《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件

本書是按照21世紀(jì)新形勢(shì)下教材改革的精神，根據(jù)“教育部高等院校工科數(shù)學(xué)教學(xué)大綱〞的要求編寫的。

前言

本書分兩局部，概率論局部〔第1章至第5章〕作為根底理論知識(shí)，是全書的重點(diǎn)；數(shù)理統(tǒng)計(jì)局部〔第6章至第8章〕介紹了常用的統(tǒng)計(jì)推斷的根本方法：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。本書編寫過程中，總結(jié)了多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐，注意到了時(shí)代的特點(diǎn)，本著加強(qiáng)根底、強(qiáng)化應(yīng)用、整體優(yōu)化的原那么，力爭(zhēng)x做到科學(xué)性、系統(tǒng)性和可行性相統(tǒng)一，傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)相統(tǒng)一，先進(jìn)性和適用性相統(tǒng)一。同時(shí)，本書吸取了國(guó)內(nèi)外同類教材的優(yōu)點(diǎn)，力求通俗易懂，易教易學(xué)。本書配備例題全面，習(xí)題豐富〔適量英文〕，習(xí)題分A、B兩類。書最后給出了習(xí)題參考答案或提示，以供讀者參考。本書可作為高等院校非數(shù)學(xué)類理工科各專業(yè)?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?課程教材或教學(xué)參考書。本書由哈爾濱工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系陳林珠〔第1章〕、王鋒〔第2章〕、沈艷〔第3、4章〕、張曉威〔第5章〕、施久玉〔第6、7、8章〕編寫，在編寫過程中請(qǐng)于濤修改了第7、8章，鄭曉陽(yáng)修改了第3章。全書由施久玉教授統(tǒng)稿和主審。

前言

本書的編寫得到哈爾濱工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系廣闊教師的關(guān)心和熱情支持，編者在此表示衷心的感謝。由于編者水平有限，書中難免有不妥之處，歡送讀者批評(píng)指正。

編者2024年7月

前言

生產(chǎn)過程中的廢品率對(duì)立事件互不相容事件BAB

AABAA∪BABA∩BSA∩BA-BBSA-BASBA-BSABAS。

。Ⅱ。。。。ⅠⅢ

易知BC

A,BDA,BCBD=A,而∪即事件與事件A互不相容。第一節(jié)結(jié)束實(shí)驗(yàn)序號(hào)123456789102315124233

0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494字母使用頻率

實(shí)驗(yàn)者De·Morgan204810610.5181Buffou404020480.5069K·Pearson1200060190.5016K·Pearson240001201205005返回

即對(duì)于i≠j,i,j=1,2,…,，則有

LLUU++=)()()(2121APAPAApnA,A21A,,L若兩兩互不相容，則2.（有限可加性）由知，B=A∪(B-A)且A(B-A)=，得

而，因此

則有（2）因?yàn)?，所?/p>

答案答案3.設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且問：（1）在什么條件下取得最大值？并求出最大值；（2）在什么條件下取得最小值？并求出最小值。答案4.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，且求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.5.設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且求答案答案第二節(jié)結(jié)束返回返回返回故〔1.3.1〕

從觀察試驗(yàn)開始或者(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)于是

一個(gè)實(shí)驗(yàn)

.21=10082533-+=)()()()(-+=BCPCPBPAP,1008)(=BCP100,25)(=CP10033,)(=BPttxy

OTTttxy

OTTx

a/2

習(xí)

題答案答案3.電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成.每個(gè)數(shù)字可以是中的任一數(shù)字.求電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率.答案4.10把鑰匙中有3把能打開門.現(xiàn)任取2把,求能打開門的概率.答案5.5雙不同的手套，任取4只，求4只都不配對(duì)的概率。答案6.任意將10本書放在書架上，其中有兩套書，一套含三卷，另一套含四卷。求下列事件的概率。（1）三卷一套的放在一起；（2）四卷一套的放在一起；（3）兩套各自放在一起；答案7.將有三名優(yōu)秀學(xué)生的15名課外活動(dòng)小組成員隨機(jī)地分成三個(gè)科目不同的5人小組。每個(gè)小組有一名優(yōu)秀生的概率是多少？3名優(yōu)秀生同時(shí)分到一個(gè)小組的概率是多少？答案8.甲盒中有紅、黑、白皮筆記本各2本。今從兩盒中各取一本，求所取2本顏色相同的概率。答案9.袋中有12個(gè)球，其中2個(gè)球有號(hào)碼1；4個(gè)球有號(hào)碼5；6個(gè)球有號(hào)碼10。從袋中任取6個(gè)球，求這六個(gè)球的號(hào)碼之和至少為50的概率。答案10.隨機(jī)地取來(lái)50只電子管，用在10個(gè)電路板上，其中有3只電子管是次品。每個(gè)電路板用3只電子管。若將3只次品都安裝在一個(gè)電路板上，則這個(gè)電路板就是廢品。問發(fā)生電路板是廢品的概率是多少？答案11.甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲船的停泊時(shí)間是一小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是兩小時(shí)，求他們中任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率。答案第三節(jié)結(jié)束返回返回返回返回用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為=1-0.524=0.476

美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)別開生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.返回若事件A

表示“抽得甲的球”，事件B

表示“抽得白球”，在抽得甲的球的條件下抽得白球的概率稱為條件概率，記為P(B|A)。由古典概型算得故有而即由于證得圖1-11樹圖圖1-12

注意：樣本空間S的劃分不是唯一的?！钟捎谇覄t

例7設(shè)在某次世界女排賽中,中國(guó)隊(duì)已取得決賽權(quán)。冠軍的概率。與0.4而日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)的概率為0.5。求中國(guó)隊(duì)取得以往的戰(zhàn)績(jī),中國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)、美國(guó)隊(duì)的概率分別為0.9中國(guó)隊(duì)要與日本隊(duì)和美國(guó)隊(duì)的勝者爭(zhēng)奪冠軍。根據(jù)由定理2不難得到下面的貝葉斯〔Bayes)定理。B2,由全概率公式，如圖1-14有：“日本隊(duì)勝美國(guó)隊(duì)”為事件B1,“美國(guó)隊(duì)勝日本隊(duì)”為事件中國(guó)隊(duì)奪冠的要素。設(shè)“中國(guó)隊(duì)奪取冠軍”為事件A,

解由題意，未完成的日美半決賽中哪一方獲勝是定理3〔貝葉斯定理〕設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0，P(Bi)>0(i=1,2,…,n),那么有這個(gè)公式稱為Bayes公式。此定理請(qǐng)讀者自證解：習(xí)題10.設(shè)袋中有3個(gè)白球、2個(gè)紅球,乙袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球.先從甲袋中任取一球放入乙袋,再?gòu)囊掖腥稳∫磺蚍湃爰状?求:答案答案答案答案答案答案8.已知 試求答案答案答案答案答案答案答案答案第四節(jié)結(jié)束返回返回返回返回返回返回定義1對(duì)事件A與B，假設(shè)P(AB)=P(A)P(B)那么稱事件A與事件B相互獨(dú)立〔independence〕。由上節(jié)的一些例題可以看到P(B︱A)≠P(B)。概率.換句話說,事件A與事件B存在著某種“獨(dú)立性”。些情況下,事件A的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的這說明事件A的發(fā)生影響了事件B發(fā)生的概率。但在某命題1假設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，且P(A)>0,那么P(B︱A)=P(B)。證明由條件概率及獨(dú)立性定義知定理2假設(shè)事件A，B相互獨(dú)立，那么由此可推知,假設(shè)P(A)>0,P(B)>0,那么A、B相互獨(dú)立與A，證明B互不相容不能同時(shí)成立。即

注

在應(yīng)用中我們往往根據(jù)事件的實(shí)際意義來(lái)判斷事件的獨(dú)立性。

例1

甲、乙兩炮進(jìn)行各獨(dú)立地同時(shí)向目標(biāo)靶發(fā)甲炮命中率為0.9，乙炮命打靶演習(xí)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道：中率為0.8?，F(xiàn)甲、乙兩炮射一炮，求：(1〕甲、乙兩炮都中靶的概率；(2〕甲、乙兩炮至少有一個(gè)中靶的概率。解設(shè)甲、乙兩炮中靶事件分別為A和B，于是P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72;P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.72=0.98;獨(dú)立性的概念推廣到三個(gè)事件時(shí)，有下面定義?；蚨x2設(shè)A、B、C是三事件，如果下面等式成立：那么稱A、B、C三事件兩兩相互獨(dú)立。當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時(shí)，下面等式不一定成立：推廣到更一般情形

定義3

設(shè)A、B、C三事件兩兩相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立。滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A、B、C三事件成立，那么稱n個(gè)事件相互獨(dú)立。對(duì)所有可能的等式A1A2A3A4

例2

圖1-16(a),(b)是兩個(gè)均由元件A1，A2，A3，正常工作的概率。假設(shè)各元件工作是相互獨(dú)立的，分別求出這兩個(gè)系統(tǒng)A4組成的系統(tǒng)。每個(gè)元件正常工作的概率均為0.9。A1A3A2A4對(duì)系統(tǒng)〔a〕有有對(duì)系統(tǒng)〔b〕由于每?jī)蓚€(gè)元件并聯(lián)為一組,然后再串聯(lián)。故在每一組均正常工作時(shí)系統(tǒng)〔b〕為正常，而兩個(gè)組工作不正常的概率分別為所以，兩個(gè)組正常工作的概率都是系統(tǒng)由一組元件組成。對(duì)于任一元件，它能正常工系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)十分重要的指標(biāo)。稱為該系統(tǒng)的可靠性。各種工作系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性是作的概率稱為該元件的可靠性，系統(tǒng)正常工作的概率從而顯然P(B)>P(A).即系統(tǒng)〔b〕比系統(tǒng)〔a〕正常工作的概率要高。例3

證明A、B相互獨(dú)立。證明設(shè)且由得到即所以A、B相互獨(dú)立。TheHistoryofProbability從而有證得TheHistoryofProbability答案答案答案4.設(shè) 證明:A與B相互獨(dú)立的充要 條件是也獨(dú)立。5.設(shè)A,B,C相互獨(dú)立。證明： 獨(dú)立，6.一批產(chǎn)品共100件，假定其中有4件次品，抽樣檢查時(shí)，每次從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件做檢查，假設(shè)是次品，那么拒絕接受這批產(chǎn)品；假設(shè)是正品，那么在檢查一次；如此繼續(xù)下去，假設(shè)檢查4件產(chǎn)品都不是次品，那么停止檢查，接受這批產(chǎn)品。對(duì)于下述兩種不同的抽樣方式，分別計(jì)算這批產(chǎn)品被接受的概率：不放回抽樣;

有放回抽樣.答案7.三個(gè)人獨(dú)立的破譯一份密碼。三人各自能譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4；那么三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？8.一電路如圖1–17所示。開關(guān)A,B,C,D閉合與否相互獨(dú)立。且這些開關(guān)閉合的概率均為p。求E,F之間為通路的概率。DCBAFE圖1–1