53簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形導(dǎo)學(xué)案北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

5．3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入探究：如圖所示，把一張長方形的紙按照?qǐng)D中虛線對(duì)折并減去陰影部分，再把它展開得到的△ABC有什么特點(diǎn)？二、合作探究探究點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)【類型一】利用“等邊對(duì)等角”求角度等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.方法總結(jié)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．【類型二】利用方程思想求等腰三角形的角度如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．解析：設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC.∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.【類型三】利用“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，試說明：EC∥DF.解析：先由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)角平分線定義得到∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代換得到∠ECB＝∠F，于是根據(jù)平行線的判定得出EC∥DF.解：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE為底角的平分線，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.方法總結(jié)：證明線段的平行關(guān)系，主要是通過證明角相等或互補(bǔ)．【類型四】利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，如圖①，試說明：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，試說明：AF⊥BC.解析：(1)過A作AG⊥BC于G.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可得出BD＝CE；(2)先求出BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．解：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.方法總結(jié)：在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．三、板書設(shè)計(jì)1．等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”)，它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸；等腰三角形的兩個(gè)底角相等．2．運(yùn)用等腰三角性質(zhì)解題的一般思想方法：方程思想、整體思想和轉(zhuǎn)化思想．本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對(duì)所學(xué)的新知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的．不足之處是少數(shù)學(xué)生對(duì)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)理解不透徹，還需要在今后的教學(xué)和作業(yè)中進(jìn)一步鞏固和提高第2課時(shí)線段垂直平分線的性質(zhì)1．理解線段的垂直平分線的概念；2．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點(diǎn))3．能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．我們學(xué)過軸對(duì)稱圖形，這類圖形因?yàn)榫哂休S對(duì)稱的特征而顯得勻稱美麗．那么什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形？2．我們學(xué)過的圖形中，有哪些圖形是軸對(duì)稱圖形？線段是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？二、合作探究探究點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)【類型一】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，連接AF.試說明：∠B＝∠CAF.解析：由EF垂直平分AD，則可得AF＝DF，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，通過角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，最終得出結(jié)論．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.方法總結(jié)：解題時(shí)，往往利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出線段相等，進(jìn)而得出角相等，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．【類型二】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷如圖，已知AB是CD的垂直平分線，下列結(jié)論：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：因?yàn)锳B是CD的垂直平分線，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的兩部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正確，只有②AO＝BO錯(cuò)誤．故選C.方法總結(jié)：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個(gè)方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．【類型三】與線段垂直平分線有關(guān)的計(jì)算如圖，DE是AC的垂直平分線，AB＝12厘米，BC＝10厘米，則△BCD的周長為()A．22厘米B．16厘米C．26厘米D．25厘米解析：要求△BCD的周長，已知BC的長度，只要求出BD＋CD即可．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD＝AD，故△BCD的周長為BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．故選A.方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．對(duì)相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．【類型四】線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.試說明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可解答．解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD；(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，利用它可以證明線段相等．探究點(diǎn)二：線段垂直平分線的作圖如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個(gè)公共汽車站，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，這個(gè)公共汽車站C建在什么位置，能使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)?解析：作線段AB的垂直平分線，由垂直平分線的定理可知，垂直平分線上的點(diǎn)到A，B的距離相等．解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.∵EO是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)O到A，B的距離相等，∴這個(gè)公共汽車站C應(yīng)建在O點(diǎn)處，才能使到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長．方法總結(jié)：對(duì)于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．三、板書設(shè)計(jì)1．線段垂直平分線的定義2．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．本節(jié)課學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的定義、性質(zhì)、判定，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可以得出線段相等；要判定線段的垂直平分線有兩種方法：(1)根據(jù)定義；(2)根據(jù)判定定理．在教學(xué)中，讓學(xué)生主動(dòng)參與，理解線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系．同時(shí)由線段的垂直平分線的性質(zhì)的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想第3課時(shí)角平分線的性質(zhì)1．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點(diǎn))2．能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入問題：在S區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．問題1：怎樣修建道路最短？問題2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)【類型一】利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，∠FDC＝∠BDE.試說明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，即DE＝DC.再根據(jù)△CDF≌△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)可得△ADC和△ADE全等，從而得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解．解：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△CDF和△EDB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠DEB＝90°，,DC＝DE，,∠FDC＝∠BDE，))∴△CDF≌△EDB(ASA)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴∠CAD＝∠EAD，∠ACD＝∠AED＝90°.在△ADC和△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAD＝∠EAD，,∠ACD＝∠AED，,AD＝AD，))∴△ADC≌△ADE(AAS)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)，在運(yùn)用時(shí)一定要注意是兩條垂線段相等．【類型二】角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運(yùn)用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3解析：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得ACD.方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角平分線的性質(zhì)與全等三角形綜合如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).試說明：CE＝CF.解析：由△DEC≌△DFC得出CD平分∠EDF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出CE＝CF.解：∵CD是∠ACG的平分線，∴∠ECD＝∠FCD.在△DEC和△DFC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEC＝∠DFC＝90°，,∠ECD＝∠FCD，,DC＝DC，))∴△DEC≌△DFC(AAS)，∠EDC＝∠FDC.又∵DE⊥AC，DF⊥CG，∴CE＝CF.方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．【類型四】角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可得△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．【類型五】角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)綜合的探究性問題如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D.(1)請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；(2)請(qǐng)你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的長．解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE為角平分線，可得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形．由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也是等腰三角形；(2)BE是∠ABC的平分線，AE⊥AB，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對(duì)稱，可得出BE⊥AD；(3)根據(jù)(2)，可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對(duì)稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；(2)AD與BE垂直．理由如下：由BE為∠ABC的平分線，知∠ABE＝∠DBE.又∵∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合，∴A、D是對(duì)稱點(diǎn)，∴AD⊥BE；(3)∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠DBE，∵DE⊥BC，EA⊥AB，∴∠BAE＝∠BDE.在△ABE和△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠D