專題01 圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型（解析版）

專題01圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對角互補(bǔ)模型、半角模型。模型1、切線長模型圖1圖21）切線長模型（標(biāo)準(zhǔn)類）條件：如圖1，P為外一點(diǎn)，PA，PB是的切線，切點(diǎn)分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長模型（拓展類）條件：如圖2，AD，CD，BC是的切線，切點(diǎn)分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023·北京西城·?？既＃┤鐖D，切于，若的半徑為3，則線段的長度為（

）

A． B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】連接，證明，得出，求出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵切于，∴，，，∵在和中，∴，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出．例2．（2022·湖南湘西·中考模擬）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線【答案】B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．例3．（2023·河南信陽·二模）小倩用橡皮泥做了一個(gè)不倒翁如圖所示，小倩從正面看發(fā)現(xiàn)、分別切于點(diǎn)、，直徑所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，連接．

(1)小倩發(fā)現(xiàn)垂直平分，請說明理由；(2)若的半徑為，①當(dāng)______時(shí)，四邊形為菱形；②當(dāng)______時(shí)，四邊形為正方形．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出，利用證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可得解；根據(jù)切線的性質(zhì)及含角的直角三角形性質(zhì)的逆定理推出，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)推出，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)推出，，則，據(jù)此即可得解；同理推出四邊形為菱形，結(jié)合，即可得解．【詳解】（1）解：、分別切于點(diǎn)、，，在和中，，．，，垂直半分；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，理由如下：如圖，連接，，

的半徑為，，切于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，，四邊形為菱形，故答案為：；當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，理由如下：的半徑為，，切于點(diǎn)，，，，，垂直半分，，，四邊形為菱形，，四邊形為正方形，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑分別交小圓于點(diǎn)C，D，連結(jié)，下列選項(xiàng)中不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：由圓的基本性質(zhì)可知：，，∴，即：，故A正確；∴和均為等腰三角形，∵和的頂角均為，∴，，∴，∴，故B正確；∵當(dāng)是的中位線時(shí)，滿足，由于不一定為的中點(diǎn)，∴不一定等于，故C錯(cuò)誤；在和中，∴，∴，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解圓的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．例2．（2022·河南焦作·統(tǒng)考一模）歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個(gè)命題：“由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”．如圖，設(shè)A是已知點(diǎn)，小圓O為已知圓．具體作法是：以O(shè)為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點(diǎn)B，過B作，交大圓O于點(diǎn)C，連接，交小圓O于點(diǎn)D，連接，則是小圓O的切線．為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：【答案】，是小圓O的切線，證明見解析【分析】通過證明三角形全等即可得到，從而證明切線．【詳解】已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，求證：是小圓O的切線證明：∵點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，∴．在和中,∴，∴，∵，∴，∴，∴是小圓O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的證明，找準(zhǔn)判斷切線的三個(gè)因素是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD，連結(jié)AC．(1)△ACD為等邊三角形；(2)請證明：E是OB的中點(diǎn)；(3)若AB＝8，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明AC＝AD＝CD即可（2）要證明：E是OB的中點(diǎn)，只要求證OE＝OB＝OC，即證明∠OCE＝30°即可；（3）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長，進(jìn)而求出CD的長．【詳解】（1）證明：連接AC，如圖∵直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，∴，AC＝AD，∵過圓心O的線CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂線，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等邊三角形，（2）△ACD是等邊三角形，CF是AD的中垂線，＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；（3）解：在Rt△OCE中，AB=8∴OC＝AB＝4，又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、中垂線性質(zhì)、30°所對的直角邊是斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)．解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點(diǎn)，若，求證．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）連接，，過點(diǎn)作，則為，的中點(diǎn)，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．【詳解】（1）連接，，過點(diǎn)作，則為，的中點(diǎn)，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）過作，作，垂足分別為、，∴，，，，又∵，∴，連接、、、，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和分別是⊙上的兩條弦，圓心到它們的距離分別是和．如果，求證：．【答案】證明見解析.【分析】連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根據(jù)HL證Rt△ONC≌Rt△OMA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【詳解】證明：如圖，連接OC、OA，則OC=OA．∵圓心O到它們的距離分別是OM和ON，∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，在Rt△ONC和Rt△OMA中，∵OC=OA，CN=AM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．例3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【定義】圓心到弦的距離叫做弦心距．【探究】等弧所對弦的弦心距相等．（1）請?jiān)趫D1中畫出圖形，寫出已知、求證并證明．【應(yīng)用】（2）如圖2，的弦，的延長線相交于點(diǎn)，且，連接．求證：平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）在圓上取相等的兩段弧，使，則有，然后過圓心分別作弦、的垂線，垂足分別為，，然后通過三角形全等證明弦心距；（2）過點(diǎn)作，，垂足分別為、，結(jié)合（1）的結(jié)論證明，利用全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】（1）已知：，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．證明：∵，∴．∵，，∴，，∴．在和中，，∴（HL），∴．（2）證明：過點(diǎn)作，，垂足分別為、，連接．由（1）可知，當(dāng)時(shí)，．在和中，，∵∴（HL），∴，即平分．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弦、弦心距等相關(guān)問題，解答時(shí)，垂徑定理、直角三角形全等的證明等知識點(diǎn)的運(yùn)用是關(guān)鍵．模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來的（常用旋轉(zhuǎn)或截長補(bǔ)短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點(diǎn)。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當(dāng)=60°時(shí)，CD=CA+CB；當(dāng)=90°時(shí)，CD=CA+CB；例1．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）問題背景：如圖1，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上（在直徑的異側(cè)），且為弧的中點(diǎn)，連接，，，，．探究思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，，三點(diǎn)共線，從而得到為等腰直角三角形，，從而得出．(1)請你根據(jù)探究思路，寫出完整的推理過程；問題解決：(2)若點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的同側(cè)，如圖3所示，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接，，，直接寫出線段的長為__________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)將沿翻折得到，如圖4所示，試探究：，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)推理過程如下(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，可得：，，，根據(jù)勾股定理，即可；（2）將繞點(diǎn)點(diǎn)順時(shí)針得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得，得到，推出，得是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，等量代換，即可．（3）將繞點(diǎn)點(diǎn)順時(shí)針得到，沿翻折得到，則，得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，即可．【詳解】（1）∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（2）繞點(diǎn)點(diǎn)順時(shí)針得到，∴，∴，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．（3）∵繞點(diǎn)點(diǎn)逆時(shí)針得到，點(diǎn)在上，∴，∵沿翻折得到，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形，旋轉(zhuǎn)和折疊的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)和折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．例2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．（2）[初步探索]小明同學(xué)思考如下：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：根據(jù)小明的思路，請你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為______．（3）類比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點(diǎn)A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）8；（3）；（4）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點(diǎn)在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，所以的最大值是；（3）先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點(diǎn)在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，則，即可求得周長的最大值是；（4）連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，的最大值是，故答案為：．（3）類比遷移解：如圖，，，是的直徑，且圓心在上，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，，的最大值是，，周長的最大值是．（4）拓展延伸解：如圖，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┤鐖D1，在中，弦平分圓周角，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，如圖2，四邊形內(nèi)接于圓，，(1)證明：圓中存在“爪形D”；(2)若，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等弦所對弧相等可得，即，進(jìn)而得到平分圓周角，最后根據(jù)“爪”的定義即可證明結(jié)論；（2）延長至點(diǎn)E，使得，連接；先證明可得，進(jìn)而證得為等邊三角形，即；最后根據(jù)線段的和差即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴∴，∴平分圓周角，∴圓中存在“爪形D”．（2）證明：如圖：延長至點(diǎn)E，使得，連接，∵，∴∵∴∴∵，∴，∴為等邊三角形，∴，即．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓的弦、弧、圓周角的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·陜西銅川·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知半圓O與四邊形的邊相切，切點(diǎn)分別為D，E，C，設(shè)半圓的半徑為2，，則四邊形的周長為（）A．7 B．9 C．12 D．14【答案】D【分析】由切線長定理可知：，因此四邊形的周長，已知了和圓的半徑，由此可求出四邊形的周長．【詳解】解：∵半圓O與四邊形的邊相切，切點(diǎn)分別為D，E，C，∴，∴，∵，∴四邊形是周長．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理，四邊形的周長等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．（2023秋·青海西寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接交于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．是等邊三角形【答案】D【分析】利用切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理即可判斷．【詳解】解：由切線長定理可得：，，∴，，∴，故A，B，C正確，而中只滿足，無其他條件證明是等邊三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理，關(guān)鍵是利用切線長定理得到垂徑定理的前提條件．3．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，四邊形ABCD和AEFG都是正方形，點(diǎn)A、D、E共線，點(diǎn)G、A、B在x軸上，點(diǎn)C，E，F(xiàn)在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，則的長為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方形AEFG的邊長為a，用a表示出BC和OC，在中，根據(jù)勾股定理建立方程求出a，可得正方形AEFG的邊長為2，正方形ABCD的邊長為1，和圓的半徑r，再證出得出，進(jìn)而求出弧長．【詳解】解：設(shè)正方形AEFG的邊長為a，，軸，，，在中，，，，，在中，，，解得（舍去），正方形AEFG的邊長為2，正方形ABCD的邊長為1，，又，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定和弧長的求法，牢固掌握以上知識點(diǎn)并靈活應(yīng)用是做出本題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長線交于點(diǎn)，則．

【答案】/度【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點(diǎn)，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·天津和平·九年級專題練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形在中，弦，，連接對角線，、分別是和上的兩點(diǎn)，且，連接、相交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．【答案】【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，得到，推出是等邊三角形，證明，得到，推出，進(jìn)而求出，利用三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵在圓內(nèi)接四邊形在中，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為的中，有，，三點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度在劣弧上運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，以，，，四點(diǎn)中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形（非等邊三角形）時(shí)，的值為．【答案】或【分析】分別討論①P、B、A三點(diǎn)；②P、B、C三點(diǎn)；③P、A、C三點(diǎn)；A、B、C三點(diǎn)；利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出弧BP的圓心角，再由弧長公式計(jì)算弧長，進(jìn)而解答；【詳解】解：∵∠BAC=75°，∴∠BOC=150°，∵∠BOA=90°，∴∠AOC=120°，①P、B、A三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，BA=BP時(shí)如圖，△OBA≌△OPB（SSS），∠BOP=∠BOA=90°，弧BP的長=，t==7.5（s）；PB=PA時(shí)如圖，△OPB≌△OPA（SSS），∠BOP=（360°-90°）=135°，弧BP的長=，t==11.25（s）；②P、B、C三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，PB=PC時(shí)如圖，△POB≌△POC（SSS），∠BOP=∠BOC=75°，弧BP的長=，t==6.25（s）；③P、A、C三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，如圖，∵∠APC=∠AOC=60°，∴△PAC是等邊三角形，不符合題意；④∵AB，AC，BC三邊互不相等，∴A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成等腰三角形；綜上所述t的值為：6.25（s），7.5（s），11.25（s）；故答案為：6.25（s）7.5（s）11.25（s）【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)；根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．7．（2023·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，切于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，．(1)與有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(2)求的長．【答案】(1)為的切線，原因見解答過程(2)【分析】（1）連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）連接、、，過點(diǎn)作于，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）解：為的切線．理由如下：連接，如圖所示：，，，，，，在和中，，，，切于點(diǎn)，，，是的半徑，為的切線；（2）連接、、，過點(diǎn)作于，如圖所示：，是的直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，由勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）【問題情境】學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問題：如圖①，中，若，，求邊上中線的取值范圍．通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路．思路1：將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使得和重合，得到；思路2：延長到E，使得，連接，根據(jù)可證得；(1)根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到的取值范圍為．(2)【類比探究】如圖②，，，，是的邊上的中線，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【遷移應(yīng)用】【應(yīng)用1】如圖③，已知的半徑為6，四邊形是的圓內(nèi)接四邊形．，，求的長．【應(yīng)用2】如圖④，，，，，，，、相交于點(diǎn)G，連接，若的度數(shù)發(fā)生改變，請問是否存在最小值？如果存在，則直接寫出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，見解析(3)；存在最小值，其最小值為【問題情境】延長到E，使得，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系解答即可；【類比探究】延長至點(diǎn)G，使，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；【應(yīng)用1】過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理解答即可；【應(yīng)用2】取的中點(diǎn)F，連接，延長至點(diǎn)H，使，連接，，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：延長到E，使得，連接，如圖①，，在和中，，，．，，．故答案為：；（2）解：與的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：延長至點(diǎn)G，使，連接，如圖，則．是的邊上的中線，，在和中，，，，，，．，．，．在和中，，，．．（3）解：應(yīng)用1：過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，則，．，，，，，．，．，．在和中，，，，．；應(yīng)用2：存在最小值，其最小值為，理由如下：取的中點(diǎn)F，連接，延長DF至點(diǎn)H，使，連接，，如圖，，．，，，，即．在和中，，，，∴點(diǎn)E，D，G、B四點(diǎn)共圓，，，∵F為的中點(diǎn)，∴．，，∴四邊形為平行四邊形，，，．，．，．在和中，，，，．若的度數(shù)發(fā)生改變，當(dāng)點(diǎn)G，D，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，垂徑定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，本題是閱讀型，探究型題目，利用題干中的方法和解題思想解答是解題的關(guān)鍵．9．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)是等邊三角形中邊上的動點(diǎn)（），作的外接圓交于點(diǎn)．點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，且，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)不會變化，的度數(shù)為【分析】（1）連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用同弧所對的圓周角相等可得，從而可得，然后利用等弧所對的圓周角相等可得，從而利用證明，進(jìn)而可得，最后利用等量代換可得，從而可得，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)以及平角定義可得，即可解答；（2）根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，；（2）解：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)不會變化，理由如下：，，，，的度數(shù)為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，的度數(shù)不會變化．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓的直徑與弦交于點(diǎn)，連接，且．（1）求證：（2）點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）連接OC、OD，先證明△AOC≌△AOD,得到∠CAO=∠DAO,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；（2）連接OC、BC，先根據(jù)圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)求得:∠ABC=∠ACE,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證得OC⊥BF,然后證得∠EOC=∠BOC即可完成證明．【詳解】解：（1）如圖：連接OC、OD∵在△AOC和△AOD中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC≌△AOD∴∠CAO=∠DAO又∵AC=AD∴；（2）如圖：連接OC、BC∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC=90°,∠CAE+∠ACE=90°∴∠ACE=∠ABC∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC=90°,∠OCA+∠OCB=90°∴∠OAB=∠OCA∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC∴∠OCA+∠GWC=∠OAB+∠CAB=90°,即OC⊥BE∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知、、、順次在圓上，，于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【分析】在上截取，連結(jié)，證明，得到，即可得到．【詳解】證明：在上截取，連結(jié)，如圖，∵，而，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握截長補(bǔ)短法證明線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）乒乓球臺（如圖①）的支架可近似看成圓弧，其示意圖如圖②，與所在的直線過弧所在圓的圓心，直線與弧所在的圓相切于點(diǎn)G，連接，，且，．(1)求證：；(2)若弓形的高為，，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）延長，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是弧所在圓的圓心，連接，先證，得到，，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得出即可證明結(jié)果；（2）連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，根據(jù)的正切值求出半徑的長，從而得到的長，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，延長，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是弧所在圓的圓心，連接，∵直線與圓O相切于點(diǎn)G，∴，，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴；（2）解：如圖，連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，∵，，，∴，∴，∵，，∴，，弓形高，∴，在中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)判定，解直角三角函數(shù)，勾股定理等知識點(diǎn)，正確作出輔助線確定圓心位置是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇泰州·九年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)．(1)與滿足什么條件時(shí)，，寫出滿足的條件，并證明；(2)在（1）的條件下，若，，求長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，作軸，連結(jié)，由是的直徑，得到由從而得到可得由所對的圓周角為和可得由可得即可得出結(jié)論．（2）在（1）的條件下，可得（AAS），得到由可得由可得即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，如圖所示：作軸，連結(jié)，是的直徑，∵軸，所對的圓周角為和（2）∵在（1）的條件下，在和中，（AAS）【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定，勾股定理等知識點(diǎn)，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，直角坐標(biāo)系中，OT為第一象限的角平分線，，，點(diǎn)P為OA上一動點(diǎn)，Q為y軸上一動點(diǎn)，，以PQ為直徑的圓與OT相交于點(diǎn)C．(1)若，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)求證：；(3)判斷OP、OQ、OC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(4)如圖2，將題設(shè)條件“”更換為“”，以PQ為直徑的圓與AB相交于M、N兩點(diǎn)，則MN的最大值為．【答案】(1)(2)見解析(3)，證明見解析(4)【分析】（1）證得P為OA的中點(diǎn)即可得出結(jié)論；（2）證得為等腰直角三角形，從而得出；（3）連接AC，可證得，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（4）設(shè)PQ的中點(diǎn)為，連接，可推出點(diǎn)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，作CD與相切，切點(diǎn)為I，且，當(dāng)在I時(shí)，MN最大，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1），，，，，，即P為OA的中點(diǎn)，；（2）PQ為直徑，，，為等腰直角三角形，；（3），

證明：連接AC，∵四邊形OPCQ是圓的內(nèi)接四邊形，

在和中，，，，，即；（4）如圖，設(shè)PQ的中點(diǎn)為，連接，，，點(diǎn)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)到MN的距離為d，，，當(dāng)?shù)組N的距離最小時(shí)，MN最大，作CD與相切，切點(diǎn)為I，且，當(dāng)在I時(shí)，MN最大，連接OI并延長交MN與點(diǎn)E，，，，，，，MN的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓中的圓周角、弧、弦、之間的關(guān)系，確定圓的條件，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是結(jié)合所學(xué)知識利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．15．（2022秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是內(nèi)正方形，P是圓上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合），連接．(1)若點(diǎn)P是弧上一點(diǎn)，①∠BPC度數(shù)為___________；②求證：；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，請按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接．(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在，，上，求的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．【答案】(1)①，②見解析(2)；；；證明見解析【分析】（1）①理由正方形的性質(zhì)和圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半解答即可；②在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用截長補(bǔ)短法，依題意畫出相應(yīng)圖形，按小明思路完成解答即可．【詳解】（1）①解：，理由：∵四邊形是正方形，∴，∴的度數(shù)為，∴，故答案為：；②證明：在的延長線上截取點(diǎn)E，使．連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，又∵點(diǎn)P在上，∴四邊形為內(nèi)接四邊形∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，；在上取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，在上取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，理由：在的延長線上截取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，又∵點(diǎn)P在上，∴四邊形為內(nèi)接四邊形∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∴為等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用截長補(bǔ)短法，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線解答是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知圓內(nèi)接中，，D為弧的中點(diǎn)．(1)寫出與相等的角（不添加任何線段）