甘肅省蘭州市西北中學2023-2024學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷

2023-2024學年甘肅省蘭州市西北中學高一（上）期中數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題總分40分）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈N|x2＝1}，那么?A（A∩B）＝（）A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．（5分）下列表示正確的個數(shù)是（）（1）0??；（2）??{1，2}；（3）；（4）若A?B，則A?B＝A．（5）?∈{?}A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）已知命題．則（）A．p為真命題，命題p的否定： B．p為假命題，命題p的否定：?x＞0，x2+2x+1≠x C．p為真命題，命題p的否定：?x＞0，x2+2x+1≠x D．p為假命題，命題p的否定：?x≤0，x2+2x+1≠x4．（5分）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點，則f（8）＝（）A． B． C． D．5．（5分）已知函數(shù)f（2x+1）＝5x﹣6，且f（t），則t＝（）A．7 B．5 C．3 D．46．（5分）已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．（5分）設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1），則不等式x[f（x）﹣f（﹣x）（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）十九世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D（x）＝它在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f（x）2﹣D（x），則下列實數(shù)不屬于函數(shù)f（x）值域的是（）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題（本題共4小題總分20分）（多選）9．（3分）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論正確的是（）A．f（x）的定義域為R B．f（x）的值域為（﹣∞，4） C．f（﹣1）＝1 D．若f（x）＝3，則x的值是（多選）10．（3分）下列命題是真命題的是（）A．函數(shù)的最小值是2 B．若x＞1，則的最小值是8 C．已知x，y都是正數(shù)，若x+2y＝2，則xy的最大值是 D．（多選）11．（3分）下列命題中正確的是（）A．函數(shù)y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù) B．函數(shù)在（﹣∞，﹣1）?（﹣1，+∞）上是減函數(shù) C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞） D．已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）（多選）12．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．當m＝0時，x1＝2，x2＝3 B． C．當m＞0時，2＜x1＜x2＜3 D．二次函數(shù)y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零點為2和3三、填空題（本題共4小題總分20分）13．（3分）不等式＞1的解集是．14．（3分）已知函數(shù)f（x）＝，則f（f（﹣2））＝．15．（3分）不等式的解集為．16．（3分）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值集合是．（用區(qū)間表示）四、解答題（本題共6小題總分70分）17．（10分）計算下列各式：（1）；（2）．18．（12分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解是[﹣，﹣]（1）求a，b的值；（2）求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2在[1，+∞）上為減函數(shù)．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．20．（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣3，3]上的奇函數(shù)，．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞021．（12分）已知函數(shù)f（x）＝|x|（x+1）．完成下面兩個問題：（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出其單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值．22．（12分）設函數(shù)f（x）＝是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)（）＝．（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；（2）用定義證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)．

2023-2024學年甘肅省蘭州市西北中學高一（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單選題（本題共8小題總分40分）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈N|x2＝1}，那么?A（A∩B）＝（）A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【分析】首先求出集合B，再根據(jù)交集、補集的定義計算可得．【解答】解：由x2＝1，解得x＝6或x＝﹣1，因為B＝{x∈N|x2＝6}＝{1}，又A＝{﹣1，2，所以A∩B＝{1}，則?A（A∩B）＝{﹣1，5}．故選：C．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎題．2．（5分）下列表示正確的個數(shù)是（）（1）0??；（2）??{1，2}；（3）；（4）若A?B，則A?B＝A．（5）?∈{?}A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、交集、子集等知識進行分析，從而確定正確答案．【解答】空集沒有元素，所以0??正確；空集是任何集合的子集，所以??{1，也即（2）正確；由解得，所以（3）錯誤；若A?B，即A是B的子集，所以（4）正確；根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知?∈{?}正確，也即（5）正確．所以正確的個數(shù)是4．故選：A．【點評】本題考查集合間的基本關(guān)系，屬于基礎題．3．（5分）已知命題．則（）A．p為真命題，命題p的否定： B．p為假命題，命題p的否定：?x＞0，x2+2x+1≠x C．p為真命題，命題p的否定：?x＞0，x2+2x+1≠x D．p為假命題，命題p的否定：?x≤0，x2+2x+1≠x【分析】由題設x2+2x+1＝x?即可判斷原命題的真假，再由特稱命題的否定：存在改任意并否定原結(jié)論，即可得答案．【解答】解：由x2+2x+4＝x，即，顯然不可能成立，所以p為假命題，由特稱命題的否定為全稱命題，則原命題的否定為?x＞0，x2+5x+1≠x．故選：B．【點評】本題主要考查了特稱命題的否定，考查了命題真假的判斷，屬于基礎題．4．（5分）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點，則f（8）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解，即可代入求解．【解答】解：設f（x）＝xα，則，所以，故．故選：C．【點評】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．（5分）已知函數(shù)f（2x+1）＝5x﹣6，且f（t），則t＝（）A．7 B．5 C．3 D．4【分析】根據(jù)f（2x+1）＝5x﹣6即可求出，再根據(jù)f（t）＝9即可得出，解出t即可．【解答】解：∵；∴；∴；解得t＝7．故選：A．【點評】考查已知f[g（x）]的解析式求f（x）解析式的方法，換元法求函數(shù)解析式的方法．6．（5分）已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進行比較即可．【解答】解：由y＝0.31x單調(diào)遞減可知：0.317.1＞0.312.2，即a＞b；由y＝x0.5單調(diào)遞增可知：0.320.4＞0.310.7，即c＞a所以c＞a＞b．故選：D．【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．7．（5分）設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1），則不等式x[f（x）﹣f（﹣x）（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)∴f（x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)則不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜3等價為不等式x[f（x）+f（x）]＜0，即2xf（x）＜7即當x＞0時，f（x）＜0，當x＜6時，f（x）＞0，即不等式的解集為（﹣1，5）∪（0故選：B．【點評】本題主要考查不等式的解法，此類問題往往借助于函數(shù)圖象分析．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱．8．（5分）十九世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D（x）＝它在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f（x）2﹣D（x），則下列實數(shù)不屬于函數(shù)f（x）值域的是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據(jù)已知條件求出f（x），利用分段函數(shù)分段處理及函數(shù)值域的定義即可求解．【解答】解：由題意可知f（x）＝x2﹣D（x）＝，所以f（1）＝13﹣1＝0，，，而f（x）＝1無解．故選：C．【點評】本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題．二、多選題（本題共4小題總分20分）（多選）9．（3分）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論正確的是（）A．f（x）的定義域為R B．f（x）的值域為（﹣∞，4） C．f（﹣1）＝1 D．若f（x）＝3，則x的值是【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域的定義，分段函數(shù)值域的求法以及函數(shù)的定義逐項判斷．【解答】解：顯然定義域為（﹣∞，﹣1）∪[﹣1，3]，故A錯誤；當x＜﹣1時，f（x）＝x+5＜2，f（x）＝x2∈[0，6），4）；f（﹣1）＝（﹣8）2＝1，故C正確；若f（x）＝4，則，或，解得x＝﹣2或．故選：BC．【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)定義域、值域和函數(shù)值的求法，屬于中檔題．（多選）10．（3分）下列命題是真命題的是（）A．函數(shù)的最小值是2 B．若x＞1，則的最小值是8 C．已知x，y都是正數(shù)，若x+2y＝2，則xy的最大值是 D．【分析】結(jié)合x＜0可判斷A選項；結(jié)合基本不等式可判斷BC選項；，進而結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D選項．【解答】解：對于A，當x＜0時，；對于B，由x＞1，當且僅當，即時等號成立的最小值是8；對于C，因為x，所以，即，當且僅當x＝6y，即x＝1，，所以xy的最大值是；對于D，令，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增＝，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應用，屬于中檔題．（多選）11．（3分）下列命題中正確的是（）A．函數(shù)y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù) B．函數(shù)在（﹣∞，﹣1）?（﹣1，+∞）上是減函數(shù) C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞） D．已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性分別判斷各選項．【解答】解：A選項：y＝2x2+x+4對稱軸為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；B選項：函數(shù)在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，因為，函數(shù) 在（﹣∞，+∞）上不是減函數(shù)；C選項：定義域為[﹣2，且函數(shù)y＝5+4x﹣x6的對稱軸為x＝2，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，C選項錯誤；D選項：f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞5，b＞﹣a，所以f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），D選項正確．故選：AD．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應用，屬于中檔題．（多選）12．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．當m＝0時，x1＝2，x2＝3 B． C．當m＞0時，2＜x1＜x2＜3 D．二次函數(shù)y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零點為2和3【分析】當m＝0時，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解方程即可判斷選項A，x2﹣5x+6﹣m＝0有實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，根據(jù)Δ＞0即可判斷選項B，數(shù)形結(jié)合由y＝（x﹣2）（x﹣3）圖像與y＝m圖像交點橫坐標可判斷選項C，由（x﹣2）（x﹣3）＝m展開得：x2﹣5x+6﹣m＝0，先利用韋達定理求出x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m可判斷選項D，進而可得正確選項．【解答】解：對于A，易知當m＝0時，3，故A正確；對于B，設，因為y＝（x﹣4）（x﹣3）的圖像與直線y＝m有兩個交點，故B正確；對于C，當m＞0時，x1＜6＜3＜x2，故C錯誤；對于D，由（x﹣7）（x﹣3）＝m展開得：x2﹣6x+6﹣m＝0，利用韋達定理求出x7+x2＝5，x7x2＝6﹣m代入y＝（x﹣x7）（x﹣x2）+m，可得y＝（x﹣x1）（x﹣x7）+m＝（x﹣2）（x﹣3）﹣m+m＝（x﹣7）（x﹣3），所以二次函數(shù)y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的零點為2和3，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查一元二次方程的應用，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題總分20分）13．（3分）不等式＞1的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．【分析】把不等式右邊的“1”移項到不等式左邊，通分后根據(jù)分母不變只把分子相減計算后，在不等式兩邊同時除以﹣1，不等號方向改變，然后根據(jù)兩數(shù)相除，異號得負，根據(jù)商為負數(shù)得到x+2與3x+1異號，可化為兩個不等式組，分別求出兩不等式組的解集，求出兩解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式，移項得：＞0，即＜3，可化為：或，解得：﹣2＜x＜﹣或無解，則原不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．故答案為：{x|﹣2＜x＜﹣}【點評】此題考查了其他不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學思想，是高考中?？嫉幕A題．學生做題時注意在不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變．14．（3分）已知函數(shù)f（x）＝，則f（f（﹣2））＝1．【分析】由已知函數(shù)解析式先求出f（﹣2）＝0，進而可求．【解答】解：因為f（x）＝，所以f（﹣6）＝0，則f（f（﹣2））＝f（0）＝7．故答案為：1．【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎題．15．（3分）不等式的解集為（﹣2，3）．【分析】原不等式化為，進而利用函數(shù)的單調(diào)性得到x2﹣4x﹣3＜3﹣3x，解一元二次不等式，即可得答案；【解答】解：原不等式可化為：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝2x的增函數(shù)性質(zhì)得：x7﹣4x﹣3＜7﹣3x，解得：﹣2＜x＜2．故答案為：（﹣2，3）．【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性在不等式求解中的應用，屬于基礎題．16．（3分）若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值集合是[0，8）．（用區(qū)間表示）【分析】由題意知ax2﹣ax+2＞0對任意實數(shù)恒成立，最高次項系數(shù)含參問題，考慮參數(shù)是否為零，分情況討論．【解答】解：若函數(shù)的定義域為R2﹣ax+2＞7對任意實數(shù)恒成立，①當a＝0時，2＞5恒成立；②當a≠0時，若ax2﹣ax+7＞0，則需滿足，解得：0＜a＜8；綜上所述：6≤a＜8．即a∈[0．故答案為：[2，8）．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎題．四、解答題（本題共6小題總分70分）17．（10分）計算下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算法則直接計算即可；（2）根據(jù)指數(shù)運算法則直接計算即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．【點評】本題考查了根式的化簡與有理數(shù)指數(shù)冪的運算問題，是基礎題．18．（12分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解是[﹣，﹣]（1）求a，b的值；（2）求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．【分析】（1）根據(jù)不等式對應方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組求出a、b的值；（2）把（1）中a、b的值代入不等式x2﹣bx﹣a＜0求解即可．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx﹣1≥3的解是[﹣，﹣]，∴﹣、﹣是方程 5﹣bx﹣1＝0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知﹣+（﹣，且﹣）＝﹣；解得a＝﹣3，b＝5；（2）根據(jù)（1）知，不等式x2﹣bx﹣a＜2為x2﹣5x+5＜0，解得2＜x＜2，∴該不等式的解集為（2，3）．【點評】本題考查了三個二次之間的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應用問題，是基礎題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2在[1，+∞）上為減函數(shù)．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）考慮a＝0和a≠0兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得到，解得答案；（2）考慮a＝0和a＜0兩種情況，根據(jù)f（x）＝（x+1）（ax﹣2），考慮x1＝﹣1和的大小關(guān)系，解不等式得到答案．【解答】解：（1）當a＝0時，f（x）＝﹣2x﹣5在[1，符合題意，當a≠0時，f（x）＝ax3+（a﹣2）x﹣2為二次函數(shù)，則，解得a＜0，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0]；（2）當a＝4時，f（x）＝﹣2x﹣2≥7，所以x≤﹣1；當a＜0時，f（x）＝（x+3）（ax﹣2）的零點為x1＝﹣7，，當即a＜﹣2時，；當即﹣2＜a＜0時，；當即a＝﹣2時；綜上所述：當a＝0時，不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤﹣1}；當﹣2＜a＜2時，不等式f（x）≥0的解集為；當a＝﹣2時，不等式f（x）≥0的解集為{﹣6}；當a＜﹣2時，不等式f（x）≥0的解集為．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，屬于基礎題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣3，3]上的奇函數(shù)，．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0【分析】（1）利用奇函數(shù)定義直接可得解析式；（2）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號f，再考慮到定義域即可求出a的范圍．【解答】解：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）＝0，設﹣3≤x＜8，則0＜﹣x≤3，，由f（x）為奇函數(shù)有，又x＝0時滿足f（0）＝0，故，（2）當0