高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專(zhuān)題6.6 向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（教師版）

專(zhuān)題6.6向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）關(guān)于平面向量a,b,A．若a?c=b?C．若a2=b2，則【解題思路】利用向量垂直及數(shù)量積的定義可判斷A，根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷B，利用數(shù)量積的定義可判斷CD．【解答過(guò)程】對(duì)于A，若c和a，b都垂直，顯然a，b至少在模的方面沒(méi)有特定關(guān)系，所以命題不成立；對(duì)于B，這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；對(duì)于C，若a2=b2，則而cosa,c對(duì)于D，a?b?c與a?b?故選：B．2．（3分）（2022春·山東·高三階段練習(xí)）設(shè)非零向量a，b滿(mǎn)足a=2b，a+b=3bA．?b B．b C．?a 【解題思路】設(shè)a,b的夾角為α，求出【解答過(guò)程】解：設(shè)a,b的夾角為由a+b=所以向量a在b方向上的投影向量為|a故選：A.3．（3分）（2022春·青海西寧·高三期中）已知向量a，b滿(mǎn)足a=1，b=3，且a，b的夾角為30°，則aA．3 B．7 C．7 D．3【解題思路】計(jì)算出a?b=【解答過(guò)程】由題意得：a?所以a?2故選：C.4．（3分）（2022秋·河南商丘·高一期末）已知a→=1，b→=2，c→=4，a→A．17+47 B．12+85 C．18?25【解題思路】設(shè)a→+b→，c→的夾角為α【解答過(guò)程】解：設(shè)a→+b→，因?yàn)閍→=1，b→=2，所以a→+b所以a→?c當(dāng)且僅當(dāng)cosα=?1故選：A.5．（3分）（2022春·山東青島·高二階段練習(xí)）已知向量c=a+tb(t∈R)，若a=1，b=2，當(dāng)且僅當(dāng)t=?A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】設(shè)向量a與b的夾角為θ，結(jié)合已知條件計(jì)算c2=a+tb2=【解答過(guò)程】因?yàn)閏=a+tb，a=1，b=2，設(shè)向量所以c=4t所以c=又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)t=?14時(shí)，c最小，即所以cosθ=12，因?yàn)?≤θ≤故選：B.6．（3分）（2022春·河北張家口·高三期中）已知△ABC中，AB=AC=2,A=2π3，設(shè)點(diǎn)M，N滿(mǎn)足AM=λAB,AN=(1?λ)AC，A．2 B．3 C．2或3 D．?2或3【解題思路】首先用基底AB,AC表示【解答過(guò)程】BN=AN?所以BN=1?λ==2λ即2解得：λ=?2或λ=3.故選：D.7．（3分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量a,b,c滿(mǎn)足a=1,2a+A．π12 B．π6 C．π4【解題思路】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到(c?b【解答過(guò)程】由題意知2c?a又由b=?2a，可得則4(即(c?b所以cosa當(dāng)且僅當(dāng)(c所以向量c?b與a夾角的最大值是故選：B.8．（3分）（2022秋·浙江·高一期中）已知平面向量a,b滿(mǎn)足|a|=2，|b|=3，且|xA．32 B．1 C．2 【解題思路】設(shè)f(x)=|xa+(1?2x)b|2，a?b=t，則f(x)=(16?4t)x2+(2t?12)x+3，由f(x)的最小值為3【解答過(guò)程】設(shè)f(x)=|xa+(1?2x)b則f(x)=a=4=(16?4t)x因?yàn)閨xa+(1?2x)b所以f(x)的最小值為34則4×(16?4t)×3?(2t?12)24×(16?4t)解得t=0或t=3，當(dāng)t=0，即a?|a所以|a當(dāng)t=3，即a?|a所以|a綜上，|a故選：B.二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·遼寧·校聯(lián)考二模）下列關(guān)于向量a，b，c的運(yùn)算，一定成立的有（

）．A．a(chǎn)+b?C．a(chǎn)?b≤【解題思路】由數(shù)量積的運(yùn)算律，向量模的幾何意義，數(shù)量積的定義判斷各選項(xiàng)．【解答過(guò)程】A是向量數(shù)量積中乘法與加法的分配律，A正確；B．設(shè)OA=a，OB=b，則a?所以a?OA→,OB→反向時(shí)，OA→,OB→同向時(shí)，所以a?C．a(chǎn)?當(dāng)a與c不共線時(shí)，一般a?b?故選：ABC．10．（4分）（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）e1，e2是夾角為23π的單位向量，a=A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)=7 C．【解題思路】由數(shù)量積公式可得e1?e2，計(jì)算對(duì)a?b平方再開(kāi)方計(jì)算可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出【解答過(guò)程】由向量e1，e2是夾角為23∵a=e1∴a?∴a⊥a2∴a=由a?b=?a?a?故選：BD．11．（4分）（2022春·重慶·高三階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC=12,D,E是BC的三等分點(diǎn)，則（

）A．AEB．若AB?AC=0，則AE在C．若AB?ACD．若AD【解題思路】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，AE=對(duì)于B，因?yàn)锳B?AC=0由題意得E為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠C點(diǎn)更近），所以AE在AB上的投影向量為13對(duì)于C，AD=AE=故AD?又CB=所以AB2故AD?對(duì)于D，AD?而AB2代入得12故選：AD.12．（4分）（2022秋·江蘇泰州·高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB=120°,OA=3OC=3，點(diǎn)E在弧CD上.（

）A．OA?CD=?2 B．若C．若∠DOE=30°，則OE=33OC+【解題思路】A選項(xiàng)先利用OA?C選項(xiàng)通過(guò)OC?OE=0,【解答過(guò)程】OA?由OE=uOC+uOD知，E為弧CD的中點(diǎn)，又∠AOB=120°，由平行四邊形法則可知?jiǎng)t由∠DOE=30°知，OC?OE=0,OD?OE=1×1×cos30EA=1?3cos∠BOE?3cos當(dāng)且僅當(dāng)∠BOE=60°時(shí)，等號(hào)成立，故EA?EB的最小值為故選：BCD.三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=2，a與b的夾角為2π3，e是與b同向的單位向量，則a在b方向上的投影向量為?【解題思路】根據(jù)則a在b方向上的投影向量的定義可得【解答過(guò)程】a在b方向上的投影向量為acos故答案為：?e14．（4分）（2022春·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量a，b滿(mǎn)足a=b=1，7.【解題思路】先根據(jù)a?a?b=3【解答過(guò)程】a?a?因?yàn)閍=b=1，所以1?2a?b2故答案為：7.15．（4分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知|a|=2，b=1，a與b的夾角為45°，若向量2a?λb與【解題思路】根據(jù)題意便知2a?λb?λ【解答過(guò)程】解：2a?λb與λ解得1<λ<6；當(dāng)λ=6時(shí)，2a?λb與λa∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為1,6故答案為：1,616．（4分）（4分）（2022春·新疆·高三階段練習(xí)）在△ABC中，AB=5，AC=3，且AB?AC=9，設(shè)P為平面ABC上的一點(diǎn)，則PA?PB【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出AB+AC，則【解答過(guò)程】解：由題意得：AB+則AB+∵PA則PA=2=2PA≥2=2PA?13故答案為：?13四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022秋·廣西桂林·高一期中）已知|a|=4，|b|=2，且(1)(a(2)|2【解題思路】（1）（2）利用向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閨a|=4，|b所以a2=a所以(a（2）因?yàn)?a所以2a18．（6分）（2022秋·北京·高一階段練習(xí)）已知a=(1)求a與b夾角的余弦值.(2)當(dāng)a+2b與ka【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）利用向量夾角為鈍角時(shí)，數(shù)量積為負(fù)建立不等式求解，注意向量反向共線的情況不合題意.【解答過(guò)程】(1)∵a?b=7∴????解得cos(2)由（1）知，a當(dāng)ka?b與a即ka解得k<10當(dāng)ka?b與a+2b即ka=λa?b綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍?∞19．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，DB=2AD，(1)設(shè)CD=xAB+yAC，求x，(2)求AB?【解題思路】（1）以AB→,AC（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底AB→【解答過(guò)程】（1）∵DB=2AD∴CD∴x=1∴|CD|=|=1（2）DE=BE∴AB?DE20．（8分）（2022秋·河南南陽(yáng)·高一期中）如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=60°，AD=3DB，AE=2(1)若AP=xAB+y(2)求PB?【解題思路】（1）設(shè)DP=λDE，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出AP=34（2）設(shè)DP=λDE，其中0≤λ≤1，將PB、PC利用基底AB,【解答過(guò)程】(1)解：設(shè)DP=λDE，則因?yàn)锳P=所以x=34?(2)解：設(shè)DP=λDE，其中PB=PC=所以PB=3=7λ?當(dāng)且僅當(dāng)λ=1128時(shí)，等號(hào)成立，故PB?21．（8分）（2022秋·山東·高一階段練習(xí)）在△ABC中，a、b、c分別為角A，B，C的對(duì)邊，平面內(nèi)點(diǎn)O滿(mǎn)足(OA+OB(1)證明：點(diǎn)O為三角形的外心；(2)求BC?【解題思路】（1）已知(OA+OB)?AB（2）延長(zhǎng)AO交外接圓于點(diǎn)D，則AD是圓O的直徑，可得cos∠CAD=ACAD，cos∠BAD=ABAD，利用向量的加減和數(shù)量積的運(yùn)算求得【解答過(guò)程】（1）證明：由(可得：(OA所以O(shè)B2=OA同理：OA=OC，所以所以點(diǎn)O為三角形的外心.（2）由于O是三角形外接圓的圓心，故O是△ABC三邊中垂線的交點(diǎn)．如圖所示，延長(zhǎng)AO交外接圓于點(diǎn)D，則AD是圓O的直徑．所以∠ACD=∠ABD=90°，cos∠CAD=ACAD所以BC=12AC因?yàn)閏2=2b?b令f(b)=b?則當(dāng)b=12時(shí)，f(b)有最小值又因?yàn)閒(0)=0，f(2)=2，所以?1所以BC?AO的取值范圍是22．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量e1,e2，且e1=e2=1，e（1）求證：2e（2）若m=n，求（3）若m⊥n，求（4）若m與n的夾角為π3，求λ【解題思路】（1）