測控系統(tǒng)仿真技術(shù)課件

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常是指動態(tài)數(shù)學(xué)模型。最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動態(tài)運行的規(guī)律。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般是根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)、參數(shù)及計算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型既能準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì)，又能簡化分析計算的工作。建立數(shù)學(xué)模型比較常見的方法是解析法和實驗法。

解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出系統(tǒng)各變量之間數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；實驗法是采用某些檢測儀器，在現(xiàn)場對控制系統(tǒng)加入特定信號，對輸出響應(yīng)進(jìn)行測量和分析，得到實驗數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.1.1微分方程的建立1.微分方程建立的一般步驟采用解析法來建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運動定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項放在等號左端，輸入各項放在等號右端，并且按照微分方程的階次降冪排列，同時將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。例2.1

R—L—C串聯(lián)電路，建立該系統(tǒng)的微分方程。

解：在R—L—C串聯(lián)電路中，輸入電壓Ur為系統(tǒng)的輸入量，輸出電壓Ｕc為系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)克?；舴蚨?，可以得到回路的電壓方程如下：電容Ｃ兩端的電壓為：中間變量為：

帶入原始方程中，消去中間變量，并移項整理得：

該式即為R—L—C串聯(lián)電路的微分方程。

2.1.2線性微分方程的求解采用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟（1）將系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以S為變量的代數(shù)方程，也稱為變換方程。（2）求解變換方程，得到系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式。（3）將輸出的象函數(shù)表達(dá)式展開成部分分式。（4）對部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到系統(tǒng)微分方程的解。2.1.3非線性數(shù)學(xué)模型的線性化處理

1.線性化的基本概念所謂非線性數(shù)學(xué)模型的線性化就是對一個非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型找出其穩(wěn)定的平衡點，如果在工作過程中，代表系統(tǒng)屬性的各物理量只在該平衡點附近產(chǎn)生微小的變化，非線性系統(tǒng)模型就能夠以此平衡點為基礎(chǔ)，表示成一個線性模型，關(guān)于線性系統(tǒng)的控制理論都能適用于該模型。這便是自動控制理論里關(guān)于小偏差線性化方法或稱增量線性化方法的概念。2.非線性數(shù)學(xué)模型的線性化的基本方法對于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)變量偏離工作點的偏差值很小時，由級數(shù)理論可知，若變量在給定的工作區(qū)間內(nèi)其各階導(dǎo)數(shù)存在，便可在給定工作點的鄰域內(nèi)將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，當(dāng)偏差的范圍很小時，可以忽略級數(shù)中偏差的高次項，得到只包含偏差的一次項的線性方程。3.求線性化微分方程的步驟（1）按物理和化學(xué)定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點處各變量的數(shù)值。（2）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點鄰域內(nèi)，各階導(dǎo)數(shù)存在并且是唯一的，則可進(jìn)行線性化處理。（3）將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，忽略偏差量的高次項，留下一次項，求出它的系數(shù)值。（4）消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點的值加偏差量來表示。

2.2傳遞函數(shù)

2.2.1.傳遞函數(shù)的概念1.傳遞函數(shù)的定義對于一個線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時，系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。表示為：2.傳遞函數(shù)的求取按照傳遞函數(shù)的定義，利用系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行相應(yīng)的拉氏變換，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例LRC電路的傳函：3.傳遞函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式的分析，傳遞函數(shù)具備下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或元部件動態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，在形式上與系統(tǒng)的微分方程一一對應(yīng)。（2）傳遞函數(shù)只表明輸入變量與輸出變量之間的動態(tài)關(guān)系，不能夠反映出系統(tǒng)內(nèi)部的信息。（3）傳遞函數(shù)只能直接反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動態(tài)特性，即在零時刻之前，系統(tǒng)在給定工作點處是相對靜止的；若系統(tǒng)處于非零初始狀態(tài)下，則傳遞函數(shù)無法反映系統(tǒng)的特性和運動規(guī)律，需要作其它方面的處理。（4）傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，而與輸入信號的形式無關(guān)，它反映了系統(tǒng)本身的動態(tài)特點。對于同一系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量和輸出量時其傳遞函數(shù)是不同的。（5）同一個系統(tǒng)，對于不同作用點的輸入信號和不同觀測點的輸出信號之間，傳遞函數(shù)具有相同的分母多項式，所不同的是分子多項式。在分析系統(tǒng)性能時，常將傳遞函數(shù)的分母多項式稱為特征多項式，它決定著系統(tǒng)響應(yīng)的基本特點和動態(tài)本質(zhì)。（6）實際系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的分母多項式階次n總是大于分子多項式階次m，這是因為控制系統(tǒng)總是存在“慣性”，且外部提供的能量是有限的。（7）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，無法直接由它看出實際系統(tǒng)的物理構(gòu)造，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)表示。

2.2.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機(jī)組合而成的，從結(jié)構(gòu)和作用原理來看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動態(tài)性能和數(shù)學(xué)模型來看，可以分為幾個基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機(jī)械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學(xué)模型一樣，它們就可以歸納為同一個環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來很多方便。常用的典型環(huán)節(jié)主要有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。傳遞函數(shù)為：

其中k為放大系數(shù)。2.慣性環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

k為傳遞系數(shù)；T為慣性時間常數(shù)

3.一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為：

為微分時間常數(shù)

理想的微分環(huán)節(jié)(純微分)傳遞函數(shù)為：4.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：式中，稱為積分時間常數(shù)。

5.振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：其中T為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)，也稱為阻尼比，稱為無阻尼自然振蕩頻率。

6.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的特點是具有時間上的延遲效應(yīng)，當(dāng)輸入量作用后，在給定一段時間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達(dá)延遲時間以后，環(huán)節(jié)的輸出量才無偏差的復(fù)現(xiàn)原信號。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

通過上述分析，我們要明確以下幾點：（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按照數(shù)學(xué)模型的共性來建立的，它與系統(tǒng)中使用的元部件不是一一對應(yīng)的，一個系統(tǒng)可能是一個典型環(huán)節(jié)，也可能由幾個典型環(huán)節(jié)組合而成。（2）按照數(shù)學(xué)模型對元部件和系統(tǒng)進(jìn)行分類，產(chǎn)生出若干典型環(huán)節(jié)，將有助于系統(tǒng)動態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常系統(tǒng)來描述的場合。

2.2.3自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

如下圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)，采用疊加原理可分別求出在輸入信號和擾動信號作用下的系統(tǒng)各類傳遞函數(shù)。

其中各類信號和裝置分別定義為：輸入信號：R（S）輸出信號：C（S）主反饋信號：B（S）偏差信號：E（S）干擾信號：N（S）控制器：G1（S）被控對象：G2（S）反饋環(huán)節(jié)：H（S）輸入信號主反饋信號干擾信號被控對象輸出信號偏差信號控制器反饋環(huán)節(jié)1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這是指當(dāng)系統(tǒng)主反饋通路斷開以后，反饋信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。表示為：

從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

令干擾信號為0，系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。表示為：

3.干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)令輸入信號為0，系統(tǒng)輸出信號與干擾信號之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

表示為：

4.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù)：令干擾信號，誤差信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。表示為：

2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制1.結(jié)構(gòu)圖的組成符號、名稱及功能系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號主要有以下4種：（1）信號線：表示系統(tǒng)中信號的流通方向，并標(biāo)明信號對應(yīng)的變量。（2）引出點：表示信號從該點取出，從同一信號線上取出的信號，其大小、性質(zhì)完全相同。（3）比較點：表示兩個或兩個以上的信號在該點進(jìn)行疊加。（4）方框：表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)系。

結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟（1）列出系統(tǒng)中各元部件的微分方程，確定輸入、輸出變量。（2）以典型環(huán)節(jié)或典型環(huán)節(jié)的組合來取代系統(tǒng)中的具體元部件，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中，標(biāo)出信號及其流向。（3）按系統(tǒng)中信號的流向，把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起來，即構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。方框圖中給出了信息傳遞的方向，又標(biāo)出了輸入、輸出的定量關(guān)系。2.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換控制系統(tǒng)通常是由不同的典型環(huán)節(jié)按照各自相互關(guān)系有機(jī)地連接起來，這種連接可以分為以下3種形式：1.串聯(lián)連接環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的特點是：前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量。一般情況下，當(dāng)n個環(huán)節(jié)串聯(lián)時，忽略負(fù)載效應(yīng)后，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

并聯(lián)連接其特點是：各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出在相加點進(jìn)行疊加。一般情況下，當(dāng)n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其等效傳遞函數(shù)為：

可見，并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3.反饋連接反饋連接的特點是：環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端與輸入信號進(jìn)行比較。則負(fù)反饋連接的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

若稱為單位負(fù)反饋系統(tǒng)。

2.4狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間表達(dá)式：根據(jù)分析，對于某一特定系統(tǒng)（可以是線性或非線性的、定常或時變的），當(dāng)引入n個狀態(tài)變量(系統(tǒng)的內(nèi)部變量)，將其化為n個一階微分方程組的形式，再對其采用矩陣描述，可以得到如下表達(dá)式：

.X=AX+BU,狀態(tài)方程，描述狀態(tài)變量與輸入量間的一階微分方程

Y=CX

,輸出方程，輸出量與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式

其中：

A——狀態(tài)變量系數(shù)矩陣,系統(tǒng)矩陣

B——輸入變量系數(shù)矩陣，控制矩陣

C——輸出變量系數(shù)矩陣，輸出矩陣

例，對于RLC電路通常取儲能元件上的參數(shù)為狀態(tài)變量：

X1=Uc,X2=i

代入上式就可得：通常輸出信號記為y,有y=Uc=X1,寫成向量矩陣形式：2.5數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換

在實際工程中，由于要解決自動控制問題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，也可能是要解決問題最簡單而又最方便的方法所用到的數(shù)學(xué)模型與該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型不同，此時，就需要對控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。另外，在不同的應(yīng)用場合，由于實際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異，在仿真時要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動態(tài)性能的基本形式，當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在計算機(jī)中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換具有實際的指導(dǎo)意義。

本章小結(jié)

本章介紹了幾種控制系統(tǒng)中常用的數(shù)學(xué)模型形式，其中，系統(tǒng)的微分方程是最基本、最常用的；通過拉氏變換得到的傳遞函數(shù)也是表達(dá)系統(tǒng)性能的常見數(shù)學(xué)模型；若系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，又要表示出各變量之間的信號傳遞關(guān)系，就可以采用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖來描述；此外，為了反映出系統(tǒng)中變量的初始狀態(tài)，還可以用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。要明確各類數(shù)學(xué)模型的定義、特點、表示方法，掌握數(shù)學(xué)模型的建立過程，為后面的實際應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)系統(tǒng)的性能和表達(dá)方式來合理地選擇數(shù)學(xué)模型的類別，也可以將各種不同模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以得到一個最適合的模型，用于控制系統(tǒng)的分析和討論。

控制系統(tǒng)的分析方法3.1典型輸入信號及其響應(yīng)

3.1.1概述系統(tǒng)的響應(yīng)是指在給定信號作用下，系統(tǒng)的輸出信號隨時間變化的狀況，也是系統(tǒng)微分方程的解。我們將系統(tǒng)在穩(wěn)定之前的響應(yīng)稱為暫態(tài)響應(yīng)，它提供系統(tǒng)在過渡過程中各項動態(tài)性能指標(biāo)；系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后的響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它反映出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，也即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的大小。為了便于研究和分析控制系統(tǒng)，通常選用幾種確定的函數(shù)來作為典型的外部輸入信號，其具備的基本特點是：在實際工作現(xiàn)場或?qū)嶒炇抑?，這種外作用信號容易產(chǎn)生。在典型的外部信號作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠反映出該控制系統(tǒng)在實際工作中的確定性能。選擇的外部作用信號其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于進(jìn)行理論計算。

3.1.2典型輸入信號

目前，在工程設(shè)計中比較常見的典型外部作用信號主要有以下5種：1.階躍函數(shù)信號階躍函數(shù)信號是控制系統(tǒng)在實際工作條件下經(jīng)常遇到的一種外作用信號，例如，給系統(tǒng)加重和卸載；電源電壓的突然跳動，表現(xiàn)出來的即為階躍函數(shù)信號。2.斜坡函數(shù)信號斜坡函數(shù)信號也稱為速度函數(shù)信號，例如，運算放大器輸入為恒值電壓時，輸出即為斜坡函數(shù)。3.拋物線函數(shù)信號拋物線函數(shù)信號也稱為加速度函數(shù)信號，在隨動系統(tǒng)中是最常見的作用信號。4.脈沖函數(shù)信號脈沖函數(shù)信號也稱為沖擊函數(shù)信號，單位脈沖函數(shù)信號為數(shù)學(xué)上的一種抽象，在實際系統(tǒng)中難以產(chǎn)生。5.正弦函數(shù)信號正弦函數(shù)信號是在頻率法中采用的外作用信號，用正弦函數(shù)作為系統(tǒng)的外作用信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱之為頻率響應(yīng)。3.1.3典型信號的響應(yīng)

對于一個控制系統(tǒng)來講，設(shè)其各變量的初始狀態(tài)為零，在輸入典型外作用信號時，系統(tǒng)的輸出稱為典型信號的響應(yīng)。（1）單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位階躍響應(yīng)。（2）單位斜坡響應(yīng)：系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位斜坡響應(yīng)。（3）單位脈沖響應(yīng)：系統(tǒng)在單位脈沖函數(shù)信號作用下的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，也稱為脈沖過渡函數(shù)。3.2時域分析法控制系統(tǒng)對非周期性信號的響應(yīng)稱為時域響應(yīng)。在經(jīng)典控制理論中，時域分析法是一種最常見的分析方法，表現(xiàn)出直接、準(zhǔn)確的特點，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。3.2.1一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)可以采用一階微分方程來描述其暫態(tài)過程的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的微分方程一般形式為：其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，下面討論在系統(tǒng)初始條件為零時，一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)。

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分析對一階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號：其拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：將上式進(jìn)行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過渡過程表達(dá)式：

在單位階躍輸入信號作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變化的規(guī)律是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，響應(yīng)的最終值為1，時間常數(shù)T是描述響應(yīng)速度的唯一參數(shù)，Ｔ越小，暫態(tài)過程進(jìn)行得越快，即速度越快。

結(jié)論：一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線是一個單調(diào)的非周期響應(yīng)，沒有超調(diào)量，系統(tǒng)過渡過程的快慢是其主要性能指標(biāo)，通常稱之為調(diào)節(jié)時間。一般有：ts=3T（對應(yīng)5%的誤差帶）

ts=4T（對應(yīng)2%的誤差帶）從上式中可以看出，系統(tǒng)的時間常數(shù)越小，調(diào)節(jié)時間就越小，系統(tǒng)響應(yīng)的過渡過程時間就越短，響應(yīng)過程的快速性就越好。

【例3.1】已知一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為求其單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，計算系統(tǒng)的過渡過程調(diào)節(jié)時間，分析系統(tǒng)的性能特點。解：（1）將一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)式并找出系統(tǒng)的特征參數(shù)即：；放大系數(shù)K=5，時間常數(shù)T=0.5按公式可得加入放大器后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為：

（2）計算系統(tǒng)的過渡過程調(diào)節(jié)時間取5%的誤差帶：ts=3T=3×0.5=1.5（秒）取2%的誤差帶：ts=4T=4×0.5=2（秒）（3）從上述計算結(jié)果分析該系統(tǒng)的性能特點該系統(tǒng)中加入了1個放大器，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條從零開始，按指數(shù)規(guī)律變化，最終穩(wěn)態(tài)值為5的非周期性曲線，動態(tài)過程無振蕩；由于時間常數(shù)為0.5，使得調(diào)節(jié)時間稍長，快速性較差；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.2.2二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可采用二階微分方程來描述，則該系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

T為時間常數(shù)，為阻尼比，為無阻尼自然振蕩頻率。二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為方程的特征根為：當(dāng)方程特征根中的阻尼比取值不同時，系統(tǒng)的特征根和響應(yīng)狀態(tài)均不相同，其對應(yīng)關(guān)系見表3-1所示。。

1.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分析下面重點分析在欠阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。由于欠阻尼狀態(tài)下，阻尼比取值為0＜＜1，此時系統(tǒng)的特征根為一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，可變?yōu)椋?/p>

是特征根實部的模值；稱為阻尼振蕩角頻率，對二階系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)信號：拉氏變換為：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：將上式進(jìn)行拉氏反變換，可以得到系統(tǒng)輸出的過渡過程表達(dá)式：

這就是二階系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下單位階躍響應(yīng)的過渡過程。

2．二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)計算及其參數(shù)對應(yīng)關(guān)系

通常，在欠阻尼狀態(tài)下，如上圖所示，描述系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)有以下5個方面：

（1）延遲時間：

這是系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)到達(dá)其穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。增大自然頻率或是減少阻尼比，都可以使系統(tǒng)響應(yīng)的延遲時間減少，從而使響應(yīng)的初始段時間短，跟蹤迅速。

（2）上升時間：其中，這是系統(tǒng)的響應(yīng)從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，上升時間越小，響應(yīng)越快。當(dāng)阻尼比不變時，角就不變，則增大自然頻率會使上升時間縮短，可加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度；當(dāng)阻尼振蕩頻率不變時，阻尼比越小，上升時間就越短。（3）峰值時間：這是指系統(tǒng)響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個峰值所需的時間。其值與阻尼振蕩頻率成反比。（4）超調(diào)量：這是系統(tǒng)響應(yīng)在過渡過程中，輸出量的最大值與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差。超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，阻尼比越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)越平穩(wěn)。（5）調(diào)節(jié)時間：

；對應(yīng)5%的誤差帶，這是指系統(tǒng)響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的±5%所需的時間。

；對應(yīng)2%的誤差帶，這是指系統(tǒng)響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的±2%所需的時間。

調(diào)節(jié)時間與阻尼比和阻尼振蕩頻率的乘積成反比。調(diào)節(jié)時間越短，說明系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度越快。上述5個動態(tài)性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)出控制系統(tǒng)過渡過程的總體特征。在實際應(yīng)用中，經(jīng)常使用的動態(tài)性能指標(biāo)為系統(tǒng)的上升時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。3.2.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.穩(wěn)定的基本概念系統(tǒng)是否穩(wěn)定是決定系統(tǒng)能否正常工作的前提條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程性質(zhì)上。若系統(tǒng)受到擾動偏離原來的平衡狀態(tài)后，去掉擾動量，系統(tǒng)能夠按照一定精度恢復(fù)到原始狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)我們稱之為穩(wěn)定的系統(tǒng)。反之，如果去掉擾動，系統(tǒng)不能回到原始狀態(tài)，或者偏離量隨時間增長而增加，則稱之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

2.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：——特征方程式的系數(shù)具有相同的符號，且均不為零，也即特征方程不缺項?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：——特征根均為負(fù)實數(shù)或者具有負(fù)的實數(shù)部分；或者說特征方程所有根均在根平面的左半部分；也可以說系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于[S]平面的左半部分。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)英國人E.J.勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)來直接判斷特征根的實數(shù)部分的符號，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯穩(wěn)定判據(jù)為：控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯陣列表中第一列所有元素的計算值均大于零。檢查勞斯陣列表中第一列所有元素的符號：若第一列各元素均為正值，說明特征根具備負(fù)的實數(shù)部分，即所有閉環(huán)極點都在[S]平面的左半部分，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果第一列元素值出現(xiàn)負(fù)號，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號改變的次數(shù)等于特征右根的個數(shù)。

3.2.4系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析前面所討論的系統(tǒng)過渡過程表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能，這是控制系統(tǒng)的重要特征之一?？刂葡到y(tǒng)的另一個特征是穩(wěn)態(tài)性能，對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)性能一般是根據(jù)系統(tǒng)在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)等輸入信號作用下引起的穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念我們將穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)（包括系統(tǒng)的類型及參數(shù)）和外部輸入信號的性質(zhì)。

在典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)型號、靜態(tài)誤差系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系參見表3-4。

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算我們采用靜態(tài)誤差系數(shù)法來分析討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算，這是給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的一種計算方法。

對于單位反饋系統(tǒng)來講，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)有直接的關(guān)系。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，靜態(tài)誤差系數(shù)反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小；系統(tǒng)的類型號越高，則限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力越強(qiáng)。

3.關(guān)于穩(wěn)態(tài)誤差計算時的幾點說明（1）只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才能計算其穩(wěn)態(tài)誤差，否則無意義，如果系統(tǒng)的穩(wěn)定性事先沒有確定，要按照穩(wěn)定的條件和判斷方法確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，然后才能計算穩(wěn)態(tài)誤差。（2）前面的分析和計算公式的推導(dǎo)是在輸入信號作用下，單位負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差處理，如果是非單位反饋系統(tǒng)，應(yīng)該將其轉(zhuǎn)換為單位反饋，再利用公式處理。（3）公式中的K值，是根據(jù)式（3-19）所表示的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)得到的，如果給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式不是標(biāo)準(zhǔn)式，則應(yīng)先將其轉(zhuǎn)換為式（3-19）所示的形式。

4.減少穩(wěn)態(tài)誤差的措施（1）組成控制系統(tǒng)的元器件參數(shù)應(yīng)具備相應(yīng)的精度和穩(wěn)定性。（2）提高系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)可以降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)放大環(huán)節(jié)。但是，單純提高K值會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，解決的辦法是可以進(jìn)行相應(yīng)的校正，如引入局部速度負(fù)反饋等。（3）提高系統(tǒng)的型號，可以增強(qiáng)系統(tǒng)跟隨輸入信號的能力，通常是在系統(tǒng)的前向通道中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)增加以后，會改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點，將使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。3.3頻域分析法

頻域分析法采用自動控制中的另一種數(shù)學(xué)工具——頻率特性，可以研究系統(tǒng)控制過程的性能，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)精度。這種方法不必直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線，分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)，因此它是一種圖解的方法。3.3.1頻率特性的概念頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性稱為頻率特性，它等于輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。頻率特性的表達(dá)式為：3.3.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.頻率特性的3種圖示法及其應(yīng)用場合（1）幅頻、相頻特性曲線這種方法主要用于分析系統(tǒng)性能，推算系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)。（2）對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻特性曲線對數(shù)頻率特性曲線也稱為伯德圖（Bode圖），主要用于系統(tǒng)性能的分析和討論，包括穩(wěn)定性、動態(tài)性能、抗干擾能力和性能的改善等。（3）福相特性曲線畫有福相特性曲線的圖稱為極坐標(biāo)圖，福相特性曲線也稱為奈奎斯特曲線（Nyquist曲線），主要用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性在系統(tǒng)頻率特性的表示方法中，采用對數(shù)坐標(biāo)圖表示的伯德圖具有下述特點：可以將頻率特性幅值的乘除化為對數(shù)坐標(biāo)中的加減運算，便于進(jìn)行疊加處理?？梢杂帽容^簡便的方法來繪制環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線，即漸近線表示。通過實驗獲得的數(shù)據(jù)畫成伯德圖，可以方便地確定系統(tǒng)的頻率特性表示式。由于開環(huán)系統(tǒng)是由各種典型環(huán)節(jié)組合而成的，可以通過典型環(huán)節(jié)的疊加后形成系統(tǒng)的開環(huán)特性。3.3.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為方便討論，我們通過開環(huán)對數(shù)頻率特性來分析系統(tǒng)的性能。為此就要繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線，其基本思路是：（1）將化為標(biāo)準(zhǔn)形式，分解為各典型環(huán)節(jié)的組合。（2）按典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的特點，從小到大找出系統(tǒng)特性曲線在轉(zhuǎn)折點處的頻率和每段的斜率變化規(guī)律。（3）選定繪制系統(tǒng)特性曲線所采用的坐標(biāo)軸比例尺和頻率范圍。（4）按各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性漸近線，在轉(zhuǎn)折頻率處依次疊加而得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。

3.3.4系統(tǒng)性能的分析1.三頻段的定義及其與系統(tǒng)性能的對應(yīng)關(guān)系在頻率法中，為了分析和討論系統(tǒng)的性能，我們提出開環(huán)對數(shù)幅頻特性的三頻段概念。運用三頻段的原理，可以分析控制系統(tǒng)的性能、討論系統(tǒng)參數(shù)對性能的影響、對系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計。一個具有較好的動態(tài)響應(yīng)、較高的穩(wěn)態(tài)精度、理想的跟蹤能力、滿意的抗干擾性能的控制系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線中三頻段的設(shè)置是很明確的。如下圖所示的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性：（1）低頻段：由比例＋積分環(huán)節(jié)組合而成，，其中的開環(huán)增益K和控制系統(tǒng)的型號都與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)。通常，其斜率應(yīng)取，而且其曲線要保持足夠的高度，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求。（2）中頻段：在系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的兩端區(qū)間內(nèi)，主要與微分、慣性等環(huán)節(jié)有關(guān)，反映出系統(tǒng)的動態(tài)性能。此段中的開環(huán)截止頻率不能過低，而且其附近應(yīng)該具備的斜率段，以便滿足系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性的要求。斜率段所占的頻帶寬度越大，則系統(tǒng)時域響應(yīng)的震蕩傾向和超調(diào)量越小，平穩(wěn)性越好；越大，系統(tǒng)的快速性越好。

（3）高頻段：系統(tǒng)最后1個轉(zhuǎn)折頻率以后的區(qū)域，反映出控制系統(tǒng)工作在高頻區(qū)域時的特點，與系統(tǒng)的抗干擾能力相對應(yīng)。要求高頻段的幅頻特性斜率盡量低，衰減幅值大，這樣可保證系統(tǒng)的抗高頻干擾性好。

4.穩(wěn)定性分析

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由由變化時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線繞點轉(zhuǎn)角，系統(tǒng)則穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中，P是系統(tǒng)開環(huán)特征右根的個數(shù)。若P=0，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，曲線不包圍點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。若P≠0，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，當(dāng)曲線繞點轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。在繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線時，規(guī)定逆時針方向包圍為正，順時針方向包圍為負(fù)。

數(shù)值積分法仿真

4.1數(shù)值積分法

4.1.1概述數(shù)字仿真模型、算法及仿真工具控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真是利用數(shù)字計算機(jī)作為仿真工具，采用數(shù)學(xué)上的各種數(shù)值算法求解控制系統(tǒng)運動的微分方程，得到被控物理量的運動規(guī)律。通常，計算機(jī)模擬被控對象是用一定的仿真算法來實現(xiàn)被控對象的運動規(guī)律，這是基于被控對象的數(shù)學(xué)模型來完成的?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型經(jīng)過合理的近似及簡化，大多數(shù)建立為常微分方程的表達(dá)形式。由于數(shù)學(xué)計算的難度和實際系統(tǒng)的復(fù)雜程度，在實際中遇到的大部分微分方程難以得到其解析解，通常都是通過數(shù)字計算機(jī)采用數(shù)值計算的方法來求取其數(shù)值解。在高級仿真軟件（例如MATLAB）環(huán)境下，已提供了功能十分強(qiáng)大、且能保證相應(yīng)精度的數(shù)值求解的功能函數(shù)或程序段，使用者僅需要按規(guī)定的語言規(guī)格調(diào)用即可，而無需從數(shù)值算法的底層考慮其編程實現(xiàn)過程。4.1.2離散化原理在數(shù)字計算機(jī)上對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真時，首先遇到的問題是，數(shù)字計算機(jī)的數(shù)值及時間都是離散的（計算精度，指令執(zhí)行時間），而被仿真系統(tǒng)的數(shù)值和時間是連續(xù)的，后者如何用前者來實現(xiàn)？設(shè)系統(tǒng)模型為：,共中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量。令仿真時間間隔為h,離散化后的輸入變量為u’(tk),其中tk表示t=kh。如果u’(tk)≈u(tk),y’(tk)≈y(tk)，則認(rèn)為兩模型等價，稱為相似原理。對仿真建模方法有三個基本要求：

1、穩(wěn)定性，若原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后的仿真模型也得是穩(wěn)定的2、準(zhǔn)確性，絕對或相對誤差小于規(guī)定誤差3、快速性，數(shù)字仿真是一步步推進(jìn)的，由某個初始值y0出發(fā)，依次計算出y1、y2…yk，每一步計算所需時間決定了仿真速度。

4.1.3數(shù)值積分法一般情況下，在控制系統(tǒng)仿真中最常用、最基本的求解常微分方程數(shù)值解的方法主要是數(shù)值積分法。對于形如的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)狀態(tài)變量y的初值y0,現(xiàn)要計算y隨時間變化的過程y(t)，對微分方程的積分可以寫作：右圖所示曲線下的面積就是y(t),由于難以得到積分的數(shù)值表達(dá)式，所以采用近似的方法，常用有三種形式：歐拉法梯形法龍格一庫塔法歐拉公式,采用矩形面積近似積分結(jié)果，即當(dāng)t=tk+1時hk=tk+1-tk,若步距不變，則hk=h.為了提高精度，人們提出了“梯形法”，其中最簡單的是亞當(dāng)姆斯預(yù)報—校正公式，先用歐拉法估計近似值，然后用梯形法進(jìn)行校正：龍格-庫塔法的基本原理在連續(xù)系統(tǒng)仿真中，主要的數(shù)值計算工作是求解一階微分方程：若已知y的初值y0,再按離散化原理，對上式我們可以寫成：再對上式的右端函數(shù)f(t,y)(為任意非線性函數(shù))在tk附近展開成泰勒級數(shù)，依照展開的階次不同我們就構(gòu)成了不同的龍格-庫塔公式。二階龍格—庫塔公式,記在tk時刻的狀態(tài)變量為yk,并定義兩個附加向量型變量

:四階龍格—庫塔公式：不論幾階RK法，它們的計算公式都是由兩部分組成，即上一步的結(jié)果yk和步長h乖以tk至tk+1時間間隔間各外推點的導(dǎo)數(shù)ki的加權(quán)平均和·有了上面的數(shù)學(xué)算法，就可以用MATLA編寫出該算法的函數(shù)：

function[tout,yout]=rk4(odefile,tspan,y0)t0=tspan(1);th=tspan(2);iflength(tspan)<=3,h=tspan(3)else,h=tspan(2)-tspan(1);th=tspan(2);endtout=[t0:h:th]’;yout=[];fort=tout’k1=eval([odefile’(t,y0)’]);k2=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k1)’]);k3=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k2)’]);k4=eval([odefile’t+h,y0+k3’]);yout=[yout;y0’];end其中，tspan可以有兩種構(gòu)成方法：一是可以是一個等間距的時間向量；二是tspan=[t0,th,h],t0和th為計算的初始及終止值，h為計算步長，odefile是一個字符串變量，表示微分方程的文件名，y0是初值列向量，函數(shù)調(diào)用完成后，時間向量與各個時刻狀態(tài)變量構(gòu)成的矩陣分別由tout和yout返回.MATLAB提供了兩個RK法函數(shù)ode23()和ode45()，一個采用二階三級公式，一個采用四階五級RK法，并采用了自適應(yīng)變步長的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時采用較大的計算步長，以加快計算速度；當(dāng)方程的解變化得較快時，積分步長自動變小，以得到較高的計算精度。4.2仿真精度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.2.1仿真過程的三類誤差通常，系統(tǒng)仿真的最終精度與現(xiàn)場原始數(shù)據(jù)的采集、使用的計算機(jī)設(shè)備檔次、仿真計算時的數(shù)值積分公式等均有相應(yīng)的關(guān)系，可以分為以下3種情況。1.初始誤差

在對系統(tǒng)仿真時，要采集現(xiàn)場的原始數(shù)據(jù)，而計算時要提供初始條件，這樣由于數(shù)據(jù)的采集不一定很準(zhǔn)，會造成仿真過程中產(chǎn)生一定的誤差，此類誤差稱為初始誤差。

要消除或減小初始誤差，就應(yīng)對現(xiàn)場數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的檢測，也可以多次采集，以其平均值作為參考初始數(shù)據(jù)。

2.舍入誤差目前，系統(tǒng)仿真大都采用計算機(jī)程序處理和數(shù)值計算，由于計算機(jī)的字長有限，不同檔次的計算機(jī)其計算結(jié)果的有效值不一致，導(dǎo)致仿真過程出現(xiàn)舍入誤差。一般情況下，要降低舍入誤差應(yīng)選擇擋次高些的計算機(jī)，其字長越長，仿真數(shù)值結(jié)果尾數(shù)的舍入誤差就越小。3.截斷誤差當(dāng)仿真步距確定后，采用的數(shù)值積分公式的階次將導(dǎo)致系統(tǒng)仿真時產(chǎn)生截斷誤差，階次越高，截斷誤差越小。通常仿真時多采用四階龍格—庫塔法，其原因就是這種計算公式的截斷誤差較小。4.2.2穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)仿真時存在誤差，對仿真結(jié)果產(chǎn)生會影響。若計算結(jié)果對系統(tǒng)仿真的計算誤差反應(yīng)不敏感，那么稱之為算法穩(wěn)定，否則稱算法不穩(wěn)定。對于不穩(wěn)定的算法，誤差會不斷積累，最終可能導(dǎo)致仿真計算達(dá)不到系統(tǒng)要求而失敗。

1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與仿真步長的關(guān)系一個數(shù)值解是否穩(wěn)定，取決于該系統(tǒng)微分方程的特征根是否滿足穩(wěn)定性要求，而不同的數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，在仿真時要保證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微分方程的解處于穩(wěn)定區(qū)域之中。

2.積分步長的選擇由于積分步長直接與系統(tǒng)的仿真精度和穩(wěn)定性密切相關(guān)，所以，應(yīng)合理地選擇積分步長h的值，以保證仿真結(jié)果符合用戶要求。通常，積分步長h的選擇要遵循以下兩個原則：（1）保證仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定（2）保證仿真系統(tǒng)具備一定的計算精度一般情況下，仿真中的初始誤差及舍入誤差對仿真過程影響不是很大，而截斷誤差將隨積分步長h的加大而增加，會導(dǎo)致系統(tǒng)仿真的精度下降。在仿真計算中，h值不宜選的太小，因為這樣會加大計算量；也不能選的過大，否則會導(dǎo)致仿真系統(tǒng)不穩(wěn)定或誤差積累過大。通常掌握的原則是：在保證計算穩(wěn)定性及計算精度的要求下，盡可能選較大的仿真步長。對于一般工程系統(tǒng)的仿真處理，采用四階龍格—庫塔法居多。龍格-庫塔法的步長控制策略控制策略由誤差估計和步長控制兩方面組成，其基本思想如下圖所示:步長控制積分算法誤差估計改變下一步計算步長本步計算允許誤差E2、誤差估計通常采用的方法是設(shè)法找到一個比目前使用的龍格-庫塔公式低一階的R-K公式，將兩式計算結(jié)果之差視為誤差估計值。例如：現(xiàn)以RKM4-5為計算公式再推出一個3階4級公式需要說明的是：兩個RK公式的導(dǎo)數(shù)Ki是相同的3、最優(yōu)步長法基本方法是根據(jù)本步的誤差估計來近似地確定下一步可能的最大步長，步驟如下:1)給定允許的相對誤差ε0，設(shè)本步步長為hk,本步相對估計誤差為ek，ek由下式求得:若采用的RK公式是m階，則上式中的Ek可以表示為通常取ζ=tk,則有:則表示本步積分成功，可以用ek來確定下一步的最大步長hk+1了。2）假定hk+1足夠小，即認(rèn)為3)若ek>ε0,本步失敗，但仍采用上式，重新進(jìn)行積分。4.3面向微分方程的仿真程序設(shè)計4.3.1通用仿真程序的一般結(jié)構(gòu)及工作原理1.通用仿真程序的基本結(jié)構(gòu)以數(shù)字計算機(jī)作為仿真工具，使用適當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ言來編制通用的仿真程序，可以針對不同的系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的仿真處理。按常規(guī)組成結(jié)構(gòu)，通用仿真程序可分為3個層次，即主程序塊、功能程序塊、基本子程序塊。各模塊功分析能如下：（1）主程序：完成仿真邏輯控制，實現(xiàn)各功能模塊的調(diào)用、模型的轉(zhuǎn)換、系統(tǒng)運行、輸入輸出的控制等。（2）初始化程序：完成各類初始數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備工作，如設(shè)置工作單元、給定變量初值和系統(tǒng)仿真參數(shù)等。（3）運行程序：實現(xiàn)系統(tǒng)運行的控制，調(diào)用數(shù)值積分法完成仿真算法處理，得出系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果。（4）輸出程序：按用戶指定的輸出形式，可以在顯示器、打印機(jī)、繪圖儀等設(shè)備上將仿真的結(jié)果以數(shù)據(jù)、動態(tài)曲線、圖形等方式輸出。

2.仿真的基本原理根據(jù)上面的討論，在給定的圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，編制相應(yīng)的仿真計算程序，將傳遞函數(shù)中的分子和分母多項式系數(shù)、輸入輸出變量初始值送入程序中，完成模型由傳遞函數(shù)向狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換；根據(jù)系統(tǒng)仿真的要求，分別輸入仿真步長、打印間隔和次數(shù)、外部輸入信號幅值等，然后，調(diào)用數(shù)字積分子程序完成仿真計算，最后將仿真結(jié)果送到指定的設(shè)備輸出。

4.3.2仿真源程序及其特點1.面向微分方程的仿真程序特點根據(jù)圖5-4系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)，所設(shè)計的面向微分方程的仿真程序具備以下特點：（1）該仿真程序針對線性連續(xù)系統(tǒng)單輸入、單輸出信號的處理過程進(jìn)行仿真。（2）可以將用戶輸入的系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為仿真計算模型。（3）在數(shù)值積分法中采用四階龍格－庫塔法，可保證系統(tǒng)仿真過程中具備一定的精度和性能指標(biāo)要求。（4）在參考輸入r(t)的作用下，系統(tǒng)輸出y(t)隨時間變化，仿真程序能按照給定的計算步長，采用已確定的數(shù)值算法，對系統(tǒng)中各狀態(tài)變量和輸出逐點變化情況進(jìn)行求解運算。（5）可實現(xiàn)重復(fù)運行，便于研究參數(shù)的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。（6）

采用人機(jī)對話形式輸入各變量參數(shù)，運行過程直觀、形象，修改參數(shù)容易。

2.仿真程序流程框圖

MATLAB提供了兩個常微分方程求解的函數(shù)ode23()、ode45(),分別采用了二階三級的RKF方法和四階五級的RKF法，并采用自適應(yīng)變步長的求解方法，即當(dāng)解的變化較慢時采用較大的計算步長，從而使得計算速度很快；當(dāng)解的變化較快時，步長會自動變小，從而使計算精度提高。Syntax[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)wheresolverisoneofode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,orode23tb.ArgumentsodefunAfunctionthatevaluatestheright-handsideofthedifferentialequations.Allsolverssolvesystemsofequationsintheformorproblemsthatinvolveamassmatrix,.Theode23ssolvercansolveonlyequationswithconstantmassmatrices.ode15sandode23tcansolveproblemswithamassmatrixthatissingular,i.e.,differential-algebraicequations(DAEs).tspanAvectorspecifyingtheintervalofintegration,[t0,tf].Toobtainsolutionsatspecifictimes(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].y0Avectorofinitialconditions.optionsOptionalintegrationargumentcreatedusingtheodesetfunction.Seeodesetfordetails.p1,p2...OptionalparametersthatthesolverpassestoodefunandallthefunctionsspecifiedinoptionsDescription[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)withtspan=[t0tf]integratesthesystemofdifferentialequationsfromtimet0totfwithinitialconditionsy0.Functionf=odefun(t,y),forascalartandacolumnvectory,mustreturnacolumnvectorfcorrespondingto.EachrowinthesolutionarrayYcorrespondstoatimereturnedincolumnvectorT.Toobtainsolutionsatthespecifictimest0,t1,...,tf(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)solvesasabovewithdefaultintegrationparametersreplacedbypropertyvaluesspecifiedinoptions,anargumentcreatedwiththeodesetfunction.CommonlyusedpropertiesincludeascalarrelativeerrortoleranceRelTol(1e-3bydefault)andavectorofabsoluteerrortolerancesAbsTol(allcomponentsare1e-6bydefault).Seeodesetfordetails.Example1.Anexampleofanonstiffsystemisthesystemofequationsdescribingthemotionofarigidbodywithoutexternalforces.

Tosimulatethissystem,createafunctionrigidcontainingtheequationsfunctiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);%acolumnvectordy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);Inthisexamplewechangetheerrortolerancesusingtheodesetcommandandsolveonatimeinterval[012]withaninitialconditionvector[011]attime0.options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]);[T,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],options);PlottingthecolumnsofthereturnedarrayYversusTshowsthesolution

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')Example2.AnexampleofastiffsystemisprovidedbythevanderPolequationsinrelaxationoscillation.Thelimitcyclehasportionswherethesolutioncomponentschangeslowlyandtheproblemisquitestiff,alternatingwithregionsofverysharpchangewhereitisnotstiff.Tosimulatethissystem,createafunctionvdp1000containingtheequationsfunctiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%acolumnvectordy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);Forthisproblem,wewillusethedefaultrelativeandabsolutetolerances(1e-3and1e-6,respectively)andsolveonatimeintervalof[03000]withinitialconditionvector[20]attime0.[T,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-o')Plot(t,y(:,2))4.4面向結(jié)構(gòu)圖的仿真程序設(shè)計面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)仿真基本思想為：（1）把一個復(fù)雜的高階線性系統(tǒng)化成由若干典型環(huán)節(jié)組成的模擬結(jié)構(gòu)圖表示。（2）將各典型環(huán)節(jié)參數(shù)以及系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)系輸入計算機(jī)。（3）仿真程序?qū)⑤斎氲南到y(tǒng)模型自動轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述，即狀態(tài)方程形式。（4）

調(diào)用數(shù)值積分法求解，并輸出仿真結(jié)果。

典型環(huán)節(jié)的確定及算法描述典型環(huán)節(jié)的選擇是重要的一個步驟，它應(yīng)具備下述兩個原則：（1）典型性——由它可方便地組成其它任何形式的動態(tài)環(huán)節(jié)。（2）簡易性——由它組成的系統(tǒng)簡便，計算機(jī)編程容易實現(xiàn)。常見的動態(tài)環(huán)節(jié)根據(jù)控制理論可知，在實際控制系統(tǒng)中比較常見的動態(tài)環(huán)節(jié)主要有以下五種：（1）積分環(huán)節(jié)（2）比例積分環(huán)節(jié)（3）慣性環(huán)節(jié)（4）一階超前（或滯后）環(huán)節(jié)（5）

二階振蕩環(huán)節(jié)

4.5快速仿真算法在對系統(tǒng)進(jìn)行仿真時，會碰到較高階次的控制系統(tǒng)，由于采用的計算機(jī)檔次不高會影響到仿真計算速度，占用較長的機(jī)時；在參數(shù)尋優(yōu)時往往需要對控制系統(tǒng)進(jìn)行反復(fù)的仿真計算，也將使計算過程加長；此外，系統(tǒng)的實時仿真也會對仿真的快速性提出較高的要求。對于前面所討論的數(shù)值積分法由于有相應(yīng)的計算工作量，單純加大仿真步長會影響到系統(tǒng)仿真的精度和穩(wěn)定性問題。本節(jié)介紹幾種常用的快速仿真方法，采用這些方法來編制仿真計算子程序，可以彌補數(shù)值積分法仿真在速度上的缺陷，便于在實際工程中系統(tǒng)仿真時合理地加以選擇，達(dá)到提高系統(tǒng)仿真速度的最終目的。4.5.1時域矩陣法

時域矩陣法是一種在時域內(nèi)采用無窮矩陣進(jìn)行系統(tǒng)仿真的算法，它每一步的計算量較小，而且與系統(tǒng)階次無關(guān)，適合于系統(tǒng)的快速仿真。

采用時域矩陣法來分析和討論系統(tǒng)的動態(tài)性能具備下述特點：（1）時域矩陣法多用于采樣控制系統(tǒng)，由于采用脈沖過程函數(shù)g（t）來計算系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)，不會因系統(tǒng)階次的增加而加大計算工作量，從而提高了仿真速度；但有時求解高階系統(tǒng)的脈沖過程函數(shù)g（t）會有一定的難度。（2）由于每個采樣時刻的g（k）是準(zhǔn)確計算出來的，所以采用時域矩陣法仿真時系統(tǒng)的采樣周期（或仿真步距）可以選得大些。（3）時域矩陣法可推廣到非線性系統(tǒng)的快速仿真。

4.5.2增廣矩陣法增廣矩陣法是將系統(tǒng)的控制量增廣到狀態(tài)變量中，使原來的非奇次常微分方程變?yōu)橐粋€齊次方程。4.5.3替換法快速仿真的系統(tǒng)通常比較關(guān)注系統(tǒng)仿真的速度應(yīng)該達(dá)到規(guī)定的要求，而對精度一般不做太高的要求。對于一個高階系統(tǒng)，如果能從它的傳遞函數(shù)G（s）直接推導(dǎo)出與之相匹配的并且允許較大采樣周期T的脈沖傳遞函數(shù)G（z），然后由G（z）獲得仿真模型，這將對提高仿真速度十分有利。相匹配的含義是指若G（s）是穩(wěn)定的，那么G（z）也是穩(wěn)定的，同時，當(dāng)輸入相同外作用信號時，由G（z）求出的響應(yīng)和由G（s）求出的響應(yīng)具有相同的特征。要設(shè)法找出s與z的對應(yīng)公式，將G（s）中的s替換為z，求得G（z）的表達(dá)式，這種方法稱為替換法。

4.5.4根匹配法為了實現(xiàn)對控制系統(tǒng)進(jìn)行快速仿真，應(yīng)構(gòu)造一個G（z），它允許較大的采樣周期T，且能保證G（z）在零、極點分布上與G（s）一致，動態(tài)響應(yīng)也一致，這種方法稱為根匹配法。

根匹配法的一般步驟按照前面的分析，采用根匹配法構(gòu)造G（z）應(yīng)滿足以下條件：（1）G（z）與G（s）具有相同數(shù)目的零、極點。（2）G（z）與G（s）的零、極點相互匹配。（3）G（z）與G（s）的終值應(yīng)相等。（4）G（z）與G（s）具有相同的動態(tài)響應(yīng)。

本章小結(jié)

本章主要介紹了數(shù)值積分法的仿真原理和特點；采用數(shù)值積分法面向微分方程、結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行仿真的基本思路和程序設(shè)計；仿真的精度與系統(tǒng)穩(wěn)定性討論；快速仿真算法等內(nèi)容。在數(shù)值積分法中，要熟悉典型環(huán)節(jié)的選擇，確定系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)系；能根據(jù)特定的仿真系統(tǒng)，選擇合適的仿真變量及參數(shù)，確定正確的系數(shù)矩陣；掌握CSS1、CSS2程序的結(jié)構(gòu)、各變量含義以及程序的運行特點；熟悉程序的輸入、調(diào)試，仿真結(jié)果的分析和系統(tǒng)性能的討論。此外，對于仿真系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性問題也是非常重要的，要理解仿真過程中的3類誤差產(chǎn)生的原因，制定消除誤差的方法，合理地選擇仿真步長，保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量提高系統(tǒng)仿真的精度和速度。為了提高系統(tǒng)仿真的速度，可以合理地選擇4種常用的快速仿真方法。

離散相似法仿真5.1離散相似法原理5.1.1仿真算法描述所謂離散相似法，就是將一個連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，從而得到等價的系統(tǒng)離散模型，此種方法按系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立仿真模型。在計算過程中，按各典型環(huán)節(jié)離散相似模型，根據(jù)環(huán)節(jié)的輸入來計算環(huán)節(jié)的輸出。

1.環(huán)節(jié)的離散化模型

將連續(xù)系統(tǒng)按圖5-1所示對其進(jìn)行離散化處理，在系統(tǒng)的輸入、輸出端加上虛擬采樣開關(guān)，T為采樣周期。為保證輸入信號復(fù)現(xiàn)原信號，在輸入端加上一個保持器。

圖5-1連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化

使用零階保持器，可得到離散化狀態(tài)方程的解：

若使用三角保持器，離散化狀態(tài)方程解的形式為：上式稱為環(huán)節(jié)的離散系數(shù)

2.仿真算法實現(xiàn)過程當(dāng)給定連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖后，將其等效為各典型環(huán)節(jié)的組合，按前面討論的典型環(huán)節(jié)離散系數(shù)表達(dá)式，經(jīng)程序處理，事先將各環(huán)節(jié)的類型、參數(shù)、初始條件、各環(huán)節(jié)連接關(guān)系矩陣、輸入輸出連接矩陣等參量送入程序中，既可通過離散相似的模型求出在特定信號作用下，系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)輸出變量的變化情況，從而得到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。5.1.2離散模型的精度及穩(wěn)定性離散化模型近似等效于原來的連續(xù)系統(tǒng)模型，要考慮仿真精度與哪些因素有關(guān)；還要考慮引入保持器后，其相位滯后帶來的使離散化模型的穩(wěn)定性變差等問題。1.采樣周期對仿真精度的影響引入了虛擬采樣開關(guān)后，其采樣周期原則上應(yīng)該滿足香農(nóng)采樣定理：

，而采樣周期TS通常是按照系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)的時間關(guān)系來選擇的。按經(jīng)驗公式，一般情況下，采樣周期TS按照系統(tǒng)的最小時間常數(shù)T的十分之一來加以選擇，即:

如果給定系統(tǒng)開環(huán)截止頻率時，系統(tǒng)的采樣周期也可以按下式進(jìn)行選擇：保持器特性對仿真精度的影

為使經(jīng)采樣后的信號無失真地復(fù)現(xiàn)，要在系統(tǒng)中加入保持器。雖然零階保持器比較容易實現(xiàn)，但其精度較低。為了提高控制精度，可以采用三角保持器，它復(fù)現(xiàn)信號的高頻部分失真較小，并且無相位滯后，可以得到比較滿意的結(jié)果。

此外，為了提高精度還可以采用校正補償措施，在離散模型中加入一個確定的校正環(huán)節(jié)，適當(dāng)調(diào)整參數(shù)，可使離散模型盡可能地接近原型。3.離散化模型的穩(wěn)定性離散化模型與原系統(tǒng)相比較，除了信號是離散的以外，還多了一個保持器。由于保持器本身具有的特性，對離散化模型會帶來一定的影響。比如，零階保持器具有相位滯后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響，尤其是當(dāng)系統(tǒng)由多個離散化模型組成時，這種相位滯后的影響更為嚴(yán)重。而三角保持器的特性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大，故常使用三角保持器。

5.2典型環(huán)節(jié)的離散模型按照前面的討論，我們將常見的典型環(huán)節(jié)由傳遞函數(shù)表達(dá)式推導(dǎo)出其離散系數(shù)及離散狀態(tài)方程，分別處理如下。1.積分環(huán)節(jié)的離散方程為

:

2.比例積分環(huán)節(jié)離散方程為：

3.慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

比例慣性環(huán)節(jié)的離散方程為：

5.3線性系統(tǒng)離散相似法仿真

仿真源程序設(shè)計

面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)離散相似法仿真程序具備以下特點：（1）面向控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖仿真。（2）按控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)離散相似原則建立仿真模型。（3）系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的關(guān)系由連接矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣表示。（4）程序中規(guī)定采用四種典型環(huán)節(jié)：

H=0積分環(huán)節(jié)；H=1比例積分環(huán)節(jié)

H=2慣性環(huán)節(jié)；H=3比例慣性環(huán)節(jié)其余環(huán)節(jié)可經(jīng)過轉(zhuǎn)換得到上述四種典型描述。（5）輸入各環(huán)節(jié)類型、參數(shù)、初值、連接矩陣等，可求出特定信號作用下各環(huán)節(jié)的輸出結(jié)果。（5）采用人機(jī)對話形式輸入仿真參數(shù)，容易調(diào)整參數(shù)和重復(fù)運行。

5.4非線性系統(tǒng)離散相似法仿真5.4.1典型非線性特性

實際的控制系統(tǒng)中常含有一些非線性元件，呈現(xiàn)出特定的非線性特性，當(dāng)其作用不明顯時，可采用控制理論中提供的小偏差方法將非線性特性進(jìn)行線性化處理，轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)。對于大多數(shù)典型的非線性特性，例如飽和、限幅、死區(qū)、齒輪間隙、磁滯回環(huán)、繼電、磨擦等，其影響是顯而易見的，既不能忽略，也不能作線性化處理。此外，為了獲得優(yōu)良的靜、動態(tài)特性，控制系統(tǒng)中常常需要引入某些特定的非線性特性，來改善原有系統(tǒng)的性能，這些都需要采用非線性系統(tǒng)仿真的處理方法。

在本節(jié)中，我們主要討論3種典型的非線性特性，即飽和非線性、死區(qū)非線性、滯環(huán)非線性，并分析其對控制系統(tǒng)性能的影響和仿真處理方法。

1.飽和非線性特性對系統(tǒng)過渡過程的影響主要有：

（1）使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好；

（2）過渡過程時間增長，快速性能降低；

（3）超調(diào)量下降，動態(tài)的平衡性有所改善。2.死區(qū)非線性對系統(tǒng)性能的影響主要有：

（1）

增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度；（2）延長過渡過程時間，使動態(tài)性能下降。3.滯環(huán)非線性特性對系統(tǒng)的性能影響主要有：

（1）

增加系統(tǒng)靜差，降低定位精度（2）在穩(wěn)態(tài)值附近以某一幅度進(jìn)行振蕩，會產(chǎn)生自振，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響。

5.5采樣系統(tǒng)仿真分析在實際控制系統(tǒng)中，許多場合都要用到計算機(jī)作為控制裝置。這類系統(tǒng)事先要將被控的有關(guān)信號進(jìn)行采樣，通過輸入通道把模擬量變?yōu)閿?shù)字量（即

A/D轉(zhuǎn)換），然后將數(shù)字信號送入計算機(jī)，計算機(jī)按給定的規(guī)律進(jìn)行計算，再將計算結(jié)果通過輸出通道轉(zhuǎn)化為模擬量（即D/A轉(zhuǎn)換）的控制被控對象。使被控量達(dá)到預(yù)定的控制指標(biāo)要求，這類系統(tǒng)常稱為采樣控制系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng)。隨著計算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，采樣控制系統(tǒng)也得到普及推廣，其控制特點為數(shù)字模擬混合系統(tǒng)，被控對象是時間的連續(xù)過程，采用的控制器為離散型的數(shù)字控制器。在工程實踐中，采樣控制系統(tǒng)的仿真具有重要意義。5.5.1采樣系統(tǒng)的算法描述下圖中所示是典型的數(shù)字采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖中：D(z) 表征數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

H(s) 表征保持器的傳遞函數(shù)

G(s) 表征被控對象的傳遞函數(shù)

T是系統(tǒng)的采樣周期容易求出：

差分方程描述的就是離散各量采樣時刻點上的相互關(guān)系和變化情況，因此當(dāng)仿真步長取采樣系統(tǒng)的實際采樣周期為T時，求取的結(jié)果無截斷誤差，從理論上說算法是精確的。這種方法簡便易行，只要D(z)、G(z)已知，則仿真過程非常簡單，且無截斷誤差，結(jié)果可靠。缺點是當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜時，G(z)難以求取，即使求出G(z)也無法觀察系統(tǒng)中其它中間變量的響應(yīng)特性，也不便考慮有非線性影響的情況。

5.5.2采樣周期與仿真步距的對應(yīng)關(guān)系仿真步距的選擇應(yīng)根據(jù)被控對象的結(jié)構(gòu)、采樣周期的大小、保持器的類型、以及仿真精度和速度的要求綜合考慮。通常有以下3種情況：1.仿真步距T與采樣周期Ts相等若選擇仿真步距與采樣周期相等時，在系統(tǒng)仿真過程中，實際采樣開關(guān)與虛擬采樣開關(guān)是同步工作的，與連續(xù)系統(tǒng)仿真完全相同，從而可大大簡化仿真模型，提高仿真速度。這種方式適用于采樣周期Ts較小，系統(tǒng)階次不高，仿真轉(zhuǎn)變能滿足要求的場合。在仿真過程中，求出G(z)=z[H(s)G(s)]，得到一個差分方程，再計算D(z)的差分方程，組合后可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)Y(t)。

2.仿真步距T小于采樣周期Ts

這種方式是比較常見的，當(dāng)采樣周期受系統(tǒng)環(huán)境要求設(shè)置不變后，要提高仿真精度就縮小仿真步距，使T<Ts。在仿真模型中，有兩種工作頻率，即離散部分的采樣周Ts，和連續(xù)部分的仿真步距T，為便于仿真程序的設(shè)計和實現(xiàn)，通常選擇Ts=NT(N為正整數(shù))。此類系統(tǒng)的仿真是分兩步實現(xiàn)的，對離散部分用采樣周期Ts進(jìn)行仿真，對連續(xù)部分用仿真步距T進(jìn)行仿真。離散部分每計算一次差分模型，其輸出保持，然后對連續(xù)部分的仿真模型計算N次，將第N次計算的結(jié)果作為連續(xù)部分該采樣周期的輸出。

3.改變數(shù)字控制器的采樣間隔在仿真過程中會碰到這種情況：原來的數(shù)字控制器D(z)確定后，所用于計算的采樣周期Ts比較小，現(xiàn)要按較大的采樣周期T’s進(jìn)行仿真，這就要求改變原數(shù)字控制器的差分方程。這種方式的轉(zhuǎn)換依據(jù)是：若兩個脈沖傳遞函數(shù)映射到[S]平面上具有相同的零極點，并且有相同的穩(wěn)態(tài)值，則兩個系統(tǒng)等價。其基本思想是：設(shè)原采樣系統(tǒng)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為D(z)，采樣周期為Ts，首先將D(z)映射到[S]平面上相應(yīng)的零極點，然后按新的采樣周期T’s再次映射到[S]平面上，

求得新的數(shù)字控制器D’(z)，最后根據(jù)穩(wěn)態(tài)值相等的原則確定D’(z)的增益，這樣就實現(xiàn)了差分模型的轉(zhuǎn)化工作。5.5.4仿真源程序特點（1）

可以仿真單輸入、單輸出數(shù)?；旌系挠嬎銠C(jī)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中只包含一個數(shù)字控制器D(Z)。（2）

被控對象可為線性、非線性或純延遲環(huán)節(jié)，處理過程中劃分為典型環(huán)節(jié)形式。（3）

采用環(huán)節(jié)離散相似法，面向系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行仿真。（