專題1.4 角平分線（教師版）

專題1.4角平分線1.會敘述角平分線的性質(zhì)及判定；2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題；3.會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”；4.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．知識點01角平分線的性質(zhì)與判定【知識點】角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；輔助線的添加：過角平分線上一點向兩邊作垂線段。【知識拓展1】利用角平分線的性質(zhì)求面積（長度）例1．（2022春·遼寧撫順·八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】過D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【詳解】解：過D作于E，∵，對角線平分，∴，∵，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（北京市燕山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷）如圖，中，是邊的高線，平分，，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，由題意可得，，即可求解．【詳解】解：過點作，如下圖：由題意可得：，又∵平分，，∴，，故選B【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．【知識拓展2】利用角平分線的性質(zhì)求角度例1．（2022春·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，平分，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點D作交延長線于E，于F，據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，由此證明，推出，再據(jù)求的度數(shù)．【詳解】解：過點D作交延長線于E，于F，∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理，熟練掌握各定理并進行推理論證是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）兩把相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點為，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連接并延長．若，則的度數(shù)為（）A．6 B．5 C．5 D．4【答案】B【分析】過點作，一把直尺邊緣與的交點為，如圖，根據(jù)題意得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷平分，所以，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【詳解】解：過點作，一把直尺邊緣與的交點為，如圖，兩把直尺為完全相同的長方形，，，平分，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．也考查了平行線的性質(zhì)．【知識拓展3】角平分線的相關(guān)最值問題例3．（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，，，連接，，垂足是且，點是邊上的一動點，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)等角的余角相等求出，再根據(jù)垂線段最短可知時最小，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得．【詳解】解：∵，．∴，，∴，由垂線段最短得，時最小，此時，．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出最小時的位置是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】3．（2022春·成都市·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作交于點，交于點，過點作于點，由是的平分線，得出，這時有最小值，即的長度，運用勾股定理求出，再運用，得出的值，即的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點作交于點，交于點，過點作于點，∵是的平分線，∴，這時有最小值，即的長度，∵，，，，∴，∵，∴，∴的最小值為．故選：．【點睛】本題主要考查了軸對稱問題，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出滿足有最小值時點和的位置．【知識拓展4】角平分線的判定例4．（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”這樣說的依據(jù)是（

）A．全等三角形的對應(yīng)角相等B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形角平分線的相交于一點D．角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷平分．【詳解】∵兩把長方形直尺完全相同，∴P到尺子兩邊距離相等，即P到角的兩邊距離相等，∴平分（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的判定定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，可得，再證明，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進一步可得，從而可得．【詳解】（1）連接，，如圖所示：為的垂直平分線，，，，，在和中，，，在和中，，，為的角平分線；（2），，又，，即，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【知識拓展5】尺規(guī)作圖與相關(guān)計算、證明例5．（2022春·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，．(1)請用尺規(guī)作圖作的角平分線；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)過點C作交的延長線于點E，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照用尺規(guī)作一個角的平分線的方法進行作圖即可；（2）延長、，交于點F，證明，得出，即，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的角平分線．（2）證明：延長、，交于點F，如圖所示：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了作一個角的平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線證明和．【即學(xué)即練4】5．（2022春·吉林長春·八年級期末）如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點和，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點．若，則點到邊的距離是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由作法得平分，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到．【詳解】解：，由作法得平分，過點作于，如圖，平分，，，．故選：A．【點睛】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作法和角平分線的性質(zhì)．【知識拓展6】角平分線的綜合運用例6．（2022春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為邊上一點，且，，過點D作于F，作的平分線分別交，于H，G，連接，得到如下結(jié)論，①，②，③，④平分，其中正確的是（

）A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，可證，即可判斷①對錯；通過反證法推出缺少必要條件，即可判斷②對錯；根據(jù)，得到，從而得到，推出，得到，即可判斷③對錯；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)額全等三角形的性質(zhì)，可證，得到，即可判斷④對錯．【詳解】解：，，，，，在和中，，，，①正確；，是的角平分線，，若正確，則，，，為等腰直角三角形，條件不足，不能判定，②錯誤；，，，，，，，，，在和中，，，，，③正確；，，平分，，，，，，在和中，，，，，平分，④正確，故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，正確找出對應(yīng)的全等三角形并證明是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練6】6．（北京市大興區(qū)2022~2023學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末檢測試卷）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①③④【分析】由角平分線的定義可知．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可確定，故①正確；過點M作于點F，于點G，于點H，由角平分線的性質(zhì)定理可得出．即易證，得出，即說明射線是的角平分線，故③正確；利用反證法，假設(shè)，易證，即得出．由，可知，即說明不成立，故②錯誤；由，即得出．再根據(jù)角平分線的定義即得出，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論，可判斷④正確．【詳解】解：∵為的平分線，∴．∵，∴，∴，故①正確；如圖，過點M作于點F，于點G，于點H，∵為的平分線，為的平分線，∴．又∵，∴，∴，即射線是的角平分線，故③正確；假設(shè)，∴．∵為的平分線，是的角平分線，∴，，∴，即，∴，即．∵，∴，∴假設(shè)不成立，故②錯誤；∵，∴．∵，∴，∴，∴④正確．綜上可知所有正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題考查角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．知識點02三角形的角平分線【知識點】三角形角平分線定理：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.應(yīng)用：位置的選擇問題【知識拓展1】三角形的角平分線的應(yīng)用例1．（2022·山東濱州·八年級月考）如圖，是三條兩兩相交的公路，現(xiàn)需建一個倉庫，要求倉庫到三條公路距離相等，則倉庫的可能地址有（）處．A． B． C． D．【答案】D【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點應(yīng)是三條角平分線的交點，把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個三角形兩個內(nèi)角平分線的交點以及三個外角兩兩平分線的交點都滿足要求．【詳解】（1）三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，共一處;（2）三個外角兩兩平分線的交點，共三處，共四處，故選：D．．【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，熟記性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校二模）如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．三個角的角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等即可解答．【詳解】根據(jù)題意要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等即集貿(mào)市場應(yīng)建在三個角的角平分線的交點．故本題選A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【知識拓展2】角平分線定理例2．（2022春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，是它的角平分線，．(1)求的值；(2)求證：；(3)求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）作于點E，于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，則．（2）作于點G，則，所以；（3）由，，得計算即可．【詳解】（1）作于點E，于點F，∵是的角平分線，，所以，所以．∴的值是．（2）作于點G，則，因為，所以．（3）因為，，所以．【點睛】本題考查角的平分線的性質(zhì)定理，三角形面積的計算，熟練掌握角的平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022春·廣東江門·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識點是解題的關(guān)鍵；【知識拓展3】三角形的角平分線（內(nèi)心）例3．（2022·福建福州·八年級福州日升中學(xué)?？计谥校┤鐖D，O是△ABC的角平分線的交點，△ABC的面積和周長都為24，則點O到BC的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)點O到BC的距離為x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點O到AB，BC，AC的距離相等，都等于x，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)點O到BC的距離為x，∵O是△ABC的角平分線的交點，∴點O到AB，BC，AC的距離相等，都等于x，∵△ABC的面積為24，周長為24，∴，解得：x=2．即點O到BC的距離為2．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】3．（2022·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的兩直角邊、的長分別是9、12．其三條角平分線交于點，將分為三個三角形，則等于（

）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理先求出斜邊的長，然后利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是9、12、15，所以面積之比就是3：4：5．【詳解】解：的兩直角邊、的長分別是9、12，，過點O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵點O為三角形三條角平分線的交點，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．解題的關(guān)鍵是明確三個三角形的高相等．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022春·北京海淀·八年級期末）如圖，三條公路把A、B、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．在、兩邊高線的交點處 B．在、兩內(nèi)角平分線的交點處C．在、兩邊中線的交點處 D．在、兩邊垂直平分線的交點處【答案】B【分析】根據(jù)三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等即可選擇．【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在在、兩內(nèi)角平分線的交點處．故選：B．【點睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個內(nèi)角的角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·陜西西安·八年級考階段練習(xí)）如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先利用直角三角形的兩個銳角互余可得，再利用角平分線的定義可得，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用角平分線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：，，平分，，垂直平分，，，，，，，,∴,∴,，平分，，，，故選：D．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·北京朝陽·八年級?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，、分別是和的高，則下列說法正確的是（

）A．垂直B．平分C．垂直平分D．垂直平分【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，由垂直平分線的性質(zhì)定理解答即可【詳解】垂直平分，理由如下：∵平分，，，∴，，且∴，∴，且是的角平分線，∴垂直平分故選：D【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵4．（2022春·八年級課時練習(xí)）如圖，從內(nèi)一點出發(fā)，把剪成三個三角形(如圖1)，邊放在同一直線上，點都落在直線上（如圖2），直線，則點是的（

）A．三條角平分線的交點B．三條高的交點C．三條中線的交點D．三邊中垂線的交點【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得點O到三邊的距離相等，點O是三角形三條角平分線的交點即可．【詳解】解：∵直線，根據(jù)平行線性質(zhì)知點O到BC距離，點O到AC距離，點O到BA距離相等，∴點O到三邊的距離相等∴點O是三角形三條角平分線的交點，故選擇A．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，則EM＝_____．【答案】【分析】如圖：過E點作EF⊥OB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，再證明Rt△OEF≌Rt△OEN得到OF=ON=5；再證明∠MOE=∠MEO可得MO=ME，所以MF=5-ME，然后用勾股定理列方程ME的長即可．【詳解】解：如圖：過E點作EF⊥OB于F，∵OE平分∠AOB，EN⊥OA，EF⊥OB，∴∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，在Rt△OEF和Rt△OEN中，∴Rt△OEF≌Rt△OEN（HL），∴OF=ON=5，∵ME//OA，∴∠MOE=∠MEO，∴∠MOE=∠MEO，∴MO=ME，∴MF=5-OM=5-ME，在Rt△EFM中，（5-ME）2+32=ME2，解得ME=．故答案為．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022春·吉林長春·八年級期末）如圖，在中，、分別平分和，于點D，，若的面積為25，的周長則為___________．【答案】【分析】過點O作于E，作于F，連接根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點O作于E，作于F，連接，∵、分別平分和，，∴，∴，，∵的面積為25，∴，即的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k立達中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，三角形的兩個外角和的平分線交于點，則__________度．【答案】【分析】根據(jù)題意過點作三邊的垂線段，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，進而判定是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可求得．【詳解】解：如圖，過點作三邊的垂線段，三角形的兩個外角和的平分線交于點E在的角平分線上，即是的角平分線故答案為：【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，證明是的角平分線是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·廣東梅州·八年級校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)閱讀：古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形的面積為，其中，這個公式稱為“海倫公式”．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用：如圖，在中，已知，，．(1)請運用海倫公式求的面積；(2)若，為的兩條角平分線，它們的交點為，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）把a、b、c的長代入求出p，再代入S計算即可得解；（2）過點作，，，垂足為，，，連接，根據(jù)角平分線定理可得：，并根據(jù)三角形面積計算的長，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【詳解】（1），，，，．（2）過點作，，，垂足為，，，連接，，為的兩條角平分線，，，，解得，故．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，并根據(jù)新公式代入計算．9．（2022春·廣東惠州·八年級校考階段練習(xí)）請回答下列問題：(1)已知：和內(nèi)一點．求作：點，使，且點到的兩邊，的距離相等．(2)如圖，已知及點，，求作點，使得到，的距離相等，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)點C是內(nèi)一點，使，且點到的兩邊，的距離相等，即點P在的角平分線和線段的中垂線的交點處．（2）根據(jù)點，使得到，的距離相等，且，即點P在的角平分線和線段的中垂線的交點處．【詳解】（1）連接，作線段的中垂線如圖所示，作的角平分線如圖所示，則的角平分線和線段的中垂線相交，交點為P，（2）連接，作線段的中垂線如圖所示，作的角平分線如圖所示，則的角平分線和線段的中垂線相交，交點為P，【點睛】本題主要考查了線段的中垂線和角平分線的性質(zhì)，掌握中垂線和角平分線的作法是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·福建廈門·八年級?？计谥校┰趦?nèi)有一點D，過點D分別作，，垂足分別為B，C．且，點E，F(xiàn)分別在邊和上．(1)如圖1，若，請說明點D在的角平分線上．(2)如圖2，若，，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析；【分析】（1）證明，得到，即可得證；（2）過點作，交于點，證明和，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴點D在的角平分線上；（2），理由如下：過點作，交于點，在和中，∴，∴．∵，∴．∴，∴．在和中，∴·∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的判定．熟練掌握到角兩邊距離相等的點在角平分線上，以及通過添加輔助線構(gòu)造三角形全等，是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·江蘇揚州·八年級階段練習(xí)）如圖，已知．(1)用直尺和圓規(guī)按照下列要求作圖：作的角平分線；（保留作圖痕跡，標出必要的字母，不要求寫作法）；(2)過點畫射線，使，交的延長線與點，過點畫，垂足為，圖中相等嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2),理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意作的角平分線；（2）根據(jù)題意補全圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義得出，進而可得，根據(jù)三線合一即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖所示，為的角平分線；（2）結(jié)論：證明：如圖，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴(三線合一)【點睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質(zhì)角平分線的定義，等角對等邊，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點M，N是內(nèi)部兩點．尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．(1)作：(2)作的平分線：(3)求作點P，使，且點P到，的距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用基本作圖（作一個角等于已知角）作；（2）利用基本作圖作平分；（3）作線段的垂直平分線交于點．【詳解】（1）如圖1，圖2，即為所求．（2）如圖1，射線即為所求．（3）如圖1，點即為所求．【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，涉及到角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉基本作圖的方法和步驟．題組B能力提升練1．（2022春·江蘇·八年級期中）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當(dāng)最小時，的面積是（）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【分析】過點作于，由角平分線的做法可知，是的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)過直線外一點到直線的垂線段最短，最短為2，由直角三角形全等的判定和性質(zhì)可得出，利用線段間的數(shù)量關(guān)系及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，由角平分線的做法可知，是的角平分線，點為線段上的一個動點，最短，，，，，，，，，，的面積．故選：B．【點睛】本題考查的是作圖基本操作，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，過直線外一點到直線的垂線段最短等，理解題意，然后熟練掌握運用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·八年級期中）如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點D，交AB的延長線于點E，于點F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的有（

）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)進行判斷；②利用的直角三角形的性質(zhì)，進行判斷；③連接，，得到，進而得到，證明，得到，推出，進行判斷；④由，得到，證明，得到，利用等量代換，即可得證．【詳解】解：∵平分，，，∴；故①正確；∵，∴，∴，即：；故②正確；在和中：，∴，∴，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，在和中：，∴，∴，，∴，即：，∴不平分；故③錯誤；∴；故④正確；綜上：正確的有：①②④；故選C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形．熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，中垂線的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·云南昭通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，P，Q分別是，上的點，作，，垂足分別為M，N，若，，則下列結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)，，可以判定平分，，繼而判定，，結(jié)合，得到，判定，卻無法判定．【詳解】因為，，，，所以平分，，所以，，因為，所以，所以，卻無法判定，故①②③正確，④錯誤．故選C．【點睛】本題考查了角的平分線的判定定理，直角三角形的全等判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點在線段上（不與點，重合），在的上方分別作和，且，，，連接，交于點，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．連接，則平分【答案】B【分析】先通過證明，并根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明A選項正確；由外角的性質(zhì)及等腰三角形的定義，可證明C選項正確；連接，過點C作于點G，于點H，根據(jù)角平分線生物判定定理證明D選項正確；無法證明B選項．【詳解】，，即，，，，，故A選項正確；，∵，，故C選項正確；如圖，連接，過點C作于點G，于點H，，，，，平分，故D選項正確；當(dāng)時，需成立，與題意矛盾，故B選項正確；故選：B．【點睛】本題考查了去哪等三角形的判定和性質(zhì)，涉及等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，外角的性質(zhì)等熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，任意畫一個的，再分別作的兩角的角平分線和，、相交于點P，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出即可判定①；如圖所示，過點P作于F，于G，于H，利用角平分線的性質(zhì)得到即可判斷②；證明，得到，，即可判斷④；再證明，得到，同理可證，推出即可判斷⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明③．【詳解】解：∵在中，，∴，∵的兩條角平分線和交于，∴，，，故①正確；，如圖所示，過點P作于F，于G，于H，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，故④正確；在和中，，∴，∴，同理可證，∵，∴，∴，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法證明，故③錯誤，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和定理等等，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·吉林·八年級期末）如圖，中，，，，，平分，如果點P，點Q分別為，上的動點，那么的最小值是______．【答案】##2.4【分析】作點Q關(guān)于的對稱點E，作，首先根據(jù)角平分線的對稱性得到，然后利用面積法求出，進而求解即可．【詳解】解：如圖所示，作點Q關(guān)于的對稱點E，作，∵平分，∴點E在線段上，∴，∴的最小值為的長度，∵，∴，即，∴解得，∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形的等面積法求斜邊上的高，屬于綜合題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇宿遷·八年級?？计谥校┤鐖D，的三邊，，的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點O，則：：___________【答案】4：6：5【分析】過點作三邊的高，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，根據(jù)三角形面積公式得到面積之比等于三邊之比即可得到答案．【詳解】解：過點作于點，于點，于點，、、是的三條角平分線，，，，的長分別為40，50，60，：：：：：：4：6：5故答案為：4：6：5．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的做法，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用是解題關(guān)鍵．8．（2022?壽陽縣八年級期末）如圖，點在的平分線上，，于，點在上，且，若是上的動點，則的最小值是．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到結(jié)果．【解析】是角平分線上的一點，，，，，，，，，，，點是上一個動點，的最小值為到距離，的最小值，故答案為：6．9．（2022春·天津濱海新·八年級校考期中）如圖，四邊形中，，點為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)探究：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)，證明見解析【分析】（1）過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；（2）利用，證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得，同理可得，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，可得，，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點作于，∵，平分，∴，∵點為的中點，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·湖北武漢·八年級?？计谥校┧倪呅沃?，平分．(1)如圖1，若，E是的中點，求證：平分；(2)如圖2，若平分，求證：E是的中點；(3)在（2）的條件下，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)48【分析】（1）過點E作，垂足為F．證明，，從而可得結(jié)論；（2）如圖2，延長相交于點F．證明，．可得．再證明．可得結(jié)論；（3）證明，再利用三角形的面積公式進行計算即可．【詳解】（1）證明：過點E作，垂足為F．∵，∴．又∵，∴∴∵平分，，，∴．∵E是的中點，∴，∴．又∵，∴平分．（2）證明：如圖2，延長相交于點F．∵平分，平分，∴∵，∴．∴．在和中，∴．∴．在和中，∴．∴．∴E是的中點．（3）解：由（2）得：，∴．∵，∴．∵，∴．．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)建三角形全等是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春·遼寧大連·八年級期末）如圖：點C在射線上，，且．(1)實踐與操作：利用圓規(guī)和直尺，①以點B為圓心為半徑畫弧交射線于點E，連接；②作的平分線分別交于F，交于G（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）．(2)猜想與證明：試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）①如圖，以點B為圓心為半徑畫弧交射線于點E，連接；②以B為圓心，任意長為半徑作弧，交于點N，O，再分別以N，O為圓心，大于長為半徑畫弧交于一點，連接B至該點并延長交于F，交于G；（2）根據(jù)作圖可證可得，再根據(jù)題意證明可得，進而即可求證．【詳解】（1）①作線段，如圖所示；②作角平分線，如圖所示（2）由作圖可得，在和中，，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了作圖—角平分線和全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖象是解決本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在中，，的平分線交于點，過點作于點，交于點，過點作于點．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，可證明；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點作于，可計算出，，并證明；根據(jù)題目給定的條件，無法證明；根據(jù)結(jié)論①，角平分線的性質(zhì)可證，由此即可求解．【詳解】解：結(jié)論①，∵，，平方，∴，，∴，∵，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，如圖所示，過點作于，∵平方，，∴，∴，，∴，故結(jié)論②正確；結(jié)論③，∵，，平方，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，且由結(jié)論①正確得，，在中，，即，∴，∴條件不足，無法證明，故結(jié)論③錯誤；結(jié)論④，由結(jié)論①正確得，，即，由角平分線的性質(zhì)，，可證，∴，故結(jié)論④正確．綜上所述，正確的有①②④．故選：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·天津·八年級校考期中）如圖，在和中，，，，．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論，其中錯誤的是（

）A． B． C．MO平分 D．OM平分【答案】D【分析】由證明得出，，A正確；由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，B正確；作于，于，則，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，得出，由角平分線的判定方法得出平分，C正確；假設(shè)平分，則，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故D錯誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，，故A正確；∵，由三角形的外角性質(zhì)得：，∴，故B正確；作于，于，如圖所示，則，∵，∴面積，，∵，，∴，∴平分，故C正確；假設(shè)平分，則，在與中，，∴，∴，∵，∴，而，故D錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東臨沂·八年級期中）如圖，已知AC平分∠BAD，于點E，．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【分析】過作，交的延長線于，證，進而得出①③正確，再證，進而得到④正確即可．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于，如圖所示：平分，，，，又，在和中，，∴，，，∴，即，又，，，，故①正確；②錯誤；，，又，，故③正確；在和中，，∴，，，故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．4．（2022春·北京大興·八年級統(tǒng)考期中）如圖，與都是等邊三角形，和相交于點，連接下面結(jié)論中，；；不是的平分線；所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①②③④【分析】由“”可證，可得；由全等三角形的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得；由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形面積公式可得，由角平分線的性質(zhì)可得平分；由全等三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明是等邊三角形，可得，可得，即可求解．【詳解】解：∵與都是等邊三角形，∴，∴，，，∴，∴，故①正確，∵，∴，∵，∴，故正確；如圖，過點A作，，∵，∴，∵，，∴平分，故正確；如圖，在線段上截取，連接，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明是解本題的關(guān)鍵．5．（2022春·安徽淮北·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，和中，，，，連接，，與交于點M，與交于點N．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接，有以下兩個結(jié)論：①平分；②平分．其中正確的有．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)②【分析】（1）根據(jù)證明即可得出答案；（2）根據(jù)，得出，利用三角形內(nèi)角和定理，求出，即可得出答案；（3）作于K，于J，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，證明，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）證明：∵，∴，∵，，又，∵，∴，∴．（3）解：結(jié)論：②理由：作于K，于J，如圖所示：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴平分．不妨設(shè)①成立，則，則，顯然不可能，故①錯誤．故答案為：②．【點睛