湖南部分校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊占20％，必修第二冊占30％，選擇性必修第一冊占50％.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)直線，若，則（）A. B. C. D.3.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長為（）A. B.34 C.52 D.4.已知函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.5.已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交一個(gè)充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，動點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.57.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.現(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于，則當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根據(jù)以上知識，已知，，，P為內(nèi)一點(diǎn)，記，則的最小值為（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，平面BCD，，則已知三棱錐外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各對事件中，為相互獨(dú)立事件的是（）A.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”B.袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同小球，依次有放回地摸兩次球，每次摸一個(gè)球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩次球，每次摸一個(gè)球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.擲一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”10.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的是（）A.的最小值為1 B.的最小值為2C.最大值為2 D.的最大值為211.已知.則下列判斷正確的是（）A.若，，且，則；B.若在上恰有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；C.存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱；D.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.12.已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是體對角線上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在某一位置，與垂直B.三棱錐體積的最大值是C.二面角的正切值是D.當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的外接球表面積是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13設(shè)，則______.14.已知向量，滿足，，且，則__________.15.，對于，，都有成立，則的取值范圍是__________.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線l交雙曲線于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交x軸于點(diǎn)D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知圓，直線.（1）求證直線恒過定點(diǎn)；（2）直線被圓截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.18.“山水畫卷，郴州相見”，2023年9月16日，第二屆湖南省旅游發(fā)展大會開幕式暨文化旅游推介會在郴州舉行.開幕式期間，湖南衛(wèi)視全程直播.學(xué)校統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生觀看開幕式直播的時(shí)長情況（單位：分鐘），將其按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：（1）求的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)生觀看開幕式的情況，采用分層抽樣的方法在觀看時(shí)長為和的兩組中共抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人觀看時(shí)長在內(nèi)的概率.19.在直三棱柱中，D，E分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2），，，求二面角正切值.20.如圖，在四邊形中，，.（1）求證：（2）若，，，求的面積.21.如圖，四面體中，，，，E為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2），，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，