專題08 等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓（解析版）

專題08等腰三角形、直角三角形中的分類討論問題專訓【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓題型二直角三角形中的分類討論問題專訓【知識梳理】1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可．1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論．2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）【經(jīng)典例題一等腰三角形中的分類討論問題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎?，，若點在坐標軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點的個數(shù)是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A為圓心，為半徑畫圓；以B為圓心，為半徑畫圓；作的垂直平分線；它們與坐標軸的交點即為點C的位置．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，為半徑畫圓，交坐標軸于點B，，，，得到以A為頂點的等腰，，；②以B為圓心，為半徑畫圓，交坐標軸于點A，，，，得到以B為頂點的等腰，，；③作的垂直平分線，交坐標原點于，得到以為頂點的等腰，∴符合條件的點C共7個，故選：D．

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，能夠找出所有C點的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．點P為直線上一動點，并沿直線從右向左移動，若點P與三個頂點中的至少兩個頂點構(gòu)造成等腰三角形時，則將點P在直線上進行標記．那么滿足條件的點P（不與點B、C重合）的位置有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．8個【答案】C【分析】利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點的個數(shù)．【詳解】解：如圖：中，，，，當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當與重合時，為等腰三角形（舍去）；當與重合時，為等腰三角形（舍去）；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；當時，為等腰三角形；綜上，滿足條件的點的位置有6個．故選：C．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，射線于點D，點M為射線上一點，如果點M滿足三角形為等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，分三種情況討論：①當時；②當時；③當時，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解，即可得到答案．【詳解】解：，，平分，，①如圖1，當時，是等腰三角形，，，，；②如圖2，當時，是等腰三角形，；③如圖3，當時，是等腰三角形，，，綜上可知，三角形為等腰三角形，的度數(shù)為或或，故答案為：或或．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當時，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當時，

，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰中，，，點在線段上運動（點不與點、重合），連接，作，交線段于點．

(1)點運動到圖①位置時，，則_________，________；(2)如圖②，當時，求證：(3)在點的運動過程中，的形狀也在變化，判斷當是等腰三角形時，等于多少度？（請直接寫出結(jié)果）【答案】(1)，(2)見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和與三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角的和的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定定理綜合運用求解即可；（3）根據(jù)是等腰三角形，分①當，②，③三種情況進行討論即可．【詳解】（1），，又，，是等腰三角形，，，所以答案為，；（2）證明∵，∴∵，，∴在和中，∴，（3）①當時，，，，，不與、重合，；②當時，，，；③當時，，，，．綜上所述，當是等腰三角形時，度數(shù)為或．【點睛】本題主要考查了三角形動點問題以及全等三角形和等腰三角形性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·吉林四平·八年級四平市第三中學校校考期末）如圖，在中，，，點D在邊上運動（D不與A，B重合），連接，作，交與點E．(1)當時，若，則．(2)當時，判斷的形狀，并說明理由．(3)在點D運動的過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見詳解(3)或【分析】（1）先求出，根據(jù)，可得，進而可得，在中，可得，同理可得：，問題隨之得解；（2）由得到，再由，得到，則是直角三角形；（3）分類討論：當時，；當時，；當時，；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行計算．【詳解】（1）如圖，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，同理可得：，∵，∴；（2）∵中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，

∴是直角三角形；（3）可以是等腰三角形．理由如下：①當時，，∴，∵，∴，②當時，，∵，∴，∴，③當時，，即，∵，∴此時，點D與點B重合，不合題意．綜上，可以是等腰三角形，此時的度數(shù)為或．【點睛】本題考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等，關(guān)鍵在于運用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練地運用相關(guān)的性質(zhì)定理，認真地進行計算．【知識梳理】2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論．2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）【經(jīng)典例題二直角三角形中的分類討論問題】【例2】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都是，當運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【答案】A【分析】先證明，，由時間相同，速度相等，證明，可得，利用全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，它們的速度都是，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在、運動的過程中，不變，，∵，∴不可能是直角，∴只能是是直角，當是直角，即，∵，∴，∴，∴當運動時間為5秒時，是直角三角形．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明．【變式訓練】1．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設(shè)點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7【答案】D【分析】由條件可求得，再求出點從點運動到點所需的時間為6秒，然后根據(jù)和兩種情況，根據(jù)當為直角三角形時，只有或，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：在中，，，，，∴，∵點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，點從點運動到點所需的時間為秒，則分以下兩種情況：①當時，，，當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；②當時，，當時，∵，∴，∴，即，解得，不符合題設(shè)，舍去；當時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為2或5或7，故選：D．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都是，當運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【答案】A【分析】先證明，，由時間相同，速度相等，證明，可得，利用全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，它們的速度都是，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在、運動的過程中，不變，，∵，∴不可能是直角，∴只能是是直角，當是直角，即，∵，∴，∴，∴當運動時間為5秒時，是直角三角形．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明．3．（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速運動，它們的速度分別為，，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為．

（1）當時，為等腰三角形；（2）當時，為直角三角形．【答案】2或【分析】（1）先求出，；則當為等腰三角形，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到，由此建立方程進行求解；（2）當為直角三角形可分當時和當時兩種情況進行求解即可．【詳解】解：（1）∵在中，，，，∴，，∵，，∴，∴，當為等腰三角形時，由于，則為等邊三角形，∴，∴，解得，故答案為：；（2）當時，則，∴，∴，解得；當時，則，∴，則，解得；故答案為：2或．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，平分交于點D，點E是上一個動點．若是直角三角形，則的度數(shù)可以是．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再分兩種情況：；；進行討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，當時，，則：；當時，．故的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，注意分類思想的應用．5．（2022秋·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第四中學校考期末）如圖1，已知等邊邊長為，點P、Q分別是邊上的動點，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，且它們的速度都為．連接交于點M．(1)求證：；(2)連接，何時是直角三角形？(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線上運動，直線交于點M，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)點P、Q運動到第秒或第秒時，為直角三角形(3)120°【分析】（1）由證明即可；（2）分和兩種情況，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出方程，求解即可；（3）證，得，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在等邊中，∵，又∵點A、B同時出發(fā)，且它們的速度都為，∴，∴．（2）設(shè)運動時間為t秒，則①當時，∵，∴．∴，即，解得；②當時，∵，∴．∴，即，解得；∴當點P、Q運動到第秒或第秒時，為直角三角形．（3）∵在等邊中，，∴，∵點A、B同時出發(fā)，且它們的速度都為，∴，∴，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2019秋·廣東佛山·八年級佛山市實驗學校?？茧A段練習）閱讀材料：

如圖①，在中，，若，則有；利用以上結(jié)論解決問題：如圖②，等邊的邊長為，動點P從點B出發(fā)，以每秒的速度向點A移動，動點Q從點A出發(fā)，以每秒的速度向點C移動，兩動點同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點也隨之停止移動．設(shè)動點P的移動時間為t秒．(1)填空：______（度）；t的取值范圍是_____；(2)試求當t取何值時，的形狀是等邊三角形；(3)試求當t取何值時，的形狀是直角三角形．【答案】(1)(2)(3)t的值為4或10【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)即可得的度數(shù)；動點Q的速度大于動點P的速度，所以動點Q先于動點P到達終點，由點Q的速度及運動距離即可求得其到達終點的時間，從而確定t的范圍；（2）當時，的形狀是等邊三角形，據(jù)此求出此時t的值即可；（3）分兩種情況：時；時，由此建立方程即可求得t的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，；∵動點Q的速度大于動點P的速度，∴動點Q先于動點P到達終點，點Q到達終點的時間為：（秒）∴t的范圍為：；故答案為：；（2）解：∵，∴當時，的形狀是等邊三角形，由題意：，∴；∴，解得：，即當t為秒時，的形狀是等邊三角形；（3）解：當或時，∵，∴由題目材料結(jié)論知，的形狀是直角三角形；①當時，即，得：；②時，即，得：；綜上，當t的值為4或10時，的形狀是直角三角形．【點睛】本題是動點問題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解一元一次方程等知識，掌握它們是關(guān)鍵．在解答（3）小題時注意運用題中材料的結(jié)論．【重難點訓練】題型一等腰三角形中的分類討論問題專訓1．（2023·全國·九年級專題練習）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數(shù)為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】在等腰中，為腰上的高，，討論：當在內(nèi)部時，如圖1，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出；當在外部時，如圖2，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出．【詳解】解：在等腰中，為腰上的高，，當在內(nèi)部時，如圖1，∵為高，∴，∴，∵，∴；當在外部時，如圖2，∵為高，∴，∴，∵，∴，而，∴，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為或．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．2．（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點D是射線BP上一點，如果點D滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°【答案】D【分析】由于中，腰底不確定，故需要分情況討論，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：當時，如圖所示，，，，平分，，，，當時，如圖所示，，，，平分，，，．當時，如圖所示，，，，平分，，，，故的度數(shù)是：、或，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用等腰三角形的性質(zhì)及分類討論的思想求解，本題屬于中等題型．3．（2021秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）若以的一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫出（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】先以Rt△ABC三個頂點分別為圓心，再以每個頂點所在的較短邊為半徑畫弧，即可確定等腰三角形的第三個頂點，也可以作三邊的垂直平分線確定等腰三角形的第三個頂點．【詳解】解：如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則△ACD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交AB于點F，連接，CF則△BCD、△BCF是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點，連接，△ACD是等腰三角形，∴符合題意的等腰三角形最多能畫個，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的判定的應用，通過作垂直平分線或者畫弧的方法確定相等的邊是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·河南三門峽·八年級校考期末）如圖，在等腰三角形中，，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的腰上的一點，則當為等腰三角形時，的度數(shù)是______．【答案】或【分析】過D作，，易證，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵點P是等腰的腰上的一點，，D為的中點，∴，過D作，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故答案為：或，【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學?？计谥校?）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長分成12和9兩部分，則腰長為___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數(shù)為___．【答案】8或640°或100°或140°【分析】（1）等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，但已知沒有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長，哪個是12，哪個是9，因此，有兩種情況，分類討論求解即可．（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A，再分點A是頂角頂點，點A是底角頂點兩種情況求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長AB=AC=2x，∵BD是腰上的中線∴AD=DC=x①若AB+AD的長為12，則2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的長為9，則2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案為：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，①如圖1，點A是頂角頂點時，頂角為∠A，是40°；②如圖2，點A是底角頂點時，頂角∠BCA=180°-40°×2=100°，③如圖3，點A是頂角頂點時，頂角∠BAC=180°-40°=140°，綜上所述，等腰△ABC的頂角的度數(shù)為40°或100°或140°．故答案為：40°或100°或140°．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．6．（2023秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點D在邊上，點E在邊上，且，，則的度數(shù)為____________．【答案】或．【分析】（1）利用等邊對等角得到三對角相等，設(shè)，表示出與，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出的度數(shù)；（2）設(shè)，①當時，利用三角形外角的性質(zhì)得到，解得，②當時，利用三角形內(nèi)角和定理得到，解得．【詳解】解：（1），，，，，設(shè)，則，，即，解得，則，故答案為：；（2）設(shè)，①當時，如圖：，；②當時，如圖：，，所以的度數(shù)為或；故答案為：或．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在中，，，，在直線BC上取一點P使得是等腰三角形，則可以考慮點P在線段延長線上和______上的情況；當點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為______．【答案】線段BC；2【分析】分P在線段BC上和線段的延長線上，按照等腰三角形的邊兩兩相等分三種情況分析即可求解．【詳解】解：可以考慮點P在線段延長線上和線段BC上的情況，如圖，∵由題意可得：在直線BC上取一點P∴當點P在線段BC上時，等腰三角形，點P在線段BC延長線時，等腰三角形，=2等腰三角形，=2點P在線段CB延長線上時等腰三角形，=2∴當點P在線段延長線上時，等腰三角形PAB的腰長為2故答案為∶線段BC；2；【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，是等腰三角形，平分；點是射線上一點，如果點滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是____．

【答案】40°、70°或100°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再分①當時，②當BC=BD時，③當BC=DC時，三種情況討論繼續(xù)運用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∴,∵BP平分，∴,①當,即D點在D1處時，此時；②當BC=BD時，即D點在D2處時，此時，③當BC=DC時，即D點在D3處時，此時,綜上所述的度數(shù)是40°、70°或100°，故答案為：40°、70°或100°．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線有關(guān)計算，三角形內(nèi)角和定理．能根據(jù)等腰三角形兩個底角相等，用其中一個角求出另外兩個角是解題關(guān)鍵．注意分類討論．9．（2022秋·浙江·八年級專題練習）很多三角形過它一個頂點的一條直線，可把它分成兩個小等腰三角形．由此，請你探究如下幾個問題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請你在圖2、圖3中，分別過一個你認為合適的三角形頂點畫出一條直線，把它們各自分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所得小等腰三角形兩個底角的度數(shù)（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個等腰三角形，分成兩個小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個小等腰三角形嗎？若能，請你設(shè)計符合上述條件且6個內(nèi)角度數(shù)均不同的兩個三角形，并且分別過一頂點畫一直線分成兩個小等腰三角形；同時標出所得小等腰三角形兩個底角的度數(shù)（不證明）；若不能，請說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，則可得AD=BD=CB，因此△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）只要所給的三個角中有2個角是2倍關(guān)系都可得到等腰三角形．【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD與△BDC都是等腰三角形；（2）解：如下圖所示：（3）解：如下圖所示：【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；注意應根據(jù)題中所給的范例用類比的方法推測出把一般三角形分為兩個等腰三角形的一般結(jié)論．10．（2023春·上海長寧·七年級統(tǒng)考期末）在中，，點代別在上，且，聯(lián)結(jié)交于點．

(1)如圖1，是底邊上的中線，且，①試說明的理由；②如果為等腰三角形，求的度數(shù)：(2)如圖2，聯(lián)結(jié)并延長，交延長線于點G．如果，，試說明的理由．【答案】(1)①說明理由見解析；②減45°(2)說明理由見解析【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，利用ASA證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得解；②要使為等腰三角形，只有，所以，得，然后分情況討論：當時，，；當時，，，進而可以解決問題．（2）證明，即可解決問題．【詳解】（1）證明：①∵，∴，在與中，∴，∴，∵是底邊上的中線，∴，∴．②根據(jù)題意可知：要使為等腰三角形，只有，∴，∴，∵，是底邊上的中線，∴，設(shè)，則，∵，所以，顯出，在中，，∴，∴，，①當時，，．②當時，，．綜上，減45°．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．11．（2023春·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，，現(xiàn)有M、N兩點分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當點N第一次到達點B時，M、N兩點同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊？（提示：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形）(3)當點M、N在邊上運動時，是否存在以為底邊的等腰？若存在，請求出此時點M、N運動的時間；若不存在，請說明理由．【答案】(1)M、N運動12秒后，M、N兩點重合(2)點M、N運動4秒后，可得到等邊(3)存在，點M、N運動的時間為16秒【分析】（1）設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，根據(jù)題意，列出方程，解方程求解即可；（2）設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊．則，，因為是等邊三角形，所以，即，求解即可；（3）設(shè)當點M、N在BC邊上運動時，點M、N運動的時間為y秒，是等腰三角形，所以，，由，得，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合．根據(jù)題意，得，解得．即M、N運動12秒后，M、N兩點重合．（2）解：如圖，設(shè)點M、N運動t秒后，可得到等邊．根據(jù)題意，得，，因為是等邊三角形，所以，解得，所以點M、N運動4秒后，可得到等邊．

（3）解：當點M、N在邊上運動時，存在以為底邊的等腰．由（1）知12秒時M、N兩點重合，且恰好在頂點C處．如圖，假設(shè)是等腰三角形，所以，所以，所以，因為是等邊三角形，所以．在和中，因為，，，所以，所以．設(shè)當點M、N在邊上運動時，點M、N運動的時間為y秒，是等腰三角形，

所以，，由，得，解得．故假設(shè)成立．所以當點M、N在邊上運動時，存在以為底邊的等腰，此時點M、N運動的時間為16秒．【點睛】此題是三角形的綜合問題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．12．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F．（友情提示：翻折前后的兩個三角形的對應邊相等，對應角相等）

(1)如圖1，當時，求證：；(2)如圖2，若，，是否存在這樣的x的值，使得是以為腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理證明；（2）根據(jù)，求得，然后分、兩種情況，列方程解答即可；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，由翻折可知：，∴，，①當時，，解得：，②當時，，解得，，綜上所述，當或時，是以為腰的等腰三角形．【點睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，掌握三角形內(nèi)角和等于、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）已知在中，，點是邊上一點，．

(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點作，垂足為點，與相交于點．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②當時，或當時，．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)等腰三角形的判定即可證明；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和可推得，設(shè)，則，推得，，即可得到；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行分類討論：當時，，推得，，即可求得；當時，，推得，即可求得；當時，，，故不存在．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴．（2）①∵，∴，∵，∴設(shè)，則．∴．∵，∴，∴．②∵是等腰三角形，∴?。?；ⅱ）；ⅲ），ⅰ）當時，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；ⅱ）當時，，∵，∴．∴，∴，∴；ⅲ）當時，，∵，∴不存在．綜上所述，當時，或當時，．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·廣東深圳·七年級深圳外國語學校校考期末）如果一個三角形被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個三角形的等腰分割線．如圖1，當和為等腰三角形時，為的等腰分割線．

(1)如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證：是的一條等腰分割線．(2)如圖3，在中，，，，請你用兩種不同的方法完成的等腰分割，并直接寫出每種分割之后兩個等腰三角形的頂角度數(shù)．(3)在中，為的等腰分割線，且，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角；等腰分割見解析(3)或或【分析】（1）證明，，從而得出結(jié)論；（2）是腰時，，；是底時，，，可畫出圖形；（3）分為，及三種情形，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：是的垂直平分線，，，是等腰三角形，，，，，是等腰三角形，是的一條等腰分割線；（2）解：如圖1，第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．（3）解：如圖2，當，時，，如圖3，當，時，，如圖4，當，時，，綜上所述：或或．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的分類討論問題，三角形內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形．15．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，點O是等邊內(nèi)一點，以O(shè)C為邊作等邊三角形OCD，連接OD．

(1)求證：；(2)若，，當為多少度時，是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)或或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明結(jié)論即可；（2）分、、三種情況，先用表示出三個角的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，，當時，，則，∴，當時，，則，∴；當時，，則，∴，綜上，當為或或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．題型二直角三角形中的分類討論問題專訓1．（2020秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點P在邊AC上以1cm/s的速度從點A向終點C運動，與此同時點Q在邊AB上以同樣的速度從點B向終點A運動，各自到達終點后停止運動，設(shè)運動時間為t（s），則當△APQ是直角三角形時，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s【答案】D【分析】先根據(jù)時間和速度確定兩動點P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AB的長，分兩種情況：當∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根據(jù)AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得結(jié)論．【詳解】解：由題意得：AP＝BQ＝t，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴AC＝3，∴AB＝2AC＝6，∴當△APQ是直角三角形時，有兩種情況：①當∠APQ＝90°時，如圖1，∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴6﹣t＝2t，t＝2；②當∠AQP＝90°時，如圖2，當0＜t≤3時，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)，t＝4（不符合題意），當t＞3時，P與C重合，則AQ＝＝6﹣t，t＝4.5，綜上，t的值為2s或4.5s；故選：D．【點睛】本題考查了三角形中的動點問題，涉及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用時間和速度表達出線段的長度，并熟悉直角三角形的性質(zhì)．2．（2023秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學?？计谀┑冗叺倪呴L為，點、分別是邊、上的動點，點、分別從頂點、同時出發(fā)，且速度都是，則經(jīng)過______秒后，是直角三角形．【答案】或【分析】根據(jù)題意得出，求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，①若時，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根據(jù)，得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：由題意得：，∴，∵是等邊三角形，∴，若時，，∴，即，解得：；若，∴，∴，即，解得：，所以當或時，是直角三角形；故答案為：或．【點睛】本題考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的應用，分情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點P是BC邊上的動點，設(shè)，當為直角三角形時，x的值是______．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①，②，分別作圖利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解出x．【詳解】①當時，如圖所示，在中，，,②當時，如圖所示，在中，，，故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．4．（2023春·八年級課時練習）如圖，等邊三角形中，，于點D，點E、F分別是、上的動點，沿所在直線折疊，使點C落在上的點處，當是直角三角形時，的值為______．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由是直角三角形，分兩種情況討論，由含的直角三角形的性質(zhì)可求的長．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，，由折疊可得，分兩種情況：①若，∵，∴，則：，又∵∴，∴，∴，②若，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．5．（2023春·八年級課時練習）如圖，中，，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，已知點M的速度為/s，點N的速度為2/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．當點M、N運動_____秒后，可得到直角三角形．【答案】或或或9【分析】分點N在，，上運動的三種情況，再分別就和列方程求解可得．【詳解】當點N在上運動時，如圖3，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當點N在上運動時，點M也在上，此時A，M，N不能構(gòu)成三角形；當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當或或或9時，可得到直角三角形．故答案為：或或或9．【點睛】此題是三角形的綜合問題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的定義與性質(zhì)、一元一次方程的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長是2，點在等邊三角形的邊上（除點外），以為一邊作等邊三角形，頂點、、逆時針排序．若三角形是直角三角形時，則的長度是____________．【答案】1【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定可證，再根據(jù)是直角三角形，以及三角形內(nèi)角和定理可求出，然后再根據(jù)含直角三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵等邊三角形的邊長是2，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴即，∴，∴，，又∵是直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，含角的直角三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是證出．7．（2022秋·北京順義·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點為中點，若動點以1cm/s的速度出發(fā)，沿著由的方向運動，設(shè)點E運動的時間為秒，連接，當為直角三角形時的值為______．【答案】2秒或秒．【分析】先求出的長，再分時，時，利用含的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，當時，而，如圖，∴，∴，∴，∵D為的中點，∴，∴，則，∴當時，如圖，由，，可得，∴，∴，∴，∴綜上所述，t的值為2秒或秒．故答案為：2秒或秒．【點睛】本題考查了含的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，清晰的分類討論解本題的關(guān)鍵．8．（2023·河北·模擬預測）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，沿方向勻速運動，點P的速度是，點Q的速度是，當Q到達C點時，P、Q兩點停止運動，設(shè)P、Q兩點運動的時間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．【答案】或3【分析】用含t的代數(shù)式表示出，，再分和兩種情況，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，列出等式，即可求解．【詳解】解：等邊三角形的邊長為，，，由題意可知，點Q到達C點所用時間為：，．t秒時，，，若為直角三角形，分以下兩種情況：當時，，，，；當時，，，，，綜上可知，t的值是或3．故答案為：或3．【點睛】本題考查列代數(shù)式，等邊三角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是牢記直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，注意分情況討論，避免漏解．9．（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學?？茧A段練習）如圖，已知，P點是射線上的一個動點，，（1）當______時，是直角三角形；（2）設(shè)，則滿足______時，是鈍角三角形．【答案】6或24或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后分類討論，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和鈍角三角形的定義解答．【詳解】解：（1）當時，，∴，當時，，∴，故答案為：6或24；（2）當或時，為鈍角三角形，故答案為：或．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·八年級專題練習）在中，若過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過頂點的一條直線交于點，且，則直線是的關(guān)于點的二分割線．如圖，已知，同時滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線，則的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】根據(jù)關(guān)于點B的二分割線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖2所示：，如圖3所示：，如圖所示：，故答案為：或或．【點睛】本題考查了直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地理解“△ABC的關(guān)于點B的二分割線”是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣東河源·八年級校考期中）如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點P從A點出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從B點出發(fā)以速度向C運動，當Q點到達點時，兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當t為何值時，是等邊三角形？(3)當t為何值時，是直角三角形？【答案】(1)，(2)2(3)或3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，再根據(jù)運動方向和速度可列代數(shù)式；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得：，列等式可得的值；（3）分兩種情況：①當時，，則；②當時，，則，分別求出的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，，故答案為：；（2）是等邊三角形，，當時，是等邊三角形，則，解得：，當時，為等邊三角形；

（3）分兩種情況：①如圖，當時，，，，則，解得：；

②如圖，當時，，，，，解得：，

由題意得：，當或3時，為直角三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、角的直角三角形的性質(zhì)、動點運動問題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，要注意直角三角形分情況討論．12．（2022秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖1所示，在邊長為12的等邊中，動點P以的速度從點A出發(fā)，沿線段向點B運動設(shè)點P的運動時間為，．(1)當_____時，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動點Q從點C出發(fā)，沿線段向點A運動，且動點P，Q均以的速度同時出發(fā)，那么當_____時，是直角三角形(3)如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線方向運動，且動點P，Q均以的速度同時出發(fā)．當點P到達終點B時，點Q也隨之停止運動，連接交于點D，過點P作于E，試問線段的長度是否變化？若變化，請說明如何變化；若不變，請求出的長度．【答案】(1)3(2)2或4(3)線段長度不變，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，當，即為的中點時，是直角三角形，據(jù)此求解即可；（2）分①當時，②當時，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，建立一元一次方程求解即可；（3）過作，進而證明，可得，問題得解．【詳解】（1）解：依題意，，當是直角三角形時，，是等邊三角形，則此時為的中點，，，故答案為：3；（2）解：依題意，，，①當時，如圖，是等邊三角形，，，，則，在中，，，，即，解得；②當時，如圖，同理可得，即，解得；綜上所述，當t為或時，是直角三角形；（3）線段長度不變，理由如下：如圖，過點作，交于點F，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，∴，，，，，，的速度相等，，∴，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學?？计谀┤鐖D，在等邊中，厘米，厘米．如果點以3厘米/秒的速度運動．(1)如果點在線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動．它們同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等．經(jīng)過2秒后，和是否全等？請說明理由．(2)在（1）的條件下，當兩點的運動時間為多少時，是一個直角三角形？(3)若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，經(jīng)過25秒點與點第一次相遇，請直接寫出點的運動速度是多少厘米/秒？【答案】(1)，理由見解析(2)當運動時間為秒或秒時，是直角三角形(3)厘米/秒或厘米/秒【分析】（1）分別求出運動2秒后，的長，然后利用證明即可；（2）設(shè)運動時間為t秒，分別表示和．分兩種情況，運用特殊三角形的性質(zhì)求解：當；當；（2）點M與點N第一次相遇，有兩種可能：點M運動速度快；點N運動速度快．分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：由題意得，運動2秒后，厘米，厘米，∴厘米，∵是等邊三角形，∴，又∵厘米，厘米，∴；（2）解：設(shè)運動時間為秒，是直角三角形有兩種情況：當時，∵，∴∴，∴解得；當時，∵，∴，∴，∴，解得；綜上所述，當運動時間為秒或秒時，是直角三角形；（3）解：分兩種情況討論：若點運動速度快，則，解得；若點運動速度快，則，解得；綜上所述，點N的運動速度為厘米/秒或厘米/秒．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵在于運用分類討論的思想列出方程求解．14．（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，和中，，，且，，的延長線交交于點．(1)求證：；(2)當是等邊三角形時，求的度數(shù)；(3)如圖②，當是直角三角形時，請直接寫出的度數(shù)為________；如圖③，當是任意等腰三角形時，請直接寫出與某個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系為________．【答案】(1)見解析(2)(3)；【分析】（1）先證明，再根據(jù)即可證明；（2）由，推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；（3）同理證明，推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，，，∴；（2）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，設(shè)，交于點，則，∴；（3）解：當是直角三角形時，同理，∴，∵是等腰直角三角形，∴，設(shè)，交于點，則，∴；當是任意等腰三角形時，同理，∴，設(shè)，交于點，則，∴；故答案為：；．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識與方法，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出三角形的兩條邊相等，據(jù)此根據(jù)判定證三角形的全等是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·河南鄭州·