原子物理與量子力學課件：力學量隨時間的演化與對稱

原子物理與量子力學第5章力學量隨時間變化與對稱性§5.1對易力學量完全集設有一組彼此獨立而又相互對易的厄米算符它們的共同本征函數(shù)記為。n代表一組量子數(shù)。給定n之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱構成體系的一組力學量完全集。任意態(tài)下力學量取值概率設力學量

A的厄米算符的本征函數(shù)是正交歸一完備系。體系處在一個任意態(tài)時都可以用本征函數(shù)展開，處在任意態(tài)時測到力學量A

的值為An

的概率就是展開式中前系數(shù)an

的模平方（任意態(tài)已歸一化）守恒量量子力學中力學量的取值問題與經(jīng)典力學不同。在一個給定的態(tài)（一般為力學量的非本征態(tài)）中，力學量的取值有一定的概率分布，從而有平均值的概念。由于波函數(shù)隨時間變化，力學量的平均值也是隨時間變化的。5.2力學量隨時間演化1.力學量的平均值隨時間變化關系力學量A

在態(tài)中的平均值可以表示為當體系的狀態(tài)隨時間變化時，A將隨時間的變化若，進而，此時力學量在任何態(tài)中的平均值均不隨時間變化。如果不顯含時間，則有，從而有守恒量定義量子力學中守恒量：力學量既不顯含時間即，而且守恒量有兩個重要性質：(1)在任何態(tài)ψ(t)下，平均值不隨時間變化。(2)在任何態(tài)ψ(t)下，測量值的概率分布不隨時間變化。2.量子力學中的守恒量與經(jīng)典守恒量的區(qū)別守恒量不一定取確定值

與經(jīng)典力學中守恒量的概念不同的是，量子力學中的守恒量不一定取確定值，即體系的狀態(tài)不一定是某個守恒量的本征態(tài)。一個體系在某時刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初始條件決定。

但守恒量A的平均值和測量值的概率分布不隨時間變化。守恒量與定態(tài)的異同能級簡并與守恒量的關系5.3守恒量與對稱性的關系對稱變換

某物理規(guī)律在某種變換之后，若能保持不變，就稱為具有變換對稱性，相應的的變換就叫做對稱變換。物理規(guī)律的對稱性，對應地存在一條守恒律空間平移對稱性，對應動量守恒定律。時間平移對稱性，對應能量守恒定律?？臻g旋轉對稱性，對應角動量守恒定律。確定體系守恒量的方法若體系的哈密頓量在某種線性變換下保持不變，即其中。由概率守恒可導出一定是幺正算符，即考慮無窮小的連續(xù)變換，令由幺正變換的要求得由此得即要求為厄米算符，稱其為在變換下的無窮小生成元。它可以用來定義與一個幺正變換相聯(lián)系的可觀測量。由于可導出這樣就找到了與幺正變換相聯(lián)系的體系的一個守恒量。時空對稱性及其應用時間平移對稱性和能量守恒空間平移對稱性和動量守恒空間轉動對稱性和角動量守恒說明：推導過程中的主要方法是對于微小變換采用泰勒級數(shù)展開。詳細推導見教材P91~P93。5.4全同性原理1.

全同性粒子的交換對稱性全同粒子：在量子力學中，人們把固有的性質如電荷、質量、磁矩、自旋等內稟屬性完全相同的粒子。全同性原理：

在經(jīng)典力學中，粒子是用坐標和動量來描述，可以根據(jù)各自的運動軌跡來區(qū)分。而在量子力學中，微觀全同粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述，每個粒子的波函數(shù)彌散于整個空間，即處于同一區(qū)域各粒子波函數(shù)重疊，對粒子無法加以區(qū)分；另外，對全同粒子體系進行測量時，關心的是在空間某點附近粒子出現(xiàn)的概率（或數(shù)目），而這個概率（或數(shù)目）究竟屬于體系中的哪幾個，是無法確定的。即全同粒子具有不可區(qū)分性，這是微觀粒子的基本性質之一。全同粒子的性質全同粒子體系的哈密頓算符具有交換對稱性，體現(xiàn)了全同粒子的不可區(qū)分性。注意！這里的粒子坐標包括空間坐標和自旋坐標。交換算符對全同粒子波函數(shù)的限制對稱波函數(shù)——全同玻色子反對稱波函數(shù)——全同費米子全同粒子體系的波函數(shù)不隨時間變化而變化。全同粒子的分類（1）凡是自旋為整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系，其波函數(shù)對于交換兩個粒子總是對稱的。例如，介子，α粒子，基態(tài)的He，光子。它們在統(tǒng)計物理中遵從玻色(Bose)——愛因斯坦(Einstein)統(tǒng)計規(guī)律，稱為玻色子。（2）凡是自旋為半奇數(shù)倍的粒子，所組成的全同粒子體系，其波函數(shù)對于交換兩個粒子總是反對稱的。例如，電子、質子、中子等，s＝1/2，它們在統(tǒng)計物理中遵從費米（Fermi）——狄拉克(Dirac)統(tǒng)計規(guī)律，稱為費米子。全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)構造

如何由單粒子波函數(shù)來組成全同粒子體系的具有交換對稱性的波函數(shù)?

假設兩個全同粒子組成的體系，其中單個粒子的哈密頓算符為,歸一化本征函數(shù)為,本征值為，則應有對于全同粒子，在形式上是完全相同的，不考慮兩粒子的相互作用時，兩個粒子體系的哈密頓算符為

相應的本征方程式中的可以分離成兩個單粒子波函數(shù)的乘積（因為不考慮相互作用）當?shù)谝粋€粒子處于i態(tài)，第二個粒子處于j態(tài)時，波函數(shù)為它是滿足上式的解，對應的本征能量當?shù)谝粋€粒子處于j態(tài)，第二個粒子處于i態(tài)時，波函數(shù)為它也是滿足上式的解具有同樣的本征能量即交換兩個粒子的波函數(shù)，但體系有相同的能量，稱為交換簡并。注意：是否具有交換對稱性？當時，具有交換對稱，對應玻色子。當時上面所講雖是本征方程的解，但不具有交換對稱性，不滿足全同粒子波函數(shù)的條件。（1）對于玻色子，波函數(shù)要求對于交換兩個粒子是對稱的，所以當時，歸一化的對稱波函數(shù)構成如下當時

（2）對于費米子，波函數(shù)要求對于交換兩個粒子是反對稱的，歸一化的反對稱波函數(shù)構成如下由上式可以看出，當時，則，所以兩個費米子處于同一單粒子態(tài)是不存在的，滿足泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。N個全同粒子體系的波函數(shù)設粒子間相互作用可以忽略，單粒子哈密頓量不顯含時間，以和表示的第i個本征值和本征函數(shù)，則N個全同粒子體系的哈密頓量為對應本征值的本征態(tài)體系的本征方程為

由此可見，在粒子無相互作用的情況下，只要求得單粒子的本征值和本征函數(shù)，多粒子體系的問題就可以迎刃而解了。但并不滿足全同粒子體系波函數(shù)交換對稱性的要求，還須作變換。（1）對于N個玻色子，假定每個粒子都處于不同的單粒子態(tài)，則組合中的每一項都是N個單粒子態(tài)的一種排列，用來表示這些所有可能的排列之和，總項數(shù)應該為，所以玻色子系統(tǒng)的