分式方程的解法及應(yīng)用基礎(chǔ)導學案習題含答案

分式方程的解法及應(yīng)用（基礎(chǔ)）【學習目標】1.了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．2.會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題．【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.要點四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．B．C．D．，（，為非零常數(shù)）【答案】B；【解析】A、C兩項中的方程盡管有分母，但分母都是常數(shù)；D項中的方程盡管含有分母，但分母中不含未知數(shù)，由定義知這三個方程都不是分式方程，只有B項中的方程符合分式方程的定義．【總結(jié)升華】要判斷一個方程是否為分式方程，就看其有無分母，并且分母中是否含有未知數(shù)．類型二、解分式方程 2、解分式方程（1）；（2）．【答案與解析】解：（1），將方程兩邊同乘，得．解方程，得．檢驗：將代入，得．∴是原方程的解．（2），方程兩邊同乘以，得．解這個方程，得．檢驗：把代入最簡公分母，得2×5×1＝10≠0．∴原方程的解是．【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項．特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根．舉一反三：【變式】解方程：．【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個方程，得，檢驗：當時，，∴是增根，∴原方程無解．類型三、分式方程的增根【高清課堂分式方程的解法及應(yīng)用例3（1）】3、為何值時，關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根？【思路點撥】若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值．【答案與解析】解：方程兩邊同乘約去分母，得．整理得．∵原方程有增根，∴，即或．把代入，解得．把代入，解得．所以當或時，方程會產(chǎn)生增根．【總結(jié)升華】處理這類問題時，通常先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解．舉一反三：【變式】如果方程有增根，那么增根是________．【答案】；提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母或可得．所以增根是．類型四、分式方程的應(yīng)用4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹?【思路點撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時種棵樹，則乙班每小時種棵樹．由題意可得，解這個方程，得．經(jīng)檢驗是原方程的根且符合題意．所以(棵)．答：甲班每小時種20棵樹，乙班每小時種22棵樹．【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間．舉一反三：【變式】兩個工程隊共同參與一個建筑工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．哪個隊的施工速度快?【答案】解：設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成工程的，總工程量為1．根據(jù)工程的實際進度，得．方程兩邊同時乘以，得．解這個方程得．檢驗：當時，＝6≠0，所以是原分式方程的解．由上可知，若乙隊單獨工作1個月可以完成全部任務(wù)，對比甲隊1個月完成任務(wù)的，可知乙隊施工速度快．答：乙隊施工速度快．【鞏固練習】一.選擇題1．下列關(guān)于的方程中，不是分式方程的是（）A． B．C． D．2．解分式方程，可得結(jié)果()．A. B. C. D.無解3．要使的值和的值互為倒數(shù)，則的值為()．A.0 B.－1 C. D.14．已知，若用含的代數(shù)式表示，則以下結(jié)果正確的是()．A. B. C. D.5．若關(guān)于的方程有增根，則的值為()．A.3 B.1 C.0 D.－16．完成某項工作，甲獨做需小時，乙獨做需小時，則兩人合作完成這項工作的80％，所需要的時間是()．A.小時 B.小時C.小時 D.小時二.填空題7.當＝______時，分式與的值互為相反數(shù)．8．倉庫貯存水果噸，原計劃每天供應(yīng)市場噸，若每天多供應(yīng)2噸，則要少供應(yīng)______天．9．＝______時，兩分式與的值相等．10．當＝______時，關(guān)于的方程的根是1．11．若方程有增根，則增根是______．12．關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍為____________．三.解答題13.解下列分式方程：（1）；（2）；（3）．14.甲、乙兩地相距50，A騎自行車，B乘汽車，同時從甲城出發(fā)去乙城．已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，B中途休息了0.5小時還比A早到2小時，求自行車和汽車的速度．15.有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8，余數(shù)是2，求這個兩位數(shù)．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】C選項中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程.2.【答案】D；【解析】是原方程的增根.3.【答案】B；【解析】由題意，化簡得：解得.4.【答案】C；【解析】由題意，化簡得：，所以選C.5.【答案】A；【解析】將代入，得.6.【答案】C；【解析】由題意，所以選C.二.填空題7.【答案】18；【解析】，解得.8.【答案】；【解析】原計劃能供應(yīng)天，現(xiàn)在能供應(yīng)天，則少供應(yīng)天.9.【答案】－8；【解析】，解得.10.【答案】；【解析】將代入原方程，得，解得.11.【答案】；【解析】原方程化為：，解得，經(jīng)檢驗是增根.12.【答案】且a≠0；【解析】原方程化為，解得.x≠-1，解得a≠0.三.解答題13.【解析】解：(1)方程的兩邊都乘，得．解這個整式方程，得＝2．檢驗：當＝2時，－2＝0，所以2是增根，所以原方程無解．(2)方程兩邊同乘約去分母，得．整理，得．這個式子為恒等式.檢驗：當，時，，所以和是增根．因此，原方程的解是且的任何實數(shù)．(3)方程兩邊同乘，得．解此方程，得．檢驗：把代入得，所以原方程的解是．14.【解析】解：設(shè)自行車的速度為，汽車的速度為，由題意，，解方程得：