第23章 解直角三角形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷（解析版）

第23章解直角三角形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)二種方法【4個(gè)專題】1.銳角三角函數(shù)的概念2.特殊角的三角函數(shù)值與實(shí)數(shù)的運(yùn)算3.解直角三角形4.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【3種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想2.方程思想3.分類討論思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)二種方法】【4個(gè)專題】1.銳角三角函數(shù)的概念【例1】．（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為銳角，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)，，可得，，代入所求式子可得答案．【詳解】解：為銳角，，得，．．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用，是解題關(guān)鍵．【變式】．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則．【答案】【分析】作的高．利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的高，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2.特殊角的三角函數(shù)值與實(shí)數(shù)的運(yùn)算【例2】．（2023?池州模擬）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式】．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考三模）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．3.解直角三角形【例3】在中，已知D為AB中點(diǎn)，，ACCD，求sinA的值．AABCD【答案】．【解析】解：過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)E．∵，∴． ∵，ACCD， ∴， ∴． ∵D為AB中點(diǎn)， ∴． 設(shè)，則，． 在中，，∴．【總結(jié)】1、本題還有一種輔助線的方法，如圖． 2、添輔助線的原則是： ①將特殊角構(gòu)造到直角三角形中；添加輔助線之后要能包含基本圖形．【變式1】在中，，AC=BC，AD是BC上的中線，求與的值．【答案】，．【解析】解：過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)E． 設(shè)，則，． 在中，， 在中，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴ 在中，，．【總結(jié)】當(dāng)所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時(shí)，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比．【變式2】在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，，，四邊形ABCD的面積為，求AD的長(zhǎng)．AABCD【答案】．【解析】解：延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)． ∵，，∴． 在中，，∴，∴，； ∵，∴，∴． ∵四邊形ABCD的面積為， ∴， ∴． ∴．【總結(jié)】當(dāng)看到30°和60°這些特殊角時(shí)，要想辦法把它們構(gòu)造到一個(gè)直角三角形中．4.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【例4】．（2023?金安區(qū)一模）如圖，某旅游景區(qū)開發(fā)一個(gè)三角形養(yǎng)殖池塘，記為△ABC，為方便游客垂釣，修建了棧道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求棧道AD的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，結(jié)果取整數(shù)）【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC，先在Rt△ACE中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AE，再在Rt△ADE中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，在Rt△ACE中，∵sinC＝，∴AE＝sin30°×AC＝×200＝100米．在Rt△ADE中，∵∠ADB＝70°，∴∠DAB＝20°．∵cos∠DAE＝，∴AD＝≈≈106.4≈106（米）．答：棧道AD的長(zhǎng)約為106米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023?舒城縣模擬）如圖，為測(cè)量某建筑物的高度，某人在點(diǎn)F處測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為37°，往前走10米到達(dá)點(diǎn)G處，測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為45°，已知測(cè)量工具距離地面的高度AF為1.7米，求這個(gè)建筑物的高度DE．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BI⊥DE分別交建筑物于點(diǎn)H、I．設(shè)BH＝x米，則DI＝CH＝x米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到x＝30，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到IE＝AF＝1.7米，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BI⊥DE分別交建筑物于點(diǎn)H、I．由題意得：∠CAB＝37°，∠CBH＝45°，AB＝10米，AF＝1.7米．設(shè)BH＝x米，則DI＝CH＝x米，在Rt△CHA中，∠CHA＝90°，∵5，∴x≈0.75（x+10），解得x＝30，又∵四邊形IEFA為矩形，∴IE＝AF＝1.7米，此時(shí)DE＝30+1.7＝31.7≈32（米），答：這個(gè)建筑物的高度DE約為32米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國(guó)的重視．小燕和小慧五一假期出外門旅游，看見風(fēng)電場(chǎng)的各個(gè)山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，她們想知道風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．如圖，小燕站在C點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)與塔底D點(diǎn)的距離為25米，小慧站在斜坡BC的坡頂B處，測(cè)得輪轂A點(diǎn)的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC長(zhǎng)30米，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果幫她們計(jì)算風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架AD的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）【分析】過點(diǎn)B作BE⊥DC，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，根據(jù)題意可得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，再根據(jù)已知可得：在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，從而可得∠BCE＝60°，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE，CE的長(zhǎng)，從而求出ED的長(zhǎng)，再在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，從而利用利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥DC，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，由題意得：BE＝DF，BF＝ED，CD＝25米，∵斜坡BC的坡度i＝：1，∴＝，在Rt△BEC中，tan∠BCE＝＝，∴∠BCE＝60°，∵BC＝30米，∴BE＝BC?sin60°＝30×＝15（米），CE＝BC?cos60°＝30×＝15（米），∴DF＝BE＝15米，BF＝DE＝EC+CD＝40（米），在Rt△ABF中，∠ABF＝38°，∴AF＝BF?tan38°≈40×0.78＝31.2（米），∴AD＝AF+DF＝31.2+15≈57.2（米），∴風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架AD的高度約為57.2米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023?合肥三模）如圖，在某居民樓AB的正前方8m處有一生活超市CD，在生活超市的頂端C處測(cè)得居民樓頂端A的仰角為67°，測(cè)得居民樓底端B的俯角為22°，求居民樓AB的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：CE＝BD＝8m，然后分別在Rt△ACE和Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE和BE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，由題意得：CE＝BD＝8m，在Rt△ACE中，∠ACE＝67°，∴AE＝CE?tan67°≈8×2.36＝18.88（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝22°，∴BE＝CE?tan22°≈8×0.4＝3.2（m），∴AB＝AE+BE＝18.88+3.2≈22.1（m），答：居民樓AB的高度約為22.1m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023?郊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某工程隊(duì)從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達(dá)B處，測(cè)得A處在博物館C的南偏東35°方向，B處在博物館C的東南方向．（1）請(qǐng)計(jì)算博物館C到B處的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道，通過計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時(shí)，只需沿北偏東15°的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地．請(qǐng)計(jì)算博物館C周圍至少多少米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則∠A＝35°，∠CBF＝45°，設(shè)CF＝xm，則FA＝（x+184）m，根據(jù)，解方程即可；（2）：過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H，則∠CBE＝60°，利用CH＝BC×sin∠CBE解題即可．【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由題意得：∠A＝35°，∠CBF＝45°，設(shè)CF＝xm，則FB＝xm，即FA＝（x+184）m，，在Rt△AFC中，∠A＝35°，∴，即CF＝FA×tan∠A，∴x≈0.70×（x+184）解得：x≈429.3m，∴；答：博物館C到B處的距離為605米．（2）過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H，由題意得：∠DBE＝15°，∴∠CBE＝∠CBF+∠DBE＝45°+15°＝60°，在Rt△AEH中，BC＝605m，∴，答：博物館C周圍至少523.3米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題，能構(gòu)造直角三角形計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【4種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想【例5】（2020?安徽）如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝15米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔頂A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（參考數(shù)據(jù)：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由題意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴tan42.0°＝≈0.9，∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴tan36.9°＝≈0.75，∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝0.15BD，∴BD＝100（米），∴CD＝0.75BD＝75（米），答：山高CD為75米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式】．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過、兩點(diǎn)，

(1)求拋物線的解析式：(2)如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，將沿翻折使點(diǎn)落在點(diǎn)處，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接和，其中與交于點(diǎn)，試直接寫出的值．【答案】(1)；(2)，點(diǎn)D是在拋物線上；(3)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得拋物線的解析式；（2）由翻折得，則，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得，的值，即可判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）連接，根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，求出，的長(zhǎng)，即可得出的值．【詳解】（1）解：拋物線過、兩點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：由翻折得，，軸于點(diǎn)，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是在拋物線上；（3）解：連接，

由（2）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，，軸于點(diǎn)，，，，，，是直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，翻折的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．2.方程思想【例6】．（2023?包河區(qū)三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾?，在河的南岸點(diǎn)A處測(cè)得河的北岸點(diǎn)B在其北偏東13°方向，然后向西走80米到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東53°方向，求河寬．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33）【分析】過B作BD⊥CA于D，設(shè)AD＝x米，則在Rt△ABD中得到BD＝4.33x，在Rt△CBD中，得到，解方程即可．【解答】解：過B作BD⊥CA于D，設(shè)AD＝x米，在Rt△ABD中，∵，即，∴BD＝4.33x，在Rt△CBD中，∵，即，∴0.75（80+x）≈4.33x，解得x≈16.76，∴BD＝4.33x＝4.33×16.76≈72.6（米）．答：河寬大約為72.6米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握方向角、準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式】（2023?廬陽區(qū)校級(jí)三模）如圖，燈塔B位于港口A的北偏東67.4°方向，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為18km．一艘輪船在港口A的正南方向距港口46km的D處，測(cè)得燈塔C在輪船北偏東37.0°方向上，求港口A距離燈塔B有多遠(yuǎn)？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝，sin37.0°＝，cos37.0°＝，tan37.0°＝）【分析】延長(zhǎng)CB交DA的延長(zhǎng)線于E，由題意得，∠E＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)CB交DA的延長(zhǎng)線于E，由題意得，∠E＝90°，∠BAE＝67.4°，設(shè)AB＝xkm，∴BE＝AB?sin67.4°＝（km），AE＝AB?cos67.4°＝x（km），∵BC＝18km，∴CE＝BE+BC＝（+18）km，∴DE＝CE÷tan37°＝（+18）（km），∴AD＝DE﹣AE＝（+18）﹣x＝46，解得x＝26，答：港口A距離燈塔B有26km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義，理解方向角的概念是解題的關(guān)鍵．3.分類討論思想【例7】（2023·上海·一模）如圖，在中，，，，，平分交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)y=(3)的長(zhǎng)為1或【分析】（1）要證，只需證，只需證到，．由，平分∠ABC可證到；由可證到，問題解決．（2）作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，易證，從而可以證到，可得．只需用x、y表示出、，問題就得以解決．（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，可分和兩種情況討論．當(dāng)時(shí)，由可得，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當(dāng)時(shí)，易證，過點(diǎn)F作，垂足為H，則有，結(jié)合，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．【詳解】（1）證明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，如圖2，

則有．在中，，則．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如圖3，

∵（已證），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．則有．解得：（舍），．②，過點(diǎn)F作，垂足為H，如圖4，

∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．則有．∴，．∵，∴．綜上所述：當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)．而作的垂直平分線交于點(diǎn)M，進(jìn)而證到是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：∴∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，當(dāng)已知和a時(shí)，求c，應(yīng)選擇的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】在中，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角函數(shù)的定義求解．3．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，設(shè)，則，可得，再利用銳角的三角函數(shù)的定義逐一求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合題意，D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是求解銳角的三角函數(shù)值，熟記銳角的三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點(diǎn)、，與交于點(diǎn)O，則的值為（

）

A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可得：，，，再求解的正切即可.【詳解】解：如圖，連接，

由正方形的性質(zhì)可得：，，，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，熟練構(gòu)建需要的直角三角形是解本題的關(guān)鍵.5．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】在直角中利用正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：過A作于D，

在直角中，，，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)就是直角三角形中邊的比是關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┰谥?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴．故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)且：：，于，連接，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】的值就是直角中，與的比值，設(shè)，則與就可以用表示出來．就可以求解．【詳解】解：根據(jù)題意：在中，，，，∴，：：，，，設(shè)，則，在中有，．則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．8．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，先根據(jù)三角函數(shù)求出，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)及勾股定理，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為邊上的點(diǎn)，為等邊三角形，，，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，解直角，得出，證明，得出，再求出，，然后利用正切函數(shù)定義即可求解．【詳解】如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵，，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形和矩形中，，且，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不正確的是(

)

A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得，則，證明，則，根據(jù)，可得，，即，進(jìn)而可判斷A的正誤；證明，則，即，由，可得，進(jìn)而可判斷B的正誤；如圖，連接，，則，由，，可得，則，與矛盾，進(jìn)而可判斷C的正誤；如圖，作的延長(zhǎng)線于，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解，進(jìn)而可判斷D的正誤．【詳解】解：由矩形的性質(zhì)得，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，故A正確，故不符合要求；∵，，∴，∴，即，∵，∴，故B正確，故不符合要求；如圖，連接，

∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，與矛盾，∴與不相似，故C錯(cuò)誤，故符合要求；如圖，作的延長(zhǎng)線于，∵，∴，∴，，∴，故D正確，故不符合要求；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正切，正弦，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．二、填空題11．（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】/【分析】直接利用三角函數(shù)值和有理數(shù)的乘方計(jì)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟記銳角三角函數(shù)值及實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)．則．

【答案】【分析】解直角三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出解析式．【詳解】解：如圖所示，過作于點(diǎn)，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知過點(diǎn)的拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、C如圖所示，連結(jié)，第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且與相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

【答案】（，）或【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可求，由勾股定理可證，分兩種情況討論，由相似三角形的判定和銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作于E，

∵拋物線過點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)，拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)連接，則的度數(shù)為；(2)若是的中點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，，則，，得，，可得，即可得；（2）過作交延長(zhǎng)線于，，DF＝1，，根據(jù)勾股定理得：，解出的值；再根據(jù)，即可．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）過作交延長(zhǎng)線于，如圖：∵四邊形是正方形，∴，，∴，，在和中，∴，∴，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，設(shè)，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．三、解答題15．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測(cè)）梿枷，指一種農(nóng)具或武術(shù)器具，在一個(gè)長(zhǎng)木柄上裝上一排木條或竹條，可用來打谷脫粒，如圖1，梿枷起源于我國(guó)，歷史悠久，最早在《國(guó)語·齊語》中有記載．圖2是該種勞動(dòng)工具生產(chǎn)過程中某一的刻的間意圖，梿枷的最低點(diǎn)距地面，梿機(jī)的桿身長(zhǎng)，．當(dāng)，時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)離地面的距離．（結(jié)果精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】【分析】分別過點(diǎn)，作平行地面的直線、，則，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，由平行線的性質(zhì)可得，從而得到，再分別求出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)，作平行地面的直線、，則，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，

，，，，在中，，在中，，此時(shí)點(diǎn)離地面的距離為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為緩解“停車難”的問題，某單位擬建筑地下停車庫，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的設(shè)計(jì)示意圖，按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)耄瑸闃?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)該圖計(jì)算．（精確到）（下列數(shù)據(jù)提供參考：，，）

【答案】【分析】由題意知，，則，，由，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，∴，∵，∴，∴．答：的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于明確角度，線段之間的數(shù)量關(guān)系．18．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足．現(xiàn)有一架5m長(zhǎng)的梯子．

(1)當(dāng)梯子底端距離墻面2m時(shí)，人能否安全地使用這架梯子？(2)若人站在梯子上，伸出手臂，最高可以夠到梯子頂端上方25cm處的物體，使用這架梯子能安全夠到墻上距離地面5m處的物體嗎？（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】(1)此時(shí)人能夠安全地使用這架梯子，理由見解析(2)能安全夠到距離地面5m處的物體，理由見解析【分析】（1）解得到，由此即可得到答案；（2）解得到，則當(dāng)時(shí)，的最大值為4.85米，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，得：，，在中，，，∴，∵，∴此時(shí)人能夠安全地使用這架梯子；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，這架梯子可以安全攀上的墻高度最大，在中，，，∴，∴使用這架梯子最高可以夠到墻上處的物體，∴能安全夠到距離地面5m處的物體．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因，寒假期間，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到習(xí)友路的距離為100米的點(diǎn)P處．這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為4秒且，．(1)求的值（結(jié)果精確到米）；(2)請(qǐng)判斷此車是否超過了習(xí)友路每小時(shí)60千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)73米(2)超過了習(xí)友路每小時(shí)60千米的限制速度【分析】（1）根據(jù)題意得出米，，則米，米，最后根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，求出此車的速度，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：米，，∵，∴（米），∵，∴（米），∴（米），（2）解：（米/秒），米/秒千米/小時(shí)，∵千米/小時(shí)千米/小時(shí)，∴超過了習(xí)友路每小時(shí)60千米的限制速度．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟，以及熟記各個(gè)特殊角度的銳角三角函數(shù)值．20．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，M、N分別是的中點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)求證：四邊形為菱形；(3)過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）由四邊形是平行四邊形，可得，利用證得；（2）利用直角三角形形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法證明即可．（3）易求得，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵在和中，，∴；（2）證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．（3）解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤鐖D，直線分別交軸、軸于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，連接，．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作，垂足為，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先由直線求得點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得點(diǎn)，進(jìn)而求得，由得到，設(shè)，，過P作軸交直線于點(diǎn)Q，則，，由列方程求得m即可；（3）連接，易求得，在中，，則，分①點(diǎn)P在直線下方時(shí)，②點(diǎn)P在直線上方時(shí)，分別畫出對(duì)應(yīng)圖形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵直線交y軸于點(diǎn)C，∴，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在直線中，由得，∴，又，，∴，，則，∵，∴，設(shè)，，如圖，過P作軸交直線于點(diǎn)Q，

則，∴，∵，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴6，∴；（3）解：存在點(diǎn)P，使．如圖2，連接，由得，，∴，則，∵，，∴，，∴，，∴，則，∵，∴，在中，，則，①當(dāng)P在直線下方時(shí)，如圖，過D作交延長(zhǎng)線于M，則，

∴，則，過M作軸于N，則，∴，∴，∴，則，，，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，由得，（舍去），則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；②當(dāng)P在直線上方時(shí)，如圖，過D作交延長(zhǎng)線于M，過M作軸于N，則，

與①同理，得，，∴，則，，，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析