2023-2024學年上海市浦東區(qū)洋涇中學數(shù)學高一上期末綜合測試試題含解析

2023-2024學年上海市浦東區(qū)洋涇中學數(shù)學高一上期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度2．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則A. B.C. D.3．圓關于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.4．已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為.若，則下列關系不可能成立的是（）A. B.C. D.5．若,則的值為A. B.C. D.6．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當時，，則關于的函數(shù)，（）的所有零點之和為（）A. B.C. D.7．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B.C. D.8．將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)既是定義域上的減函數(shù)又是奇函數(shù)的是A. B.C. D.10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.11．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A. B.C. D.12．一條側棱垂直于底面的三棱錐P﹣ABC的三視圖不可能是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.菱形D.頂角是90°的等腰三角形二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．若冪函數(shù)的圖象過點，則______.14．滿足的集合的個數(shù)是______________15．已知是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，對于函數(shù)有下列幾種描述：①是周期函數(shù)；②是它的一條對稱軸；③是它圖象的一個對稱中心；④當時，它一定取最大值；其中描述正確的是__________16．已知，，當時，關于的不等式恒成立，則的最小值是_________三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，在直三棱柱中，點為的中點，，，.（1）證明：平面.（2）求三棱錐的體積.18．定義在上奇函數(shù)，已知當時，求實數(shù)a的值；求在上的解析式；若存在時，使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍19．已知函數(shù)為上奇函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最小值20．已知函數(shù)=.（1）求的最小正周期；（2）求的單調遞增區(qū)間；（3）當x，求函數(shù)的值域.21．已知函數(shù)，（1）求最小正周期；（2）求的單調遞增區(qū)間；（3）當時，求的最大值和最小值22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調遞減區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的零點，不寫步驟，直接用列舉法表示的值組成的集合.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)誘導公式可得，結合三角函數(shù)的平移變換即可得出結果.【詳解】函數(shù)；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，故選：D2、D【解析】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，借助奇偶性，將問題轉化到已知區(qū)間上，再求函數(shù)值【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，所以，選擇D【點睛】已知函數(shù)的奇偶性問題，常根據(jù)函數(shù)的奇偶性，將問題進行轉化，轉化到條件給出的范圍再進行求解3、A【解析】由題意得，圓心坐標為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱圓方程為考點：點關于直線的對稱點；圓的標準方程4、D【解析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】解：由題意，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系有：當或時，或，故選項B可能成立；當時，，故選項A可能成立；當時，，故選項C可能成立；所以選項D不可能成立.故選：D.5、B【解析】根據(jù)誘導公式將原式化簡為，分子分母同除以，即可求出結果.【詳解】因為，又，所以原式.故選B【點睛】本題主要考查誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系，熟記公式即可，屬于基礎題型.6、B【解析】作函數(shù)與的圖象，從而可得函數(shù)有5個零點，設5個零點分別為，從而結合圖象解得【詳解】解：作函數(shù)與的圖象如下，結合圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，故函數(shù)有5個零點，設5個零點分別為，∴，，，故，即，故，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)的圖象的關系應用及數(shù)形結合的思想應用，屬于?？碱}型.7、A【解析】選項是非奇非偶函數(shù)，選項是奇函數(shù)但在定義域的每個區(qū)間上是減函數(shù)，不能說是定義域上的減函數(shù)，故符合題意.8、C【解析】由題意可得，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，于是把鋼球的球心連接，則可得到一個棱長為2的小正四面體，該小正四面體的高為，且由正四面體的性質可知，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的，所以小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是，所以可知正四面體的高的最小值為，故選擇C考點：幾何體的體積9、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調性與奇偶性對選項中的函數(shù)進行判斷即可【詳解】對于A，f（x）＝|x|，是定義域R上的偶函數(shù)，∴不滿足條件；對于B，f（x），在定義域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函數(shù)，且在每一個區(qū)間上是減函數(shù)，不能說函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴不滿足條件；對于C，f（x）＝﹣x3，在定義域R上是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，∴滿足題意；對于D，f（x）＝x|x|，在定義域R上是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，∴不滿足條件故答案為：C【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、B【解析】分析：利用函數(shù)的單調性即可判斷.詳解：因為函數(shù)為偶函數(shù)且在(?∞,0)上單調遞減，所以函數(shù)在(0,+∞)上單調遞增，由于，所以.故選B.點睛：對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：①單調性法，在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底．②中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”．③圖象法，根據(jù)圖象觀察得出大小關系11、A【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，∴y＝ex與y＝2﹣x的交點的橫坐標為a，y＝lnx與y＝2﹣x交點的橫坐標為b，由圖象知a＜1＜b，故選A考點：函數(shù)的零點12、C【解析】直接利用空間圖形和三視圖之間的轉換的應用求出結果【詳解】由于三棱錐P﹣ABC的一條側棱垂直于底面，所以無論怎樣擺放，該三視圖都為三角形，不可能為菱形故選：C【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換，主要考查學生的空間想象能力，屬于基礎題二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】設，將點代入函數(shù)的解析式，求出實數(shù)的值，即可求出的值.【詳解】設，則，得，，因此，.故答案為.【點睛】本題考查冪函數(shù)值的計算，解題的關鍵就是求出冪函數(shù)的解析式，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、4【解析】利用集合的子集個數(shù)公式求解即可.【詳解】∵,∴集合是集合的子集，∴集合的個數(shù)為，故答案為：.15、①③【解析】先對已知是定義在的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)用定義轉化為恒等式，再由兩個恒等式進行合理變形得出與四個命題有關的結論，通過推理證得①③正確.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即是它的一條對稱軸；又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，則，，即是周期函數(shù)，即①正確；因為是它的一條對稱軸且，所以（）是它的對稱軸，即②錯誤；因為函數(shù)是奇函數(shù)且是以為周期周期函數(shù)，所以，所以是它圖象的一個對稱中心，即③正確；因為是它的一條對稱軸，所以當時，函數(shù)取得最大值或最小值，即④不正確.故答案為：①③.16、4【解析】由題意可知，當時，有，所以，所以點睛：本題考查基本不等式的應用．本題中，關于的不等式恒成立，則當時，有，得到，所以．本題的關鍵是理解條件中的恒成立三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）在平面內作出輔助線，然后根據(jù)線面平行判定定理證明即可；（2）作出三棱錐的高，將看作三棱錐的底面，利用三棱錐體積公式計算即可.【小問1詳解】證明：連接，交于，連接，因為是直三棱柱，所以為中點，而點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：過作于，因為是直三棱柱，點為的中點，所以，且底面，所以,因為，所以，則,所以18、（1）；（2）；（3）.【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質可得，解可得的值，驗證即可得答案；當時，，求出的解析式，結合函數(shù)的奇偶性分析可得答案；根據(jù)題意，若存在，使得成立，即在有解，變形可得在有解設，分析的單調性可得的最大值，從而可得結果【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，得經檢驗滿足題意；故；根據(jù)題意，當時，，當時，，又是奇函數(shù)，則綜上，當時，；根據(jù)題意，若存在，使得成立，即在有解，即在有解又由，則在有解設，分析可得上單調遞減，又由時，，故即實數(shù)m的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用，以及指數(shù)函數(shù)單調性的應用，屬于綜合題19、（1）；（2）【解析】（1）由奇函數(shù)得到，再由多項式相等可得；（2）由是奇函數(shù)和已知得到，再利用是上的單調增函數(shù)得到對任意恒成立．利用參數(shù)分離得對任意恒成立，再求，上最大值可得答案【詳解】（1）因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以對任意成立，即對任意成立，所以，所以（2）由得，因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以由（1）得，是上的單調增函數(shù)，故對任意恒成立所以對任意恒成立因為，令，由，得，即所以的最大值為，故，即的最小值為【點睛】本題考查了函數(shù)的性質，不等式恒成立的問題，第二問的關鍵點是根據(jù)函數(shù)的為單調遞增函數(shù)，得到，再利用參數(shù)分離后求的最大值，考查了學生分析問題、解決問題的能力.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)周期的計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）令，即可求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（3）由求得，結合正弦函數(shù)的性質求得其的最值，即可得到函數(shù)的值域.【小問1詳解】由解析式可知：最小正周期為.【小問2詳解】由解析式，令，解得，∴的單調遞增區(qū)間為.【小問3詳解】當，可得，結合正弦型函數(shù)的性質得：當時，即時，函數(shù)取得最大值，最大值為；當時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為，∴函數(shù)的值域為.21、（1）（2），（3）最大值為，最小值為【解析】（1）由周期公式直接可得；（2）利用正弦函數(shù)的單調區(qū)間解不等式可得；（3）先根據(jù)x的范圍求出的范圍，然后由正弦函數(shù)的性質可得.【小問1詳解】的最小正周