(xù),若對(duì)任意滿足<a>=<b>=0的連續(xù)函數(shù)x都有：則f<x>在[a,b]上處處為零。反證法：設(shè)x0為[a,b]中的點(diǎn),在x0點(diǎn)f<x0>≠0,可取f<x0>>0,∵f<x>在區(qū)間上連續(xù),必存在x0的一個(gè)充分小鄰域上f<x>>0,x0-<x<x0+又∵x為任意連續(xù)函數(shù)〔滿足邊界條件,可取x也在該鄰域大于零,而在該鄰域外恒等于零。所以有矛盾！即必須為零；同理可證小于零情況。該定理可推廣多元變量的函數(shù)問題。1.2.1定積分的駐值〔變分問題目的：通過簡(jiǎn)單泛函的極值分析,獲得建立變分法的基本概念、計(jì)算步驟〔把變分解轉(zhuǎn)化成微分方程問題：在自變量x的區(qū)間[a,b]決定一個(gè)函數(shù)y<x>,使它滿足邊界條件：,并使泛函：取極值。計(jì)算方法1：先用變分觀點(diǎn)解釋G.H曲線的增量yβHDBCαAGabxabxxdx設(shè)想已取得了一條曲線GACH方程為：y=y<x>在GACH附近另取一條曲線GBDH,令該曲線無限接近GACH,其方程為：是一個(gè)無窮小量,稱為自變函數(shù)的變分〔若x不變,即為曲線縱坐標(biāo)的增量〔注意與函數(shù)微分的區(qū)別,這里函數(shù)的變分仍然是一個(gè)函數(shù)相應(yīng)兩條曲線,獲得兩個(gè)泛函值：基本引理：證：推廣：另一條認(rèn)識(shí)的思路：DHβyx：DHβyxBCA：BCAGα：Gαba：badxdx＝因?yàn)槭堑倪B續(xù)可導(dǎo)函數(shù)〔工程上一般如此,故很小時(shí),也很小,即取等式兩端的一階無窮小量,即：〔可以從Tailor展開式去理解稱為泛函V的一階變分,簡(jiǎn)稱變分,即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分〔把自變函數(shù)的變分作為一階小量所以,變分的運(yùn)算服從無窮小量的運(yùn)算規(guī)則。計(jì)算方法2：〔把求泛函的極值轉(zhuǎn)化成求普通函數(shù)的極值記：<固定>當(dāng)在y0上取極值,則相應(yīng)于的泛函值現(xiàn)在成為普通的函數(shù)極值條件：〔先不管該條件,現(xiàn)僅研究其導(dǎo)數(shù)計(jì)算上兩式中出現(xiàn),和并不能獨(dú)立變化,可設(shè)法把項(xiàng)轉(zhuǎn)換成只與有關(guān)的項(xiàng)。取分步積分：?。捍胍浑A變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件,所以：,計(jì)算若方括號(hào)的函數(shù)在區(qū)間不為0,則可任選使大于零或小于零,即使V不能獲得極值,故需方括號(hào)的項(xiàng)為零。即：〔Euler方程此即與泛函駐值等價(jià)的微分方程?；颍毫钣勺兎只径ɡ恚喝我膺B續(xù)函數(shù),方括號(hào)中函數(shù)連續(xù)。Example最速降線問題：〔注不顯含x代入Euler方程,并乘以函數(shù)Q可得：由于<F中不顯含x>,上式