第4章三角形證明 題型解讀4 三角形幾何變換題型-2020-2021學年北師大版七年級數(shù)學下冊

《三角形證明》題型解讀4三角形幾何變換題型【知識梳理】1.若兩個三角形全等，則它們對應的角均會相等、對應的邊均會相等、對應的“三線”會相等、周長與面積會相等；2.幾何符號語言：在△ABC與△DEF中，∵△ABC≌△DEF，∴(1)AB=DE，BC=EF，AC=DF；(2)∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；(3)C?ABC=C(4)①如圖1，若AG、BH、CM、DN、EO、FP分別是△ABC、△DEF的高，則AG=DN，BH=EO，CM=FP；②如圖2，若AG、BH、CM、DN、EO、FP分別是△ABC、△DEF的角平分線，則AG=DN，BH=EO，CM=FP；③如圖3，若AG、BH、CM、DN、EO、FP分別是△ABC、△DEF的中線，則AG=DN，BH=EO，CM=FP；一.折疊問題【折疊性質】：折疊前后的圖形全等例1.將長方形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，若∠CED′=50°，則∠EAB=________【解析】題中隱藏了兩個已知條件：①因折疊，所以△ADE≌△AD`E；②因是長方形，所以存在平行線；利用全等概念及平行線的性質，即可求解?！窘忸}過程】∵∠CED′=50°，∴∠DED′=130°．∵△ADE≌△AD`E，∠DEA=∠D′EA．∴∠DEA=∠DED′÷2＝130°÷2＝65°．∵ABCD為長方形，∴DC∥AB，∴∠EAB=∠DEA=65°．例2.如圖三角形的頂點落在折疊后的四邊形內部，則∠1、∠2+∠3之間的關系是_____.【解析】欲想找出∠1、∠2+∠3之間的關系，需先拉近∠1、∠2+∠3之間的圖形位置關系，遇到此類題，我們一般的解題思路是：選固定某個角或某些角的圖形位置，把其它角通過數(shù)學性質與定理，利用等量代換，逐漸把它們的位置與固定角的圖形位置“拉近”。如此題，可固定∠2、∠3的圖形位置不變，通過三角形內角和定理、平角定義，運用角度的等量代換，即可把∠1的圖形位置轉移到∠2、∠3的圖形位置，即可求解?！窘忸}過程】方法一：∵△ADE≌△FDE，∴∠4=∠5，∠6=∠7，∴在△DEF中，∠1=180o-（∠4+∠6），=180o-（∠4+∠5+∠6+∠7）÷2，∵∠2=180o-（∠4+∠5），∠3=180o-（∠6+∠7），∴∠1=180o-（180o-∠2+180o-∠3）÷2=（∠2+∠3）÷2，∴2∠1=∠2+∠3.方法二：∵△ADE≌△FDE，∴∠4=∠5，∠6=∠7，又∵∠2+∠4+∠5=180o，∠3+∠6+∠7=180o，∴∠2+∠3=180o-（∠4+∠5）+180o-（∠6+∠7）=360o-2∠4-2∠6，∵∠1+∠4+∠6=180o，∴∠2+∠3=360o-2（180o-∠1）=2∠1.二.平移問題【平移性質】：平移前后的圖形全等例3.如圖，將△ABC沿邊BA平移，得△DEF，已知BE=4，AE=1.5，則DE的長為_____.【解析】由平移性質可得△ABC≌△DEF，由全等概念可得AB=DE，由等式性質可得BE=AD，即可求解?！窘忸}過程】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AB-AE=DE-AE，即BE=AD，∵BE=4，∴AD=4.三.旋轉問題【旋轉性質】：旋轉前后的圖形全等例4.將三角板ACB繞點C順時針旋轉90o，得△ECD，延長ED交AB于點F，則EF、AB的位置關系如何？請說明你的理由？【解析】初中幾何中，兩條線段的位置關系有兩種：平行或垂直，從題目圖形初步判斷：EF與AB的位置關系應該是垂直關系，即需證∠AFD=90o，結合題目條件中有關角的度數(shù)的已知條件：∠ACB=∠DCE=90o，即需找出∠AFD與∠ACB或∠DCE的關系，此時不難看出，圖形中隱藏著一個一個數(shù)學典型圖形：“8”字模型，由“8”字模型在求角方面的通常用法可知，只需證∠A=∠E，結合旋轉前后的圖形會全等，即可求證?！窘忸}過程】EF⊥AB，理由是：∵△ACB≌△ECD，∴∠A=∠E，∠ACB=∠ECD=90o，在△AFD與△DCE中，∵∠A+∠AFD+∠ADF=180o，∠CDE+∠DCE+∠E=180o，∠ADF=∠CDE，∴∠AFD=∠DCE=90o，即EF⊥AB。例5.如圖，在正方形ABCD中，小明將△ABE繞點B順時針旋轉，使點A與點C重合，點E落在點F上，小亮說△BEF是等邊三角形，而小明說說△BEF是等腰三角形，小紅說△BEF是直角三角形，你認為誰說得對？談談你的看法。【解析】欲判別△BEF是何種三角形，需尋找△BEF各邊關系及各角關系，由旋轉可知△ABE≌△CBF，由全等概念可知BE=BF，即是等腰三角形，再利用全等概念中的角相等，可得∠BEF=90o，即△BEF是等腰直角三角形。欲求∠C的度數(shù)，由已知條件∠D=55°說明，必須先建立起∠C與∠D間的關系，利用“SSS”證它們所在三角形△ABC、△ABD全等，即可建立起∠C