專題五三角形

專題五 三角形【專題分析】三角形在中考中的常見考點有：三角形的邊和角，三角形的重要線段；全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)及綜合應用，角平分線的應用；等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，線段的垂直平分線；比例線段與黃金分割，相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定方法，相似多邊形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)，解直角三角形，解直角三角形的應用等．對三角形的考查在中考中既有客觀題又有主觀題，考查題型多樣，關于邊角的基礎知識一般以選擇題或填空題進行考查，證明兩個三角形全等、相似，應用三角形全等、相似解決問題一般以解答題的形式進行考查；三角形在中考中的比重約為

15%

～20%.【解題方法】解決三角形問題常用的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化思想，方程思想，整體思想；常用的數(shù)學方法有：分類討論法，整體代入法，設參數(shù)法等．(2013·莆·莆田)如圖，點B

，

E

，C

，F(xiàn)

在一條直線上，AB∥DE，BE

＝CF，請?zhí)砑右粋€條件AB

＝DE(或∠A

＝∠D或∠ACB

＝∠F或AC∥DF)，使△ABC≌△DEF.【思路點撥】可選擇利用

AAS 或SAS

進行三角形全等的判定．規(guī)律方法判定兩個三角形全等的方法有：邊角邊，角邊角，角角邊，邊邊邊，直角三角形全等的判定還有“斜邊、直角邊”.△ABC(2013·吉林)如圖，在中，∠ACB

＝90°，AC

＝BC

，延長

AB

至點

D

，使DB

＝AB

，連結(jié)CD

，以CD

為直角邊作等腰直角三角形

CDE

，其中∠DCE

＝90°，連結(jié)BE.求證：△ACD

≌△BCE

；若AC

＝3

cm，則BE

＝62

cm.【思路點撥】(1)求出∠ACD

＝∠BCE，根據(jù)SA

S推出兩三角形全等即可；(2)根據(jù)全等得出AD

＝BE，根據(jù)勾股定理求出AB，即可求出AD，進而得出BE.【自主解答】解：(1)證明：∵△CDE

是等腰直角三角形，∠DCE＝

90°，

∴CD ＝

CE

.∵∠ACB ＝

90°，

∴∠ACB

＝，∠DCE ，

∴∠ACB ＋

∠BCD ＝

∠DCE ＋∠BCD∴∠ACD ＝∠BCE

.在△ACD

和△BCE

中，AC

＝BC

，∠ACD ＝∠BCE

，CD

＝CE

，∴△ACD

≌△BCE

.(2)∵AC

＝BC

＝3

cm

，∠ACB

＝90°，∴由勾股定理，得

AB

＝3

2

cm.又∵DB

＝AB

，∴AD

＝2AB

＝6

2

cm.∵△ACD≌△BCE，∴BE

＝AD

＝6

2

cm.規(guī)律方法在求線段(角)的長度(度數(shù))或證明線段(角)相等時，利用全等三角形的對應邊(角)相等，可將對應邊(角)進行轉(zhuǎn)化，從而建立已知與未知之間的聯(lián)系.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC

和△DEF

的頂點都在格點上，P

1，P

2，P3，P

4，P

5

是△DEF

邊上的

5

個格點，請按要求完成下列各題：試證明△ABC

是直角三角形；判斷△ABC

和△DEF

是否相似，并說明理由；(3)畫一個三角形，使它的三個頂點為

P1，P2，P

3，P

4，P

5

中的

3

個格點，并且與△ABC

相似．(要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明)【思路點撥】(1)分別求出△ABC三邊的長度，利用勾股定理的逆定理進行判斷；(2)分別求出△DEF三邊的長度，計算△DEF與△ABC三邊長度的比值，進而作出判斷；(3)觀察圖形，所求作的三角形滿足其三邊與△ABC三邊的比值相等即可．解：(1)證明：根據(jù)勾股定理，得

AB

＝2

5，

AC＝

5，BC

＝

5；顯然有AB

2＋AC

2＝

BC

2，根據(jù)勾股定理的逆定理，得△

ABC

為直角三角形．(2)△ABC

和△DEF

相似．根據(jù)勾股定理，得

DE

＝42，DF

＝22，EF

＝2

10..∴△ABC

∽△DEF

.∵＝

＝

＝AB

AC

BCDE

DF

EF52

2(3)如圖，△P

2P

4

P

5

即為所求．規(guī)律方法在網(wǎng)格中證明兩個三角形相似，可分別計算兩個三角形三邊的長度，再計算三組對應邊的比是否相等，根據(jù)三組對應邊的比相等，得兩三角形相似.(2013煙·臺)如圖，一艘海上巡邏船在A

地巡航，這時接到

B

地海上指揮中心北偏西60°方向的C

地，有一艘漁船遇險，要求馬上前去救援，此時C地位于A地北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A，B兩地之間的距離為12海里．求A，C兩地之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：

2≈1.41，

3≈1.73，

6≈2.45，結(jié)果精確到0.1)【思路點撥】延長

CA

，過點

B

作射線

CA

的垂線，構(gòu)造直角三角形求解．解：過點

B

作

BD

⊥CA

，交

CA

的延長線于點D

.由題意，得∠ACB

＝60°－30°＝30°，∠ABC

＝75°－60°＝15°，∴∠DAB

＝∠DBA

＝45°.在

Rt△ADB

中，AB

＝12

海里，∠BAD

＝45°，22(海里)．∴BD

＝AD

＝AB

·cos45°＝12×

2

＝6BD6在Rt△BCD

中，CD

＝tan

30°＝

2＝6

6(海里)．

33∴AC

＝6

6－6

2≈6.2(海(海里)．答：A，C兩地之間的距離約為6.2海里．規(guī)律方法解決問題的關鍵在于將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，而轉(zhuǎn)化的關鍵是作出三角形的某一條高.能力評估檢測一、選擇題1．(2013昭·通)如圖，A

，B

，C

三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB

繞著點

A

逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC

′B

′，則

tan

B

′的值為(

B

)111D.A.

2B.

3C.

4242．(2013杭·州市學軍中學模擬)如圖，△ABC

中，AD，BE是兩條中線，則S△EDC

∶S△ABC

＝(A

．1∶2B

．2∶3C

．1∶3D

)D

．1∶4A

．2∶5B

．2∶3C

．3∶5D

．3∶23．(2013內(nèi)·江)如圖，在?ABCD

中，E

為

CD

上一點，連結(jié)

AE

，BD

，且

AE

，BD

交于點

F

，S△

DEF

∶S△ABF＝4∶25，則

DE

∶EC

＝(

B

)4．如圖，在△ABC

中，∠ABC

和∠ACB

的平分線交于點

E

，過點

E

作

MN

∥BC 交AB

于點M, 交AC于點

N

，若

BM

＋CN

＝9，則線段

MN

的長為(

D

)A

．6B

．7C

．8D

．95．已知實數(shù)x，y滿足|x－4|＋y－8＝0，則以x，y

的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(

B

)A．20或16C．16B.

20D．以上答案均不對6．如圖，在?ABCD＝6，AD

＝9，∠BAD中，AB的平分線交BC

于點

E

，交

DC

的延長線于點

F，BG

⊥AE

，垂足為

G

，BG

＝4

2，則△CEF

的周長為(

)A

．8

B

．9.5

C

．10D

．11.5∴＝

＝

，即

EF＝2，所以△CEF

的周長為

CEAE

BE

6EF

EC3＋CF＋EF

＝3＋3＋2＝8.答案：A解析：由AE平分∠BAD可知∠BAE

＝∠DAE.又AD∥BC，有∠DAE

＝∠BEA，則∠BAE

＝∠BEA，即△ABE為等腰三角形，AB

＝BE

＝6.又BG⊥AE，在Rt△BGE中，BE

＝6，BG

＝4

2，由勾股定理可得GE＝

BE

2－BG

2＝

36－32＝2，所以AE

＝2GE

＝4.由題意可得△ABE∽△FCE，又CE

＝BC－BE

＝9－6＝3，7．(2013德·德·陽)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球

A

看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C

的俯角為

60°，熱氣球

A

與高樓的水平距離為120

m

，這棟高樓

BC

的高度為(

D

)A

．40

3

mC

．120

3

mB

．80

3

mD

．160

3

m128．已知等腰△ABC底角的度數(shù)為(

C

)A

．45°C．45°或75°B

．75°D

．60°中，AD

⊥BC

于點

D

，且

AD＝

BC，則△ABCA.36

125

B.

25C.

4

D.9

3

349．在Rt△ABC

中，∠C

＝90°，AC

＝9，BC

＝12，則點

C

到

AB

的距離是(

A

)10．如圖，在鈍角三角形ABC

中，

AB

＝

6

cm

，

AC

＝12

cm

，動點D

從

A

點出發(fā)到B

點止，動點

E

從

C

點出發(fā)到A

點止．點D

運動的速度為

1

cm/s，點

E

運動的速度為

2

cm/s.如果兩點同時運動，那么當以點

A，D

，

E為頂點的三角形與△ABCA．3

s或4.8

sC

．

4.5

s相似時，運動的時間是(

)B．3

sD．4.5

s或4.8

s解析：根據(jù)題意，設當以點

A

，D

，E

為頂點的三角形與△ABC

相似時

，運動

的時間是

x

s，

①

若，解得

x612－2x12△ADE

∽△ABC，則AD

＝AE

，∴x＝AB

ACx12－2x＝3；②若△ADE

∽△ACB

，則AD

＝AE

，∴＝

，12

6AC

ABA，D，E

為頂點的三角形與解得

x＝4.8∴.

當以點△ABC

相似時，運動的時間是3

s或4.8

s．故選A.答案：A二、填空題11．如圖，在

?ABCD

中，AD ＝

10

cm

，

CD ＝

6

cm.

E

為AD

上一點，且

BE

＝

BC

，

CE∽△

CED∠

CDE

，∴△

BCE36＝

10＝

3.6(cm)．BC

CE

CE，∴

CE

＝

DE

，∴

DE

＝

BC＝

CD

，則

DE ＝

3.6cm.解析：

由題意，知

BE

＝

BC

＝

10

cm ，

CE

＝

CD

＝6

cm

，

∴∠

BEC

＝

∠

BCE

，

∠

CDE

＝∠

CED

.∵

AD

∥

BC

，

∴∠

CED ＝

∠

BCE ，

∴∠

BEC

＝212．如圖，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE

＝8，BF

＝5，則EF的長為13.13．如圖，已知AC

＝BD，要使△ABC≌△DCB，則只需添加一個適當?shù)臈l件是答案不唯一，如AB

＝CD

或∠ACB

＝∠DBC

.填(填(一個即可)14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB

＝90°，∠A<∠B，沿△ABC

的中線

OC

將△COA

折疊，使點

A

落在點

D33.處，若

CD

恰好與

MB

垂直，則tan

A

的值為15．如圖，在△ABC

中，∠ACB

＝90°，D 是BC的中點，DE

⊥BC

，CE

∥AD，若

AC

＝2，CE

＝4，則四邊形

ACEB

的周長為

10＋2

13

.解析：

∵∠ACB

＝90°，

DE

⊥BC

，∴AC

∥DE

.又∵CE

∥AD

，∴四邊形

ACED

是平行四邊形．∴DE

＝AC

＝2.在

Rt△CDE

中，

DE

＝

2，

CE

＝4，由勾股定理得

CD

＝

CE

2－DE

2＝2

3.∵D

是BC

的中點，∴

BC＝2CD

＝4

3.在△ABC

中，∠ACB

＝90°，由勾股定理得

AB

＝

AC

2＋BC

2

＝

2

13.∵D

是

BC

的中點，DE

⊥BC

，∴EB

＝EC

＝4.∴四邊形

ACEB

的周長＝AC＋CE

＋EB

＋BA

＝10＋2

13.三、解答題16．(2013·菏澤)如圖，在△ABC中，AB

＝CB，∠ABC

＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE

＝BD，連結(jié)AE，DE，DC.求證：△ABE≌△CBD；若∠CAE

＝30°，求∠BDC的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC

＝90°，D 為AB

延長線上一點，∴∠ABE

＝∠CBD

＝90°.在△ABE 和△CBD

中，AB

＝

CB

，

∠ABE

＝

∠CBD

，

BE

＝

BD

，∴△ABE

≌△CBD

(SAS

)．(2)∵AB ＝

CB ，

∠ABC ＝

90°，

∴∠CAB

＝45°.∵∠CAE

＝30°，∴∠BAE

＝∠CAB

－∠CAE

＝45°－30°＝15°.∵△ABE

≌△CBD

，∴∠BCD

＝∠BAE

＝15°，∴∠BDC

＝90°－∠BCD

＝90°－15°＝75°.17．(2013眉·眉·山)如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長600米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為梯形

ABCD

)急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬

2米，加固后背水坡

EF

的坡比

i＝1∶

3.(1)求加固后壩底增加的寬度

AF

；(結(jié)果保留根號)(2)求完成這項工程需要土石多少立方米？

(結(jié)果取

3≈1.73)2解：(1)如圖，分別過

E

，D 作EM

⊥BF

于點

M

，DN

⊥BF

于點

N

，則

MN

＝

DE

＝2米，EM

＝DN

＝10米，DN在Rt△AND

中，AN

＝＝10(米)．tan

45°∵i＝EMFM13＝

，∴FM

＝10

3(米)．∴AF

＝FM

＋MN

－AN

＝(10

3－8)米．(2)∵S

梯形ADEF＝DE

＋AF

DN2＝(50

3－30)平方米，∴V

＝(50 3－30)×600≈33

96立0(方米)．答：完成這項工程需要土石為33

960立方米．18．如圖，在菱形

ABCD

中，AB

＝4，∠BAD

＝120°，△AEF

為正三