第55講二項式定理的應用

第55講：二項式定理的應用【考綱要求】1、能用計數(shù)原理證明二項式定理2、會用用二項式定理解決與二項式展開式有關的簡單問題【基礎知識】（1）它表示的是二項式的展開式的第SKIPIF1<0項，而不是第SKIPIF1<0項（2）其中SKIPIF1<0叫二項式展開式第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)，而二項式展開式第SKIPIF1<0項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)。（3）注意SKIPIF1<03、二項式展開式的二項式系數(shù)的性質（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等。即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）增減性和最大值：在二項式的展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大。5、證明組合恒等式常用賦值法。6、二項式系數(shù)展開式的系數(shù)最大項和二項式系數(shù)最大項。（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)SKIPIF1<0取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0同時取得最大值。（2）系數(shù)的最大項：求SKIPIF1<0展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別為SKIPIF1<0，設第SKIPIF1<0項系數(shù)最大，應有SKIPIF1<0，從而解出SKIPIF1<0來。例1在二項式SKIPIF1<0的展開式中倒數(shù)第SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0，求含有SKIPIF1<0的項的系數(shù)？解：由條件知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，則含有SKIPIF1<0的項是第SKIPIF1<0項SKIPIF1<0,系數(shù)為SKIPIF1<0。例2求二項式SKIPIF1<0展開式中的有理項？解：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0)得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?！痉椒c評】有理項指的是SKIPIF1<0的指數(shù)為整數(shù)，可以是正整數(shù)，也可以是負整數(shù)和零。【變式演練2】已知(eq\r(x)－eq\f(1,2\r(4,x)))n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中所有有理項． 例3在(3x－2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項．解：(1)二項式系數(shù)最大的項是第11項，T11＝Ceq\o\al(10,20)310(－2)10x10y10＝Ceq\o\al(10,20)610x10y10.(2)設系數(shù)絕對值最大的項是第k＋1項，于是，化簡得，解得7eq\f(2,5)≤k≤8eq\f(2,5).所以k＝8，即T9＝Ceq\o\al(8,20)312·28·x12y8是系數(shù)絕對值最大的項．(3)由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設第2k－1項系數(shù)最大，于是化簡得又k為不超過11的正整數(shù)，可得k＝5，即第2×5－1＝9項系數(shù)最大，T9＝Ceq\o\al(8,20)·312·28·x12·y8.即第2×5－1＝9項系數(shù)最大，T9＝Ceq\o\al(8,20)·312·28·x12·y8.【方法點評】（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)SKIPIF1<0取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0同時取得最大值。（2）系數(shù)的最大項：求SKIPIF1<0展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設展開式中各項系數(shù)分別為SKIPIF1<0，設第SKIPIF1<0項系數(shù)最大，應有SKIPIF1<0，從而解出SKIPIF1<0來?！咀兪窖菥?】已知二項式，（n∈N）的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，（1）求展開式中各項的系數(shù)和;（2）求展開式中系數(shù)最大的項以及二項式系數(shù)最大的項.應用四求SKIPIF1<0展開式的系數(shù)。解題方法一般把三項式變成二項式，再代二項式展開式的通項公式解答。例4求當SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的一次項的系數(shù).解：解法①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的展開式中才有x的一次項，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得一次項為SKIPIF1<0,所以它的系數(shù)為SKIPIF1<0。解法②：SKIPIF1<0故展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，故展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為240.例5在SKIPIF1<0的展開式中，求SKIPIF1<0的系數(shù)。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要得到SKIPIF1<0，當?shù)谝粋€因式取1時，SKIPIF1<0展開式取5次項，SKIPIF1<0項系數(shù)為SKIPIF1<0當?shù)谝粋€因式取SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0展開式取4次項，SKIPIF1<0項系數(shù)為SKIPIF1<0當?shù)谝粋€因式取SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0展開式取3次項，SKIPIF1<0項系數(shù)為SKIPIF1<0當?shù)谝粋€因式取-SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0展開式取2次項，SKIPIF1<0項系數(shù)為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0項系數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0=-63例6．設(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5；(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.解：設f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.(1)∵a5＝25＝32，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－f(－1)＝243.(3)∵f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，∴a1＋a3＋a5＝eq\f(244,2)＝122.(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝f(1)×f(－1)＝－243.【方法點評】二項式展開式的系數(shù)和與差的問題，一般利用賦值法解答，主要是給二項式的展開式的變量賦一些特殊值，如：1，-1，0等。【變式演練6】（1）若(2x＋SKIPIF1<0)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值。（2）1＋2SKIPIF1<0＝．應用七整除性問題解題方法一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關的數(shù)的和，再利用二項式定理展開研究。例7證明：SKIPIF1<0能被64整除證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于各項均能被64整除SKIPIF1<0例8求證：2<（1+SKIPIF1<0）n<3（n≥2，n∈N*）.證明：（1+SKIPIF1<0）n=CSKIPIF1<0+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0+CSKIPIF1<0（SKIPIF1<0）2+…+CSKIPIF1<0（SKIPIF1<0）n=1+1+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0<2+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0=2+SKIPIF1<0=3－（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0<3.顯然（1+SKIPIF1<0）n=1+1+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0+…+CSKIPIF1<0×SKIPIF1<0>2.所以2<（1+SKIPIF1<0）n<3.【方法點評】看到SKIPIF1<0一般要聯(lián)想到是否能利用二項式定理解答，這是一個觀察聯(lián)想的能力?！咀兪窖菥?】SKIPIF1<0應用九利用二項式定理求近似值解題方法一般先把底數(shù)拆成“1”與某個小數(shù)的和與差，再利用二項式定理研究解答。例9求SKIPIF1<0的近似值，使誤差小于SKIPIF1<0；解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且第3項以后的絕對值都小于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從第3項起，以后的項都可以忽略不計。SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0【變式演練9】某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？【高考精選傳真】1.【2012高考真題湖北理5】設，且，若能被13整除，則A．0 B．1C．11 D．12【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12選D.2.【2012高考真題安徽理7】SKIPIF1<0的展開式的常數(shù)項是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[【解析】第一個因式取SKIPIF1<0，第二個因式取SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，第一個因式取SKIPIF1<0，第二個因式取SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0展開式的常數(shù)項是SKIPIF1<0．3.【2012高考真題浙江理14】若將函數(shù)SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0為實數(shù)，則SKIPIF1<0＝______________．【解析】法一：由等式兩邊對應項系數(shù)相等．即：SKIPIF1<0．法二：對等式：SKIPIF1<0兩邊連續(xù)對x求導三次得：SKIPIF1<0，再運用賦值法，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【反饋訓練】1、求二項式SKIPIF1<0的展開式中的常數(shù)項？2、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)3、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)4、在SKIPIF1<0的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)．5、已知SKIPIF1<0的展開式的二項式系數(shù)和比SKIPIF1<0的展開式的系數(shù)和大992,求SKIPIF1<0的展開式中:①二項式系數(shù)最大的項;②系數(shù)的絕對值最大的項.6、求式子SKIPIF1<0的常數(shù)項？7、SKIPIF1<08、SKIPIF1<09、設二項式SKIPIF1<0的展開式的各項系數(shù)的和為SKIPIF1<0，所有二項式系數(shù)的和為SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0等于多少？10、SKIPIF1<0多少？【變式演練詳細解析】【變式演練1詳細解析】方法一：原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.展開式中x3的系數(shù)為CSKIPIF1<0.方法二：原展開式中x3的系數(shù)為CSKIPIF1<0+CSKIPIF1<0+CSKIPIF1<0+…+CSKIPIF1<0=CSKIPIF1<0+CSKIPIF1<0+…+CSKIPIF1<0=CSKIPIF1<0+CSKIPIF1<0+…+CSKIPIF1<0=…=CSKIPIF1<0【變式演練2詳細解析】【變式演練3詳細解析】（1）∵第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，∴，解得n=8含x的項為SKIPIF1<0∴展開式中含x的項為SKIPIF1<0，此展開式中x的系數(shù)為240（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(SKIPIF1<0)4，令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝SKIPIF1<0，由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝[SKIPIF1<0]4＝1（2）在(1＋x)10＝SKIPIF1<0中，令x＝2，得1＋2SKIPIF1<0【變式演練8詳細解析】SKIPIF1<0與已知的有一些差距，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式演練9詳細解析】設耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產為m噸/畝，依題意SKIPIF1<0化簡：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（畝）式中x3實為這分子中的x4，則所求系數(shù)為SKIPIF1<04、【解析】Tr＋1＝SKIPIF1<0,要使x的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù)50－SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都必須是整數(shù)，因此r應是6的倍數(shù)，即r＝6k（k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤16SKIPIF1<0（k∈Z）∴x的系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項．5、【解析】解：由題意SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0。①SKIPIF1<0的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大,即SKIPIF1<0.②設第SKIPIF1<0項的系數(shù)的絕對值最大,則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故系數(shù)的絕