江蘇省無錫市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

-2024學(xué)年江蘇省無錫市重點(diǎn)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，1，2，，則A．， B．， C．，1， D．，1，2，2．命題“，”的否定是A．， B．， C．， D．，3．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是A． B． C． D．4．已知集合，集合，則A． B．C．D．5．一元二次不等式的解集是A． B． C． D．6．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，則滿足的的取值范圍是A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的圖象是A． B． C． D．8．已知函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是A．與 B．與 C．與 D．與10．下列說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件 C．若，，，則“”的充要條件是“” D．若，，則“”是“”的充要條件11．整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，其中，1，2，3，．以下判斷中不正確的是A． B． C． D．若，則整數(shù)，屬同一類12．已知函數(shù)，是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)可以為A．3 B．2 C．1 D．0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．函數(shù)的遞增區(qū)間為．14．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．15．已知，，若集合，則的值為．16．已知，，，且，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)全集，集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求及，；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知集合，集合（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明在，上的單調(diào)性；20．（12分）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)．（1）求的解析式；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)．設(shè)，記的面積為函數(shù)．（1）求的解析式，并寫出其定義域；（2）求的最大面積及相應(yīng)的值．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）判斷的奇偶性，并求的值域；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值（a），并求（a）的最小值．參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，1，2，，則()A．， B．， C．，1， D．，1，2，【分析】利用交集定義、不等式性質(zhì)直接求解．【解答】解：集合，，1，2，，因?yàn)?，不是不等式的解，?，1，3都是不等式的解．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．命題“，”的否定是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系即可判斷求解．【解答】解：因?yàn)槊}“，”為全稱命題，而全稱命題的否定是特稱命題命題“，”的否定是“，”，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可．【解答】解：選項(xiàng)A，是奇函數(shù)，雖然在和上均是單調(diào)遞減的，但在整個(gè)定義域內(nèi)并不是減函數(shù)，即不符合題意；選項(xiàng)B，由冪函數(shù)的圖象知，是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)，即B符合題意；選項(xiàng)，是偶函數(shù)，即不符合題意；選項(xiàng)，是非奇非偶函數(shù)，即不符合題意．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．已知集合，集合，則A． B． C． D．【分析】結(jié)合集合，所表示的意義，再結(jié)合兩個(gè)集合的關(guān)系，即可求解．【解答】解：，，，，故錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，既不在集合，也不在集合，故錯(cuò)誤；當(dāng)元素滿足為24的正整數(shù)倍時(shí)，比滿足為12的正整數(shù)倍，故，故正確，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．一元二次不等式的解集是A． B． C． D．【分析】不等式化為：，然后根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解．【解答】解：不等式化為：，解得，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．6．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，則滿足的的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由已知可得函數(shù)在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將不等式去掉“”，即可求解的范圍．【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意，，均有成立，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，所以在單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，解得，故的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的圖象是A． B． C． D．【分析】首先對(duì)時(shí)，函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，然后得到其圖像關(guān)于軸對(duì)稱后的單調(diào)性，再討論時(shí)，利用基本不等式等到它在此范圍內(nèi)的最值，然后得到其圖像關(guān)于軸對(duì)稱后的最值．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，根據(jù)減函數(shù)加上減函數(shù)為減函數(shù)，則在單調(diào)遞減，故當(dāng)其關(guān)于對(duì)稱后，變?yōu)楫?dāng)時(shí)，對(duì)稱后的函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)其關(guān)于對(duì)稱后，變?yōu)?，?yīng)有最小值2，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．8．已知函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【分析】分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的不等式組，解出即可．【解答】解：解法一當(dāng)時(shí)，的最小值是，要使函數(shù)的最小值是，則（）恒成立，故（）恒成立，設(shè)，則（）在時(shí)有最大值，故，故選A解法二當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，，不滿足題意，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向下，不滿足題意，③當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是，只需滿足或，解得：，．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是A．與 B．與 C．與 D．與【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的三要素，得出結(jié)論．【解答】對(duì)于：易知，所以，兩函數(shù)定義域相同，解析式不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于：顯然是同一函數(shù)；對(duì)于：由，易知，且，所以，兩函數(shù)定義域相同，解析式相同，所以是同一函數(shù)；對(duì)于：定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的三要素，屬于基礎(chǔ)題．10．下列說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件 C．若，，，則“”的充要條件是“” D．若，，則“”是“”的充要條件【分析】利用不等式性質(zhì)及集合間的運(yùn)算，結(jié)合命題的充分必要性分別判斷各選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：取，，滿足，但是，所以由“”推不出““，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由，即集合與集合沒有公共部分，不能說明，由可知，所以是的必要不充分條件，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，，由可得，但是當(dāng)時(shí)，由，可得，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：若，，由可知，不同時(shí)為0，由，可知，不同時(shí)為0，所以““是““的充要條件，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了充分條件和必要條件的定義，考查集合的包含關(guān)系，是中檔題．11．整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，其中，1，2，3，．以下判斷中不正確的是A． B． C． D．若，則整數(shù)，屬同一類【分析】根據(jù)“類”的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案．【解答】解：選項(xiàng)，，故，正確；選項(xiàng)，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0，1，2，3，4，故，正確；選項(xiàng)，，故，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由題意可知能被5整除，故，分別被5除的余數(shù)相同，故整數(shù)，屬同一類，正確．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查集合新定義，屬于中檔題．12．已知函數(shù)，是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)可以為A．3 B．2 C．1 D．0【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求，由函數(shù)的單調(diào)性定義分析可得，令，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，，則，兩式相加可得，又由是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，若對(duì)于任意，都有，變形可得，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，不滿足題意；若，則是對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需，解得，所以的取值范圍為，，則可以取值3，2，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，二次函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)思想，屬于中檔題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．函數(shù)的遞增區(qū)間為．【分析】由得：或，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得答案．【解答】解：由得：或，又為開口向上，對(duì)稱軸方程為的拋物線，在，上單調(diào)遞增；在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知的單調(diào)遞增區(qū)間，；故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合冪函數(shù)的定義，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意，故．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題主要考查冪函數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．15．已知，，若集合，則的值為．【分析】由已知結(jié)合集合相等的條件及集合元素的互異性即可求解，，進(jìn)而可求．【解答】解：若集合，由于，故，即，則，0，，，，所以，解得，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了集合元素的互異性及集合相等條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．已知，，，且，則的最小值為．【分析】根據(jù)基本不等式相關(guān)知識(shí)可解．【解答】解：利用基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又，則，得．此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)全集，集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求及，；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）代入化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；（2）由充分條件的性質(zhì)推得，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，，則或，所以，，．（2）若“”是“”的充分條件，則，所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了集合的交集，并集及補(bǔ)集運(yùn)算，還考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知集合，集合（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）推導(dǎo)出，即是方程的根，解得，求出，由此能求出．（2）由，得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)或時(shí)，，由，得或或，，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)?，，且，所以，即是方程的根，所以，得，則，所以．（2）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，滿足，②或時(shí)，，因?yàn)椋曰蚧?，，?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)，時(shí)，，無解，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（12分）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明在，上的單調(diào)性；【分析】（1）設(shè)，則，求出的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案；（2）利用作差法分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，則，故，又由為奇函數(shù)，則，故；（2）根據(jù)題意，當(dāng)，，在，上的單調(diào)遞減，證明：設(shè)，，又由，則，則有，函數(shù)在，上的單調(diào)遞減．【點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）已知冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)．（1）求的解析式；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）由，求解，再驗(yàn)證即可；（2）由題意可得在，上恒成立，即在恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）是冪函數(shù)，，解得或，當(dāng)時(shí)，定義域不是，不符合題意，，即；（2）由（1）得，在，上恒成立，即在，上恒成立，在，上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，恒成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．21．（12分）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)．設(shè)，記的面積為函數(shù)．（1）求的解析式，并寫出其定義域；（2）求的最大面積及相應(yīng)的值．【分析】（1）由題設(shè)有、，，應(yīng)用勾股定理可得，進(jìn)而有，利用三角形面積公式即可求解；（2）利用基本不等式求最值，注意取值條件即可得結(jié)果．【解答】解：（1）如下圖示且，則，，又，若，則，而，故，可得，則，所以，則，定義域?yàn)?；?），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，時(shí)的面積最大，最大面積為．【點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）判斷的奇偶性，并求的值域；（2）設(shè)函數(shù)，求的最大值（a），并求（a）的最小值．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求出的解析式，可得函數(shù)為偶函數(shù)，再求函數(shù)的值域