四年級奧數(shù)專題11：組合圖形的計數(shù)

十一、組合圖形的計數(shù)〔A〕年級______班_____姓名_____得分_____一、填空題:1.右圖一共有()個長方形?2.右圖一共有()個長方形?3.右圖一共有()個長方形？4.右圖一共有()個正方形？5.右圖一共有()個長方形？(7)((7)(6)6.右圖一共有()個平行四邊形?7.右圖一共有()個梯形？8.右圖一共有()個正方形？9.右圖一共有()個正方形?10.右圖一共有()個正方形?二、解答題:11.下列圖共有幾個正方形?12.下列圖共有幾個正方形?13.在一個圖案中有100個矩形、100個菱形和40個正方形,這個圖案中至少有多少個平行四邊形?14.三個同樣的正方形框架,擺放在適當?shù)奈恢?最多可以數(shù)出多少個正方形來?十一、組合圖形的計數(shù)〔B〕年級______班_____姓名_____得分_____一、填空題:1.右圖有()個長方形.2.右圖共有()個長方形.3.下列圖共有()個長方形.4.圖中一共有多少個長方形?(含正方形).5.數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù).6.下列圖共有()個三角形.7.下列圖一共有()個三角形.8.圖中,,邊被分成四等分,邊上的高,那么圖中所有三角形面積的和為多少?(以為邊的三角形不計算在內(nèi).9.下列圖共有()個平行四邊形.10.右圖一共有()個梯形.二、解答題:1.數(shù)一數(shù),右圖中有多少個正方形?2.如右圖,數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形?3.下列圖共有幾個長方形?4.下列圖共有多少個長方形?———————————————答案——————————————————————一、填空題:1.一共有321個.解:①上橫大長方形內(nèi)有長方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(個);②下橫大長方形內(nèi)有長方形:(762)(322)=63(個);③豎大長方形內(nèi)有長方形:(542)(762)=210(個);④中間重復的長方形共有:(542)(322)2=60(個).⑤圖中共有長方形:108+63+210-60=321(個).2.一共有64個.3.一共有107個.解:(1+2+3+4)(1+2+3)=60(個);(1+2+3)(1+2+3)=36(個);1+2=3(個);(1+2)4+2=14(個);圖中共有長方形:60+36-3+14=107(個).4.一共有18個.解:分三類計算,邊長是1的正方形有2+4=13(個),邊長為2的正方形有4(個),邊長為3的正方形有1個.因此,圖中共有正方形13+4+1=18(個).5.一共有79個.解:在大長方形中共有長方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(個).在小長方形中共有長方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(個).在兩個長方形中增加的長方形有:8(個).在大長方形和小長方形中重復計算了的長方形個數(shù)為1個.所以,這個圖中長方形的個數(shù)為:36+36+8-1=79(個).6.右圖一共有(150)個平行四邊形.(542)(652)=150(個).點金術(shù):與算平行四邊形的方法一樣.7.一共有(90)個.(652)(432)=90(個).8.一共有(55)個.解:分類進行統(tǒng)計,得邊長為1的正方形有55=25(個);邊長為2的正方形有44=16(個);邊長為3的正方形有33=9(個);邊長為4的正方形有22=4(個);邊長為5的正方形有11=1(個).圖中共有正方形:25+16+9+4+1=55(個).9.一共有60個.解:分類進行統(tǒng)計,得邊長為1的正方形有47=28(個);邊長為2的正方形有36=18(個);邊長為3的正方形有25=10(個);邊長為4的正方形有14=4(個).圖中共有正方形:47+36+25+14=60(個).10.右圖一共有(110)個正方形.解:圖中是一個410方格,其中正方形的個數(shù)是:410+39+28+17=90(個);圖中是一個46方格,其中正方形的個數(shù)是:46+35+24+13=50(個);在上面的兩項統(tǒng)計中,內(nèi)的正方形被重復計算了一次,應該扣除.因是44方格,其中正方形的個數(shù)是:44+33+22+11=30(個).所以,圖中正方形的個數(shù)是:90+50-30=110(個).二、解答題:11.一共有95個.解:①中間局部的正方形有:52+42+32+22+12=55(個);②上、下局部的正方形有:(4+2+1)2=14(個);③左、右局部的正方形有:(9+2+2)2=26(個).共有正方形:55+14+26=95(個).12.共有46個.解:①正擺著的正方形有:43+32+21=20(個);②斜擺著的正方形有:.最小的正方形有17個;.由4個小正方形組成的正方形有8個,.由9個小正方形組成的正方形有1個.③圖中共有正方形:20+17+8+1=46(個).13.至少有160個.解:因為矩形、菱形、正方形都是平行四邊形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四邊形:100+100-40=160(個).14.最多有7個.解:最多有7個正方形.擺法如右圖.———————————————答案——————————————————————1.58個2.25個3.29個4.1980個圖中線段10×11÷2=55(條),邊上共有線段8×9÷2=36(條),因此,圖中共有長方形55×36=1980(個).5.27個這樣的圖形只能分類數(shù),可以采用類似數(shù)正方形的方法,從邊長為一條根本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條根本線段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有四層,它們的總數(shù)為:W①上=1+2+3+4=10(個).②尖朝下的三角形共有三層,它們的總數(shù)為:W①下=1+2+3=6(個).Ⅱ.以兩條根本線段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有三層,它們的總數(shù)為:W②上=1+2+3=6(個)②尖朝下的三角形只有一個,記為W②下=1(個).Ⅲ.以三條根本線段為邊的三角形:①尖朝上的三角形共有二層,它們的總數(shù)為:W③上=1+2=3(個).②尖朝下的三角形零個,記為W③下=0(個).Ⅳ.以四條根本線段為邊的三角形,只有一個,記為W④上=1(個).所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27(個).我們還可以按另一種分類情況計算三角形的個數(shù),即按尖朝上與朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種:W①上=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(個)Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種:W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0那么尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(個)所以,尖朝上與尖朝下的三角形一共有:20+7=27(個)尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和,其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線段的條數(shù),依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù),直到1為止.尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和,它的第一個恰是尖朝上的第二個和,依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù),以此類推直到零為止.6.126個Ⅰ.尖朝上的三角形有五種:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(個)Ⅱ.尖朝下的三角形有四種:(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(個)∴80+46=126個.7.35個Ⅰ.與相同的三角形共有5個;Ⅱ.與相同的三角形共有10個;Ⅲ.與相同的三角形共有5個;Ⅳ.與相同的三角形共有5個;Ⅴ.與相同的三角形共有5個;Ⅵ.與相同的三角形共有5個.所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5+5=35(個).8.20平方厘米底邊為1cm的三角形面積和為:;底邊為2cm的三角形面積和為:;底邊為3cm的三角形面積和為:;底邊為4cm的三角形面積和為:;圖中所有三角形面積和為:.9.315個(個)10.45個最好的方法是先數(shù)出長方形和梯形的總數(shù),再減去長方形的個數(shù).長方形和梯形的總數(shù)為:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(個)長方形的個數(shù)為:(1+2+3)×(1+2)=18(個)梯形的總數(shù)為:63-18=45(個)二、解答題11.有124個.①根本的三角形有:4×9=36(個).②由兩個根本的三角形組成的三角形有:4×9=36(個).③由四個根本的三角形組成的三角形:4×3×2=24(個).④由九個根本的三角形組成的三角形:4×2=8(個).⑤由八個根本的三角形組成的三角形:4×4=16(個).⑥由十八個根本的三角形組成的三角形:4(個).共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(個).12.有100個.這是個對稱圖形,我們可按如下三步順序來數(shù):第一步:大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每個小矩形內(nèi)所包含的三角形個數(shù)是相同的.第二步:每兩個小矩形組合成的圖形共有四個,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.第三步:每三個小矩形占據(jù)的局部圖形共有四個:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中所包含的三角形的個數(shù).Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一個三角形構(gòu)成的8個.②由兩個三角形構(gòu)成的三角形有5個.③由三個或三個以上三角形構(gòu)成的三角形有5個.這樣在一個小矩形內(nèi)17個三角形.Ⅱ.在由兩個小矩形組合成的圖形中,如矩形AEGD,共有5個三角形.Ⅲ.由三個小矩形占據(jù)的局部圖形中,如△ABC,共有2個三角形.所以整個圖形共有三角形個數(shù)是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(個).13.有270個.①除去四周凸出局部,中間大長方形內(nèi)共有長方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(個);②左、右凸出局部共有長方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(個);③上、下凸出局部共