重慶市重點(diǎn)學(xué)校2024屆高三第四次12月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

重慶重點(diǎn)學(xué)校2024屆高三第四次12月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.（）A. B. C. D.2.設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.32 B.31 C.16 D.153.已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.已知，，，則向量與的夾角等于（）A. B. C. D.5.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足：，則下列關(guān)系不可能成立的是（）A. B. C. D.6.如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為，，…，.設(shè)，若且，則稱，為原位大三和弦.現(xiàn)隨機(jī)按下兩個(gè)白鍵和一個(gè)黑鍵，則恰好按下的是一個(gè)原位大三和弦的概率為（）A. B. C. D.7.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過O、N兩點(diǎn)的圓C與直線相切，圓C與拋物線E的另一個(gè)交點(diǎn)為P，若，則（）A.2或 B.2或4 C.或 D.2或8.將一張如圖所示的兩直角邊長度分別為8和15的直角三角形硬紙片，沿虛線剪成四塊，這四塊紙片恰好可以通過折疊，拼接形成一個(gè)密封的直三棱柱模型，則所得直三棱柱模型的體積為（）A.30 B.24 C.20 D.18二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5-分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分；9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是奇函數(shù)10.在正方體中，為棱上任意一點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列說法正確的有（）A.直線與直線一定異面 B.直線與直線一定垂直C.直線可能與平面平行 D.直線可能與平面垂直11.已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，，，，設(shè)集合，，，若將集合中的元素從小到大排列，形成一個(gè)新數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.數(shù)列的前20項(xiàng)和為61012.如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)、分別在雙曲線的左、右兩支上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的離心率B.若且，則的漸近線方程為C.若，則D.若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為__________.14.已知，則__________.15.已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，則弦長的最大值為__________.16.已知函數(shù)，曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為，一條對(duì)稱軸為，則的最小值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，（1）求的面積；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，求的值.18.（本小題滿分12分）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯(lián)表：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51015男生52025合計(jì)103040（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素會(huì)影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性？（2）如果將表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，得到與（1）中不一樣的結(jié)論.（i）求的最小值；（ii）如果抽樣方式不變，你認(rèn)為（1）和（2）的結(jié)論哪個(gè)更可靠，并說明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，面，為棱的中點(diǎn)，經(jīng)過、、三點(diǎn)的平面交棱于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角大小為，求平面與平面所成角的余弦值.20.（本小題滿分20分）已知數(shù)列滿足，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切，求實(shí)數(shù)的值.（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）22.（本小題滿分12分）橢圓的左右焦點(diǎn)為和，為橢圓的中心，過作直線、，分別交橢圓于、和、，且的最大值為，的最小值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，記的面積為，的面積為，若直線、的斜率為、且，求證：為定值，并求出這個(gè)定值.重慶市高2024屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分細(xì)則123456789101112CDCBDAABADBCDACDACD一、單項(xiàng)選擇題：1.C【解析】.2.D【解析】A集合，又，的真子集個(gè)數(shù)為：.3.C【解析】A選項(xiàng)沒說；B選項(xiàng)平面內(nèi)存在與直線不平行的直線；D選項(xiàng)要滿足直線垂直于兩平面的交線.4.B【解析】，，.5.D【解析】令，畫出，，，圖象可知：當(dāng)在①位置時(shí)，當(dāng)在②位置時(shí)，當(dāng)在③位置時(shí)，.6.A【解析】隨機(jī)按下兩個(gè)白鍵和一個(gè)黑鍵的方法數(shù)為：，原位大三和弦的組合有，，，，，其中滿足兩個(gè)白鍵和一個(gè)黑鍵的只有，兩種情況，故恰好按下的是一個(gè)原位大三和弦的概率為.7.A【解析】設(shè)圓心，半徑為，已知，，在中，由正弦定理得，，.又圓與直線相切，當(dāng)時(shí)，則圓心到直線距離，得；當(dāng)時(shí)，則圓心到直線距離.即，或（舍），綜上或.8.B【解下】易知兩塊全等的小三角形作為直三棱柱的底面，剩下兩部分拼接成直三棱柱的側(cè)面.、分別為、中點(diǎn)，，即直三棱柱的高為4，又底面三角形周長恰好為長度，，故，恰好滿足題意，直三棱柱體積為.二、多項(xiàng)選擇題9.AD【解析】對(duì)于A：令，，為偶函數(shù)，A，正確.對(duì)于B：向左移1個(gè)單位得到圖像，故對(duì)稱中心為，B錯(cuò)誤.令，，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)D對(duì).10.BCD【解析】對(duì)于A：當(dāng)P與重合時(shí)，，A錯(cuò)對(duì)于B：垂直于所在平面，故，B正確對(duì)于C：當(dāng)P與重合時(shí)，，面，，C正確對(duì)于D：當(dāng)與重合時(shí)，面，D正確11.ACD【解析】對(duì)于A：由，，解得，，所以，，所以A對(duì)；對(duì)于B、C：令，所以當(dāng)，時(shí)，，且相鄰公共項(xiàng)之間依次有，，，所以當(dāng)時(shí)，所以B錯(cuò)，C對(duì)；對(duì)于D：由B可知，記前項(xiàng)和為，則約前20項(xiàng)和為，1，2，3，4時(shí)，用以D對(duì).12.ACD【解析】對(duì)于A：，兩漸近線夾角小于，，，A正確；對(duì)于B：時(shí)為等腰直角三角形，，又點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程得，，漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)于C：在雙曲線上取B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，，，.，，又，.又，為中點(diǎn)，，必有，，三點(diǎn)共線為角平分線，，C正確；對(duì)于D：作上取一點(diǎn)使得，，，，，又，，，，D正確.三、填空題13.或【解析】?jī)芍本€平行，即，得或14.【解析】令，則，.15.【解析】已知圓的半徑，設(shè)圓心到直線距離（時(shí)取等），又，當(dāng)取最小時(shí)取得最大值，故時(shí)，.16.9【解析】為的一個(gè)對(duì)稱中心，為的一條對(duì)稱軸，，得，，代入①得，當(dāng)，時(shí)，.四、解答題17.（1）法一：由余弦定理得，整理得.因，解得，所以法二：由正弦定理得，因，故，所以為銳角，，故，所以（2）因，故，所以，，法一：法二：.18.解：（1）：學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此認(rèn)為成立，即學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.（2）（i）當(dāng)表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的倍時(shí)，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若推斷不成立，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別有關(guān)系.則有：，解得，又，故的最小值為8.（ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結(jié)論更可靠.這是因?yàn)閷?duì)于隨機(jī)樣本而言，頻率具有隨機(jī)性，我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，樣本容量越小，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)越大，因此在抽樣方式不變的前提下，樣本容量大的結(jié)果更可靠.19.解：（1），平面，平面，平面，又，平面，，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，又，且，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.（2）連接，因且，，所以且，又平而，平而，故，又，所以平面，故為直線與平面所成角，從而，且.如圖，以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，所以平面與平面所成角的余弦值為.20.解：（1）當(dāng)時(shí)，又，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列.（2）由（1）得，故，，所以故，即存在常數(shù)滿足題意.21.解：（1），，，，故切線方程為，即.設(shè)切線與曲線切于點(diǎn)，則，解得，.（2）法一：因?yàn)椋瑪秤?，，令，，故在并單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.所以，故任單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以的取值范圍為.法二：取，由，得.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立.記，因，戰(zhàn)在