新高考數(shù)學二輪復習考點突破課件 第1部分 專題突破 專題6　第2講　圓錐曲線的方程與性質(zhì)（含解析）

第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)專題六解析幾何考情分析高考對這部分知識的考查側(cè)重三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問題；三是拋物線的性質(zhì)及應用問題.考點一圓錐曲線的定義與標準方程考點二橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)考點三拋物線的幾何性質(zhì)專題強化練內(nèi)容索引圓錐曲線的定義與標準方程考點一1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2.求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”“定型”：確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；“計算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.核心提煉√例1設(shè)橢圓的半焦距為c，因為點P在以線段F1A為直徑的圓上，所以AP⊥PF1.又因為F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因為|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，4延長F2M交PF1于點Q，由于PM是∠F1PF2的角平分線，F(xiàn)2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中點，所以MO是△QF1F2的中位線，求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置.易錯提醒跟蹤演練1√∵2a＝4，∴a2＝4，當m>0時，2m＝4，m＝2；當m<0時，－m＝4，m＝－4.√設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，線段AB的中點為M.如圖，分別過點A，B，M作準線l的垂線，垂足分別為C，D，N，連接AF，BF.因為線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3，拋物線y2＝8x的準線l：x＝－2，所以|MN|＝5.因為|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時取等號，所以|AB|max＝10.橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)考點二1.求離心率通常有兩種方法核心提煉(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．√例2考向1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)焦點F2(c，0)，c2＝a2＋b2，因為以F2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩漸近線相切，則圓的半徑r等于圓心到切線的距離，√√考向2離心率問題例3當兩個交點M，N在雙曲線兩支上時，如圖1所示，

設(shè)過F1的直線與圓D相切于點P，連接OP，由題意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.過點F2作F2Q⊥F1N，交F1N于點Q.由中位線的性質(zhì)，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.圖1由雙曲線的定義可知|NF1|－|NF2|＝2a，圖1兩邊平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，當兩個交點M，N都在雙曲線上的左支上時，如圖2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.圖2(1)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合橢圓(或雙曲線)的定義，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.規(guī)律方法跟蹤演練2√設(shè)P(m，n)(n≠0)，則Q(－m，n)，易知A(－a，0)，√√設(shè)|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，由雙曲線的定義知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，故選項A正確；由余弦定理知，在△ABF1中，在△AF1F2中，化簡整理得12c2＝11m2＝44a2，故選項C錯誤；若原點O在以F2為圓心，|AF2|為半徑的圓上，雙曲線的漸近線方程為拋物線的幾何性質(zhì)考點三拋物線的焦點弦的幾個常見結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則核心提煉(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當AB⊥x軸時，弦AB的長最短為2p.例4√設(shè)點M到拋物線的準線的距離為|MM′|，拋物線的準線與x軸的交點記為點B.由拋物線的定義知，|MM′|＝|FM|.(2)(多選)(2022·新高考全國Ⅱ)已知O為坐標原點，過拋物線C：y2＝2px(p>0)焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p，0).若|AF|＝|AM|，則A.直線AB的斜率為

B.|OB|＝|OF|C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM＋∠OBM<180°√√√因為|AF|＝|AM|，且M(p，0)，對于C，由拋物線的定義及選項A，B的分析，所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正確.綜上所述，選ACD.利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學運算.規(guī)律方法

(1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為__________.跟蹤演練3所以tan∠OPF＝tan∠PQF，√由拋物線的方程可得焦點F(1,0)，漸近線的方程為x＝－1，由于拋物線的對稱性，不妨假設(shè)直線和拋物線位置關(guān)系如圖所示，作BE垂直準線于點E，準線交x軸于點N，則|BF|＝|BE|，所以直線AB的方程為y＝x－1，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，整理可得x2－6x＋1＝0，則x1＋x2＝6，所以BC的中點的橫坐標為3，則線段BC的中點到準線的距離為3－(－1)＝4.專題強化練一、單項選擇題1.(2022·中山模擬)拋物線C：y2＝2px上一點(1，y0)到其焦點的距離為3，則拋物線C的方程為A.y2＝4x

B.y2＝8xC.y2＝12x

D.y2＝16x√1234567891011121312345678910111213因拋物線C：y2＝2px上一點(1，y0)到其焦點的距離為3，所以拋物線C的方程為y2＝8x.√1234567891011121312345678910111213所以由m＋1＝32，得m＝8，123456789101112133.(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于√方法一

由題意可知F(1,0)，因為|BF|＝3－1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).12345678910111213方法二

由題意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因為拋物線的通徑長為2p＝4，所以AF的長為通徑長的一半，所以AF⊥x軸，123456789101112134.(2022·濰坊模擬)如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線＝1(a>0，b>0)上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為36，F(xiàn)到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為√1234567891011121312345678910111213√1234567891011121312345678910111213如圖所示，設(shè)|AF1|＝4x，則|AB|＝3x，因為AF1⊥AB，由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，12345678910111213由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，√12345678910111213設(shè)P(x0，y0)，12345678910111213因為－1≤y0≤1，12345678910111213二、多項選擇題7.(2022·臨沂模擬)2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點F(0,2)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G.若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則√√√12345678910111213記∠AOF＝θ，則S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝|OA|sin

θ＋2sinθ＝(|OA|＋2)sinθ，1234567891011121312345678910111213√√√對于A，在△PA1A2中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A錯誤；

對于B，焦點F2(c，0)，設(shè)F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為(m，n)，1234567891011121312345678910111213將c2＝a2＋b2代入，化簡整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，對于C，雙曲線C為等軸雙曲線，即C：x2－y2＝a2(a>0)，設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，12345678910111213對于D，雙曲線C為等軸雙曲線，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，設(shè)∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，則∠PA2x＝4θ，根據(jù)C的結(jié)論

＝1，即有tanθ·tan4θ＝1，12345678910111213∴cos5θ＝0，∵θ＋3θ∈(0，π)，三、填空題9.寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程：______________________.①中心為坐標原點；②焦點在坐標軸上；③離心率為12345678910111213123456789101112131612345678910111213設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8),P1，P2，P3，…，P8是拋物線x2＝4y上不同的點，點F(0,1)，準線為y＝－1，＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，12345678910111213＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋…＋y8＋8＝16.1234567891011121312345678910111213依題意，由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，則|PF2|＝5，因為點F2是拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點