【數(shù)學】福建省莆田市五校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期期中試題（解析版）

福建省莆田市五校聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.下列圖象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)圖像觀察知：值域不滿足；定義域不滿足；滿足；不是函數(shù).故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根據(jù)全稱命題的否定的寫法得到：命題“，”的否定是，.故選：D.3.已知：正整數(shù)能被6整除，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題知在命題表示正整數(shù)能被3整除，而能被6整除的正整數(shù)一定能被3整除，故前者能夠推出后者，而能被3整除的正整數(shù)不一定能被6整除，如9，故后者無法推出前者，故是的充分不必要條件.故選：A.4.在數(shù)學漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．數(shù)學黑洞：無論怎樣設值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】依題意，，，故，故的子集個數(shù)為8．故選：D．5.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值是（）A.或 B.或 C. D.3或或2【答案】B【解析】（?。┤簦瑒t，，（舍去）；（ⅱ）若，則，，綜上，或.故選：B.6.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】法一：當時，，只有B選項符合.法二：，則函數(shù)的圖象是由函數(shù)先向右平移個單位長度，再向上平移一個單位長度得到的，只有B選項符合.故選：B.7.一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平的左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次秤得的黃金交給顧客，你認為顧客購得的黃金是（）A.大于10g B.大于等于10gC.小于10g D.小于等于10g【答案】A【解析】由于天平兩臂不等長，可設天平左臂長為，右臂長為，則，再設先稱得黃金，后稱得黃金為，則，，，，，當且僅當，即時等號成立，但，等號不成立，即，因此，顧客購得的黃金大于.故選：A.8.函數(shù)在單調遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】方法一：特殊函數(shù)法，由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.方法二：最優(yōu)解特殊值法，假設可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.方法三：直接法，根據(jù)題意，為奇函數(shù)，若，則，因為在單調遞減，且，所以，即有：，解可得：.故選：D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，則，即，，故A、C、D正確；當時，故B錯誤.故選：ACD.10.已知函數(shù)關于函數(shù)的結論正確的是（）A.的定義域為R B.的值域為C.若，則x的值是 D.的解集為【答案】BC【解析】函數(shù)的定義域是，故A錯誤；當時，，值域為，當時，，值域為，故的值域為，故B正確；當時，令，無解，當時，令，得到，故C正確；當時，令，解得，當時，令，解得，故的解集為，故D錯誤．故選：BC．11.下列命題中，為假命題的是（）A.，都有B.函數(shù)的最小值為2C.對任意非零實數(shù)，，都有D.，使得【答案】ABC【解析】對于A，當時，不等式不成立，A是假命題；對于B，原函數(shù)化為，令，顯然函數(shù)在上單調遞增，因此當，即時，，B是假命題；對于C，當實數(shù)，異號時，，C是假命題；對于D，當時，，即，使得，D是真命題.故選：ABC.12.定義在R上的函數(shù)若滿足：①，，都有﹔②對任意x，都有，則稱函數(shù)為“軸對稱函數(shù)”，其中稱為函數(shù)的對稱軸．已知函數(shù)是以為對稱軸的“軸對稱函數(shù)”，則使得不等式成立的m的取值可能是（）A. B. C.1 D.2【答案】BC【解析】函數(shù)是以為對稱軸的“軸對稱函數(shù)”，則以為對稱軸的函數(shù)，即函數(shù)是偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，不等式，故，解得.故選：BC．三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為.故答案為：.14.函數(shù)的零點為_______________．【答案】1和3【解析】由題意，，，解得或，故函數(shù)的零點為和.故答案為：和.15.已知一次函數(shù)滿足，則的解析式為_________．【答案】或【解析】設，則，所以，解得或，所以或.故答案為：或.16.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】因為，，且，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，因為恒成立，所以，.故答案為：.四、解答題（本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知集合，集合.（1）求；（2）設集合，若，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）由得或，所以或，由得，解得，所以，，所以.（2）因為，所以，所以或，解得或．18.已知函數(shù)．（1）在同一坐標系中畫出函數(shù)，的圖象；（2）定義：對，表示與中的較小者，記為，分別用函數(shù)圖象法和解析法表示函數(shù)，并寫出的單調區(qū)間和值域（不需要證明）．解：（1）如圖所示：（2）函數(shù)的圖像如圖所示：解析式為＝，函數(shù)單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為和，值域為．19.已知不等式的解集為或．（1）求的值；（2）為何值時，的解集為．解：（1）不等式的解集為或，所以1和是方程的實數(shù)根，方程可化為，由根與系數(shù)的關系知，，解得.（2）由（1）知：不等式為，令，解得，所以當時，不等式的解集為．20.已知函數(shù)，且，．（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)，求的最小值并指出此時的取值．解：（1）因為，且，，所以，解得.（2）由（1）可得，所以，因為，所以，當且僅當，即時取得等號，所以的最小值為，此時.21.通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講授開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學生的注意力開始分散.分析結果和實驗表明：講課開始時，學生注意力集中度的值（的值越大，表示學生的注意力越集中）與x的關系如下：（1）講課開始時和講課開始時比較，何時學生的注意力更集中？（2）講課開始多少分鐘時，學生的注意力最集中，能持續(xù)多久？（3）一道數(shù)學難題，需要講解，并且要求學生的注意力集中度至少達到55，那么老師能否在學生達到所需狀態(tài)下講授完這道題目？請說明理由.解：（1）由題意得，，所以講課開始后5min學生注意力更集中.（2）當時，，在時單調遞增，最大值為，當時，；當時，函數(shù)為減函數(shù)，且，因此開講10分鐘后，學生的接受能力最強（為，能維持6分鐘．（3）當時，令，解得或20（舍去）；當時，令，解得，可得學生一直達到所需接受能力55的狀態(tài)的時間，因此老師不能及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)，的值；（2）判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．解：