【高中數(shù)學(xué)】等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1等差數(shù)列的概念

(第一課時(shí))1.在過去的三百多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）,……你能預(yù)測(cè)出下一次的大致時(shí)間嗎？2062主持人問:最近的時(shí)間什么時(shí)候可以看到哈雷慧星？天文學(xué)家陳丹說:2062年左右。相差76新課導(dǎo)入2.通常情況下，從地面到10公里的高空，氣溫隨高度的變化而變化符合一定的規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)下表估計(jì)一下珠穆朗瑪峰峰頂?shù)臏囟取?844.43米高度(km)溫度(℃)1232821.515458.52……9-24(2)28,21.5,15,8.5,2,…,-24.減少6.5(1)1682，1758，1834，1910，1986，（2062）,……(2)32,25.5,19,12.5,6,…,（-20）(3)9，18，27，36，45，54，63，72，81思考：我們常通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)數(shù)列(1)—(3)

的取值規(guī)律嗎？對(duì)于(3)，我們發(fā)現(xiàn)

18=9+9，27=18+9....81=72+9，換一種寫法，就是

18-9=9，27-18=9....81-72=9.如果用{an}表示數(shù)列(3)，

那么有a2-a1=9，a3-a2

=9，...a9-a8=9.這表明，數(shù)列(3)有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。數(shù)列(1),(2)也有這樣的取值規(guī)律。新知探究如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列?！咀⒁狻竣倥袛嘁粋€(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷

②公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差，千萬別把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒了?。、酃羁梢允钦龜?shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.1.

等差數(shù)列的定義這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。符號(hào)表示：練習(xí)1

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，求出首項(xiàng)和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）95，82，69，56，43，30（4）1，1.1，1.11，1.111，1.1111（5）1，－2，3，－4，5，－6（6）a1=3，公差d=0常數(shù)列×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：（1）2，()，4（2）-12，()，03-6

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。(3)a

,(),b

不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).2.

等差中項(xiàng)你會(huì)求它們的通項(xiàng)公式嗎？(1)1682，1758，1834，1910，1986，2062,……(2)32,25.5,19,12.5,6,…,-20

a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d

…an=an-1+d=a1+（n-1）d（n≥2）又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立∴an=a1+（n-1）d方法1：由等差數(shù)列的定義可得不完全歸納法an+1-an=d探究你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d（n≥2）累加以上n-1個(gè)式子得an-a1=（n-1）d方法2：∵由等差數(shù)列的定義可得累加法又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴an=a1+（n-1）dan+1-an=d∴

an=a1+（n-1）d

首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a1

、an、n、d知三求一3.

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)2

求下列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。1682，1758，1834，1910，1986，2062,……(2)32,25.5,19,12.5,6,…,-20(3)9，18，27，36，45，54，63，72，81

（1）an=1682+(n－1)×76=76n+1606

（2）an=32+(n－1)×(－6.5)=－6.5n+38.5

（3）

an=9+（n－1）×9=9n ①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n，an)組成的集合，

這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.（k＋b）k

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)），則f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為________，公差為____.我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？4.

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)③d＞0,等差數(shù)列單調(diào)增；d＜0,等差數(shù)列單調(diào)減；d＝0,等差數(shù)列為常函數(shù).例1（1）已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5－2n，求{an}公差和首項(xiàng)；（2）求等差數(shù)列8，5，2....的第20項(xiàng)解:典例分析例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，再看－401是否能使這個(gè)方程有正整數(shù)解.解：由a1=－5，d=－9－（－5）=－4，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=－5－4（n－1）=－4n－1.令－4n－1=－401，解得n=100.所以，－401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng)。典例分析練習(xí)3

在下列等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10。解：a10=a1+9d=2+9×3=29.（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n。解：∵21=3+（n-1）×2，∴n=10.（3）已知a1=12，a6=27，求d。解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d，

∴d=3.（4）已知d=-2，a7=8，求a1。解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-2)，∴a1=20.（5）已知a6=13，a12=31，求a18.解：由題意可知解得：

(5)已知a6=13,a12=31,求a18.歸納：在等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中a1、d、an、n，知三求一.探究am=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)d我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1

+(n-1)d，那么⑵an-am

=?⑴am=?由an

=am+(n-m)d變形可得這個(gè)式子有什么用？再探（5）已知a6=2，a12=2，求a18.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)可求公差例3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q

其中p，q是常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列？它是一個(gè)與n無關(guān)的數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列。追問1：這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)與公差是多少？追問2：如果p=0情況又是怎樣的呢？解:當(dāng)n≥2時(shí)，【歸納總結(jié)】如何判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？典例分析練習(xí)4:

知識(shí)層面an=a1+(n-1)d直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)1.定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)公差：d=an-an-1(n≥2，n∈N*)2.通項(xiàng)公式:推導(dǎo)公式:

an=am+(n－m)d

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