專(zhuān)題08 等腰三角形、直角三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)（解析版）

專(zhuān)題08等腰三角形、直角三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一等腰三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)題型二直角三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)【知識(shí)梳理】1、等腰三角形中的分類(lèi)討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類(lèi)討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可．1.無(wú)圖需分類(lèi)討論①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類(lèi)討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類(lèi)討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類(lèi)討論；④中線把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類(lèi)討論．2.“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專(zhuān)題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）【經(jīng)典例題一等腰三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題】【例1】1．（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知，，若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）

A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A為圓心，為半徑畫(huà)圓；以B為圓心，為半徑畫(huà)圓；作的垂直平分線；它們與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C的位置．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，為半徑畫(huà)圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B，，，，得到以A為頂點(diǎn)的等腰，，；②以B為圓心，為半徑畫(huà)圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，，，，得到以B為頂點(diǎn)的等腰，，；③作的垂直平分線，交坐標(biāo)原點(diǎn)于，得到以為頂點(diǎn)的等腰，∴符合條件的點(diǎn)C共7個(gè)，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，能夠找出所有C點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，并沿直線從右向左移動(dòng)，若點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)中的至少兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形時(shí)，則將點(diǎn)P在直線上進(jìn)行標(biāo)記．那么滿足條件的點(diǎn)P（不與點(diǎn)B、C重合）的位置有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖：中，，，，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)與重合時(shí)，為等腰三角形（舍去）；當(dāng)與重合時(shí)，為等腰三角形（舍去）；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；綜上，滿足條件的點(diǎn)的位置有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，射線于點(diǎn)D，點(diǎn)M為射線上一點(diǎn)，如果點(diǎn)M滿足三角形為等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解，即可得到答案．【詳解】解：，，平分，，①如圖1，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，，；②如圖2，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，；③如圖3，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，綜上可知，三角形為等腰三角形，的度數(shù)為或或，故答案為：或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫(huà)出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當(dāng)時(shí)，

，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，

∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，

∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．

(1)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖①位置時(shí)，，則_________，________；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求證：(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀也在變化，判斷當(dāng)是等腰三角形時(shí)，等于多少度？（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和與三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角的和的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定定理綜合運(yùn)用求解即可；（3）根據(jù)是等腰三角形，分①當(dāng)，②，③三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1），，又，，是等腰三角形，，，所以答案為，；（2）證明∵，∴∵，，∴在和中，∴，（3）①當(dāng)時(shí)，，，，，不與、重合，；②當(dāng)時(shí)，，，；③當(dāng)時(shí)，，，，．綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題以及全等三角形和等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·吉林四平·八年級(jí)四平市第三中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D在邊上運(yùn)動(dòng)（D不與A，B重合），連接，作，交與點(diǎn)E．(1)當(dāng)時(shí)，若，則．(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見(jiàn)詳解(3)或【分析】（1）先求出，根據(jù)，可得，進(jìn)而可得，在中，可得，同理可得：，問(wèn)題隨之得解；（2）由得到，再由，得到，則是直角三角形；（3）分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）如圖，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，同理可得：，∵，∴；（2）∵中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，

∴是直角三角形；（3）可以是等腰三角形．理由如下：①當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，②當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，③當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．綜上，可以是等腰三角形，此時(shí)的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)等，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練地運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真地進(jìn)行計(jì)算．【知識(shí)梳理】2、直角三角形中的分類(lèi)討論：【解題技巧】1.無(wú)圖需分類(lèi)討論——經(jīng)典運(yùn)用：已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類(lèi)討論．2.“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專(zhuān)題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）【經(jīng)典例題二直角三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題】【例2】（2023秋·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)、分別是邊長(zhǎng)為的等邊的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）秒時(shí)，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【答案】A【分析】先證明，，由時(shí)間相同，速度相等，證明，可得，利用全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度都是，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在、運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不變，，∵，∴不可能是直角，∴只能是是直角，當(dāng)是直角，即，∵，∴，∴，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)，是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7【答案】D【分析】由條件可求得，再求出點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需的時(shí)間為6秒，然后根據(jù)和兩種情況，根據(jù)當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有或，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：在中，，，，，∴，∵點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需的時(shí)間為秒，則分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得，不符合題設(shè)，舍去；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為2或5或7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)、分別是邊長(zhǎng)為的等邊的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）秒時(shí)，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或【答案】A【分析】先證明，，由時(shí)間相同，速度相等，證明，可得，利用全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度都是，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴在、運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不變，，∵，∴不可能是直角，∴只能是是直角，當(dāng)是直角，即，∵，∴，∴，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)，是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明．3．（2023春·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊上勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為，，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

（1）當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，為直角三角形．【答案】2或【分析】（1）先求出，；則當(dāng)為等腰三角形，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到，由此建立方程進(jìn)行求解；（2）當(dāng)為直角三角形可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵在中，，，，∴，，∵，，∴，∴，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，由于，則為等邊三角形，∴，∴，解得，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，解得；當(dāng)時(shí)，則，∴，則，解得；故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則的度數(shù)可以是．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再分兩種情況：；；進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵平分，∴，當(dāng)時(shí)，，則：；當(dāng)時(shí)，．故的度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線，注意分類(lèi)思想的應(yīng)用．5．（2022秋·四川瀘州·八年級(jí)四川省瀘縣第四中學(xué)校考期末）如圖1，已知等邊邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P、Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為．連接交于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)連接，何時(shí)是直角三角形？(3)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線上運(yùn)動(dòng)，直線交于點(diǎn)M，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到第秒或第秒時(shí)，為直角三角形(3)120°【分析】（1）由證明即可；（2）分和兩種情況，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出方程，求解即可；（3）證，得，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在等邊中，∵，又∵點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，∴，∴．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則①當(dāng)時(shí)，∵，∴．∴，即，解得；②當(dāng)時(shí)，∵，∴．∴，即，解得；∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到第秒或第秒時(shí)，為直角三角形．（3）∵在等邊中，，∴，∵點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，∴，∴，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及分類(lèi)討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2019秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）閱讀材料：

如圖①，在中，，若，則有；利用以上結(jié)論解決問(wèn)題：如圖②，等邊的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空：______（度）；t的取值范圍是_____；(2)試求當(dāng)t取何值時(shí)，的形狀是等邊三角形；(3)試求當(dāng)t取何值時(shí)，的形狀是直角三角形．【答案】(1)(2)(3)t的值為4或10【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)即可得的度數(shù)；動(dòng)點(diǎn)Q的速度大于動(dòng)點(diǎn)P的速度，所以動(dòng)點(diǎn)Q先于動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)，由點(diǎn)Q的速度及運(yùn)動(dòng)距離即可求得其到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間，從而確定t的范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的形狀是等邊三角形，據(jù)此求出此時(shí)t的值即可；（3）分兩種情況：時(shí)；時(shí)，由此建立方程即可求得t的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，；∵動(dòng)點(diǎn)Q的速度大于動(dòng)點(diǎn)P的速度，∴動(dòng)點(diǎn)Q先于動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為：（秒）∴t的范圍為：；故答案為：；（2）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，的形狀是等邊三角形，由題意：，∴；∴，解得：，即當(dāng)t為秒時(shí)，的形狀是等邊三角形；（3）解：當(dāng)或時(shí)，∵，∴由題目材料結(jié)論知，的形狀是直角三角形；①當(dāng)時(shí)，即，得：；②時(shí)，即，得：；綜上，當(dāng)t的值為4或10時(shí)，的形狀是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解一元一次方程等知識(shí)，掌握它們是關(guān)鍵．在解答（3）小題時(shí)注意運(yùn)用題中材料的結(jié)論．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】題型一等腰三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形底角的度數(shù)為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】在等腰中，為腰上的高，，討論：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出．【詳解】解：在等腰中，為腰上的高，，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵為高，∴，∴，∵，∴；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，∵為高，∴，∴，∵，∴，而，∴，綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，是等腰三角形，，，BP平分；點(diǎn)D是射線BP上一點(diǎn)，如果點(diǎn)D滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是（

）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°【答案】D【分析】由于中，腰底不確定，故需要分情況討論，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖所示，，，，平分，，，，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，，，平分，，，．當(dāng)時(shí)，如圖所示，，，，平分，，，，故的度數(shù)是：、或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論的思想求解，本題屬于中等題型．3．（2021秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若以的一邊為邊畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)也在的其他邊上，則這樣的等腰三角形最多能畫(huà)出（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】先以Rt△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為圓心，再以每個(gè)頂點(diǎn)所在的較短邊為半徑畫(huà)弧，即可確定等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，也可以作三邊的垂直平分線確定等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)．【詳解】解：如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連接，則△ACD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)F，連接，CF則△BCD、△BCF是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則△BCD是等腰三角形；如圖，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，△ACD是等腰三角形，∴符合題意的等腰三角形最多能畫(huà)個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定的應(yīng)用，通過(guò)作垂直平分線或者畫(huà)弧的方法確定相等的邊是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·河南三門(mén)峽·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰三角形中，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，，若點(diǎn)P是等腰三角形的腰上的一點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是______．【答案】或【分析】過(guò)D作，，易證，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵點(diǎn)P是等腰的腰上的一點(diǎn)，，D為的中點(diǎn)，∴，過(guò)D作，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故答案為：或，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成12和9兩部分，則腰長(zhǎng)為_(kāi)__．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】8或640°或100°或140°【分析】（1）等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩部分，但已知沒(méi)有明確等腰三角形被中線分成的兩部分的長(zhǎng)，哪個(gè)是12，哪個(gè)是9，因此，有兩種情況，分類(lèi)討論求解即可．（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A，再分點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)兩種情況求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB=AC=2x，∵BD是腰上的中線∴AD=DC=x①若AB+AD的長(zhǎng)為12，則2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的長(zhǎng)為9，則2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案為：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，①如圖1，點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，頂角為∠A，是40°；②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)時(shí)，頂角∠BCA=180°-40°×2=100°，③如圖3，點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，頂角∠BAC=180°-40°=140°，綜上所述，等腰△ABC的頂角的度數(shù)為40°或100°或140°．故答案為：40°或100°或140°．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．6．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“好線”；如果兩條線段將一個(gè)三角形分割成3個(gè)小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的“好好線”．（1）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，則_____度；（2）在中，和是的“好好線”，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上，且，，則的度數(shù)為_(kāi)___________．【答案】或．【分析】（1）利用等邊對(duì)等角得到三對(duì)角相等，設(shè)，表示出與，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出的度數(shù)；（2）設(shè)，①當(dāng)時(shí)，利用三角形外角的性質(zhì)得到，解得，②當(dāng)時(shí)，利用三角形內(nèi)角和定理得到，解得．【詳解】解：（1），，，，，設(shè)，則，，即，解得，則，故答案為：；（2）設(shè)，①當(dāng)時(shí)，如圖：，；②當(dāng)時(shí)，如圖：，，所以的度數(shù)為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在中，，，，在直線BC上取一點(diǎn)P使得是等腰三角形，則可以考慮點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上和______上的情況；當(dāng)點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，等腰三角形PAB的腰長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】線段BC；2【分析】分P在線段BC上和線段的延長(zhǎng)線上，按照等腰三角形的邊兩兩相等分三種情況分析即可求解．【詳解】解：可以考慮點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上和線段BC上的情況，如圖，∵由題意可得：在直線BC上取一點(diǎn)P∴當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，等腰三角形，點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線時(shí)，等腰三角形，=2等腰三角形，=2點(diǎn)P在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)等腰三角形，=2∴當(dāng)點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，等腰三角形PAB的腰長(zhǎng)為2故答案為∶線段BC；2；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，平分；點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，如果點(diǎn)滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)是____．

【答案】40°、70°或100°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)BC=BD時(shí)，③當(dāng)BC=DC時(shí)，三種情況討論繼續(xù)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∴,∵BP平分，∴,①當(dāng),即D點(diǎn)在D1處時(shí)，此時(shí)；②當(dāng)BC=BD時(shí)，即D點(diǎn)在D2處時(shí)，此時(shí)，③當(dāng)BC=DC時(shí)，即D點(diǎn)在D3處時(shí)，此時(shí),綜上所述的度數(shù)是40°、70°或100°，故答案為：40°、70°或100°．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理．能根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等，用其中一個(gè)角求出另外兩個(gè)角是解題關(guān)鍵．注意分類(lèi)討論．9．（2022秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）很多三角形過(guò)它一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．由此，請(qǐng)你探究如下幾個(gè)問(wèn)題．（1）如圖1，在中，，，，直線交于D，求證：與都為等腰三角形；（2）請(qǐng)你在圖2、圖3中，分別過(guò)一個(gè)你認(rèn)為合適的三角形頂點(diǎn)畫(huà)出一條直線，把它們各自分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所得小等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)（不證明）；（3）在（1）、（2）中，都是將一個(gè)等腰三角形，分成兩個(gè)小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成兩個(gè)小等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)符合上述條件且6個(gè)內(nèi)角度數(shù)均不同的兩個(gè)三角形，并且分別過(guò)一頂點(diǎn)畫(huà)一直線分成兩個(gè)小等腰三角形；同時(shí)標(biāo)出所得小等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)（不證明）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解．【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，，易得∠C=72°，∠1=∠2=36°，那么∠BDC=72°，則可得AD=BD=CB，因此△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個(gè)小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）只要所給的三個(gè)角中有2個(gè)角是2倍關(guān)系都可得到等腰三角形．【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD與△BDC都是等腰三角形；（2）解：如下圖所示：（3）解：如下圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；注意應(yīng)根據(jù)題中所給的范例用類(lèi)比的方法推測(cè)出把一般三角形分為兩個(gè)等腰三角形的一般結(jié)論．10．（2023春·上海長(zhǎng)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)代別在上，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．

(1)如圖1，是底邊上的中線，且，①試說(shuō)明的理由；②如果為等腰三角形，求的度數(shù)：(2)如圖2，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．如果，，試說(shuō)明的理由．【答案】(1)①說(shuō)明理由見(jiàn)解析；②減45°(2)說(shuō)明理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，利用ASA證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得解；②要使為等腰三角形，只有，所以，得，然后分情況討論：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．（2）證明，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：①∵，∴，在與中，∴，∴，∵是底邊上的中線，∴，∴．②根據(jù)題意可知：要使為等腰三角形，只有，∴，∴，∵，是底邊上的中線，∴，設(shè)，則，∵，所以，顯出，在中，，∴，∴，，①當(dāng)時(shí)，，．②當(dāng)時(shí)，，．綜上，減45°．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．11．（2023春·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，，現(xiàn)有M、N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊？（提示：有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形）(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以為底邊的等腰？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)M、N運(yùn)動(dòng)12秒后，M、N兩點(diǎn)重合(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊(3)存在，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，根據(jù)題意，列出方程，解方程求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊．則，，因?yàn)槭堑冗吶切危?，即，求解即可；?）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒，是等腰三角形，所以，，由，得，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合．根據(jù)題意，得，解得．即M、N運(yùn)動(dòng)12秒后，M、N兩點(diǎn)重合．（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊．根據(jù)題意，得，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，解得，所以點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在以為底邊的等腰．由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，且恰好在頂點(diǎn)C處．如圖，假設(shè)是等腰三角形，所以，所以，所以，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以．在和中，因?yàn)?，，，所以，所以．設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒，是等腰三角形，

所以，，由，得，解得．故假設(shè)成立．所以當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在以為底邊的等腰，此時(shí)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合問(wèn)題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論．12．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交射線于點(diǎn)F．（友情提示：翻折前后的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等）

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖2，若，，是否存在這樣的x的值，使得是以為腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)存在，或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理證明；（2）根據(jù)，求得，然后分、兩種情況，列方程解答即可；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，由翻折可知：，∴，，①當(dāng)時(shí)，，解得：，②當(dāng)時(shí)，，解得，，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，是以為腰的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，掌握三角形內(nèi)角和等于、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，．

(1)如圖1，試說(shuō)明的理由；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．①試說(shuō)明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①見(jiàn)解析；②當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)等腰三角形的判定即可證明；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和可推得，設(shè)，則，推得，，即可得到；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，，推得，，即可求得；當(dāng)時(shí)，，推得，即可求得；當(dāng)時(shí)，，，故不存在．【詳解】（1）∵，∴，∵，，∵，∴，∴，∴．（2）①∵，∴，∵，∴設(shè)，則．∴．∵，∴，∴．②∵是等腰三角形，∴?。?；ⅱ）；ⅲ），?。┊?dāng)時(shí)，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∵，∴．∴，∴，∴；ⅲ）當(dāng)時(shí)，，∵，∴不存在．綜上所述，當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤绻粋€(gè)三角形被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱(chēng)為這個(gè)三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時(shí)，為的等腰分割線．

(1)如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：是的一條等腰分割線．(2)如圖3，在中，，，，請(qǐng)你用兩種不同的方法完成的等腰分割，并直接寫(xiě)出每種分割之后兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)．(3)在中，為的等腰分割線，且，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角；等腰分割見(jiàn)解析(3)或或【分析】（1）證明，，從而得出結(jié)論；（2）是腰時(shí)，，；是底時(shí)，，，可畫(huà)出圖形；（3）分為，及三種情形，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：是的垂直平分線，，，是等腰三角形，，，，，是等腰三角形，是的一條等腰分割線；（2）解：如圖1，第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．（3）解：如圖2，當(dāng)，時(shí)，，如圖3，當(dāng)，時(shí)，，如圖4，當(dāng)，時(shí)，，綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的分類(lèi)討論問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類(lèi)，畫(huà)出圖形．15．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，以O(shè)C為邊作等邊三角形OCD，連接OD．

(1)求證：；(2)若，，當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或或【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明結(jié)論即可；（2）分、、三種情況，先用表示出三個(gè)角的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，，當(dāng)時(shí)，，則，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∴；當(dāng)時(shí)，，則，∴，綜上，當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想求解是解答的關(guān)鍵．題型二直角三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)訓(xùn)1．（2020秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，點(diǎn)P在邊AC上以1cm/s的速度從點(diǎn)A向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以同樣的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，各自到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，t的值為（

）A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s【答案】D【分析】先根據(jù)時(shí)間和速度確定兩動(dòng)點(diǎn)P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AB的長(zhǎng)，分兩種情況：當(dāng)∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根據(jù)AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得結(jié)論．【詳解】解：由題意得：AP＝BQ＝t，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴AC＝3，∴AB＝2AC＝6，∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，如圖1，∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴6﹣t＝2t，t＝2；②當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，如圖2，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，AP＝2AQ，即t＝2(6﹣t)，t＝4（不符合題意），當(dāng)t＞3時(shí)，P與C重合，則AQ＝＝6﹣t，t＝4.5，綜上，t的值為2s或4.5s；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用時(shí)間和速度表達(dá)出線段的長(zhǎng)度，并熟悉直角三角形的性質(zhì)．2．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┑冗叺倪呴L(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從頂點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且速度都是，則經(jīng)過(guò)______秒后，是直角三角形．【答案】或【分析】根據(jù)題意得出，求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，①若時(shí)，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根據(jù)，得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：由題意得：，∴，∵是等邊三角形，∴，若時(shí)，，∴，即，解得：；若，∴，∴，即，解得：，所以當(dāng)或時(shí)，是直角三角形；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的應(yīng)用，分情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，x的值是______．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①，②，分別作圖利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解出x．【詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖所示，在中，，,②當(dāng)時(shí)，如圖所示，在中，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊三角形中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為_(kāi)_____．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由是直角三角形，分兩種情況討論，由含的直角三角形的性質(zhì)可求的長(zhǎng)．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，，由折疊可得，分兩種情況：①若，∵，∴，則：，又∵∴，∴，∴，②若，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)的運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為/s，點(diǎn)N的速度為2/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)_____秒后，可得到直角三角形．【答案】或或或9【分析】分點(diǎn)N在，，上運(yùn)動(dòng)的三種情況，再分別就和列方程求解可得．【詳解】當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由時(shí)等邊三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當(dāng)或或或9時(shí)，可得到直角三角形．故答案為：或或或9．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合問(wèn)題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的定義與性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)在等邊三角形的邊上（除點(diǎn)外），以為一邊作等邊三角形，頂點(diǎn)、、逆時(shí)針排序．若三角形是直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)度是____________．【答案】1【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定可證，再根據(jù)是直角三角形，以及三角形內(nèi)角和定理可求出，然后再根據(jù)含直角三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴即，∴，∴，，又∵是直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，含角的直角三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是證出．7．（2022秋·北京順義·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)以1cm/s的速度出發(fā)，沿著由的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)的值為_(kāi)_____．【答案】2秒或秒．【分析】先求出的長(zhǎng)，再分時(shí)，時(shí)，利用含的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，而，如圖，∴，∴，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，則，∴當(dāng)時(shí)，如圖，由，，可得，∴，∴，∴，∴綜上所述，t的值為2秒或秒．故答案為：2秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了含的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，清晰的分類(lèi)討論解本題的關(guān)鍵．8．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是，點(diǎn)Q的速度是，當(dāng)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若為直角三角形，則t的值是___________．【答案】或3【分析】用含t的代數(shù)式表示出，，再分和兩種情況，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，列出等式，即可求解．【詳解】解：等邊三角形的邊長(zhǎng)為，，，由題意可知，點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為：，．t秒時(shí)，，，若為直角三角形，分以下兩種情況：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，，綜上可知，t的值是或3．故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，等邊三角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是牢記直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，注意分情況討論，避免漏解．9．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)浙江省蘭溪市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，P點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，（1）當(dāng)______時(shí)，是直角三角形；（2）設(shè)，則滿足______時(shí)，是鈍角三角形．【答案】6或24或【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后分類(lèi)討論，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和鈍角三角形的定義解答．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：6或24；（2）當(dāng)或時(shí)，為鈍角三角形，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱(chēng)這條直線為的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線交于點(diǎn)，且，則直線是的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．如圖，已知，同時(shí)滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)的二分割線，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】或或【分析】根據(jù)關(guān)于點(diǎn)B的二分割線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖2所示：，如圖3所示：，如圖所示：，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地理解“△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線”是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，是等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)，(2)2(3)或3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向和速度可列代數(shù)式；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得：，列等式可得的值；（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，，則，分別求出的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，，故答案為：；（2）是等邊三角形，，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，則，解得：，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；

（3）分兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，，，，則，解得：；

②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，解得：，

由題意得：，當(dāng)或3時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、角的直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，要注意直角三角形分情況討論．12．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的等邊中，動(dòng)點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，．(1)當(dāng)_____時(shí)，是直角三角形；(2)如圖2．若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)_____時(shí)，是直角三角形(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以的速度同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作于E，試問(wèn)線段的長(zhǎng)度是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明如何變化；若不變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度．【答案】(1)3(2)2或4(3)線段長(zhǎng)度不變，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，是直角三角形，據(jù)此求解即可；（2）分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，建立一元一次方程求解即可；（3）過(guò)作，進(jìn)而證明，可得，問(wèn)題得解．【詳解】（1）解：依題意，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，，是等邊三角形，則此時(shí)為的中點(diǎn)，，，故答案為：3；（2）解：依題意，，，①當(dāng)時(shí)，如圖，是等邊三角形，，，，則，在中，，，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得，即，解得；綜上所述，當(dāng)t為或時(shí)，是直角三角形；（3）線段長(zhǎng)度不變，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)F，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，∴，，，，，，的速度相等，，∴，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等邊中，厘米，厘米．如果點(diǎn)以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．(1)如果點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等．經(jīng)過(guò)2秒后，和是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下，當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，是一個(gè)直角三角形？(3)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)25秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是多少厘米/秒？【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒時(shí)，是直角三角形(3)厘米/秒或厘米/秒【分析】（1）分別求出運(yùn)動(dòng)2秒后，的長(zhǎng)，然后利用證明即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示和．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：當(dāng)；當(dāng)；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，有兩種可能：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快；點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快．分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：由題意得，運(yùn)動(dòng)2秒后，厘米，厘米，∴厘米，∵是等邊三角形，∴，又∵厘米，厘米，∴；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是直角三角形有兩種情況：當(dāng)時(shí)，∵，∴∴，∴解得；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴，解得；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒時(shí)，是直角三角形；（3）解：分兩種情況討論：若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度快，則，解得；若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度快，則，解得；綜上所述，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒或厘米/秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用分類(lèi)討論的思想列出方程求解．14．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，和中，，，且，，的延長(zhǎng)線交交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖②，當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)為_(kāi)_______；如圖③，當(dāng)是任意等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與某個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)；【分析】（1）先證明，再根據(jù)即可證明；（2）由，推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；（3）同理證明，推出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，，，∴；（2）解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，設(shè)，交于點(diǎn)，則，∴；（3）解：當(dāng)是直角三角形時(shí)，同理，∴，∵是等腰直角三角形，∴，設(shè)，交于點(diǎn)，則，∴；當(dāng)是任意等腰三角形時(shí)，同理，∴，設(shè)，交于點(diǎn)，則，∴；故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)與方法，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出三角形的兩條邊相等，據(jù)此根據(jù)判定證三角形的全等是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·河南鄭州·