2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-線段問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)綜合題）

2023年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)一線段問(wèn)題（旋轉(zhuǎn)綜合題）

一、解答題

1.（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1,在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90。，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，以BF為邊作正

方形8FEQ,點(diǎn)E在AB上，若AC=BC=2,BF=五,則一=；

CF

AT

（2）類比探究：如圖2,在（1）的條件下，將正方形8FEO繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，連接AE,BE,CF,求百的值；

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，當(dāng)A,E,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段CF的長(zhǎng).

備用圖

如圖1,在RLABC中，AC=6BC=\.將.ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,連

接AE,則AE=

圖1

（2）【問(wèn)題解決】

如圖2,在RtABC中，AC=5,8C=3,NACB=90。，延長(zhǎng)CB到M,使CM=AC,將斜邊A8繞點(diǎn)8

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BE,連接CE,ME.求ME的長(zhǎng).

A

CBM

圖2

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形48。尸中，BCA.AF,垂足為C,ZABC=NBDF,AC=CF=\,々=k,DF=4,請(qǐng)

用含k的式子表示A。的長(zhǎng).

ACF

圖3

3.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師向大家展示了一個(gè)圖形變換的問(wèn)題.如圖1.將正方形紙片ABC。折疊，使

邊AB,AO都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕4E,AF,連接EF.試判斷尸的形狀.

獨(dú)立思考：

(1)請(qǐng)解答問(wèn)題情境提出的問(wèn)題，并寫(xiě)出證明過(guò)程.

實(shí)踐探究：

(2)如圖2.將圖1中的—E4尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC,CD于點(diǎn)P,Q,連接PQ.請(qǐng)猜想線

段8P,PQ,。。之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問(wèn)題解決：

(3)如圖3.連接正方形對(duì)角線B。，若圖2中的NPAQ的邊AP,AQ分別交對(duì)角線8。于點(diǎn)M,N,將圖3

中的正方形紙片沿對(duì)角線8。剪開(kāi)，如圖4所示.若BM=7,DN=24,求MN的長(zhǎng).

4.如圖1,是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，邊在射線0M上，且。4=9cm.點(diǎn)。從。點(diǎn)出發(fā)，沿

0M方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合時(shí)，將線段8繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到CE.連接BE,DE.

圖1

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段B。、BE、8c之間的數(shù)量關(guān)系是,直線AO和直線BE

所夾銳角的度數(shù)是

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到線段A8(不與A點(diǎn)重合)上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論并說(shuō)明理由:

(3)如圖3,將ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6,其它條件不變，以CQ為斜邊在其右側(cè)作等腰

直角三角形CDE,連接BE,請(qǐng)問(wèn)BE是否存在最小值，若存在，直接寫(xiě)出答案；若不存在，說(shuō)明理由.

5.如圖1,已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線段A8上，點(diǎn)。在直線8c上，且ED=EC,將△BCE繞點(diǎn)

C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至△ACF,連接EF.

(1)證明：AB=DB+AF.

(2)如圖2,如果點(diǎn)E在線段48的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力,

拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣.

折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊48、AO都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AA7、AN,連接MN,

如圖1.

Si圖2圖3圖4

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使它的兩邊分別交邊BC、CO于點(diǎn)E、F,連接EF,如圖2.

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線8。剪開(kāi)，如圖4.

⑴/MAN。，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：(不需要添加字母)；

(2)線段BE、EF、￡>F之間的數(shù)量關(guān)系為;

(3)連接正方形對(duì)角線8。，若圖2中的NE4F的邊AE、川分別交對(duì)角線8。于點(diǎn)G、點(diǎn)”.如圖3,求C三F

oG

的值；

(4)求證：GH2=BG2+DH2.

7.如圖1,在RtZVIBC中，？890?,AB=4,BC=2,點(diǎn)、D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接。E.將

CC應(yīng)繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

ArAr

①當(dāng)a=0。時(shí)，—=______；②當(dāng)a=180。時(shí)，—=______.

BDBD

(2)拓展探究

Ap

試判斷：當(dāng)0?！碼<360。時(shí)，黑的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問(wèn)題解決

a電繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段8。的長(zhǎng).

8.如圖1,在RtZVlBC中，?B90?,AB=BC,A。是BC邊上的中線，點(diǎn)。是A。上一點(diǎn)，DEA.EO,

E是垂足，￡>￡”可繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，連接A。和CE

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)急=1時(shí)，則下列結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

①=C9；②點(diǎn)尸是0C的中點(diǎn)：③40是的角平分線；④石CF.

(2)數(shù)學(xué)思考：將圖2中*DEO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，如圖3,則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

An

(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，若器=%，將繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).

①則AQ=CF；

②若Afi=4,x=l,在")EO旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4,當(dāng)點(diǎn)。落在A8上時(shí)，連結(jié)BE,EC,求四邊形ABEC

的面積.

9.如圖1,在^ABC中，AB=BC,點(diǎn)D、E分別在邊BC,AC上，連接QE,且￡>E=￡>C.

(2)拓展探究：若/ACB=NECZ)=30。，將△EZJC饒點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0Ya<180。)，圖2是旋

轉(zhuǎn)過(guò)程中的某一位置，在此過(guò)程中A黑F的大小有無(wú)變化？如果不變，請(qǐng)求出A黑F的值，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理

BDBD

由；

(3)問(wèn)題解決：若/ABC=NEQC=p(0°<p<90°),將△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，則二的值

為—.(用含B的式子表示)

10.在正方形A8CO中，點(diǎn)E在射線BC上(不與點(diǎn)8、C重合)，連接。3,DE,將￡>E繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到EF,連接8F.

圖1

圖2

(1)如圖1,點(diǎn)E在BC邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②若AB=6,EC=2,求防的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)E在8c邊的延長(zhǎng)線上，用等式表示線段BO,BE,B尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

11.問(wèn)題探究

(1)如圖1,旗。中，ZACB=90°,AC=3,將ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'

落在AB邊上，A'B=5,連接A4，，則/VV的長(zhǎng)為；

(2)如圖2,在,ABC中，ZBAC=60°,AG為BC邊上的高，若AG=6,試判斷.A8C的面積是否存在最

小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

圖1圖2圖3

問(wèn)題解決

(3)如圖3,AfiC是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中？B90?,ZA=45。，A3邊上的點(diǎn)

E為休息區(qū)，AE=12點(diǎn)米，BE=12米，兩條觀光小路附和EF(小路寬度不計(jì)，下在BC邊上，H在AC

邊上)擬將這個(gè)展示區(qū)分成三個(gè)區(qū)域，用來(lái)展示不同的花卉，根據(jù)實(shí)際需要，NHEF=105。,并且要求四

邊形EFC”的面積盡可能大，那么是否存在滿足條件的四邊形瓦C”？若存在，請(qǐng)求出四邊形E尸C”的面

積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(結(jié)果保留根號(hào))

12.在一45c中，43=AC,ABAC=a，點(diǎn)D是直線AC右側(cè)一點(diǎn)，且ZADC=-ZBAC,連接BD.將.ACD

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到二ABE,連接DE.

EE

圖1圖2

(1)觀察猜想，如圖1,當(dāng)夕=60。時(shí)，AD.CD、BO的數(shù)量關(guān)系是；

(2)類比探究，如圖2,當(dāng)&=90。時(shí)，試判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立.若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，

請(qǐng)寫(xiě)出線段AO,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(3)拓展應(yīng)用，如圖3,在矩形ABC。中，BA=46,AD=4,EP是△43。的中位線，將繞點(diǎn)A在

平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/WDE為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)B(tài)E的長(zhǎng).

13.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

將兩個(gè)完全相同的等腰R3A8C和等腰RsCDE按圖1方式放置，NACB=NDCE=9。。,將RmCDE繞點(diǎn)、

C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AE,BD,4E與8。相交于點(diǎn)G.

猜想證明：

(1)在圖1中，請(qǐng)判斷AE與8。的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到CE//AB時(shí)，如圖2,證明：AE平分NB4C：

BE

G

圖2

解決問(wèn)題:

(3)若旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，連接BE、此時(shí)△BCE恰好是等邊三角形，AE與BC相交于點(diǎn)尸，請(qǐng)

你直接寫(xiě)出B少F的值.

14.在正方形ABCQ中，過(guò)點(diǎn)B作直線I,點(diǎn)E在直線/上，連接C￡,DE,其中CE=8C,過(guò)點(diǎn)C作

于點(diǎn)F,交直線/于點(diǎn)從

(1)當(dāng)直線/在如圖①的位置時(shí)

①請(qǐng)直接寫(xiě)出NECH與之間的數(shù)量關(guān)系

②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BH,EH,C”之間的數(shù)量關(guān)系

(2)當(dāng)直線/在如圖②的位置時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段B”，EH,C”之間的數(shù)量關(guān)系并證明;

(3)己知AB=2,在直線/旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)NEBC=15。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EH的長(zhǎng).

圖①圖②備用圖

15.如圖，四邊形A8C。是正方形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接CE,EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,

連接CP,AF,CF與對(duì)角線交于點(diǎn)G.

(2)試探究線段.，BG,0c之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明；

(3)若點(diǎn)E在直線A8上運(yùn)動(dòng)，CF與對(duì)角線8。所在直線交于點(diǎn)G,且AB=3,當(dāng)NAFC=30。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)

出3G的長(zhǎng)度.

16.新定義：如圖1(圖2,圖3),在二A8C中，把AB邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把AC邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

得到△/0C',若N84C+N8AC'=180。，我們稱△AB'C'是,4?C的“旋補(bǔ)三角形"，△AB'C'的中線4。叫

做.ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”

(1)【特例感知】

①若ABC是等邊三角形(如圖2),BC=4,貝ijAD=；

②若N8AC=90°(如圖3),BC=6,AD=；

(2)【猜想論證】

在圖1中，當(dāng)ABC是任意三角形時(shí)，猜想40與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(提示：過(guò)點(diǎn)B'作

B'EAC'且B'E=AC',連接C'E,則四邊形AB'EC是平行四邊形.)

(3)【拓展應(yīng)用】

如圖4,點(diǎn)A,B,C,。都在半徑為5的圓尸上，且AB與CQ不平行，AD=6,△”￡＞是△8PC的，，旋

補(bǔ)三角形”，點(diǎn)尸是“旋補(bǔ)中心”，求BC的長(zhǎng).

參考答案:

1.(1)忘；(2)V2;(3