第21課兩個(gè)三角形相似的判定（教師版）-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（浙教版）

第21課兩個(gè)三角形相似的判定目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握三角形相似判定的預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.3.會(huì)運(yùn)用上述定理判定兩個(gè)三角形相似.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01相似三角形的判定1.三角形相似判定的預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2.三角形相似的判定定理:（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，并能運(yùn)用這個(gè)定理證明兩個(gè)三角形相似.（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.能力拓展考點(diǎn)01相似三角形的判定能力拓展【典例1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交邊AC于點(diǎn)E，DE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AD2＝DE?DF．求證：△BFD∽△CAD．【思路點(diǎn)撥】由AD2＝DE?DF得出，再由∠ADF＝∠EDA得出△ADF∽△EDA，得出∠F＝∠DAE，由∠ADB＝∠CDE得出∠BDF＝∠ADC，即可證明△BFD∽△CAD【解析】證明：∵AD2＝DE?DF，∴，∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADB+∠ADE＝∠CDE+∠ADE，∴∠BDF＝∠ADC，∴△BFD∽△CAD．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P在∠BAC平分線(xiàn)AD上，過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段EF分別交BD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知∠CEF＝2∠BAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝3DE＝3，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求CF的值．【思路點(diǎn)撥】（1）先利用角平分線(xiàn)的定義得到∠BAC＝∠CEF，再根據(jù)相似三角形的判定可證得結(jié)論；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝4，再由已知求得CE＝5，BC＝8，AC＝2CF，再利用相似三角形的性質(zhì)得求解即可．【解析】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠CEF＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠CEF，又∠ACB＝∠ECF，∴△ABC∽△EFC；（2）解：∵BE＝3DE＝3，∴DE＝1，BD＝4，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝4，∴CE＝5，BC＝8，∵F是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2CF，∵△ABC∽△EFC，∴，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，若DE＝5，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是（）A．10 B．15 C．16 D．18【思路點(diǎn)撥】由BD＝2AD，得＝；由DE∥BC，根據(jù)“平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”證明△ADE∽△ABC，則＝＝，即可求得BC＝3DE＝15，于是得到問(wèn)題的答案．【解析】解：∵BD＝2AD，∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝3DE＝3×5＝15，∴線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是15，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，求得＝并且證明△ADE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，連接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．2【思路點(diǎn)撥】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABC∽△ADB，則＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，∴AB2＝AD?AC，∵AD＝2，AC＝6，∴AB2＝2×6＝12，∴AB＝2，∴AB的長(zhǎng)為2，故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明△ABC∽△ADB是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，則CD＝（）A．2 B．4 C． D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)射影定理得到CD2＝AD?BD＝4，然后利用算術(shù)平方根的定義求解．【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴CD2＝AD?BD＝1×4＝4，∴CD＝2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．要善于合理使用射影定理進(jìn)行幾何計(jì)算．4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E為DC的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)（）A． B．4 C． D．【思路點(diǎn)撥】利用矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解答即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5．∵E為DC的中點(diǎn)，∴DE＝CD，∴DE＝AB，∴．∴BF＝BD＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，銳角△ABC的邊AB、AC上的高線(xiàn)BD、CE交于點(diǎn)O，連接ED，則圖中相似的三角形有（）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)【思路點(diǎn)撥】由∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACE，可證△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對(duì)相似三角形，由相似三角形的判定方法可證△ADE∽△ABC，△BOC∽△EOD，可得結(jié)論．【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對(duì)相似三角形，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵，∠DOE＝∠BOC，∴△BOC∽△EOD，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6.直線(xiàn)DE與△ABC的邊AB相交于點(diǎn)D，與AC邊相交于點(diǎn)E，下列各條件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④＝；⑤AD?AC＝AE?AB．能夠判斷△ADE∽△ABC的是①②④⑤．【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的判定方法依次進(jìn)行判斷可求解．【解析】解：①∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故此選項(xiàng)正確；②DE∥BC，可以根據(jù)相似三角形的判定方法中的平行線(xiàn)法：平行于三角形的一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，判斷出△ADE∽△ABC，故此選項(xiàng)正確；③，缺少夾角相等，故不能判定△ADE∽△ABC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故此選項(xiàng)正確；⑤AD?AC＝AE?AB，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故此選項(xiàng)正確；故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7.在如圖所示的格點(diǎn)圖中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH．其中與⑤相似的三角形是①③（只填序）．【思路點(diǎn)撥】由∠AHG＝135°，而∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，可判斷△ACD與△AGH不相似，△AEF與△AGH不相似，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AB＝1，GH＝ED＝2，由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，可知＝＝，＝＝，而∠ABC＝∠EDA＝∠AHG＝135°，可證明△ABC∽△AHG，△ADE∽△GHA，于是得到問(wèn)題的答案．【解析】解：∵∠AHG＝45°+90°＝135°，∴與△AGH相似的三角形一定有一個(gè)鈍角為135°，∵∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，∴△ACD與△AGH不相似，△AEF與△AGH不相似，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AB＝1，GH＝ED＝2，由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，∴＝＝，∵∠ABC＝∠AHG＝135°，∴△ABC∽△AHG，∴＝＝，∠EDA＝∠AHG＝135°，∴△ADE∽△GHA，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定等知識(shí)，正確地找到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且通過(guò)計(jì)算證明相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AC＝3，AB＝4，求AD的長(zhǎng)．?【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB；（2）解：∵△ADC∽△ACB∴，即，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若AC＝3，AE＝8，求AD．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可證明．（2）利用勾股定理求出BE，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解析】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，∴＝＝，∠BAC＝60°，∠BAE＝90°，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝3，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝6，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°，AB＝6，AE＝8，∴BE＝＝10，∵△ACD∽△BCE，∴＝＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直徑AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ACE∽△ABC；（2）求弦CD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂徑定理可知∠AEC＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知AC2＝AE?AB，從而可求出AE＝，再由勾股定理以及垂徑定理即可求出CD的長(zhǎng)度．【解析】解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直徑，∴CD⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC．（2）由（1）可知：，∴AC2＝AE?AB，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理可知：AB＝5，∴AE＝，∴由勾股定理可知：CE＝，∴由垂徑定理可知：CD＝2CE＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，本題屬于中等題型．題組B能力提升練11.如圖，四邊形ABCD的兩條不等長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若OA：OC＝OB：OD＝1：2，則（）A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似【思路點(diǎn)撥】利用已知條件得到即＝，加上對(duì)頂角相等，則可判斷△AOB∽△COD；再利用比例性質(zhì)得到＝，而∠AOD＝∠BOC，相等的角的兩邊不成比例，所以不能判斷△AOD與△BOC相似．【解析】解：∵OA：OC＝OB：OD＝1：2，即＝，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵＝，∴＝，∵∠AOD＝∠BOC，∴不能判斷△AOD與△BOC相似．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．12.如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，連接DE，若BC＝2，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直及各角之間的關(guān)系可得△ACE與△ABD是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的判定和性質(zhì)可得△ADE∽△ABC，，代入求解即可得到答案．【解析】解：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ACE與△ABD是等腰直角三角形，∴，，∴，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵BC＝2，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】設(shè)AP＝x，則有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，分兩種情況考慮：三角形PDA與三角形CPB相似；三角形PDA與三角形PCB相似，分別求出x的值，即可確定出P的個(gè)數(shù)．【解析】解：設(shè)AP＝x，則有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，當(dāng)△PDA∽△CPB時(shí)，＝，即＝，解得：x＝1或x＝6，當(dāng)△PDA∽△PCB時(shí)，＝，即＝，解得：x＝，則這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．14.如圖，AB是半圓O的直徑，按以下步驟作圖：（1）分別以A，B為圓心，大于AO長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接OP與半圓交于點(diǎn)C；（2）分別以A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q，連接OQ與半圓交于點(diǎn)D；（3）連接AD，BD，BC，BD與OC交于點(diǎn)E．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD?CE；所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④【思路點(diǎn)撥】由作圖可知，OP垂直平分線(xiàn)段AB，OQ平分∠AOC，利用平行線(xiàn)的判定，相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【解析】解：由作圖可知，OP垂直平分線(xiàn)段AB，OQ平分∠AOC，故①正確，∴OP⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC＝45°，∴OD∥BC，故②正確，∴＝＜1，∴OE＜EC，故③錯(cuò)誤，連接CD．∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，∴△DCE∽△OCD，∴＝，∴CD2＝OD?CE，∵∠AOD＝∠DOC，∴＝，∴AD＝CD，∴AD2＝OD?CE，故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線(xiàn)的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．15.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（）?①＝；②AE2＝AD?AF；③△ADF≌△ABE；④圖中有3對(duì)相似三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】由題中條件可得△CEF∽△BAE，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，進(jìn)而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出題中結(jié)論．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵AE⊥EF，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△CEF∽△BAE，∴＝，∵E是BC的中點(diǎn)，∴＝，∴＝，故①正確；由△CEF∽△BAE可得＝，∴∠EAF＝∠BAE的正切值相同，∴∠EAF＝∠BAE，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△AEF，∴＝，∴AE2＝AB?AF，∵AD＝AB，∴AE2＝AD?AF，故②正確；∵＝2，＝，∴，∴△ADF與△ABE不全等，故③錯(cuò)誤；由以上證得△CEF∽△BAE，△ABE∽△AEF，∴△CEF∽△AEF，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，其中又涉及正方形的一些性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x＞0）s，當(dāng)△APQ與△CQB相似時(shí)，x的值為或．【思路點(diǎn)撥】以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似，分兩種情況考慮：①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)；②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，由相似得比例求出x的值即可．【解析】解：①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有，即：，解得：x＝；②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有，即：，解得：x＝或x＝﹣5（舍），∴x＝或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的解法，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD＝8，AB＝6，E為AB的中點(diǎn)，AC分別與DE，DB相交于點(diǎn)M，N，則MN的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】由勾股定理求出AC長(zhǎng)，則AN＝＝5，證明△AEM∽△CDM，可求出AM長(zhǎng)，則MN的長(zhǎng)可求出．【解析】解：∵矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD＝8，AB＝6，∴AC＝BD＝＝＝10，∴AN＝＝5，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∴△AEM∽△CDM，∴，∴，∴，∴MN＝AN﹣AM＝5﹣．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，求出AN與AM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R在DE上，且DR：RE＝5：4，BR分別與AC、CD相交于點(diǎn)P、Q，則BP：PQ：QR＝7：2：5．【思路點(diǎn)撥】用平行四邊形的性質(zhì)得到平行，可得到PB＝PR，，且DR：RE＝5：4，代入可得到QR和PQ之間的關(guān)系，結(jié)合BP＝PR＝PQ+QR＝PQ，可得到答案．【解析】解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，∴PB＝PR，，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ，∴，∵DR：RE＝5：4，∴RE＝DR，∴＝，∴QR＝PQ，又∵BP＝PR＝PQ+QR＝PQ，∴BP：PQ：QR＝7：2：5，故答案為：7：2：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，由條件得到QR＝PQ，BP＝PQ，是解題的關(guān)鍵．19.如圖，四邊形ABCD、四邊形DCFE、四邊形EFGH都是正方形，且點(diǎn)B、C、F、G在同一直線(xiàn)上，則∠1+∠2＝45°．【思路點(diǎn)撥】首先求出線(xiàn)段AC、AF、AG的長(zhǎng)度（用λ表示），求出兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比，進(jìn)而證明△ACF∽△GCA，問(wèn)題即可解決．【解析】證明：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為λ，由勾股定理得：AC2＝λ2+λ2＝2λ2，∴AC＝λ；同理可證：AF＝λ，AG＝λ；∵＝＝，即＝＝，∴△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAG；∵∠ACB＝∠CAF+∠2＝45°，∴∠1+∠2＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)睛】該題主要考查了相似三角形的判定及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．20.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在圓上，且，BE＝2，CD＝8，CF交AB于點(diǎn)G，則弦CF的長(zhǎng)為，AG的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】連接DF，OC，先求出OC＝5，連接DO并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H，證明△DHF∽△CEO，可得＝，可求出FH和DH的長(zhǎng)，求出CF和OH長(zhǎng)，證明△GHO∽△CEO，可得，可求出OG長(zhǎng)，則AG的長(zhǎng)可求出．【解析】解：連接BC，DF，OC，連接DO并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H，∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝8，∴CE＝＝4，設(shè)OC＝x，則OE＝x﹣2，∵OE2+CE2＝OC2，∴（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，∴OC＝5，∴OE＝5﹣2＝3，∵，∴DF＝CD，∠CFD＝∠COB，DH⊥CF，∴∠FHD＝∠OEC＝90°，∴△DHF∽△CEO，∴＝，∴，∴FH＝，DH＝，∴CF＝2FH＝，OH＝DH﹣OD＝，∵∠CFD＝∠COB＝∠BOD，∠BOD＝∠GOH，∴∠GOH＝∠DFH，∵∠GHO＝∠OEC＝90°，∴△GHO∽△CEO，∴，∴，∴OG＝，∴AG＝OA﹣OG＝5﹣＝．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．21.如圖，AB為半圓O的直徑，CD＝，AD，BC交于點(diǎn)E，且E為CB的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AC的中點(diǎn)，連接EF，則EF＝2．【思路點(diǎn)撥】連接OE、OF、AC、BF，利用△CED∽△AEB，得，可知AE＝2CE，設(shè)CE＝x，則AE＝2x，AC＝x，利用勾股定理列方程可得OE的長(zhǎng)度，再證明OF∥BC，證明∠EOF＝90°，從而解決問(wèn)題．【解析】解：連接OE、OF、AC、BF，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CDE＝∠ABE，∵∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴，∴CE＝AE，設(shè)CE＝x，則AE＝2x，AC＝x，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2x，∴AB＝x＝4，∴x＝4，∴AC＝4，∴OE＝AC＝2，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠OBF，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠OFB＝∠CBF，∴OF∥BC，∴∠FOE＝∠CEO＝90°，在Rt△OFE中，由勾股定理得，EF＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)．（1）當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，①求證：△ABC～△ACD；②若AD＝1，BD＝3，求AC的長(zhǎng)；（2）已知，若CD＝2，求BC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）①由∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABC∽△ACD；②由AD＝1，BD＝3，得AB＝4，由相似三角形的性質(zhì)得＝，則AC＝＝2；（2）由AB＝AC＝2AD，CD＝2，得＝＝，而∠A＝∠A，即可根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABC∽△ACD，于是得＝＝，則BC＝CD＝2．【解析】解：（1）①證明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD．②∵AD＝1，BD＝3，∴AB＝AD+BD＝1+3＝4，∵△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC＝＝＝2，∴AC的長(zhǎng)是2．（2）∵AB＝AC＝2AD，CD＝2，∴＝＝，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴＝＝，∴BC＝CD＝×2＝2，∴BC的長(zhǎng)是2．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，適當(dāng)選擇相似三角形的判定定理證明△ABC∽△ACD是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，點(diǎn)D，E分別在近BC，AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）當(dāng)DE∥AB時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷．（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列出比例式，求解即可．【解析】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CDE＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得：BD＝12.5，∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得：AE＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確記憶三角形相似的條件和性質(zhì)．△BC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓交AC，BC于點(diǎn)D，E．連結(jié)AE，BD，AE與BD相交于點(diǎn)F，BF＝5，CE＝2．（1）求證：①CE＝BE；②△BEF∽△BDC．（2）求DF的長(zhǎng)．（3）求AB的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②利用相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（3）通過(guò)證明△BEF∽△AEB，可得，即可求解．【解析】（1）證明：①∵AB是直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝2；②∵∠BEF＝∠BDC＝90°，∠EBF＝∠CBD，∴△BEF∽△BDC；（2）解：∵△BEF∽△BDC，∴，∴＝，∴BD＝8，∴DF＝8﹣BF＝3；（3）解：∵BF＝5，CE＝2＝BE，∴EF＝＝＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠CAE＝∠DBC，∴∠DBC＝∠BAE，又∵∠AEB＝∠FEB，∴△BEF∽△AEB，∴，∴，∴AB＝10．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練25.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，下面四個(gè)結(jié)論：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四邊形CDEF＝，正確的結(jié)論有①②③④．（填序號(hào)）【思路點(diǎn)撥】依據(jù)△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；過(guò)D作DM∥BE交AC于N，依據(jù)DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依據(jù)∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；設(shè)△AEF的面積為s，則△ABF的面積為2s，△CEF的面積為2s，△CDE的面積為3s，四邊形CDEF的面積為5s，進(jìn)而得出S四邊形CDEF＝．【解析】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴，∴CF＝2AF，故①正確；如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故②正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故③正確；如圖，連接CE，由△AEF∽△CBF，可得，設(shè)△AEF的面積為s，則△ABF的面積為2s，△CEF的面積為2s，∴△ACE的面積為3s，∵E是AD的中點(diǎn)，∴△CDE的面積為3s，∴四邊形CDEF的面積為5s，∴S四邊形CDEF＝S△ABF，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．26.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊分別向外作正方形，即可證明勾股定理．連接CG交AB于點(diǎn)M，連接CE，CH，若CH＝2CE，則的值為．【思路點(diǎn)撥】過(guò)C作CN⊥AB于N，判定△ACE∽△BCH，即可得到＝＝；設(shè)AC＝a，再根據(jù)勾股定理以及面積法即可得到AB與CN的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AN的長(zhǎng)；再根據(jù)△CNM∽△GBM，即可得到MN和BM的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的值．【解析】解：如圖所示，過(guò)C作CN⊥AB于N，由題可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°，∴△ACE∽△BCH，∴＝＝，設(shè)AC＝a，則BC＝2a，AB＝a，CN＝＝a，Rt△ACN中，AN＝＝a，∴BN＝a﹣a＝a，∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB，∴△CNM∽△GBM，∴＝＝＝，∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a，∴AM＝AN+MN＝a，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算．27.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D是邊BC上（不與B，C重合）一動(dòng)點(diǎn)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E．下列結(jié)論：①AD2＝AE?AB；②≤AE＜10；③當(dāng)AD＝2時(shí)，△ABD≌△DCE；④△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或12.5．其中正確的結(jié)論是①④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得；③由AD＝2時(shí)，求得DC＝10，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等則兩三角形全等，即可證得；④分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得．【解析】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，∴，∴AD2＝AE?AB，故①正確，②∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△CDE∽△BAD，∵BC＝16，設(shè)BD＝y(tǒng)，CE＝x，∴，∴，整理得：y2﹣16y+64＝64﹣10x，即（y﹣8）2＝64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE＝AC﹣CE＝10﹣x，∴≤AE＜10．故②不正確．③作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∵BC＝16，∴CG＝BC＝8，∴AG＝6，（1）當(dāng)點(diǎn)D在G點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖1所示，∵AD＝2，∴DG＝2，∴CD＝CG+DG＝8+2＝10，∴AB＝CD，∴△ABD與△DCE全等；（2）當(dāng)點(diǎn)D在G點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖2所示，∵AD＝2，∴DG＝2，∴CD＝CG﹣DG＝8﹣2＝6，∴AB≠CD，∴△ABD與△DCE不全等；故③錯(cuò)誤；④當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8．當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝α且cosα＝．AB＝10，∴cosB＝，∴BD＝12.5．故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義以及不等式的性質(zhì)．注意掌握分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．28.綜合實(shí)踐課上，小慧用兩張如圖①所示的直角三角形紙片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜邊重合拼成四邊形，接著在CB，CD上取點(diǎn)E，F(xiàn)，連AE，BF，使AE⊥BF．（1）若拼成的四邊形如圖②所示，則的值為；（2）若拼成的四邊形如圖③所示，則的值為．【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)證明△BFC∽△AEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求解；（2）連接AC，BD交于點(diǎn)G，利用勾股定理及面積法求得BD和AG的長(zhǎng)，然后通過(guò)證明△BDF∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求解．【解析】解：（1）如圖，由題意可得：CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，且∠DAB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠FBC+∠ABF＝90°，又∵AE⊥BF，∴∠EAB+∠ABF＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，∴△BFC∽△AEB，∴＝，故答案為：；（2）連接AC，BD交于點(diǎn)G，設(shè)BD與AE交于點(diǎn)O，由題意，AB＝BC＝3，AD＝CD＝2，∴BD垂直平分AC，在Rt△ABD中，BD＝＝，∴AB?AD＝BD?AG，∴×3×2＝×AG，解得：AG＝，∴AC＝2AG＝，∵AE⊥BF，BD⊥AC∴∠DBF+∠EOB＝90°，∠CAE+∠DOA＝90°，∠CDB+∠DCA＝90°，又∵∠EOB＝∠DOA，∴∠DBF＝∠CAE，∵∠DCB＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°，∴∠ACE＝∠CDB，∴△BDF∽△ACE，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解矩形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．29.如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P沿直線(xiàn)剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是6≤AP＜8．【思路點(diǎn)撥】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到AP的長(zhǎng)的取值范圍．【解析】解：如圖所示，過(guò)P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此時(shí)0＜AP＜8；如圖所示，過(guò)P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，此時(shí)0＜AP≤8；如圖所示，過(guò)P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，此時(shí)，△CPG∽△CBA，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此時(shí)，6≤AP＜8；綜上所述，要有4種不同的剪法，使得過(guò)點(diǎn)P沿直線(xiàn)剪下一個(gè)與△ABC相似，則AP長(zhǎng)的取值范圍是6≤AP＜8．故答案為：6≤AP＜8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．30.已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，∠DEF＝∠ABC．將∠DEF與∠ABC重合在一起，讓∠DEF在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足：DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．EF與AC交于點(diǎn)G．解決下列問(wèn)題：（1）求證：△ABE∽△ECG；（2）當(dāng)∠DEF運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△AEG為等腰三角形；（3）當(dāng)線(xiàn)段AG最短時(shí)，求△AEG的面積.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEG＝∠