第二十七章相似（知識清單）九年級數(shù)學(xué)下冊（人教版）

一、學(xué)習(xí)目標1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)；2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的坐標的變化規(guī)律.重點：1.利用相似三角形的知識解決實際的問題；2.位似的應(yīng)用及在平面直角坐標系中作位似圖形.難點：把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學(xué)模型并求解.二、學(xué)習(xí)過程章節(jié)介紹中學(xué)階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進行研究.本章研究的主要問題是相似圖形的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，本章將介紹一種新的圖形變換位似.知識梳理1.相似圖形的概念：數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.2.相似多邊形的概念：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.4.相似比的概念：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.5.比例線段的概念：對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.6.相似三角形的概念：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且ABA'B'7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.簡稱：平行線分線段成比例.8.平行線分線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.9.相似三角形判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.10.相似三角形判定定理4：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.11.三角形相似判定定理5：兩角分別相等的兩個三角形相似.12.直角三角形相似判定定理1：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.13.相似三角形的性質(zhì)：14.利用三角形相似解決實際問題的一般步驟：（1）根據(jù)題意畫出示意圖（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線段、已知角（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出未知量（4）寫出答案15.位似圖形的概念：如果兩個圖形的對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過同一點，且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個圖形叫做位似圖形.16.位似圖形的性質(zhì)：1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比．（位似圖形的相似比也叫做位似比）3）對應(yīng)線段平行或者在一條直線上．17.把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或k，則圖象上的對應(yīng)點的坐標為（kx，ky）或（kx，ky）.考點解讀考查題型一判斷相似圖形1．下列圖形，一定相似的是（

）A．兩個直角三角形 B．兩個等腰三角形 C．兩個等邊三角形 D．兩個菱形【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，利用排除法求解．【詳解】解：A.兩個直角三角形，不一定有銳角相等，故不一定相似；B.兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不一定相似；C.兩個等邊三角形，角都是60°，故相似；D.任意兩個菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；故選C．【點睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．2．如圖是世界休閑博覽會吉祥物“晶晶”．右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個變換得到的（

）A．平移變換 B．旋轉(zhuǎn)變換 C．軸對稱變換 D．相似變換【答案】D【分析】根據(jù)相似變換的概念判斷即可．【詳解】解：∵右邊的“晶晶”和左邊的“晶晶”只有形狀相同，∴兩個圖形相似，∴右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”通過相似變換得到的．故選：D．【點睛】本題考查的是幾何變換的類型，熟記各種變換的概念的解題的關(guān)鍵．3．觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對圖形進行一一分析，選出正確答案．【詳解】解：第一組形狀不同，不符合相似形的定義；第二組形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義；第三組形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義；第四組形狀不同，不符合相似形的定義，是相似圖形的有2組．故選：B．【點睛】本題考查的是相似形的定義，結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換．考查題型二由平行判定成比例線段1．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．ABAE=AGAD B．DFCF=【答案】D【分析】根據(jù)EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根據(jù)FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵GE∥BD，∴AEBE=AGDG，△∴ABAE故選項A錯誤；∵GF∥AC，∴DFCF=DGAG，△故選項B錯誤；∵DF∴AG∴AE故選項D正確；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC=故選項C錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)及判定，利用平行線分線段成比例，找出比例式是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AC∥BD，AD與BC交于點E，過點E作EF∥BD，交線段AB于點F，則下列各式錯誤的是（）A．AFBF=AEED B．BFAF=【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理一一判斷即可．【詳解】解：對A、B選項．∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴AFBF=AEC．∵AEAD=AF∴AEADD．∵AFBF=CE∴AFBF故選：D．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A．BDAD=DFAC B．BFFC=【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項即可．【詳解】解：A．由DF∥AC，得BDBAB．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得C．由DF∥AC，得BFBC故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例．考查題型三由平行截線求相關(guān)線段的長或比例1．如圖，直線l1//l2//l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，A．2 B．3 C．4 D．10【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB=5，BC=6，EF=4，∴56∴DE=103故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD=2，BD=3，則AEAC的值是（

A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出AEAC【詳解】解：∵△ABC中，DE∥BC，∴AEAC∵AD=2，BD=3∴AEAC故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”．3．如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，AD=4DE，連接并延長交AC于點F，則：FC的值是（

）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【答案】A【分析】過點D作DG∥AC，與BF交于點G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG【詳解】過點D作DG∥AC，與BF交于點G∵AD=4DE∵AD是△ABC的中線∴∴即AF=3DG∴DGFC∴AF:FC=3DG:2DG=3:2故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟悉概念是解題關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB=BC，點D為AB的中點，DE∥BC交AC于點E，連接，若DE=13，AC=20，則的長為（

）A．12 B．20 C．24 D．26【答案】C【分析】根據(jù)題意可知DE為△ABC的中位線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥AC，勾股定理解Rt△【詳解】∵點D為AB的中點，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴ADBD∴AE=EC，∴DE=1∴BC=2DE=26,EC=1∵AB=BC,AE=EC，∴BE⊥AC，在Rt△BCE中，故選C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中位線的判定與性質(zhì)，三線合一，勾股定理，求得E是AC中點是解題的關(guān)鍵．考查題型四證明兩個三角形相似1．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可．【詳解】證明：如圖，∵在Rt△ABC中，CD是斜邊∴∵∠A是公共角∴△ACD∽△ABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準確運用進行推理證明．2．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠B＝∠C＝60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根據(jù)∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可證∠1＝∠2即可．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵．3．已知：如圖，點D在三角形ABC的AB上，DE交AC于點E，∠ADE=∠B，點F在AD上，且AD(1)ADAB(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)∠ADE=∠B，可得DE∥BC，從而得到ADDB（2）根據(jù)AD2=AF?AB，可得AD【詳解】（1）證明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴ADDB∴ADAB（2）證明：∵AD∴ADAB∵ADAB∴AEAC又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例，相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且AB?AC=BD?CE．求證：△ABD∽△ECA．【答案】見解析【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABD=∠ECA，再由AB?AC=BD?CE，得到ABEC=BDCA，即可推出△【詳解】解；∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴180°∠ABC=180°∠ACB，∴∠ABD=∠ECA，又∵AB?∴ABEC∴△ABD∽△ECA．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處，AB=8，BC=10．（1）求證：△AEF∽△DFC；（2）求線段EF的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）EF=5．【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=BC=10，根據(jù)勾股定理得到DF=CF2【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=BC=10，BE=EF，∴DF=C∴AF=4，∵AE=ABBE=8EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8EF）2+42，解得：EF=5．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)來分析、判斷、解答．考查題型五補充條件使兩個三角形相似1．如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍無法判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=CD【答案】C【分析】根據(jù)公共角∠A，再分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】∵∠A=∠AA、當(dāng)∠ACD=∠B時，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故選項A不合題意；B、當(dāng)∠ADC=∠ACB時，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故選項B不合題意；C、當(dāng)ADAC=CDBC時，D、當(dāng)AC2=AD?AB故選：C．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．2．如圖，要使△ACD∽△ABC，需要具備的條件是（

）A．ACAD=ABC．AC2=AD【答案】C【分析】題目中隱含條件∠A＝∠A，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件只能是ACAB【詳解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：ACAB∴AC故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．3．如圖，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一個條件后，仍不能確定△ABC∽△ADE的是（

）A．∠B=∠D B．∠C=∠AEDC．AB?BC=AD?【答案】C【分析】根據(jù)題意可得∠EAD=∠CAB，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷，即可求解．【詳解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；B．若添加∠C=∠AED，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；C．若添加AB?BC=AD?D．若添加AB?AE=AD?AC，可用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，證明△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．考查題型六相似三角形與動點問題1．如圖所示，∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，點P從點B出發(fā)，沿BC向點C以2cm/s的速度移動，點Q從點C出發(fā)沿CA向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C【答案】過2.4或3211秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC【分析】由∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，利用勾股定理即可求得AB與AC的長，然后設(shè)過t秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似，則可得BP=2tcm，，CQ=tcm，再分別從當(dāng)CPCB=CQCA時，△CPQ∽△CBA與當(dāng)CP【詳解】解：，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，∴設(shè)AC=3xcm，，則，即4x=8，解得：，，AB=10cm，，設(shè)過t秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似，則，，，是公共角，∴①當(dāng)CPCB=CQCA，即8?2t8解得：t=2.4，②當(dāng)CPCA=CQCB，即8?2t6解得：t=32∴過2.4或3211秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC【點睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，．點P從點C出發(fā)沿折線CA?AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿BC?CA?AB以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達點B時停止運動，另一點也隨之停止．設(shè)點P，Q運動的時間是t秒（t>0發(fā)現(xiàn)：(1)AB=___________；(2)當(dāng)點P，Q相遇時，相遇點在哪條邊上？并求出此時AP的長．探究：(3)當(dāng)t=1時，△PQC的面積為___________；(4)點P，Q分別在AC，BC上時，△PQC的面積能否是△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．拓展：(5)當(dāng)PQ∥BC時，求出此時t的值．【答案】(1)5(2)相遇點在AB邊上，1(3)1(4)不能，見解析(5)t=【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分類討論點的位置對應(yīng)不同的時間，直接計算即可；（3）直接求出邊長來求面積即可；（4）解方程時通過求根公式來說明不能取到值；（5）先畫出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值．【詳解】（1）在中，AB=A∴AB=5；

（2）點P運動到B需要：4+5÷1=9點Q運動到B點需要：3+4+5÷2=6當(dāng)點P,Q相遇時，有2t?t=4．解得t=4．∴相遇點在AB邊上，此時AP=4?3=1．

（3）當(dāng)t=1時，PC=1,BQ=2，即∴SΔPQC故答案為1；（4）不能理由：若△PQC的面積是△ABC面積的一半，即12t(4?2t)=1∵Δ=?2∴方程沒有實數(shù)根，即△PQC的面積不能是△ABC面積的一半．（5）由題可知，點P先到達AB邊，當(dāng)點Q還在AC邊上時，存在PQ∥BC，如圖所示．這時，AQAC∵AQ=7?2t，AP=t?3，∴7?2t3解得t=44即當(dāng)PQ∥BC時，t=44【點睛】此題考查動點問題以及平行線的線段比，解題關(guān)鍵是將點的路程表示出來找到等量關(guān)系，以及平行線中線段成比例列方程．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D，點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到點C時，兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)求線段CD的長；(2)設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)當(dāng)t為何值時，△CPQ與△CAD相似？請直接寫出t的值．(2)S=(3)3或9【分析】（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過△CHP~△BCA，可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，即可解決問題；（3）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分∠CPQ=90°與∠CQP=90°兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)，建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵，∴12×6×8=1（2）解：過點P作PH⊥AC于點H，如圖，根據(jù)題意得：DP=t，CQ=t，則CPt，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°∠DCB=∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB，∴△CHP~△BCA，∴PHAC=PC解得：PH=96∴；（3）解：根據(jù)題意得：DP=t，CQ=t．則CPt．∵∠ACD=∠PCQ，且∠ADC=90°，當(dāng)∠CPQ=∠ADC=90°時，△CPQ~△CDA，如圖，∴CQAC=CP解得：t=3；當(dāng)∠CQP=∠ADC=90°時，△CQP~△CDA，如圖，∴，即4.8?t8=解得：t=9綜上所述，當(dāng)t為3或95時，△CPQ與△CAD【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．考查題型七相似三角形與存在性問題1．如圖，在矩形ABCD中，，BC=6cm，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為t秒（(1)當(dāng)t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19(2)是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)t=1s或t=2s(2)t=125【分析】（1）由△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19，可得12×t×6?2t（2）△AMN與△ACD相似，分為兩種情況討論即可得到t=125【詳解】（1）由題意可知：AM=tcm，∴AN=AD?DN=∵△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1∴1解之得：t1=1∴t=1s或t=2s時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1（2）存在．理由如下：∵△AMN與△ACD相似∴分為兩種情況：①當(dāng)△MNA∽△ACD時∴AMDA=解得：t=②當(dāng)△NMA∽△ACD時∴AMDC=解得：t=3綜上所述，當(dāng)t=125s或t=32s時，以A、【點睛】本題考查了相似三角形——動點問題和平行四邊形的動點問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵2．如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點AB坐標分別為，動點M、N分別從同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動過動點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，設(shè)M、N運動時間為t秒，(0<t<4)(1)當(dāng)t=3秒時，P點的坐標為（____，____），PC=__________；(2)當(dāng)t為何值時，以為頂點的三角形與△ABC相似；(3)在平面內(nèi)是否存在一個點E，使以為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出t的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)3，34，(2)2秒或6441(3)169秒或43秒或【分析】（1）先確定出點C坐標，進而得出直線AC解析式，即可得出點P的坐標，最后用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；（2）先得出AC=5，BN=t，，用相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求出時間t；（3）由菱形的性質(zhì)，鄰邊相等即可分三種情況列方程即可求出時間t．【詳解】（1）解：∵四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為(4,0)，(4,3)，∴C(0,3)，設(shè)直線AC解析式為，將A，C代入，得0=4k+b3=b，解得：k=?∴直線AC解析式為y=?3∵點M從點O向點A以每秒1個單位的速度運動，，當(dāng)x=t時，，，，，∴當(dāng)t=3秒時，P點的坐標為P(3,34)（2），B(4,3)，∴OA=BC=4，OB=3，∴AC=5，由運動知，BN=t，，由（1）知，CP=5，以C、P、N為頂點的三角形與△ABC相似，∴①當(dāng)時，∴，∴t=2，②當(dāng)時，∴，，∴t為2或6441時，以C、P、N為頂點的三角形與△ABC（3）由（1）知，CP=54t由（2）知，，，，∵以C、P、N、E為頂點的四邊形是菱形，∴①當(dāng)CP=CN時，∴，∴t=16②當(dāng)CP=PN時，，（舍）或t=4③當(dāng)CN=PN時，，（舍）或t=12857以C、P、N、E為頂點的四邊形是菱形時，t的值為169或43或【點睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了平面坐標系內(nèi)兩點間的公式，相似三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵分類討論思想，是一道比較簡單的中考?？碱}．考查題型八利用相似三角形性質(zhì)求解1．如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（

）A．5 B．6 C．163 D．【答案】C【分析】證明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．【詳解】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴=2，∴S陰影故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于證明三角形相似．2．如圖，在?ABCD中，EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4，則CD的長為（

A．163 B．8 C．10 【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定證得△DEF∽△DAB，可得到EF:AB=DE:DA=2:5，進而求解即可．【詳解】∵EF∥AB，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴△DEF∽△DAB．∵DE:EA=2:3，∴EF:AB=DE:DA=2:5，又∵EF=4，∴AB=10．∴在?ABCD中，．故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、比例性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．如圖，面積為2的Rt△OAB的斜邊OB在x軸上，∠ABO＝30°，反比例函數(shù)y=kx圖象恰好經(jīng)過點A，則kA．﹣2 B．2 C． D．﹣【答案】D【分析】作AD⊥OB于D，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA＝12OB，然后通過證得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面積，然后根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求得k【詳解】解：作AD⊥OB于D，∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，∴OA＝12OB∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，∴△AOD∽△BOA，∴S△∴S△AOD＝14S△BOA＝14×2＝3∵S△AOD＝12|k∴|k|＝，∵反比例函數(shù)y＝kx∴k＝﹣，故選D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得△AOD的面積是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，點E是?ABCD的邊AD上的一點，且，連接并延長交CD的延長線于點F，若DE=3,DF=4，則?ABCD的周長為（

）A．21 B．28 C．34 D．42【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，AB=CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE∵DE=3,DF=4，∴AE=6，AB=8，∴AD=AE+DE=6+3=9，∴?ABCD故選：C．【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答．考查題型九利用相似三角形解決實際問題1．如圖，利用標桿DE測量樓高，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE=1m，DE=1.5m，CE=5m，樓高BC是多少？【答案】樓高BC是9米．【分析】先求出AC的長度，由DE∥BC，得到AEAC=DE【詳解】解：∵AE=1m，CE=5m，∴AC=6m，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵DE=1.5m，∴16∴BC=9；∴樓高BC是9米．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)：反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角i等于反射角r．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，D在同一條直線上．(1)求BC的長；(2)求燈泡到地面的高度AG．【答案】(1)3m(2)1.2m．【分析】（1）先證明△BFC∽BED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出BCBD=FC（2）先證明△BGA∽△BFC，再利用相似三角形的性質(zhì)得出AGAB=FC【詳解】（1）解：（1）由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽BED，∴BCBD∴BCBC+4解得：BC=3，答：BC的長為3m；（2）解：∵AC=5.4m，∴AB=5.4?3=2.4m∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2m，答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．3．如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．(1)求BC的長．(2)求燈泡到地面的高度．【答案】(1)3m；(2)1.2m．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進而求出AG的長．【詳解】（1）解：由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽△BED，故BCBD即BCBC+4解得：BC=3，經(jīng)檢驗，BC=3是上述分式方程的解，∴BC的長為3m；（2）∵AC=5.4m，∴AB=5.4?3=2.4（），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA，又∵∠FCB=∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴AGAB∴AG2.4解得：AG=1.2（），∴燈泡到地面的高度AG為1.2m．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．4．在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組的兩名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作；小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如圖1）．小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖2），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．(1)在橫線上直接填寫甲樹的高度為_____________米；(2)畫出測量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度．【分析】（1）根據(jù)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用比例式直接得出樹高；（2）根據(jù)輔助線作法得出假設(shè)沒有墻時影子長度，即可求出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：1解得：x=5.1（米），故答案為：5.1．（2）解：假設(shè)AB是乙樹，∴BC=2.4（米）CD=1.2（米）∴CDCE∴1.2CE∴CE=0.96（米），∴10.8∴AB=4.2（米），答：乙樹的高度為4.2米．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)同一時刻影長與高成比例以及假設(shè)沒有墻時求出影長是解決問題的關(guān)鍵．考查題型十位似圖形的識別1．下列選項中的兩個圖形（實線部分），不是位似圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可．【詳解】解：因為兩個位似圖形的對應(yīng)點的連線所在的直線經(jīng)過同一點，所以A，B，C中的兩個圖形是位似圖形，D中的兩個圖形不是位似圖形．故選：D．【點睛】本題考查了位似圖形的定義，對應(yīng)邊互相平行（或共線）且每對對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同一點的兩個相似多邊形叫做位似圖形．2．下列各組圖形中不是位似圖形的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義解答即可，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】根據(jù)位似圖形的定義，可得A，B，C是位似圖形，B與C的位似中心是交點，A的位似中心是圓心；D不是位似圖形．故選D．【點睛】本題考查了位似圖形的定義．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；③對應(yīng)邊平行．考查題型十一利用位似圖形的性質(zhì)求解1．如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，其中OE=2OB，則△ABC與△DEF的周長之比是（