2022年甘肅省合水縣高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(l,cr2),P(gw4)=().78,則2)=0.22

B.已知直線/，平面。，直線“//平面￡,貝是“/_Lm”的充分不必要條件

C.若隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布：則E(4)=l

D.am>bm是a>b的充分不必要條件

2.設(shè)全集U=R,集合A={x[(x—l)(x—3)20},8=<幻(；]>；..則集合也等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

UUUU1UUL1，?..

3.在AABC中，點(diǎn)O是線段5c上任意一點(diǎn)，2AM=A￡>，BM=AAB+^iAC,則彳+〃=()

11

A.----B.-2C.-D.2

22

4.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖，個(gè)位

數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則%+>=()

21

5.已知實(shí)數(shù)滿足a+仁5,則一+；—的最小值為（）

ab-1

43+2返?3+4行八3+272八3+4拒

A.----------B.------------C.------------D.------------

4466

6.由曲線>=*2與曲線中二》所圍成的平面圖形的面積為（）

124

A.1B.-C.一D.-

333

7.已知復(fù)數(shù)z二言,則忖=()

A.1+zB.1-zc.V2D.2

8.若不等式2xlnx…-爐+"對(duì)XG[1,+OO)恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.(-℃,0)B.C.(0,+oo)D.[1,+℃)

9.已知集合4={刈-2<%<3,犬€?/},8={》|尤2>1}4，則集合人口8=()

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2)

10.已知函數(shù)y=log“（x+c）（?,c是常數(shù)，其中a>0且的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于a,c的表述正

確的是（）

A.a>\,c>lB.a>\,0<C<1

C.0<a<l,olD.0<a<l,0<c<l

11.給出以下四個(gè)命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等;

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的5=（）

2]_

A.2B.3D.

32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,,=2田+“，且6,4，%一2成等差數(shù)列，2=，數(shù)列出｝的前

(4T)(%+iT)

2017

項(xiàng)和為刀,，則滿足Tn>――的最小正整數(shù)幾的值為—

2（）18

14.在等比數(shù)列｛%｝中，a3a4%=64,%=8,則生=

15.若四棱錐P-ABCD的側(cè)面P4B內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q,已知Q到底面ABCD的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,

且動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角P-AB-C平面角的大小為30。時(shí)，《的值為.

16.某部門(mén)全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)，按年齡分為A,B,C三組，其人數(shù)之比為5:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方

法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若。組中甲、乙二人均被抽到的概率是《，則該部門(mén)員工總?cè)藬?shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)點(diǎn)6（-c,0）,6（。,0）分別是橢圓。：三+9=1（4>1）的左、右焦點(diǎn)，為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

西?%的最小值為

（1）求橢圓。的方程;

（2）如圖，動(dòng)直線/：y="+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M,N是直線/上的兩點(diǎn)，且入N_U,

求四邊形F,MNF2面積S的最大值.

x=——t

2

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X0y中，己知直線/:《廠a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半

y=l+￡

I2

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=2cos8.

(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)"的極坐標(biāo)為直線/與曲線C的交點(diǎn)為A5,求+的值.

22

19.(12分)如圖,設(shè)點(diǎn)居(1,0)為橢圓E:[+與=l(a>0>0)的右焦點(diǎn)，圓C:(x-a)2+y2=a2,過(guò)工且斜率為

a~b~

左色>0)的直線/交圓。于A,6兩點(diǎn)，交橢圓E于點(diǎn)P,。兩點(diǎn)，已知當(dāng)女=出時(shí)，AB=2瓜

(2)當(dāng)左時(shí)，求AP。。的面積.

20.(12分)在AABC中，A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c,已知。=2,c=26,cosC=-1.

(1)求A；

(2)設(shè)M為BC中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng).

21.(12分)在三棱柱ABC-AfG中，AB=2,BC=BBt=4,ACAB,=275,且N3C￡=60°.

(1)求證：平面ABC1，平面BCG百；

(2)設(shè)二面角C-AC-B的大小為。，求sin。的值.

22.(10分)如圖，在底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱A3CO-4&G。中，P是側(cè)棱CG上的一點(diǎn)，CP=m.

（1）若m二四,求直線AP與平面所成角；

3

（2）在線段AG上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)膽，都有QQ^AP,并證明你的結(jié)論.

參考答案

-、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四

個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解?

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（1，〃），P（G4）=O.78,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性，有

P（^<-2）=P（^>4）=l-P（^<4）=l-0.78=0.22,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，已知直線^平面&，直線“〃平面夕，則當(dāng)P時(shí)一定有/,機(jī)，充分性成立，而當(dāng)機(jī)時(shí)，不

一定有a/R,故必要性不成立，所以，，a〃夕,是“3加’的充分不必要條件，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

,則E（4）=〃P=4x；=l,故C選項(xiàng)正確，不符合題意;

對(duì)于C選項(xiàng)，若隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布：4?

對(duì)于。選項(xiàng)，w，僅當(dāng)加>0時(shí)有〃>人,當(dāng)〃2<0時(shí)，a>b不成立,故充分性不成立；若a>b,僅當(dāng)/”>0

時(shí)有am>bm,當(dāng)〃?<0時(shí)，4加>Zwz不成立，故必要性不成立.

因而atn>bm是a>b的既不充分也不必要條件，故。選項(xiàng)不正確，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查

理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

先算出集合華人，再與集合8求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|xN3或XK1}.所以0,A={x|l<x<3},又因?yàn)?={x|2,<4}={x|x<2}.

所以@A)c8={x[l<x<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

3.A

【解析】

設(shè)BL)=kB(j，用無(wú)瓦恁表示出兩，求出的值即可得出答案.

【詳解】

設(shè)麗=面=攵前—《而

UULUlULU

由2AM=AD

.-.BM^-(BA+BD\^-^-AB+^AC--AB

2、;222

,1kk

I——

,1

A+JJ.=-].

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為80+x=86,故x=6；

乙的平均數(shù)為78+82+8。+），+89+91+93+97=88

7

解得y=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.

5.A

【解析】

21121

所求Z+口的分母特征'利用變形構(gòu)造a+S-D=4,再等價(jià)變形a與+^^+s-D],利用基本不

等式求最值.

【詳解】

解：因?yàn)?。?力＞1滿足a+/?=5,

則＞￡=G+￡）[“+（j）]+

++」（3+2?

4[ab-\\4

當(dāng)且僅當(dāng)2（'-1）=’一時(shí)取等號(hào),

ah-\

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的

技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的

定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

6.B

【解析】

首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.

【詳解】

玉—0%2=1

聯(lián)立方程：V=X可得：\

y'=x

結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線了=必與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為：

S=Jo(4—"2)公=-X2--%3lo=-.

本題選擇B選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查定積分的概念與計(jì)算，屬于中等題.

7.C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

Qz={

l+z

#|=包=去0，

11ll+zlV2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.

8.B

【解析】

轉(zhuǎn)化2xlnx…+ox,xe[l,+8)為“，21nx+x,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=21nx+x,xe[l,+oo),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求

函數(shù)最值，即得解.

【詳解】

由2xlnx…-x?+ax,xe[l,+oo),可知凡2\nx+x.

,2

設(shè)〃(x)=2Inx+x,xe[1,+oo),則〃'(x)=—+1>0,

x

所以函數(shù)%(X)在[1,4W)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)min=〃⑴=1?

所以④h(x)min=1.

故。的取值范圍是(Fj.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9.A

【解析】

化簡(jiǎn)集合A,8,按交集定義，即可求解.

【詳解】

集合A={x|-2<x<3,xeN}={0,1,2},

B={x[x>l嵌<一1},則4口8={2}.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<l/og.C>0,log“(1+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)

④進(jìn)行判斷.

【詳解】

①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.

②中，由公理2知道，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.

③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么

這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能

力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

12.B

【解析】

運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán)，結(jié)合判斷框，可得輸出值.

【詳解】

起始階段有，=1,S=3,

第一次循環(huán)后5=工=-<，1=2,

1-32

A0=-----1---=一2

第二次循環(huán)后.13,1=3,

1H-

2

S=_L=3

第三次循環(huán)后?j=4,

1------

3

第四次循環(huán)后5=丁1=-！，j=5,

1-32

所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3,

當(dāng)i=2019時(shí)，再次循環(huán)輸出的S=3,1=2020,此時(shí)2020>2019,循環(huán)結(jié)束，輸出S=3,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識(shí)，經(jīng)過(guò)幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

S.,n=1

本題先根據(jù)公式°c初步找到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可解得'〃的值，即可

確定數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式,代入數(shù)列仍“｝的表達(dá)式計(jì)算出數(shù)列仍,｝的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前項(xiàng)和T?,

2017

再代入不等式7；>茄布進(jìn)行計(jì)算可得最小正整數(shù)"的值.

【詳解】

由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，％=S[=+〃2=4+m.

當(dāng)兒.2時(shí)，%=S〃一S,j=2H+,+機(jī)一2n-m=2〃.

貝!]q=24=16,—2=25—2=30.

?.?q,%，%一2成等差數(shù)列，

4+%-2=2%,即4+771+30=2x16,

解得m=-2.

4=2.

n

an=2,nwN*.

.入—______冊(cè)______—______2__〃__________1_____1__

""(2H-l)(2"+l-l)~2n-l2"+|-1'

Tn=4+4+...+hfj

=---1--------1------1--------1----------p-I-----1----------1----

2,-122-122-123-12”—12,,+|-1

=1——J—.

2“+1一1

2017.12017

'”>2018'"-2,,+|-1>2018'

11

即nn——：——<------,

2,,+1-12018

.?.2,,+|-1>2018.即2'用>2019,

?.-210=1024<2019.2"=2048>2019.

n+1..11,即

2017

，滿足Tn>絲」的最小正整數(shù)"的值為1.

"2018

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求前“項(xiàng)和，考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想，考查了不等式的計(jì)算、邏輯思

維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

14.1

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得///=1即

可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為夕.由。3a4%=64，得（4）'=64,解得q=4.又由%=8，得勺=8=2.則

%

44

>

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.

1

15.-

2

【解析】

二面角P-AB-C平面角為出點(diǎn)Q到底面ABC。的距離為點(diǎn)。到定直線4?得距離為d,則4=幽.

sin。

再由點(diǎn)。到底面ABC。的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)A,可得|PQ|=@",由此可得sin9=攵，則由

k

cos0=cos30°=—可求"值.

2

【詳解】

解：如圖，

設(shè)二面角P-AB-。平面角為。，點(diǎn)。到底面ABC。的距離為|Q"|,

點(diǎn)。到定直線A8的距離為d,貝！||QH|=dsin6,即1=刨.

sin。

丁點(diǎn)。到底面ABC。的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)A,

...用=3則IP@=噌,

???動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是拋物線，

：.\Pa=d,即幽=幽則sin9=A.

11ksin?

二二面角P-AB-C的平面角的余弦值為cos6=J1—sii?6=J1—二=cos300=

解得：k=-(k>0).

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.

16.60

【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由c組中甲、乙二人均被抽到的概率是：可求得C組的總?cè)藬?shù),

即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).

【詳解】

AB,。三組人數(shù)之比為5:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，

則AB,。三組抽取人數(shù)分別10,6,4.

C2121

設(shè)C組有〃人，則。組中甲、乙二人均被抽到的概率U=1—八=77，

解得〃=12.

12

???該部門(mén)員工總共有5x(5+3+2)=60人.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用，古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)y+y2=l；(2)2.

【解析】

(1)利用兩?兩■的最小值為1,可得藥?%=/+卜2-2=土?爐+1-2,xe[-a,a],即可求橢圓C的

a'

方程；

(2)將直線/的方程、="+〃，代入橢圓C的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

知，A=0即可得到外人的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到&=出訓(xùn)，d2=\F2M\.當(dāng)ZHO時(shí)，設(shè)直

線/的傾斜角為氏貝ij|4-4|TMN|x|tanq,即可得到四邊形耳”叫面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，

結(jié)合當(dāng)％=0時(shí)，四邊形片MNE是矩形，即可得出S的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)P(x,y),則耳P=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

2i

:.PF\*PF\^x2+y2-c2=^-x2+l-c2,xe[-a,a],

a~

由題意得，1—c2=0nc=lnq2=2,

2

橢圓C的方程為x*+y2=l；

2

(2)將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程V+2V=2中，

得(2左2+1b2+4A777X+2/712-2=0.

由直線I與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=16公機(jī)2一4(2公+l)(2m2-2)=0,

化簡(jiǎn)得：m2=242+1.

當(dāng)左。0時(shí)，設(shè)直線/的傾斜角為6,

則|4—4|=|M7V|x|tanq,

?」MN|=/4-4|,

?'?舐白'也一4卜回+引=^^，

4|長(zhǎng)|K,十1

一―2|同=4M=4

222

,.,nr=2k+\>k+]m+1?1m?,|+H1

；?當(dāng)/HO時(shí),帆>1,帆+而j>2,

：.S<2.

當(dāng)人=0時(shí)，四邊形片根死是矩形，5=2.

所以四邊形F,MNF?面積S的最大值為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

18.(1)(%-1)2+/=1(2)73+1

【解析】

X-OCOS0

(1)由公式｛.八可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；

y=psin3

(2)把M點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線/的參數(shù)方程是過(guò)定點(diǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線C的方

程，利用參數(shù)/的幾何意義求解.

【詳解】

解：(1)C:p=2cos。，貝(]0?=2pcos。，，/+,2=2%,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,即(X-+V=1

(2)點(diǎn)Mpg

的直角坐標(biāo)為M(0,1),易知Me/.設(shè)AB對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為八,t2

1

x-——t

2

將/：｛r與。：/+丁2-2%=0聯(lián)立得

I2

廠++1)(+1=0,Z)+(2=~>/3-1,,(2=1；.：<0,f,<0

\MA\+\MB\=\ti\+\t2\=\tl+t2\=y/3+l

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，,解題時(shí)可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩

點(diǎn)間距離問(wèn)題.

2240

19.(1)匕r+匕v=1(2)—

989

【解析】

|島-閩

再根據(jù)AB=2A/6得到6+3(aT)=/,解之即得a

4

l，-|\再求得APQC的面積

的值，再根據(jù)c=l求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出P

⑴因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)6(1,0),且斜率k=

所以直線/的方程為y=G(x—l),即百x—y-百=0,

所以圓心C(a,O)到直線I的距離為

又因?yàn)锳5=2#,圓C的半徑為“，

2

即1、/AB丫,22Hn3（?-1）2

所以|——+d=a'>即6+=......-=a>

I2）4

解之得，a=3或a=—9（舍去）.

所以〃—a'—c1=8?

22

所以所示橢圓E的方程為工+匯=1.

98

(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為根:x=9,離心率e=￡=!，

a3

10

則點(diǎn)p到右準(zhǔn)線的距離為a=絲=孑=io,

e1

3

r2v28

所以9一%=10,即％=1,把全=-1代入橢圓方程］+1_=1得，%=±§，

因?yàn)橹本€/的斜率%>0,

所以孫=一3，；，,1,一|)

因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)鳥(niǎo)(1,0)和P，l,-|

4

所以直線/的方程為y=§(x-l),

y=*T）,

聯(lián)立方程組《

22得3/_4》一7=0,

xy1

I98

7

解得x=T或%=§,

716

所以。

x

所以APQC的面積S=-CF2-yP）=—2xf—+-j=—0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

20.(1)30。；(2)幣.

【解析】

(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出C,結(jié)合正弦定理求出A；

(2)結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解.

【詳解】

解：(1)VcosC=-->且0<C<7T,...C=120。，由正弦定理」一=」一

2sinAsinA

--2--=------,..sinA4=一1,

sinAsin12002

VC=120°

二A銳角，，A=30°

(2)TA=30°,C=120°

=l+4-2x2xlx^--j

=7

:.AM=不

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

21.(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

4

【解析】

(1)要證明平面ABGJ?平面BCC4,只需證明平面BCC4即可

(2)取CG的中點(diǎn)O,連接80,以8為原點(diǎn)，以前，BB],麗的方向分別為x,j,z軸的正方向，建立空間直

n?BC

利用夾角公式，麻)=}

角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面ACC,A的法向量為n與平面ABC；的法向量為麻,cos,眄計(jì)

算即可.

【詳解】

(1)在AABC中，AB2+BC2=20=AC2,

所以—ABC=90',即ABLBC.

因?yàn)?AC=ABt,AB=AB>

所以AABC絲AAB4.

所以/ABB】=NABC=90,即AB_LBBt.

又BCnB4=8,所以AB,平面BCC4.

又ABl平面ABC-所以平面ABG_L平面3CG4?

(2)由題意知，四邊形BCGg為菱形，且4CG=60,

則ABCG為正三角形，

取CC的中點(diǎn)。，連接50,則BDLCG.

以B為原點(diǎn)，以麗，BB；,麗的方向分別為x,y,z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系盯z,則

5(0,0,0),耳(0,4,0),A(0,0,2),0(26-2,0),C,(2^,2,0).

設(shè)平面ACC.A的法向量為n=(x,y,z),

且恁=（23-2,-2）,cq=（0,4,0）.

由覆晨得般『y=（L°網(wǎng)

由四邊形BCCM為菱形，得BJ1BC；

又AB_L平面8CC4,所以A3,8。；

又ABCBCQB,所以4C_L平面

所以平面ABC]的法向量為（273,-6,0）.

故sin"走.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量