高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.1 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式課時提升作業(yè) 理試題

不等式的性質(zhì)及一元二次不等式(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若m<0,n>0且m+n<0,則下列不等式中成立的是()A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m【解析】選D.方法一(取特殊值法):令m=-3,n=2分別代入各選項檢驗,可知只有D正確.方法二:m+n<0,m<-n,n<-m,又由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立.【加固訓(xùn)練】若α,β滿足QUOTE則α+3β的取值范圍是.【解析】設(shè)α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.則QUOTE解得QUOTE因為-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,兩式相加,得1≤α+3β≤7.所以α+3β的取值范圍為[1,7].答案:[1,7]2.(2016·長沙模擬)下列結(jié)論正確的是()A.若a>b,則ac>bcB.若a>b,則a2>b2C.若a+c<b+c,c<0,則a>bD.若QUOTE>QUOTE,則a>b【解析】選D.對于A,當(dāng)c≤0時,不成立;對于B,只有當(dāng)a>b>0時,才成立;對于C,不論c是取何值,就只能得到a<b;D正確.3.已知集合M={x|x>x2},N={y|y=QUOTE,x∈M},則M∩N=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解題提示】利用一元二次不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可化簡集合M,N.再利用交集的運算即可得出.【解析】選B.對于集合M:由x>x2,解得0<x<1,所以M={x|0<x<1}.因為0<x<1,所以1<4x<4.所以QUOTE<QUOTE<2.所以N=QUOTE.所以M∩N=QUOTE.4.下面四個條件中,是使a>b成立的充分不必要的條件的是()A.a>b+1 B.a>b-1C.a2>b2 D.a3>b3【解析】選A.即尋找條件p使p?a>b,a>bp.選項A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b時,a>b+1不一定成立,故A正確.在選項B中,a>b-1時,a>b不一定成立,故B錯誤.在選項C中,a2>b2時,a>b也不一定成立,因為a,b不一定均為正值,故C錯誤.在選項D中,a3>b3是a>b成立的充要條件,故D錯誤.【加固訓(xùn)練】(2016·泉州模擬)已知f(x)=ax2-x-c,不等式f(x)>0的解集為{x|-2<x<1},則函數(shù)y=f(-x)的圖象為()【解析】選B.由根與系數(shù)的關(guān)系知QUOTE=-2+1,-QUOTE=-2,得a=-1,c=-2.f(-x)=-x2+x+2的圖象開口向下,頂點坐標為QUOTE.5.(2015·浙江高考)有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是()A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz【解題提示】利用作差法比較大小.【解析】選B.由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz;az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低費用為az+by+cx.【加固訓(xùn)練】1.(2016·武漢模擬)規(guī)定記號“☉”表示一種運算,定義a☉b=QUOTE+a+b(a,b為正實數(shù)),若1☉k2<3,則k的取值范圍是()A.-1<k<1 B.0<k<1C.-1<k<0 D.0<k<2【解析】選A.因為定義a☉b=QUOTE+a+b(a,b為正實數(shù)),1☉k2<3,所以QUOTE+1+k2<3,化為(|k|+2)(|k|-1)<0,所以|k|<1,所以-1<k<1.2.(2015·嘉興模擬)函數(shù)y=logQUOTE的值域是()A.R B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.x2-6x+17=QUOTE+8≥8,所以y=loQUOTE≤-3.3.已知θ∈QUOTE且a=cos2θ,b=cosθ-sinθ,試比較a與b的大小.【解析】由于θ∈QUOTE,所以2θ∈QUOTE,故a=cos2θ>0,且cosθ>sinθ,所以b>0.而QUOTE=QUOTE=QUOTE=cosθ+sinθ=QUOTEsinQUOTE,由于θ∈QUOTE,所以θ+QUOTE∈QUOTE,故sinQUOTE∈QUOTE,QUOTEsinQUOTE∈(1,QUOTE),即QUOTE>1,故必有a>b.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·太原模擬)已知函數(shù)f(x)=QUOTE若f(f(1))>3a2,則a的取值范圍是.【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【誤區(qū)警示】此題是分段函數(shù),代入求值時容易出現(xiàn)因不同的取值而出現(xiàn)錯誤,應(yīng)注意分段函數(shù)分段求值,不能代錯.7.(2016·廣州模擬)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=.【解析】由題意知x1+x2=2a,x1x2=-8a2,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2=225,又a>0,所以a=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·鄭州模擬)已知不等式ax2+bx+c≥0的解集為QUOTE,則不等式cx2+bx+a<0的解集為.【解析】由于不等式ax2+bx+c≥0的解集為QUOTE,可知a<0,且-QUOTE,2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,所以-QUOTE+2=-QUOTE,QUOTE×2=QUOTE,所以b=-QUOTEa,c=-QUOTEa.所以不等式cx2+bx+a<0可化為-QUOTEax2-QUOTEax+a<0,由于a<0,所以QUOTEx2+QUOTEx-1<0,即2x2+5x-3<0,解得-3<x<QUOTE,所以所求解集為QUOTE.答案:QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)已知p:x≥k,q:x2-x-2>0,如果p是q的充分不必要條件,則實數(shù)k的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,-1]【解題提示】利用不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.【解析】選B.因為x2-x-2>0,所以(x-2)(x+1)>0,所以x>2或x<-1,因為p是q的充分不必要條件,所以k>2.2.(5分)(2016·汕頭模擬)不等式x2-2x+5≥a2-3a對任意x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為.【解析】因為x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值為4,所以x2-2x+5≥a2-3a對任意的x∈R恒成立,即a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.答案:[-1,4]3.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是.【解題提示】結(jié)合一元二次函數(shù)圖象,利用fQUOTE<0,fQUOTE<0求解.【解析】二次函數(shù)f(x)對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則QUOTE解得-QUOTE<m<0.答案:QUOTE4.(12分)已知關(guān)于x的不等式(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式轉(zhuǎn)化為1≥0,它恒成立,滿足條件.(2)當(dāng)a-2≠0,即a≠2時,原題等價于QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以2<a≤6,綜上a的取值范圍為2≤a≤6.5.(13分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=QUOTE.(1)求a,b的值.(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.【解題提示】(1)由函數(shù)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),故QUOTE由此解得a,b的值.(2)不等式可化為2x+QUOTE-2≥k·2x,令t=QUOTE,故有k≤t2-2t+1,t∈QUOTE,記h(t)=t2-2t+1,求出它的最大值,從而求得k的取值范圍.【解析】(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因為a>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增