直線與方程課程(5篇)

第頁共頁直線與方程課程(5篇)人的記憶力會(huì)隨著歲月的流逝而衰退，寫作可以彌補(bǔ)記憶的缺乏，將曾經(jīng)的人生經(jīng)歷和感悟記錄下來，也便于保存一份美妙的回憶。的時(shí)候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？以下是我為大家搜集的優(yōu)質(zhì)范文，僅供參考，吧直線與方程課程篇一一、教學(xué)目的在理解直線方程的意義，掌握直線的點(diǎn)方向式方程的根底上，進(jìn)一步探究點(diǎn)法向式方程；學(xué)會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，形成探究才能。二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)本節(jié)的重點(diǎn)是直線的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)及應(yīng)用。在上一堂課的根底上，通過向量垂直的充要條件〔對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式〕推導(dǎo)出直線的點(diǎn)法向式方程。本節(jié)的難點(diǎn)是通過對(duì)直線與二元一次方程關(guān)系的分析^p，初步認(rèn)識(shí)曲線與方程的關(guān)系并體會(huì)解析幾何的根本思想！從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對(duì)平面直線〔和以后的圓錐曲線〕的研究才能。三、教學(xué)過程復(fù)習(xí)上一堂課的教學(xué)內(nèi)容講授新課〔一〕點(diǎn)法向式方程1、概念引入從上一堂課的教學(xué)中，我們知道，在平面上過一點(diǎn)p，且與某一方向平行的直線l是惟一確定的．同樣在平面上過一點(diǎn)p，且與某一方向垂直的直線l也是惟一確定的。2、概念形成直線的點(diǎn)法向式方程在平面上過一點(diǎn)p，且與某一方向垂直的直線l是惟一確定的。建立直角坐標(biāo)平面，設(shè)p的坐標(biāo)是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根據(jù)條件求出直線l的方程呢？直線的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x,y)，由直線垂直于非零向量n，故pqn.根據(jù)pqn的充要條件知pqn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，假設(shè)(x1,y1)為方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，記(x1,y1)為坐標(biāo)的點(diǎn)為q1，可知pq1n，即q1在直線l上。綜上，根據(jù)直線方程的定義知，方程⑤是直線l的方程，直線l是方程①的直線。我們把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直線l的點(diǎn)法向式方程，非零向量n叫做直線l的法向量。3、例題解析直線與方程課程篇二平面解析幾何第一講直線方程知識(shí)歸納：一、直線的傾斜角與斜率1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點(diǎn)或直線上一點(diǎn)和直線的方向兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的條件注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角〔斜率〕、直線的方向向量、直線的法向量2、直線的傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。注意：①從用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由x軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角；②規(guī)定：直線與x軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為00③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800④在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度一樣的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k=tanα(α≠900)。它從另一個(gè)方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個(gè)確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)α=00時(shí)，k=0；當(dāng)00<α<1800時(shí)，k》0；當(dāng)α=900時(shí)，k不存在，當(dāng)900<α<1800時(shí)，k<0。即：斜率的取值范圍為k∈r例1、給出以下命題：①假設(shè)直線傾斜角為α，那么直線斜率為tanα；②假設(shè)直線傾斜角為tanα，那么直線的傾斜角為α；③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號(hào)為例2、直線的傾斜角為α，且sinα=4，求直線的斜率k54、直線斜率的坐標(biāo)公式經(jīng)過兩點(diǎn)p的直線的斜率公式：k=y1-y21(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)x1-x2注意：①斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即k=y1-y2=y2-y1(x≠x)12x1-x2x2-x1②特別地：當(dāng)y1=y2,x1≠x2時(shí)，k=0；此時(shí)直線平行于x軸或與x軸重合；當(dāng)y1≠y2,x1=x2時(shí)，k不存在，此時(shí)直線的傾斜角為900，直線與y軸平行或重合。例3、點(diǎn)p(2,1),q(m,-3)，求直線p,q的斜率并判斷傾斜角的范圍。例4、〔三點(diǎn)共線問題〕a(-3,-5),b(1,3),c(5,11)三點(diǎn)，證明這三點(diǎn)在同一條直線上例5、〔最值問題〕實(shí)數(shù)x,y，滿足2x+y=8，當(dāng)2≤x≤8時(shí)，求y的最大值和最小值x5、直線的方向向量：p是直線l上的兩點(diǎn)，直線上的向量pp及與它平行的向量都1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)12稱為直線的方向向量。直線pp與x軸不垂直時(shí)，x1≠x2，此時(shí)，向量12的坐標(biāo)是1也是直線pp的方向向量，且它pp1212x2-x11，其中k為直線pp的斜率(x2-x1,y2-y1)，即〔1，k〕12x2-x16、直線的法向量：假如向量n與直線l垂直，那么稱向量n為直線l的法向量。二、直線的方程1、定義：一般地，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這是，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線。2、直線方程的幾種形式〔1〕點(diǎn)斜式：問題：假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)p，且斜率為k，求直線l的方程。0(x0,y0)解析：設(shè)點(diǎn)p(x,y)是直線l上不同于點(diǎn)p的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得k=y-y0，可化為0x-x0、斜率為k的直線l的方程。y-y0=k(x-x0)，即為過點(diǎn)p0方程y-y0=k(x-x0)是由直線上一點(diǎn)及其斜率確定的，把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式的方程，簡稱點(diǎn)斜式。注意：①k=y-y0與y-y0=k(x-x0)是不同的，前者表示直線上缺少一個(gè)點(diǎn)x≠x0，后者才是整條直線；x-x0②當(dāng)直線l的傾斜角為00時(shí)，tan00=0，即k=0，這時(shí)直線l的方程為y=y0③當(dāng)直線的傾斜角為900時(shí)，直線l斜率不存在，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，它的方程是x=x0。即：局限性是不能表示垂直于x軸的直線。④經(jīng)過點(diǎn)p的直線有無數(shù)條，可分為兩類情況：0(x0,y0)ⅰ、斜率為k的直線，方程為y-y0=k(x-x0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x0=0或?qū)憺閤=x0例6、根據(jù)條件寫出以下各題中的直線的方程①經(jīng)過點(diǎn)p，傾斜角α=450，②經(jīng)過點(diǎn)p,2)，斜率為2③經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，且與x軸平行1(-2,3)1(1④經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3)，且與x軸垂直〔2〕斜截式：問題：直線l的斜率是k，與y軸的交點(diǎn)是p(0,b)，代入直線方程的點(diǎn)斜式，得直線l的方程y-b=k(x-0)，也就是y=kx+b，我們稱b是直線l在y軸上的截距。這個(gè)方程是由直線l的斜率k和它在y軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意：①b∈r②局限性：不表示垂直于x軸的直線③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式一樣，都是y=kx+b，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時(shí)，y=kx+b是一次函數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，y=b不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y=kx+b〔k=0〕必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y=+1的傾斜角的1，且在y軸上的截距為-5的直線的方程。4〔3〕兩點(diǎn)式：問題：直線l經(jīng)過兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)，求直線l的方程解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過兩點(diǎn)p≠1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2，)所以它的斜率k=y2-y1，代入點(diǎn)斜式，得x2-x1y-y1=y2-y1(x-x1)，當(dāng)y2≠y1時(shí)，方程可以寫成y-y1=x-x1x2-x1y2-y1x2-x1這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，所以叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式。注意：①方程y-y=y2-y1(x-x)與方程y-y1=x-x1比擬，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能11x2-x1y2-y1x2-x1表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)。例8、點(diǎn)a(-5,0)，b(3,-3)，求直線ab的方程例9、一條光線從點(diǎn)a(3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射，通過點(diǎn)b(-1,6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程〔4〕截距式：問題：直線l與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直線l的方程。解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過a(a,0)和b(0,b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得假如直線與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，那么稱a為直線在x軸上的截距。以上直線方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式注意：方程x+y=1中a≠0,b≠0，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行〔重合〕的直線，還不能表示過原點(diǎn)的直aby-0x-a，即為x+y=1=b-00-aab線。例10、過兩點(diǎn)a(-1,1)，b(3,9)的直線在x軸上的截距為〔5〕一般式方程：以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于xy的二元一次方程表示；而關(guān)于xy的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把xy的二元一次方程ax+by+c=0(其中a,b不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是a,b不同時(shí)為0。③雖然直線的一般式有三個(gè)系數(shù)，但是只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求直線的方程，假設(shè)a≠0,那么方程可化為x+by+c=0;假設(shè)b≠0，那么方程可化為ax+y+c=0，即y=-ax-c;aabbbb假設(shè)a=0，b≠0時(shí)，方程化為y=-c,它表示與x軸平行或重合的直線；b假設(shè)a≠0，b=0時(shí)，方程化為x=-c，它表示一條與y軸平行或重合的直線；a假設(shè)abc≠0時(shí)，那么方程可化為x-a+因此只需要兩個(gè)條件即可。y=1-b④直線方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時(shí)假設(shè)沒有特殊說明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線的一般式例11、設(shè)直線l的方程為(m-2m-3)x+(2m+m-1)y=2m-6，根據(jù)以下條件分別確定m的值〔1〕l在x軸上的截距為-3〔2〕l的斜率是-1〔6〕點(diǎn)向式：問題：設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)p，v=(a,b)是它的一個(gè)方向向量，求直線l的方程0(x0,y0)解析:設(shè)p(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，那么向量p與v共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實(shí)數(shù)t，0px=x0+at①，使p，即(x-x0,y-y0)=t(a,b)，所以?方程組①稱為直線的參數(shù)式方程。0p=tv??y=y0+bt22假如直線l與坐標(biāo)軸不平行，那么ab≠0，于是可得x-x0y-y0=t,=t，消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程abx-x0y-y0這個(gè)方程稱為直線l的點(diǎn)向式方程，a,b叫做直線l的方向數(shù)。=ab考慮：假設(shè)給出直線的一般式方程ax+by+c=0，如何確定直線的方向向量？〔7〕點(diǎn)法式：問題：設(shè)直線l有法向量n=(a,b)，且經(jīng)過點(diǎn)p，求直線l的方程0(x0,y0)解析：設(shè)p(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，那么有p，即p0p⊥n0p?n=0因?yàn)閜p0=(x-x0,y-y0)，n=(a,b)，所以有a(x-x0)+b(y-y0)=0這個(gè)方向是由直線l上一點(diǎn)p及直線l的法向量n確定的，稱為直線l的點(diǎn)法式。0(x0,y0)考慮：假設(shè)給出直線的一般式方程ax+by+c=0，如何確定直線的法向量？三、直線的位置關(guān)系〔同一平面上的直線〕1、平行與垂直〔1〕兩條直線平行的斷定①當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的斷定設(shè)兩條直線分別為，那么l1,l2的傾斜角相等，即由α1=α2，l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2假設(shè)l1//l2，可得tanα1=tanα2，也即k1=k2，此時(shí)b1≠b2；反之也成立。所以有l(wèi)1//l2?k1=k2且b1≠b2②當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為900，假設(shè)不重合，那么它們也是平行直線注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為l1：a1x+b1y+c1不為0〕或l1//l2?a〔可用直線的方向向量或法向量解釋〕1b2-a2b1=0且b1c2-b2c1≠0或ac12-a2c1≠0例12、點(diǎn)a(2,2)和直線l：3x+4y-20=0，求過點(diǎn)a和直線l平行的直線?！惨銎叫兄本€系方程〕〔2〕兩條直線垂直的斷定①當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的斷定設(shè)兩條直線分別為，l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2那么得直線l1的方向向量為：a=(1,k1)l2的方向向量為：b=(1,k2)，所以有l(wèi)1⊥l2?a⊥b?a?b=0?1?1+k1?k2=0即l1⊥l2?k1?k2=-1注意：或用兩條直線的傾斜角推倒：即tanα2=tan(900+α1)=-=0，l2：a2x+b2y+c2=0可得l1//l2?a1=b1≠c1〔其中分母a2b2c21，得到k1?k2=-1tanα1②兩條直線中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，那么兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的斷定就可表達(dá)為：一般地，l1⊥l2?k1?k2=-1或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零。注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為l1：a1x+b1y+c1例14、兩直線l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2：①平行②重合③垂直例15、長方形abcd的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(0,1),b(1,0),c(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)例16、求證：不管m為取什么實(shí)數(shù)，直線(2m2-1)x+(m2-1)y=m2-5總通過某一定點(diǎn)=0，l2：a2x+b2y+c2=0可得l1⊥l2?a1a2+b2b1=0例13、求與直線3x+4y+1=0垂直且過點(diǎn)〔1，2〕的直線方程〔引出垂直直線系方程〕)例17、直線ax-y+2a+1=0，〔1〕假設(shè)x∈(-1〔2〕假設(shè)a∈(-,1,1)時(shí)，y》0恒成立，求a的取值范圍；16時(shí)，恒有y》0，求x的取值范圍四、到角、夾角〔1〕到角公式定義：兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，他們是兩對(duì)對(duì)頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線l1繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到l2的角，如圖，直線l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1》0,θ2》0,θ1+θ2=π)推倒：設(shè)直線方程分別是l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2.l1到l2的角是θ①假設(shè)1+k1?k2=0，即k1?k2=-1，那么θ=π2②假設(shè)1+k1?k2≠0，設(shè)l1、l2的傾斜角分別為α1,α2，那么tanα1=k1,tanα2=k2由圖1〕的θ=α2-α1，所以tanθ=tan(α2-α1)由圖2〕的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tanθ=tan*π+(α2-α1)+=tanπ+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)1-tanπtan(α2-α1)1-0于是tanθ=tan(α2-α1)=tanα2-tanα1k-k=211+tanα2tanα11+k1k2即tanθ=k2-k1就是l1到l2的角θ1+k1k2〔2〕夾角公式定義：由〔1〕得，l2到l1的角是π-θ，所以當(dāng)l1與l2相交但不垂直時(shí)，在θ和π-θ中有且只有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，那么tanα=當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)，直線l1與l2的夾角為k2-k1，即為夾角公式1+k1k2π2例18、等腰三角形一腰所在直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l3的方程五、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：1、設(shè)兩條直線分別為l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0那么l1與l2是否有交點(diǎn)，只需看方程組?a1x+b1y+c1=0是否有唯一解??a2x+b2y+c2=0假設(shè)方程組有唯一解，那么這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)方程組無解，那么兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；假設(shè)方程組有無窮多解，那么兩直線重合例19、求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程。經(jīng)過兩直線l1:a1x+b1y+c1=0與l2:a2x+b2y+c2=0交點(diǎn)的直線系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個(gè)方程中，無論λ取什么實(shí)數(shù)，a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0，都得到a2x+b2y+c2=0，因此，它不能表示直線l2。2、對(duì)稱問題〔1〕點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)a(a，b)關(guān)于p,y0)的對(duì)稱點(diǎn)b〔m，n〕，那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式0(x0m=2x0-a,n=2y0-b，即b〔2x0-a,2y0-b〕?！?〕點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，點(diǎn)a(x0,y0)關(guān)于直線l:ax+by+c=0〔a、b不同時(shí)為0〕的對(duì)稱點(diǎn)a'(x1,y1)，那么有aa’的中點(diǎn)在l上且直線aa’與直線l垂直?！?〕直線關(guān)于直線的對(duì)稱，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱解決，假設(shè)直線l1與對(duì)稱軸l相交，那么交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，然后再求出l1上任意不同于交點(diǎn)的點(diǎn)p1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)p2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)p2的直線就是l2；假設(shè)直線l1與對(duì)稱軸l平行，那么在l1上任取兩不同點(diǎn)p1、p2，求其關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)p1、p2，過p1、p2的直線就是l2。例題20、直線l:x+y-1=0，試求①點(diǎn)p(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱坐標(biāo)；②直線l1:y=2x+3關(guān)于直線''''l的對(duì)稱的直線方程。例題21、求函數(shù)y=六、兩點(diǎn)間的間隔，點(diǎn)到直線間的間隔+的最小值。p〔1〕兩點(diǎn)間的間隔：p1p2=1(x1,y1),p2(x2,y2)那么〔2〕點(diǎn)到直線的間隔:l點(diǎn)p，求點(diǎn)p0(x0,y0)，直線l:ax+by+c=0〔a、b不同時(shí)為0〕0到直線的間隔。解法一：如圖，作p0q⊥l于點(diǎn)q，設(shè)q(x1,y1)，假設(shè)a,b≠o,那么由k1=-ab(,得kp0q=bak1kp0q=-1)，?ax+by+c=0?b?by-y=(x-x)從而直線p的方程為，解方程組qy-y=(x-x0)得0000?a?a?b2x0-aby0-acx=??1a2+b2?2?y=ay0-abx0-bc1??a2+b2∴d=pq==0ax0+by0+c==a2+b2容易驗(yàn)證當(dāng)a=0或b=0時(shí)，上式仍然成立。l解法二：如圖，設(shè)a≠0,b≠0，那么直線l與x軸和y軸都相交，過點(diǎn)p0分別作x軸和y軸的平行線，交直線于r和s，那么直線p0r的方程為y=y0，r的坐標(biāo)為〔-by0+c,y0〕；ax,-直線p0s的方程為x=x0，s的坐標(biāo)為〔-0ax0+c〕，b于是有p0r=-ax0+by0+cby0+c-x0=,aa=ax0+by0+cax0+cp-y0=,rs=0s=-bb0+by0+c。=d，由三角形面積公式可得d?rs=p設(shè)pq00r?p0s.于是得d=因此，點(diǎn)p0(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的間隔d=上式仍成立。注意:p0r?p0srs=容易驗(yàn)證，當(dāng)a=0或b=0時(shí)，①假設(shè)給出的方程不是一般式，那么應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求間隔；②點(diǎn)到直線的間隔是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短間隔；③假設(shè)點(diǎn)在直線上，那么點(diǎn)到直線的間隔為0，但間隔公式仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)ax0+by0+c=0。〔3〕兩平行線間的間隔。定義；兩條平行直線間的間隔是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的間隔。兩條平行直線l1:ax+by+c1=0與l2:ax+by+c2=0的間隔公式d=推導(dǎo)過程：設(shè)p那么p到l2:ax+by+c2=0的間隔0(x0,y0)為直線l1:ax+by+c1=0上任意一點(diǎn)，0為d=，又因?yàn)閜0在l1:ax+by+c1=0上，所以ax0+by0+c1=0，即ax0+by0=-c1,所以d=注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線化為一般式，且x、y的系數(shù)分別相等。例題22、求經(jīng)過點(diǎn)a(-1,2)與b(-,0)的直線上一點(diǎn)c〔5，n〕到直線x+y=1的間隔。例題23、求經(jīng)過點(diǎn)a〔1，2〕且到原點(diǎn)的間隔等于1的直線方程。例題24、三角形abc中，點(diǎn)a〔1，1〕，b〔m〕〔1例題25、求過點(diǎn)p〔1，2〕且與a〔2，3〕，b(4,-5)兩點(diǎn)間隔相等的直線方程。作業(yè)：1、設(shè)θ∈(52π2,π)，那么直線xcosθ+ysinθ+1=0的傾斜角α為〔〕(b)θ(c)θ+(a)θ-π2π2(d)π-θ2、設(shè)p〔x，y〕是曲線c：x2+y2+4x+3=0上任意一點(diǎn)，那么y的取值范圍是xa．[-3,3]b．(-∞,-3]?*,+∞)c．[-3,]d．(-∞,-]?*,+∞)33333、m(2，－3)，n(－3，－2)，直線l過點(diǎn)a(1，1)且與線段mn相交，那么直線l的斜率k的取值范圍是3或k≤－443b.－4≤k≤433c.≤k≤4d.－≤k≤4444．過點(diǎn)p〔6，－2〕且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線的方程是a．2x+3y-6=0c．x-y+3=0b．2x+3y-6=0或3x+4y-12=0d．x+2y-2=0或2x+3y-6=05、假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,那么直線l的條數(shù)為(a)1(b)2(c)3(d)46、如下圖，直線l1：ax－y＋b=0與l2：bx－y＋a=0(ab≠0,a≠b)的圖象只可能是7、假設(shè)三點(diǎn)a(3,a)、b(2,3)、c(4,b)在一條直線上,那么有(a)a=3,b=5(b)b=a+1(c)2a－b=3(d)a－2b=38、直線l經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(－1,－1),那么它的傾斜角是aa.π5ππ5ππb.c.或d.－444449.直線l1：a1x+b1y+c1＝0與直線l2：a2x+b2y+c2＝0相交，那么方程λ1〔a1x＋b1y＋c1〕＋λ2〔a2x+b2y+c2〕2=0,(λ1≠0)表示〔〕+λ22a.過l1與l2交點(diǎn)的一切直線b.過l1與l2的交點(diǎn)，但不包括l1可包括l2的一切直線c.過l1與l2的交點(diǎn)，但包括l1不包括l2的一切直線d.過l1與l2的交點(diǎn)，但既不包括l1又不包括l2的一切直線10.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈r)所表示的直線a.恒過定點(diǎn)(－2,3)b.恒過定點(diǎn)(2，3)c.恒過點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2，3)d.都是平行11、過點(diǎn)(-1，)且與直線3x-y+1=0的夾角為π的直線方程是〔〕6a、x-3y+4=0b、x+1=0或x+3y-2=0c、x+1=0或x-y+4=0d、y=或x+3y-2=012、直線xcosα+3y+2=0的傾斜角的取值范圍是_________。13、直線l的方向向量為〔-1，2〕，直線l的傾斜角為14、直線l過p〔-2，3〕且平行于向量d=〔4，5〕，那么直線l的方程為。15、點(diǎn)m(a,b)在直線3x+4y=15上，那么16、△abc的三個(gè)頂點(diǎn)a(－3,0),b(2,1),c(－2,3).求：〔1〕bc所在直線的方程;〔2〕bc邊上中線ad所在直線的方程;〔3〕bc邊的垂直平分線de的方程.17、求到兩直線l1：3x+4y-5=0和l2：6x+8y-9=0間隔相等的點(diǎn)p(x,y)滿足的方程直線與方程課程篇三ⅰ.課題導(dǎo)入［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線。如今大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對(duì)直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識(shí).如今，我們來回憶一下它們的根本形式.點(diǎn)斜式的根本形式：y－y1＝k〔x－x1〕適用于斜率存在的直線.斜截式的根本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；兩點(diǎn)式的根本形式：直線；截距式的根本形式：yy1xx1〔x1≠x2，y1≠y2〕適用于斜率存在且不為0的y2y1x2x1xy＝1〔a，b≠0〕在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們?cè)瓉碓诖鷶?shù)中學(xué)過二元一次方程它的一般形式是什么呀？〔板書〕ax＋by＋c＝0我們?nèi)缃駚砜匆淮芜@幾種學(xué)過的特殊形式，它們經(jīng)過一些變形，比方說去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比方說y＝kx＋b，xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說各有其特點(diǎn)，但是也有些缺乏。在使用的過程中有些局限性。比方說點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們?nèi)缃裣胍幌胗袥]有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)展討論。1.直線和二元一次方程的關(guān)系〔1〕在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成ax＋by＋c＝0的形式，剛剛大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和ax＋by＋c＝0比擬發(fā)現(xiàn)什么？a=kb=-1c=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式。可以轉(zhuǎn)化成x-x0=0和ax＋by＋c＝0比擬發(fā)現(xiàn)什么？a=1b=0c=-x0好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡單的斜截式，斜截式經(jīng)過變形就可以化成一般的形式。而對(duì)于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛剛我們從這個(gè)角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，如今我們反過來看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都可以表示直線?！?〕在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是ax＋by＋c＝0，其中a、b不同時(shí)為0，在b≠0和b＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－acx和表bbc.a也就是說ax＋by＋c＝0〔a，b不同時(shí)為零〕大家想想假如ab都等于零這個(gè)直線方程就沒了。如今我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過一些適當(dāng)?shù)淖冃危兂晌覀兪煜さ男问?，而確定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？by＝-ax-c斜截式方程，斜率是是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程ax+by+c=0〔其中a,b不同時(shí)為0〕叫做直線的一般式方程。我們?cè)趯W(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點(diǎn)，比方說點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們?cè)趺赐ㄟ^直線的一般式方程觀察直線的一些特點(diǎn)呢？比方說a=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。假如要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿足什么樣的條件？假如旦旦是c等于零，通過原點(diǎn)的直線。假設(shè)ab都不等于零它的斜率我們____出來？這些直線的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對(duì)直線的一般式方程有了一定的理解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來看一個(gè)例子，通過一些轉(zhuǎn)化來解決實(shí)際問題。［例1］直線經(jīng)過點(diǎn)a(6，－４〕，斜率為－4，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析^p：此題中的直線方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過點(diǎn)a(6，－４)，并且斜率等于－4的直線方程的點(diǎn)斜式是：3y＋４＝－4〔x－6〕3化成一般式得：４x＋3y－12＝0同學(xué)們?cè)谝院蠼忸}時(shí)，可能求直線方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.直線與方程課程篇四《直線的方程》教案一、教學(xué)目的知識(shí)與技能：理解直線方程的點(diǎn)斜式的特點(diǎn)和使用范圍過程與方法：在知道直線上一點(diǎn)和直線斜率的根底上，通過師生討論得出點(diǎn)斜式方程情感態(tài)度價(jià)值觀：養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思想，可以使用聯(lián)絡(luò)的觀點(diǎn)看問題。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)斜式方程教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)使用點(diǎn)斜式方程三、教學(xué)用具：直尺，多媒體四、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引入新知我們確定一條直線需要知道哪些條件呢？〔直線上一點(diǎn)，直線的斜率〕那么我們能不能用直線上這一點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率把整條直線所有點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足的關(guān)系表達(dá)出來呢？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的課程《直線的方程》。2、師生互動(dòng)，探究新知探究一：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)p〔0,3〕，斜率k=2，q(x,y)是直線l上不同于點(diǎn)p的任意一點(diǎn)，如ppt上圖例所示。通過上節(jié)課所學(xué)，我們可以得出什么？由于p,q都在這條直線上，我們就