3.3勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（分層練習(xí)）解析版

3.2勾股定理的逆定理分層練習(xí)考查題型一在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用(2023·福建省龍巖市·月考試卷)如圖，有四個(gè)三角形，各有一邊長(zhǎng)為6，一邊長(zhǎng)為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是(

)A. B.

C. D.【答案】C

【解析】解：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，

∵AB=6，AC=8，

∴CD≤8，

∴當(dāng)CD與AC重合時(shí)，CD最長(zhǎng)為8，

此時(shí)，∠BAC=90°，△ABC的面積最大，

∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，

∴BC=10，

(2021·四川省自貢市·期中考試)如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C'上．若AB=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為(

)

A.3 B.4 C.4.5 D.5【答案】B

【解析】解：∵點(diǎn)C'是AB邊的中點(diǎn)，AB=6，

∴BC'=3，

由圖形折疊特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF，

在Rt△C'BF中，BF2+BC'2=C'F2，

∴BF3.(2023·江蘇省·同步練習(xí))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，當(dāng)t=

時(shí)，△ABP為直角三角形．

【答案】2或258【解析】∵∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，?①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm，∴t=4÷2=2．?②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP=2tcm，CP=(2t-4)cm，AC=3cm，在Rt△ACP中，AP2=32∴52綜上，當(dāng)t=2或258時(shí)，△ABP4.（2023·江蘇省·同步練習(xí)）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為cm2.

【答案】126或66【解析】若∠B為銳角(如圖①),則在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2,∴BD2=AB2-AD2=25.∴BD=5(cm).在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,∴CD2=AC2-AD2=256.∴CD=16(cm).∴BC=BD+CD=21cm.∴S△ABC=12·BC·AD=12×21×12=126(cm若∠B為鈍角(如圖②),同理可得BC=CD-BD=11cm.∴S△ABC=12·BC·AD=12×11×12=66(cm故答案為126或66.5.（2023·江蘇省·同步練習(xí)）如圖，AD為△ABC的中線，且AC=13，BC=10，AD=12，求△ABD的周長(zhǎng)．【解析】∵AD為△ABC的中線，BC=10，∴BD=CD=5．∵AC=13，AD=12，∴AD2+C∴AD∴∠ADC=90∵∠ADC+∠ADB=180∴∠ADB=90°

∴在Rt△ADB中，A∴AB2=169．∴AB=13(負(fù)值舍去)

∴△ABD6．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD⊥BC，垂足為D，且AD=4，BD=8．點(diǎn)E從B點(diǎn)沿射線BC向右以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AE、AF，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AE=AF；(2)當(dāng)t=5時(shí)，判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由．【解析】（1）解：由題意得：BE=2t，∵F為BE的中點(diǎn)，∴BF=EF=1∵AD=4，BD=8，∴DF=BD-BF=8-t，DE=BE-BD=2t-8，∵AD⊥BC，AE=AF，∴DE=DF，即2t-8=8-t，解得：t=16∴當(dāng)t=163時(shí)，（2）解：△ABE是直角三角形，理由：當(dāng)t=5時(shí)，BE=2t=10，∴DE=BE-BD=10-8=2，在Rt△ADB中，A在Rt△ADE中，A∵AB2+A∴AB∴△ABE是直角三角形．考查題型二在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．x2+6C．x2+(10-x)【答案】D【解析】解：∵竹子原高十尺，竹子折斷處離地面x尺∴圖中直角三角形的斜邊長(zhǎng)(10-x)尺根據(jù)勾股定理建立方程得：x故選：D．2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【解析】解：如圖，將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故選：B．3．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲醒耄鏊怀?，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)葭長(zhǎng)幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．【答案】13【解析】解：設(shè)這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是x尺，則水深為（x-1）尺，根據(jù)題意得：x2解得：x=13，即這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13尺．故答案為：134．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識(shí)測(cè)算公園里一架秋千的繩索AB的長(zhǎng)度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，秋千踏板離地面的垂直高度BC=1m，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)D的位置，測(cè)得推送的水平距離為6m，即DE=6m．此時(shí)秋千踏板離地面的垂直高度DF=3m．那么，繩索的長(zhǎng)度為【答案】10【解析】解：由題意可知：BC=1m，DE=6m，EC=DF=3m設(shè)AE=xm，則AB=AD=AE+EB=AE+在Rt△AED中，A∴x2解得x=8，∴AB=8+2=10m故答案為：10．5．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一架5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端B到墻底的垂直距離BC為3米.(1)求這個(gè)梯子的頂端A到地面的距離AC;(2)如果梯子的頂端A沿墻AC豎直下滑1米到點(diǎn)D處,求梯子的底端B在水平方向滑動(dòng)了多少米.【解析】解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即AC2+32=52,所以AC=4(米).答:這個(gè)梯子的頂端A到地面的距離AC為4米.(2)由題意,得DC=AC-AD=4-1=3(米),DE=5米.在Rt△DCE中,由勾股定理,得DC2+CE2=DE2,即32+CE2=52,所以CE=4(米).則BE=CE-BC=4-3=1(米).答:梯子的底端B在水平方向滑動(dòng)了1米.6.（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，鐵路MN和公路PQ在O點(diǎn)處交匯，公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN120米，如果火車(chē)行駛時(shí)，周?chē)鷥砂倜滓詢(xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車(chē)在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間有多長(zhǎng)?【解析】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN120米，∴AC=120米，當(dāng)火車(chē)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小時(shí)=40米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷40=8秒．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖,圓柱形容器高9cm,底面圓的周長(zhǎng)為24cm,在杯口點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)螞蟻在杯外壁底部與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處.(1)求螞蟻從點(diǎn)A到點(diǎn)B處吃到蜂蜜所走的最短路程;(2)若螞蟻剛出發(fā)時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B處的蜂蜜正以每秒cm的速度沿杯內(nèi)壁下滑,4s后掉到點(diǎn)C處,此時(shí)螞蟻正好吃到了蜂蜜.求螞蟻的平均速度至少是多少.【解析】解:(1)將圓柱的側(cè)面展開(kāi),如圖所示.∵圓柱形容器高9cm,底面圓的周長(zhǎng)為24cm,∴BD=9cm,AD=12cm.∴AB2=AD2+BD2=122+92=225.∴AB=1