第03講 二次函數(shù)的增減性與最值問題（原卷版）

第3講二次函數(shù)的增減性與最值問題考點一：二次函數(shù)的最值【知識點睛】無區(qū)間范圍的二次函數(shù)最值由a與定點縱坐標(biāo)共同決定對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）：對稱軸：直線；頂點坐標(biāo)：；開口向上a＞0二次函數(shù)有最小值；開口向下a＜0二次函數(shù)有最大值；區(qū)間范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值通常需要分類討論區(qū)間范圍內(nèi)由二次函數(shù)最值求參數(shù)字母值問題的解題步驟：①找對稱軸畫拋物線簡圖（不需要畫平面直角坐標(biāo)系）；②分類討論：讓對稱軸分別在對應(yīng)取值范圍的左邊、中間、右邊；結(jié)合拋物線的增減性找到最值時的等量關(guān)系列方程求解③判斷所求出的參數(shù)字母的值是否在對應(yīng)分類討論的取值范圍內(nèi)，不在則舍去?！绢愵}訓(xùn)練】1．已知二次函數(shù)的圖象（0≤x≤4）如圖，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，無最小值2．已知函數(shù)y＝x2﹣6x+2，當(dāng)﹣1＜x＜4時，則y的取值范圍為．3．設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a4．已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（）A．﹣5 B．3 C． D．45．已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣86．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤07．在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最小值 B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最大值 C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值 D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值8．已知二次函數(shù)y＝（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或39．如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3），點P在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，若該拋物線在點P左側(cè)部分（包括點P）的最低點的縱坐標(biāo)為2﹣m．則m的值為（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于．11．當(dāng)a≤x≤a+1時，函數(shù)y＝x2﹣2x+1的最小值為4，則a的值為．12．當(dāng)﹣2≤x≤1時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實數(shù)m的值為（）A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣13．當(dāng)a﹣1≤x≤a時，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的最小值為8，則a的值為（）A．﹣1或5 B．0或6 C．﹣1或6 D．0或514．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的頂點坐標(biāo)是（1，﹣3），且過點（2，﹣）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若該二次函數(shù)圖象與直線y＝m（m是常數(shù)）交于點A、B，AB＝6，則m＝．（3）當(dāng)﹣3＜x＜3時，y的取值范圍是．15．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)y＝x2+mx+n圖象與y軸交點為（0，3），請判斷此二次函數(shù)的頂點是否在直線y＝kx+b（k≠0）的圖象上？（3）當(dāng)n＞0，m≤5時，二次函數(shù)y＝x2+mx+n的最小值為t，求t的取值范圍．考點二：二次函數(shù)的增減性【知識點睛】常規(guī)問題需要由a與對稱軸共同確定，且拋物線的增減性必須有對應(yīng)的范圍對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）：a＞0時，圖象開口向上；當(dāng)時，y隨x的增大而減小，反之則y隨x的增大而增大；a＜0時，圖象開口向下；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，反之則y隨x的增大而減?。粂1、y2比較大小問題規(guī)律總結(jié)：若點A（x1,y1）、B（x2,y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上的兩個點，則：當(dāng)a＞0時，A、B兩點誰離對稱軸越近，誰的縱坐標(biāo)越??；當(dāng)a＜0時，A、B兩點誰離對稱軸越近，誰的縱坐標(biāo)越大；【類題訓(xùn)練】1．關(guān)于拋物線y＝﹣x2+2，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是y軸 C．有最小值 D．當(dāng)x＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小2．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，當(dāng)﹣1＜x＜m時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．﹣1＜m≤1 C．m＞0 D．﹣1＜m＜23．已知二次函數(shù)y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其圖象上兩點，下列判斷正確的是（）A．若x1+x2＞﹣1，則y1＞y2 B．若x1+x2＜﹣1，則y1＞y2 C．若x1+x2＞1，則y1＞y2 D．若x1+x2＜1，則y1＞y24．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a2+1，當(dāng)x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，且2≤x≤3時，y的最大值為10，則a的值為（）A．﹣3 B．3 C． D．±35．已知拋物線y＝﹣x2+2x+c，若點（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在該拋物線上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＜y1＜y26．已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2+4的圖象開口向上，若點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在該函數(shù)圖象上，則y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知點A（m，n）、B（m+1，n）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象上的兩個點，若當(dāng)x≤2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知二次函數(shù)y＝x2+（m﹣1）x+1，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，而m的取值范圍是（）A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣110．若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．11．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+1，當(dāng)x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是．12．已知：二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求這個二次函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若該二次函數(shù)圖象拋物線開口向上，當(dāng)0≤x≤4時，y的最小值是3，求當(dāng)0≤x≤4時，y的最大值；（3）若點A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在拋物線y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范圍．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點（﹣1，m），（2，n）在二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3的圖象上．（1）當(dāng)m＝n時，求b的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)﹣3