第01講銳角三角函數(shù)（7類題型）

第01講銳角三角函數(shù)（7類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正弦、余弦與正切的概念；2.正弦、余弦與正切的意義；1.掌握正弦、余弦、正切的概念與意義；知識(shí)點(diǎn)1：正切與余切1.正切直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切（tangent）．銳角A的正切記作tanA．．2.余切直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余切（cotangent）．銳角A的余切記作cotA．．a(chǎn)acABCb【即學(xué)即練1】1．（2023上·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┑闹档扔冢?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了特殊角的正切值，熟記相關(guān)結(jié)果即可作答．【詳解】，故選：D．【即學(xué)即練2】2．（2023下·河北石家莊·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在的正方形網(wǎng)格圖中，，，均為格點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在的正方形網(wǎng)格圖中，在中，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．知識(shí)點(diǎn)2：正弦與余弦1.正弦直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦（sine）．銳角A的正弦記作sinA．．2.余弦直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦（cosine）．銳角A的余弦記作cosA．．a(chǎn)acABCb【即學(xué)即練3】3．（2023下·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的值．【詳解】如圖，∵在中，，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個(gè)角的余弦值是解題的關(guān)鍵．題型01正弦、余弦與正切的概念辨析1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，設(shè)，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【詳解】解：如圖，中，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2．（2020上·西安·階段練習(xí)）在中，分別為所對(duì)的邊則下列等式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則sin，即，故A正確，不符合題意；，即，故B不正確，符合題意；，即，故C正確，不符合題意；，即，故D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦；銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦；銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切．3．（2021上·吉林·階段練習(xí)）如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是．【答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的長(zhǎng)，再由=AB×2=AO?BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦函數(shù)的意義、勾股定理的應(yīng)用及三角形的面積求法是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別在和中用勾股定理求解即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)求出，再利用面積相等求出，進(jìn)而求出答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴.∴；（2）解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵為的中點(diǎn)，，，∴，∵，∴.，∴；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及銳角三角函數(shù)，掌握相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．題型02求角的正弦值1．（22·23下·沈陽·開學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D在上，若的半徑是4，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用直徑所對(duì)的圓周角為得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得邊的長(zhǎng)，然后求得的正弦即可求得答案．【詳解】是直徑，，的半徑是4，，由勾股定理得：，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠得到直角三角形并利用銳角三角函數(shù)求得一個(gè)銳角的正弦值，難度不大．2．（22·23上·青島·期末）如圖，的頂點(diǎn)分別在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過B作于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理得出的值，再利用面積公式求出的值，由可得角的正弦值．【詳解】解：如圖，過B作于點(diǎn)D根據(jù)勾股定理得：∴∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦值，勾股定理與網(wǎng)格,三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形．3．（22·23·杭州·二模）點(diǎn)E為正方形的邊上一點(diǎn)，連接，且與相交于點(diǎn)M．若，則．【答案】【分析】由，推出，得到,則，令，，由勾股定理得到，即可求出．由，得到．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，令，，∴，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由得到．題型03已知正弦值求邊長(zhǎng)1．（22·23下·深圳·階段練習(xí)）如圖，，，若，，則點(diǎn)到的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)的面積的面積的面積的面積進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，在中，，，的面積的面積的面積的面積，，，，點(diǎn)到的距離是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，點(diǎn)到直線的距離，利用了勾股定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題目的已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·綿陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，，，根據(jù)等邊對(duì)等角可推出，從而證出，然后等角的正弦值相等即可求出，從而求出，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得，最后根據(jù)勾股定理列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，，，則，，，，，，，整理可得：，在中，，即，，，，解得：，，，，，，在中，，即，整理，得，，整理，得，解得：（不符合實(shí)際，舍去），即，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理，掌握等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，等角的銳角三角函數(shù)相等和勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（22·23下·合肥·三模）在中，，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列問題：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】（1）在中，，，利用，即可求出的值，即可求出的長(zhǎng)度；（2）交于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，，利用勾股定理求出，將沿直線翻折得到，可得到，可得到，結(jié)合，求出的長(zhǎng)，即可得到最后結(jié)果．【詳解】解：（1）在中，，，設(shè)，，，解得：，；故答案為：10．（2）如圖，交于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，將沿直線翻折得到，，，，，，，，，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，也考查了折疊的性質(zhì)和解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，正確作出輔助線構(gòu)造成比例線段是解答本題的關(guān)鍵．題型04求角的余弦值1．（2023秋·山東濰坊·九年級(jí)昌樂二中校考階段練習(xí)）如圖，矩形紙片，，，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，、分別交于點(diǎn)、，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出、，由、、可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出、，設(shè)，則、、，進(jìn)而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定義即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)折疊，可知：，，．在和中，，∴，，．設(shè)，則，，，，．在中，，即，解得：，，．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結(jié)合，求出的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)F為其重心，連接、并延長(zhǎng)分別交、于點(diǎn)D、E，且，，則．【答案】/【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到為的中線，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，則利用勾股定理得到，所以，接著計(jì)算出，然后根據(jù)余弦的定義求解．【詳解】解：∵點(diǎn)F為的重心，∴為的中線，，∵，，∴，，在中，，∴，在中，BF＝，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)，矩形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，則的值是．【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)，時(shí)，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴；綜上分析可知，的值是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角函數(shù)值，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．題型05已知余弦值求邊長(zhǎng)1．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形中，，，，且，，則下底的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出，，然后可得，然后問題可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查，已知余弦求邊長(zhǎng)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川南充·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，為的邊上一點(diǎn)，，，，，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)，，可求出，，再證明，即可作答．【詳解】∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在四邊形中，，，，，，則．【答案】/【分析】先根據(jù)余弦的定義可得，設(shè)，則，，再根據(jù)可求出的值，從而可得的值，然后利用勾股定理可得的值，最后根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：，，，，，設(shè)，則，，，，，解得，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦與余弦、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正弦與余弦的定義是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證；(2)求證：(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件可得，，即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件，得出∠CAD=∠ABE，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】（1）證明：，，又，；（2），：：，又，；（3）解四邊形是矩形，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，余弦的定義，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．題型06求角的正切值1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，．∴，，∴，∴∵，，則，設(shè)，則，∴解得：或∵，∴，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)B在線段上，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意，先證明，得到，，進(jìn)而得到，由，利用勾股定理得到，根據(jù)，得到，在中，根據(jù)即可求解．【詳解】解：和均為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及求正切值，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正方形中，等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)C重合，斜邊EF與正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，射線與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q且．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)；(3)求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再利用即可證明；（2）證明，得到，再由已知求得，據(jù)此求解即可；（3）先證明是等腰直角三角形，得到，在中，利用勾股定理列式求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，在與中，∵，；（2）解：，，，，，，，；（3）解：過點(diǎn)F作于R，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，在中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．題型07已知正切值求邊長(zhǎng)1．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)在邊上，沿著折疊使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，證得，然后可證得，求得的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理可得．即．解得．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等，能根據(jù)題意構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)G為的重心，若，，那么的長(zhǎng)等于．【答案】【分析】點(diǎn)G為的重心，就是三角形的三條中線交點(diǎn)，因此延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，利用中線的定義求出，利用正切的定義求出，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，∵點(diǎn)G為的重心，∴是中線，∴，∵∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心概念、正切的定義以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)重心概念添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，分別是，的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)于點(diǎn)，連結(jié)，若是的中點(diǎn)，，①求的長(zhǎng)．②求平行四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理證明，，進(jìn)而可以解決問題；（2）①設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，則，證明，得，所以，，由，得，然后證明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，②根據(jù)①的結(jié)論，勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①設(shè)與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，

，是等腰直角三角形，，，，即②在中，根據(jù)勾股定理得：，平行四邊形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）中，，，，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】勾股定理求出，再根據(jù)正切的定義：對(duì)邊比鄰邊進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查求角的正切值．熟練掌握正切的定義，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個(gè)角的余弦值是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，則的值是．【答案】/【分析】勾股定理求出的長(zhǎng)，利用正弦的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求角的正弦值．解題的關(guān)鍵是掌握正弦的定義．4．（2023下·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為．【答案】/【分析】先在圖中找出所在的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出的值．【詳解】解：在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．5．（2023下·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，．求的長(zhǎng)、和的值．【答案】，，【分析】根據(jù)勾股定理和各三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得，則，【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、求一個(gè)角的正弦和正切值等知識(shí)點(diǎn)．掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．6．（2021上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，．求的三個(gè)三角函數(shù)值．【答案】，，【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求解即可；【詳解】中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，，如果所對(duì)的邊是，下列等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查銳角三角函數(shù)；根據(jù)銳角三角函數(shù)，確定中各角的三角函數(shù)值，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：如圖所示，A．由，可得，故A錯(cuò)；B．由，可得，故B錯(cuò)；C．由，可得，故C正確；D．由，可得，故D錯(cuò)誤；故選：C．2．（2023上·山東泰安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）中，的對(duì)邊分別為．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，是直角三角形，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)等積法求出邊的高，結(jié)合勾股定理及正弦定義直接求解即可得到答案；【詳解】解：由圖形可得，，，，∴，解得：，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出邊的高．4．（2023上·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在矩形中，點(diǎn)在上，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若，，則的值為．【答案】【分析】首先利用勾股定理求得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，求出，再利用正切的定義求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，由翻折變換可知，，，在中，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，解得：，即，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的折疊問題和銳角三角函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用勾股定理建立方程．5．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查了解直角三角形，根據(jù)，即可求出，再根據(jù)勾股定理“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”即可求解；（2）本題考查了解直角三角形，根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∵，∴，解得：，∴根據(jù)勾股定理可得，（2）解：在中，，∴．6．（2023上·福建福州·九年級(jí)福建省福州格致中學(xué)校考期中）如圖，在中，直徑，與弦相交于點(diǎn)E，連接，若，求的值．【答案】【分析】連接，如圖，利用圓周角定理得到，則利用余弦定義得到，然后根據(jù)圓周角定理得到的值．【詳解】解：連結(jié)，如圖，是直徑，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑，也考查了余弦的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，若點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長(zhǎng)，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，則，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，．∴，，∴，∴∵，，則，設(shè)，則，∴解得：或∵，∴，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，則，．【答案】/【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可以求出，再利用所對(duì)直角邊是斜邊的一半，求出，由勾股定理得，最后由即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，所對(duì)直角邊是斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵熟練掌握以上知識(shí)