第05講一次方程（組）及其應(yīng)用（講義）（原卷版）

第05講一次方程（組）及其應(yīng)用目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一等式的基本性質(zhì)題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤題型02利用等式的性質(zhì)求解考點二一元一次方程題型01判斷一元一次方程題型02解一元一次方程題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數(shù)的一元一次方程技巧1巧化分母為1技巧2巧化同分母技巧3巧約分去分母【類型二】分子、分母為整數(shù)的一元一次方程技巧1巧用拆分法技巧2巧用對消法技巧3巧通分【類型三】含括號的一元一次方程技巧1利用倒數(shù)關(guān)系去括號技巧2整體合并去括號技巧3整體合并去分母技巧4由外向內(nèi)去括號技巧5由內(nèi)向外去括號題型04錯看或錯解一元一次方程問題考點三二元一次方程（組）題型01二元一次方程（組）的概念題型02解二元一次方程組題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入?yún)?shù)法類型二特殊消元法方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對值相等類型三特殊消元法方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對值相等類型四換元法類型五同解交換法類型六主元法題型04錯看或錯解二元一次方程組問題題型05構(gòu)造二元一次方程組求解題型06解三元一次方程組考點四一次方程（組）的應(yīng)用題型01利用一元一次方程解決實際問題類型一配套問題類型二工程問題類型三增長率問題類型四銷售利潤問題類型五比賽積分問題類型六方案選擇問題類型七數(shù)字問題類型八日歷問題類型九幾何問題類型十和差倍分問題類型十一行程問題題型02利用二元一次方程解決實際問題類型一配套問題類型二方案選擇問題類型三年齡問題類型四幾何問題類型五行程問題類型六古代問題類型七圖表問題類型八工程問題考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測等式的基本性質(zhì)理解等式的基本性質(zhì)一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數(shù)學(xué)中因為未知數(shù)的最高次數(shù)都是一次，且都是整式方程,所以統(tǒng)稱為“一次方程”.中考中，對于這兩個方程的解法及其應(yīng)用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應(yīng)用上也是中考代數(shù)部分結(jié)合型較強的一類考點.預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握．一元一次方程能解一元一次方程二元一次方程（組）掌握消元法，能解二元一次方程組能解簡單的三元一次方程組[選學(xué)]一次方程（組）的應(yīng)用利用一次方程求解實際問題考點一等式的基本性質(zhì)性質(zhì)進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2性質(zhì)進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2.運用等式的性質(zhì)2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數(shù)或分母.題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤【例1】（2022青海省中考）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b【變式11】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列等式變形正確的是（

）A．若x=y，則xz=yzC．若x2=4x，則x=4 D．若a【變式12】（2023滄州市二模）如果x＝y(tǒng)，那么根據(jù)等式的性質(zhì)下列變形正確的是（

）A．x＋y＝0 B．x5=利用等式的性質(zhì)對等式變形時,應(yīng)分析變形前后式子發(fā)生了哪些變化,發(fā)生加減變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)1,發(fā)生乘除變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.題型02利用等式的性質(zhì)求解【例2】（2023·河北唐山·一模）有三種不同質(zhì)量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質(zhì)量都相等．下列四個天平中只有一個天平?jīng)]有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（

）A． B．C． D．【變式21】（2023·河北承德·校聯(lián)考模擬預(yù)測）能運用等式的性質(zhì)說明如圖事實的是（）A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不為0）B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不為0）C．如果a-c=b-c，那么a=b（a，b，c均不為0）D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不為0）【變式22】（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【變式23】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知20212022-20222021+x=0，則A．20222021+2021C．20222021-2021【變式24】（2023衡水市中考模擬）若等式m+a=n-b根據(jù)等式的性質(zhì)變形得到m=n，則a、A．相等 B．互為倒數(shù) C．互為相反數(shù) D．無法確定考點二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且a≠0）解一元一次方程的基本步驟：1.1.一元一次方程中未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).2.一元一次方程只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)都為1.3.解方程的五個步驟有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，也不一定有固定的順序，要根據(jù)方程的特點靈活運用．4.對于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當(dāng)分母中含有一位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當(dāng)分母中含有兩位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘100，化分母中的小數(shù)為整數(shù)．題型01判斷一元一次方程【例1】（2020·浙江·模擬預(yù)測）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式11】（2021·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2-4xA．2 B．2 C．6 D．1【變式12】（2023九江市一模）已知k-1xk+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則k值為【變式13】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是關(guān)于x的一元一次方程，則題型02解一元一次方程【例2】（2021·廣西桂林·中考真題）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【變式21】（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考一模）若4x+12的值與x-7互為相反數(shù)，則xA．1 B．1310 C．3 D．【變式22】（2023·河北秦皇島·一模）如果單項式-xyb與12xay3A．x=13 B．x=-13 C．【變式23】（2019·山東濟南·中考真題）代數(shù)式2x-13與代數(shù)式3-2x的和為4，則x=【變式24】（2023揚州市三模）規(guī)定一種新的運算：a*b=2-a-b，求2x-13*1+x2【變式25】（2023·四川成都·二模）若實數(shù)a，b，c滿足a2=b3=c【變式26】（2021·山東煙臺·中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為．題型03一元一次方程的特殊解題技巧【類型一】分母含小數(shù)的一元一次方程技巧1巧化分母為1【例3】解方程：0.6x+0.5【變式31】解方程：0.3x技巧2巧化同分母【例4】解方程：x0.6技巧3巧約分去分母【例5】解方程：x-4【變式51】解方程：0.3x-1【類型二】分子、分母為整數(shù)的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：3x-1【變式61】解方程：x-12【變式62】解方程：x2【變式63】解方程：x2技巧2巧用對消法【例7】解方程：x3技巧3巧通分【例8】解方程：x+37【類型三】含括號的一元一次方程技巧1利用倒數(shù)關(guān)系去括號【例9】解方程：6【變式91】解方程：解方程3技巧2整體合并去括號【例10】解方程：x-1【變式101】解方程：x-1技巧3整體合并去分母【例11】解方程：13【變式111】解方程：14技巧4由外向內(nèi)去括號【例12】解方程：解方程：13技巧5由內(nèi)向外去括號【例13】解方程：24【變式131】解方程：41題型04錯看或錯解一元一次方程問題【例14】（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程x+12解：方程兩邊同乘6，得3x+1去括號，得3x+3-1=2x-2②移項，得3x-2x=-2-3+1③合并同類項，得x=-4④以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式141】（2023·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程x-x-3解：兩邊同乘以3，得3x-x-3=3，移項，合并同類項，得2x=6，兩邊同除以2，得x=3，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【變式142】（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學(xué)解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．解方程：2x+1解：去分母，得22x+1-去括號，得4x+2-5x+1=1……第二步移項，得4x-5x=1-1-2……第三步合并同類項，得-x=-2，……第四步方程兩邊同除以－1，得x=2．……第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據(jù)是_________．A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)

D．乘法分配律(2)從第_________步開始出現(xiàn)錯誤；(3)該方程正確的解為____________【變式143】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：-6×(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算-6(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【變式144】在做解方程練習(xí)時，有一個方程“y-15=2y+■”，題中■處不清晰，李明問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與當(dāng)x＝2時整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”考點三二元一次方程（組）1.二元一次方程有無數(shù)個解1.二元一次方程有無數(shù)個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數(shù)值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個未知數(shù)的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數(shù)的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數(shù).4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．題型01二元一次方程（組）的概念【例1】（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【變式11】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）若二元一次方程組x+y=23x-5y=4的解為x=ay=b，則a-b=【變式12】（2023蚌埠市二模）若方程7xm+m+1y=6是關(guān)于x，y題型02解二元一次方程組【例2】（2023·江蘇連云港·中考真題）解方程組3x+y=8【變式21】（2022·山東淄博·中考真題）解方程組：x-2y=3解二元一次方程組的方法選擇：1)當(dāng)方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)是1或者1時，選用代入消元法；2)當(dāng)方程組中某一個方程的常數(shù)項為0時，選用代入消元法；3)當(dāng)方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時，選用加減消元法；4)當(dāng)兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時，選用加減消元法．題型03二元一次方程組特殊解法類型一引入?yún)?shù)法解題技巧：當(dāng)方程組中出現(xiàn)x/a=y/b的形式時，?？紤]先用參數(shù)分別表示出x，y的值，然后將x，y的值代入另一個方程求出參數(shù)的值，最后將參數(shù)的值回代就能求出方程組的解.【例3】用代入法解方程組：x【變式31】用代入法解方程組：x類型二特殊消元法方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對值相等解題技巧：觀察方程組1和2的系數(shù)特點，數(shù)值都比較大.如果用常規(guī)的代入法或加減法來解，不僅計算量大，而且容易出現(xiàn)計算錯誤.根據(jù)方程組中的兩個未知數(shù)的對應(yīng)系數(shù)之差的絕對值相等，先化簡，再用代入法或加減法求解，更為簡便.【例4】解方程組：2015x+2016y=2017①【變式41】閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：19x+18y=17解：①②，2x+2y=2即x+y=1③③×16，得16x-16y=16④②④，得x=把x=-1，代入③，得-1+y=1所以原方程組的解為：x=-1(1)請仿照上面的方法解方程組：2022x+2021y=20202020x+2019y=2018(2)請猜想關(guān)于x，y的方程組(a+2)x+(a+1)y=a(b+2)x+(b+1)y=b的解，并利用方程組的解加以類型三特殊消元法方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對值相等解題技巧：當(dāng)兩式相加時，x和y的系數(shù)相等，化簡即可得到x+y=a;當(dāng)兩式相減時，x和y的系數(shù)互為相反數(shù)，化簡即可得到x+y=b.由此達到化簡方程組的目的.【例5】解方程組：13x+14y=40①【變式51】感悟思想：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x，y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．思考：本題常規(guī)思路是將①②聯(lián)立成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，有的問題用常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值．如①②可得x-4y=-2①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．體會思想：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x-y=______，x+y=______(2)解方程組：x+y=5(3)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？類型四換元法【例6】解方程組：1x【變式61】閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組3m+5-2n解：把m+5，n+3成一個整體，設(shè)m+5=x，解得：x=1y=2．∴m+5=1n(1)若方程組2x-3y=45x-3(2)仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組3x【變式62】數(shù)學(xué)方法：解方程組：32x+y-2x-2y=2622x+y+3x-2y=13，若設(shè)2x+y=m，x-2y=n，則原方程組可化為(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=-2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組am+n(2)知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b求關(guān)于x，y的方程組2a類型五同解交換法解題技巧：先將兩個方程組中不含字母a、b的兩個方程聯(lián)立,求得方程組的解,然后由“方程組的解適合每一個方程”得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,進而確定a、b的值.【例7】（2020·廣東·中考真題）已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y=-103（1）求a，b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x【變式71】若關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+5y=-26ax-by=-4，和3x-5y=36(1)求這兩個方程組的解；(2)求代數(shù)式2a+b2022類型六主元法解題技巧：本題不能直接求出x，y，z的值，這時可以把其中一個未知數(shù)當(dāng)成一個常數(shù)，然后用含這個未知數(shù)的式子去表示另外兩個未知數(shù).【例8】已知4x-3y-3z=0x-3y-z=0（x，y，z均不為0），求xy+2yz【變式81】（2023·浙江·模擬預(yù)測）實數(shù)x,y,z滿足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．則x+3y2017x+2017y+2017z=題型04錯看或錯解二元一次方程組問題【例9】在解方程組ax+5y=104x-by=-4時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，得到的解為x=-3y=-1，乙看錯了方程組中的b，得到的解為x=5y=4A．x=-2y=8 B．x=15y=8 C．x=-2y=6解“看錯系數(shù)”問題的方法看錯方程組中某個方程的系數(shù),所得的解既是方程組中看錯系數(shù)的方程的解,也是方程組中沒有看錯系數(shù)的方程的解,把解代入沒有看錯系數(shù)的方程中，構(gòu)建新的方程組,然后解方程組.【變式91】（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：x-2y=1第一步：由①得，x=2y+1③；第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5第三步：解得y=第四步：將y=1代入③，解得x=7第五步：所以原方程組的解為x=任務(wù)一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；任務(wù)二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________．任務(wù)三：請寫出方程組正確的解答過程．【變式92】（2021·浙江嘉興·二模）解方程組：3x-2y=6①小海同學(xué)的解題過程如下：解：由②，得y=5+x③……（1）把③代入①，得：3x-2x+5=6……（2）解得：x=-1……（3）把x=-1代入③，得y=4……（4）∴此方程組的解為x=-1y=4……（5判斷小海同學(xué)的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．題型05構(gòu)造二元一次方程組求解【例10】（2022·貴州黔東南·中考真題）若2x+y-52+x+2y+4=0，則【變式101】（2019·江蘇宿遷·中考真題）下面3個天平左盤中“△”“□”分別表示兩種質(zhì)量不同的物體，則第三個天平右盤中砝碼的質(zhì)量為．【變式102】（2022·湖南長沙·?？家荒＃┤绻麊雾検?3ax-2yb2與14【變式103】請你根據(jù)下圖中所給的內(nèi)容，完成下列各小題．我們定義一個關(guān)于非零常數(shù)a，b的新運算，規(guī)定：a◎b=ax+by．例如：(1)如果x=-5，2◎4=-18，求(2)1◎1=8，4◎2=20，求題型06解三元一次方程組【例11】（2023·上海長寧·二模）已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過點A（A．2 B．3 C．4 D．t【變式111】已知方程組x+2y=k2x+y=1的解滿足x＋y＝3，則k的值為()A．10 B．8 C．2 D．－8【變式112】（2022·四川眉山·?？家荒＃┮阎篴ba+b=23，cac+a=34，bcb+c考點四一次方程（組）的應(yīng)用用方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.與一次方程（組）有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：題型01利用一元一次方程解決實際問題類型一配套問題【例1】（2022濱州市二模）某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套．設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的是（）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800xC．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x【變式11】（2023哈爾濱市三模）某車間有27名工人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母組成的產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺母64個或螺栓22個．若分配x名工人生產(chǎn)螺栓，其它工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套，則下面所列方程中正確的是（

）A．22x=64(27-x) B．64x=22(27-x)C．2×22x=64(27-x) D．2×64x=22(27-x)【變式12】（2023西安尊德中學(xué)二模）制作一張方桌要用1個桌面和4條桌腿，若1m3木材可制作20個桌面或400條桌腿，現(xiàn)有12m3木材，要使生產(chǎn)出來的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求應(yīng)安排多少木材用來制作桌面．類型二工程問題【例2】（2022·遼寧阜新·一模）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設(shè)甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（

）A．x+1020+1025=1 B．1025【變式21】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）某工人在規(guī)定的時間內(nèi)做完一批零件，若每小時做10個就可以超額完成3個，若每小時做11個就可以提前1h完成，則這批零件一共有多少個？設(shè)這批零件一共有x個，則根據(jù)題意得到的正確方程是（

）A．x10-3=xC．x10+3【變式22】（2023·安徽合肥·二模）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用30h，現(xiàn)先安排一部分人用2h整理，隨后又增加5人和他們一起又做了3h類型三增長率問題【例3】（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）一種商品，先提價20%，再降價10%，這時的價格是2160元．則該商品原來的價格是（

）A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元【變式31】（2023蚌埠高新區(qū)模擬）受季節(jié)影響，某商品每件售價按原價降低a%再降價8元后的售價是100元，那么該商品每件的原售價可表示為（

）A．921-a% B．1081-a% C．類型四銷售利潤問題【例4】（2023寧波市一模）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺上一件商品標(biāo)價為200元，按標(biāo)價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（

）A．120元 B．100元 C．80元 D．60元【變式41】（2023巴東縣模擬）一商店在某一時間以每件120元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（）A．不盈不虧 B．盈利20元 C．虧損10元 D．虧損30元【變式42】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）某種商品進價為200元，標(biāo)價為300元．現(xiàn)打折銷售，要使利潤率為5%類型五比賽積分問題【例5】（2023·湖南長沙·長沙麓山國際實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）全國青少年校園足球聯(lián)賽，是國內(nèi)歷史最久遠、覆蓋范圍最廣的中學(xué)足球賽事，在小組賽中，每小組有4個隊，小組內(nèi)進行單循環(huán)賽（兩支球隊間只比賽一場），已知勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分，小組賽結(jié)束后，積分前兩名（相同積分比較凈勝球）可以進入下一輪比賽．如表是某次小組賽的積分表：排名球隊積分1甲62乙43丙44丁如果本小組比賽中只有一場戰(zhàn)平，根據(jù)此表，可以推斷丁隊的積分是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式51】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）在全國足球甲級A組的前11輪比賽中，某隊保持不敗，共積累23分．按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊勝的場數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式52】（2022·陜西西安·西安市西光中學(xué)?？级＃橛行鋵嶋p減工作，切實做到減負提質(zhì)，很多學(xué)校高度重視學(xué)生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．類型六方案選擇問題【例6】（2023·陜西西安·高新一中?？既＃〢、B兩家旅行社推出家庭旅游優(yōu)惠活動，兩家旅行社的票價均為每人90元，但優(yōu)惠的辦法不同，A旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家有一人購全票，其余的人半價優(yōu)惠；B旅行社的優(yōu)惠辦法是：全家每人均按6折票價優(yōu)惠．請問當(dāng)家庭的人數(shù)是多少時，兩家旅行社的費用相同？【變式61】（2023懷遠縣二模）現(xiàn)需運送一批貨物，有甲、乙兩種型號貨車可供選擇．兩種型號貨車出租價格如表：起步價/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲種型號貨車在限定里程80km內(nèi)，只需付起步價108元，超過限定里程的部分按3元/km收費，租用乙種型號貨車在限定里程100km內(nèi)，只需支付起步價180元，超過限定里程的部分按2元/km收費，設(shè)里程為x千米．（1）當(dāng)x＞100時，用x分別表示租用甲、乙兩種型號貨車的費用；（2）當(dāng)里程為多少千米時，租用兩種型號的貨車費用相等？類型七數(shù)字問題【例7】（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數(shù)字和字母，若能構(gòu)成一個廣義的三階幻方，則mn=（A．1 B．2 C．3 D．0【變式71】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校?？寄M預(yù)測）一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是x，如果將個位數(shù)字與十位數(shù)字分別加2和1，所得的新數(shù)比原數(shù)大12，則可列的方程是（

）A．2x+3=12B．10x+2+3=12C．(10x+x)-10(x+1)-(x+2)=12D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12類型八日歷問題【例8】（2023增城區(qū)一模）在一張掛歷上，任意圈出同一列上的三個數(shù)的和不可能是()A．4 B．33 C．51 D．27【變式81】將連續(xù)的偶數(shù)2，4，6，8，…排成下圖所示，若將十字框上下左右移動，可框住五個數(shù)，這五個數(shù)的和可能等于（

）A．123 B．115 C．240 D．400【變式82】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個數(shù)a、b、c，并求出了它們的和為36，這三個數(shù)在日歷中的排布不可能是（

）A．

B．

C．

D．

類型九幾何問題【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且a、b互為相反數(shù)，若AB=8，則點A表示的數(shù)為（

）A．8 B．4 C．0 D．-4【變式91】（2023·廣西南寧·一模）學(xué)習(xí)《設(shè)計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒．紙片長為30cm，寬為18cm，AD=2AB，則該紙盒的容積為（A．960cm3 B．800cm3 C．【變式92】如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒，若紙盒的體積是類型十和差倍分問題【例10】（2020·湖南張家界·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x人，可列方程（

）A．x+23=x2-9 B．x3【變式101】（2022·江蘇蘇州·一模）我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數(shù)不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設(shè)牧童有x人，根據(jù)題意可列方程為（

）A．6x+14=8x B．6x+14=8x C．8x+14=6x D【變式102】（2022·江蘇宿遷·二模）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設(shè)銀子共有x兩，則可列方程為（

）A．7x+4=9x-8 B．7x-4=9x+8 C．x+47=x-8【變式103】（2022·廣東·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價各是多少？類型十一行程問題【例11】（2023·湖北荊州·一模）野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．現(xiàn)野鴨與大雁分別從南海和北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)野鴨與大雁經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A．x7+x9=1 B．x7【變式111】（2023天水市一模）船在靜水中的速度為36千米/時，水流速度為4千米/時，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭，共用了9小時（中途不停留），設(shè)甲、乙兩碼頭的距離為x千米，則下面所列方程正確的是（

）A．36+4x+36-49-xC．x36+x【變式112】（20223延邊州一模）我國元朝數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中記載了一道問題，大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果設(shè)快馬x天可以追上慢馬，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A．240x=150x+12 B．C．240x-12=150x D【變式113】（2022·湖南常德·中考真題）小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，某天，他們以平常的速度行駛了12的路程時遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米／小時，到達奶奶家時共用了5【變式114】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃〢、B兩地相距300千米，甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地．已知兩車同時出發(fā)，乙車的速度是甲車的倍．(1)若2小時后兩車還未相遇，此時兩車相距100千米，求甲車的速度；(2)若乙車中途因故停留了75分鐘，從而與甲車同時到達目的地，求甲車的速度．題型02利用二元一次方程解決實際問題類型一配套問題【例12】（2023衢州市一模）一種飲料有兩種包裝，5大盒、3小盒共裝150瓶，2大盒、6小盒共裝100瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組（

）A．5x+2y=1503x+6y=100 B．C．5x+3y=1502y+6x=100 D．【變式121】工廠需要用鐵皮制作包裝盒，每張鐵皮可制作盒身15個，或制作盒底20個，一個盒身與兩個盒底配成一套包裝盒．現(xiàn)有40張鐵皮，設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成包裝盒，則下列方程組中符合題意的是（

）A．x+y=40y=2x B．x+y=4015x=2×20y C．x+y=402×15x=20y類型二方案選擇問題【例13】（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學(xué)報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式131】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個粽子，B種食品盒每盒裝10個粽子，若現(xiàn)將200個粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式132】（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．類型三年齡問題【例14】（2021淮濱縣一模）甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（

）A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲【變式141】（2021·江蘇無錫·一模）一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺?shù)降资菤q．【變式142】（2022·安徽蕪湖·?？家荒＃┮阎资且椰F(xiàn)在的年齡時，乙10歲，乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，求甲、乙現(xiàn)在的年齡的差．類型四幾何問題【例15】（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）A．60dm3 B．72dm3 C．【變式151】（2021·廣東深圳·?？家荒＃├脙蓧K完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度等于（

）A．60cm B．65cm C．70cm【變式152】（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．類型五行程問題【例16】（2020·福建福州·?？寄M預(yù)測）甲、乙二人同時同地出發(fā)，都以不變的速度在300米環(huán)形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，則每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，設(shè)甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，則可列方程為（

）A．{x+y=300x-y=20 BC．{20x+20y=300300x-300y=300 D【變式161】（2023·浙江臺州·一模）作業(yè)本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時從家中出發(fā)，先走平路，然后登山，中午12時到達山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時到家．若他平路每小時走4km，登山每小時走3km，下山每小時走6km，求小明家到山頂?shù)穆烦蹋毙±畈榭唇獯饡r發(fā)現(xiàn)答案中的方程組中有污損，3a=6bA．3a+2b=12 B．a(chǎn)4+b3=3 C【變式162】設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當(dāng)乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車?yán)^續(xù)前行，乙車向原地返回．設(shè)x秒后兩車間的距離為y米，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則甲車的速度為

（

）A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒【變式163】（2023·黑龍江哈爾濱·一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行，甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇：若甲車行駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇．(1)求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少．(2)若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發(fā)生故障不動了，為了保證乙車再經(jīng)過不超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？類型六古代問題【例17】（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總