專題22 一次函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）（解析版）

專題22一次函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）【題型目錄】題型一方案分配問題題型二最大利潤問題題型三行程問題題型四幾何問題題型五其他綜合性問題【經(jīng)典例題一方案分配問題】1．（2023春·七年級單元測試）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段，北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調(diào)查得知，2輛A型冷鏈運輸車與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．(1)求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗．(2)計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500盒，且總費用小于54000元，請問有幾種運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？【答案】(1)每輛型車和每輛型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗(2)共有3種方案，當型車6輛，型車6輛，所需費用最少，最少費用是48000元【分析】（1）解：設(shè)每輛型車和每輛型車一次可以分別運輸盒疫苗、盒疫苗，由題意可得，，計算求解即可；（2）設(shè)型車輛，則型車輛，由題意可得，，解得，由為正整數(shù)，可得，即共有三種運輸方案，設(shè)所需費用為元，則，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輛型車和每輛型車一次可以分別運輸盒疫苗、盒疫苗，由題意可得，，解得，答：每輛型車和每輛型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗．（2）解：設(shè)型車輛，則型車輛，由題意可得，，解得，∵為正整數(shù)，∴，∴共有三種運輸方案，設(shè)所需費用為元，則，整理得，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，所需費用最少，此時的費用為（元），∴（輛），答：共有3種方案，當型車6輛，型車6輛，所需費用最少，最少費用是48000元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式、不等式．2．（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）長沙某城建公司共有50臺渣土運輸車，其中甲型20臺，乙型30臺．現(xiàn)將這些渣土運輸車全部配往長株潭城際輕軌建設(shè)的兩工地，其中30臺派往A地，20臺派往B地．兩工地與城建公司商定的每天的租賃價格如下：甲型渣土車租金乙型渣土車租金A地1800元/臺1600元/臺B地1600元/臺1200元/臺(1)設(shè)派往A地x臺甲型渣土運輸車，該城建公司這50臺渣土車一天獲得的租金為y（元），請求出y與x的函數(shù)解析式．(2)若該城建公司這50臺渣土運輸車一天的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案寫出．(3)在（2）條件下，選擇哪種方案該城建公司一天獲得租金最多？最多租金是多少？請說明理由．【答案】(1)（）；(2)3種方案，具體見解析；(3)派往A地乙車30臺；派往B地甲車20臺．租金最高為80000元．【分析】（1）利用甲車共有20臺，A地共有30臺車，得出甲乙發(fā)往A、B兩地的車輛數(shù)量，再根據(jù)價格算出一天租金即可；（2）利用租金限制列出不等式得到發(fā)往A地的甲車數(shù)量范圍，得到發(fā)車方案；（3）根據(jù)函數(shù)y隨x增大的變化情況及x的范圍求出最多租金和其方案即可．【詳解】（1）甲車發(fā)A地x臺，甲車發(fā)B地，乙車發(fā)A地臺，乙車發(fā)B地x臺，，（）；（2）由題意得：，解得，或1或2，故有如下三種方案，第一種：派往A地的甲車0臺，乙車30臺；派往B地的甲車20臺，乙車0臺；第二種：派往A地的甲車1臺，乙車29臺；派往B地的甲車19臺，乙車1臺；第三種：派往A地的甲車2臺，乙車28臺；派往B地的甲車18臺，乙車2臺．（3）（），y隨x的增大而減小，x取最小值0時，租金最多為80000元，此時方案為：派往A地乙車30臺；派往B地甲車20臺．【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用題，根據(jù)題意找到對應(yīng)數(shù)量和價格，根據(jù)一次函數(shù)圖像與性質(zhì)得到符合題意的范圍和方案是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇揚州·?？家荒＃┠呈?，兩個蔬菜基地得知黃崗，兩個災(zāi)民安置點分別急需蔬菜240t和260t的消息后，決定調(diào)運蔬菜支援災(zāi)區(qū)，已知蔬菜基地有蔬菜200t，蔬菜基地有蔬菜300t，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運，兩個災(zāi)區(qū)安置點，從地運往，兩處的費用分別為每噸20元和25元，從地運往，兩處的費用分別為每噸15元和18元．設(shè)從地運往處的蔬菜為噸．（1）請?zhí)顚懴卤?，用含的代?shù)式填空，結(jié)果要化簡：總計/__________________200_________300總計/240260500（2）設(shè)，兩個蔬菜基地的總運費為元，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運費最小的調(diào)運方案；（3）經(jīng)過搶修，從地到處的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少元，其余線路的運費不變，試討論總運費最小的調(diào)動方案．【答案】（1），，；（2）；A→C：200噸，A→D：0噸，B→C：40噸，B→D：260噸；（3）時，在的前提下調(diào)運方案的總費用不變；時，總費用最小，其調(diào)運方案為：A→C：0噸，A→D：200噸，B→C：240噸，B→D：60噸；【分析】（1）根據(jù)題意，從A處調(diào)運到C處的數(shù)量為（240-x）t；從A處調(diào)往D處的數(shù)量為[200-（240-x）]t；則從B調(diào)運到D處的數(shù)量為（300-x）t；（2）根據(jù)調(diào)運總費用等于四種調(diào)運單價乘以對應(yīng)的噸數(shù)的積的和，易得w與x的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)調(diào)運的數(shù)量非負即可不等式組，求得x的范圍，從而可求得總費用的最小的調(diào)運方案；（3）由題意可得w與x的關(guān)系式，根據(jù)x的取值范圍不同而有不同的解，分情況討論：當0<m<2時；當m=2時；當2<m<15時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決．【詳解】（1）填表如下：總計/200300總計/240260500故答案為：，，；（2）與之間的函數(shù)關(guān)系為：由題意得：∴∵在中，∴隨的增大而增大∴當時，總運費最小此時調(diào)運方案為：200噸0噸40噸260噸（3）由題意得即，其中∴，（2）中調(diào)運方案總費用最??；時，在的前提下調(diào)運方案的總費用不變；時，總費用最小，其調(diào)運方案如下：0噸200噸240噸60噸【點睛】本題是一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，具有較強的綜合性與較大的難度．它考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，解一元一次方程組等知識，用到分類討論思想．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）漣水外賣市場競爭激烈，美團、餓了么等公司訂單大量增加，某公司負責(zé)招聘外賣送餐員，具體方案如下：每月不超出750單，每單收入4元；超出750單的部分每單收入m元．（1）若某“外賣小哥”某月送了500單，收入元；（2）若“外賣小哥”每月收入為y（元），每月送單量為x單，y與x之間的關(guān)系如圖所示，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若“外賣小哥”甲和乙在某個月內(nèi)共送單1200單，且甲送單量低于乙送單量，共收入5000元，問：甲、乙送單量各是多少？【答案】（1）2000；（2）y＝5x﹣750；（3）甲送250單，乙送950單【分析】（1）根據(jù)題意可以求得“外賣小哥”某月送了500單的收入情況；（2）分段函數(shù)，運用待定系數(shù)法解答即可；（3）根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以求得甲、乙送單量各是多少．【詳解】解：（1）由題意可得，“外賣小哥”某月送了500單，收入為：4×500＝2000元，故答案為：2000；（2）當0≤x＜750時，y＝4x當x≥750時，當x＝4時，y＝3000設(shè)y＝kx+b，根據(jù)題意得，解得，∴y＝5x﹣750；（3）設(shè)甲送a單，則a＜600＜750，則乙送（1200﹣a）單，若1200﹣a＜750，則4a+4（1200﹣a）＝4800≠5000，不合題意，∴1200﹣a＞750，∴4a+5（1200﹣a）﹣750＝5000，∴a＝250，1200﹣a＝950，故甲送250單，乙送950單．【點睛】本題考查的知識點是一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組，從函數(shù)圖象中找出有用的信息是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二最大利潤問題】5．（2023春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）某商場準備購進甲乙兩種服裝進行銷售．甲種服裝每件進價160元，售價220元；乙種服裝每件進價120元，售價160元．現(xiàn)計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于60件．設(shè)購進甲種服裝x件，兩種服裝全部售完，商場獲利y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購進100件服裝的總費用不超過15000元，求最大利潤為多少元？(3)在（2）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝每件進價減少b元，售價不變，且，若最大利潤為4950元，求a的值．【答案】(1)(2)當時，y最大為5500元(3)【分析】（1）設(shè)購進甲種服裝x件，則購進乙種服裝件，然后根據(jù)進價、售價和利潤之間的關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)不等關(guān)系“購進100件服裝的總費用不超過15000元”和“甲種服裝不少于60件”列不等式組求得x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可解答；（3）由題意可得：，再由題意可得，根據(jù)然后分和兩種情況分別y最大值，再根據(jù)最大利潤為4950元，列出關(guān)于a的方程分別求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購進甲種服裝x件，則購進乙種服裝件，由題意得：，（2）解：由題意得：，∴，∵中，，∴y隨x的增大而增大，∴當時，y最大（元）．（3）解：∵，∴，由題意得：．∵，，∴①當，即時，∴y隨x的增大而增大，∴當時，y最大，∴，符合題意．當時，，不合題意．②當時，即，y隨x的增大而減小．∴當時，y最大，∴，不合題意，舍去．綜上，．【點睛】本題主要考查了列一次函數(shù)關(guān)系式、一次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的增減性等知識點，根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如表所示：進貨批次甲種水果（單位：千克）乙種水果（單位：千克）總費用（單位：元）第一次80502500第二次40702420(1)求甲、乙兩種水果的進價；(2)第一次和第二次購進的水果全部售完后，第三次又購進甲、乙兩種水果共150千克，購買的資金不超過3240元；①求購進的甲種水果至少為多少千克？②第三次購進的甲、乙兩種水果的售價分別為22元/千克、35元/千克．由于失水和腐爛，甲種水果減少了千克，乙種水果減少了千克．若第三次購進的水果全部售出后，獲得的最大利潤為1134元，則常數(shù)的值為______．【答案】(1)甲種水果的進價是15元，乙種水果的進價是26元(2)①至少為；②【分析】（1）設(shè)甲種水果的進價為每千克元，乙種水果的進價為每千克元，列出方程組求解即可；（2）①設(shè)購進的甲種水果為，則有：，即可求解；②利潤為，值最小時，利潤最大，從而得解．【詳解】（1）解：設(shè)甲種水果的進價是每千克元，乙種水果的進價是每千克元．由題意得：，解得：，答：甲種水果的進價是15元，乙種水果的進價是26元．（2）①設(shè)購進的甲種水果為，則有：，解得，答：購進的甲種水果至少為．②設(shè)利潤為元，，整理得：，所以，當時，最大為1134；即：，解得：，所以的值為．【點睛】本題考查了二元一次方程組及不等式的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程或不等式解決問題．7．（2022·江蘇無錫·校考二模）某運動器械廠根據(jù)市場需求，計劃生產(chǎn)A、B兩種型號的按摩椅，其部分信息如下：A、B兩種型號的按摩椅共生產(chǎn)40臺，現(xiàn)已知A、B兩種按摩椅的生產(chǎn)成本和售價如表：型號成本（萬元/臺）售價（萬元/臺）A22.4B2.53根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)若該公司銷售完兩種型號按摩椅恰好獲利18.8萬元，則該公司分別生產(chǎn)A、B種型號按摩椅各多少臺？(2)據(jù)市場調(diào)查，每臺A型按摩椅的售價將會提高a萬元（），每臺B型按摩椅售價不會改變，現(xiàn)受資金影響，該公司生產(chǎn)A型按摩椅不超過20臺但是不少于18臺，則該公司應(yīng)如何生產(chǎn)才可以獲得最大利潤？【答案】(1)生產(chǎn)A種型號按摩椅為12臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅28臺(2)，生產(chǎn)A型按摩椅18臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅22臺，才可以獲得最大利潤；，三種方案獲利相同，都為20萬元；，生產(chǎn)A型按摩椅20臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅20臺，才可以獲得最大利潤【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號按摩椅為m臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅臺，根據(jù)獲利18.8萬元列一元一次方程解答；（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅x臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅臺，生產(chǎn)利潤為y元，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，且，根據(jù)a的取值范圍及函數(shù)的增減性解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)A種型號按摩椅為m臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅臺，解得，∴，答：生產(chǎn)A種型號按摩椅為12臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅28臺；（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅x臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅臺，生產(chǎn)利潤為y元，，∵，且x為正整數(shù)，∴共有三種方案：生產(chǎn)A種型號按摩椅為18臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅22臺，生產(chǎn)A種型號按摩椅為19臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅21臺，生產(chǎn)A種型號按摩椅為20臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅20臺，當時，，即，∴y隨x的增大而減小，∴當時，y最大，即生產(chǎn)A型按摩椅18臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅22臺，才可以獲得最大利潤；當時，，即三種方案獲利相同，都為20萬元；當時，，即，∴y隨x的增大而增大，∴當時，y最大，即生產(chǎn)A型按摩椅20臺，則生產(chǎn)B種型號按摩椅20臺，才可以獲得最大利潤．【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列得方程及函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進價為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/kg和18元/kg．(1)求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額一成本），請求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計出獲得最大利潤的進貨方案；(3)為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．【答案】(1)．(2)；當購進甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為24000元．(3)的最大值為．【分析】（1）分當時，當時，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可知，分當時，當時，分別列出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知，降價后，與的關(guān)系式，并根據(jù)利潤不低于15000，可得出的取值范圍．【詳解】（1）當時，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，；當時，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，．．（2）根據(jù)題意可知，購進甲種產(chǎn)品千克，，當時，，，當時，的最大值為；當時，，，當時，的最大值為（元，綜上，；當購進甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為24000元．（3）根據(jù)題意可知，降價后，，當時，取得最大值，，解得．的最大值為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式．【經(jīng)典例題三行程問題】9．（2023·江蘇鹽城·?？级＃〢、B兩地相距，甲車從A地駛往B地，乙車從B地以的速度勻速駛往A地，乙車比甲車晚出發(fā)．設(shè)甲車行駛的時間為x（），甲、乙兩車離A地的距離分別為，圖中線段表示與x的函數(shù)關(guān)系．

(1)若兩車同時到達目的地．①a的值為．②在圖中畫出與x（）的函數(shù)圖像；(2)若甲、乙兩車在距A地至之間的某處相遇，求a的取值范圍．【答案】(1)①，②圖見解析(2)【分析】（1）①乙車從B地以的速度勻速駛往A地，兩車同時到達目的地,求出乙車行駛時間為，則，即可得到乙車比甲車晚出發(fā)，即，②根據(jù)①中數(shù)據(jù)即可畫出圖象；（2）求得，，由得，當時，，則，解不等式即可得答案．【詳解】（1）解：①∵乙車從B地以的速度勻速駛往A地，兩車同時到達目的地，∴乙車行駛時間為，∵，∴乙車比甲車晚出發(fā)，即，故答案為：②圖象如下：

（2）解：根據(jù)題意得：甲的速度為，∴，，由得：，當時，，∵甲、乙兩車在距A地至之間的某處相遇，∴，解得，∴a的范圍是．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．10．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，A，B兩地相距，在A，B之間有汽車站C站，客車由A地駛向C站、貨車由B地駛向A地，兩車同時出發(fā)，勻速相向行駛，圖2是客車、貨車離C站的路程y、y（單位：）與行駛時間x（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．

(1)客車的速度為______：貨車的速度為______：(2)求兩小時后，貨車離C站的路程與行駛時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求圖2中點E的坐標．【答案】(1)60，45(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意并結(jié)合圖象可知，貨車從地駛向站花費了2小時，行駛了，根據(jù)“速度路程時間”即可求出貨車的速度；再算出地與站的距離，由圖象可知客車從地駛向站花費了9小時，根據(jù)“速度路程時間”即可求出客車的速度；（2）根據(jù)“路程速度時間”即可求解；（3）根據(jù)待定系數(shù)法先求出關(guān)于的函數(shù)解析式，再聯(lián)立（2）所求的函數(shù)關(guān)系式，求解即可．【詳解】（1）解：由圖象可得：貨車從地駛向站花費了2小時，行駛了，則貨車的速度為，地與站的距離為，客車的速度為；故答案為：60，45；（2）由（1）知，貨車的速度為，2小時后貨車的行駛時間為小時，；（3）設(shè)，因為，在的函數(shù)圖象上，，解得：，，聯(lián)立得：，解得：，點的坐標為．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵聯(lián)立兩函數(shù)解析式得出方程組，求得點的坐標．11．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動課上：學(xué)?？萍夹〗M進行機器人行走性能試驗，在試驗場地一條筆直的賽道上有A，B，C三個站點，A，B兩站點之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個機器人分別從A，B兩站點同時出發(fā)，向終點C行走，乙機器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機器人距離C站點的距離y（米）出發(fā)時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在時，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時的速度．①圖2中m的值為___________．②請求出在時，甲、乙兩機器人之間的距離為60米時時間t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機器人9分鐘走完了450米，據(jù)此可求得乙機器人行走的速度；（2）①先求得甲機器人行走的總路程540米，再分段求得甲機器人行走的路程，根據(jù)速度、時間、路程的關(guān)系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運動，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運動那一刻為分界點．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形知乙機器人9分鐘走完了450米，∴乙機器人行走的速度為(米/分)；故答案為：50．（2）①設(shè)甲機器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：，解得，甲機器人行走的總路程為：(米)，甲機器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：(米)，時，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案為：．②∵6分鐘后甲機器人的速度又恢復(fù)為原來出發(fā)時的速度，∴6分鐘后甲機器人的速度是80米/分，當時，甲乙兩機器人的距離為：（米），當甲到達終點C時，（分），乙到達終點C時，（分）當時，當時，當時，，解得解得甲、乙兩機器人之間的距離為60米時時間的值為7或【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2021秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）小明從A地勻速前往B地，同時小亮從B地勻速前往A地，如圖表示兩人距B地的路程y（m）與行駛時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系．馬小虎審題不清，將“兩人距B地的路程y”看成了“兩人距A地的路程y”，由此得到小明的速度為100m/min（1）A地與B地的距離為m，a＝m，b＝min，小明的速度為m/min；（2）求當0≤x≤60時，兩人的距離s（m）與x的函數(shù)表達式，并在圖2中畫出圖像；（3）當兩人之間的距離不大于2000m時，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）4500，1500，30，150；（2），見解析；（3）10≤x≤35．【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象仔細分析題目中的運動狀態(tài)，則可得A地與B地的距離為4500m，再根據(jù)馬小虎的信息可知a的值，并利用a的值求出b，即可求得小明到達B地的時間，利用速度公式即可得出小明的實際速度；（2）根據(jù)題目中已知的兩人的運動狀態(tài)，則可將0≤x≤60分成四個時間段，分別根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系，求出兩人的距離s（m）與x的函數(shù)表達式，再根據(jù)各段的時間與距離的關(guān)鍵點，畫出函數(shù)圖象；（3）由（2）中所得的函數(shù)圖象可知，在兩個時間段內(nèi)兩人之間的距離不大于2000m，則分別利用這兩個時間段內(nèi)已求得的函數(shù)關(guān)系式進行計算，即可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）A地與B地的距離為4500m，小明在A地，且速度為100m/min，∴a＝100×15＝1500m，（4500－1500）÷100＝30minb＝60-30＝30min，則小明的實際速度為4500÷30＝150m/min．故答案為：4500，1500，30，150；（2）①當時，；②當時，；③當時，；④當時，；圖象如圖所示：（3）根據(jù)（2）中函數(shù)圖象可得：當與時，兩人之間的距離不大于2000m，∴將s＝2000代入得：x＝10，將s＝2000代入得：x＝35，則當兩人之間的距離不大于2000m時，10≤x≤35．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能利用圖象獲取信息解決問題．【經(jīng)典例題四幾何問題】13．（2023春·江蘇淮安·八年級校考階段練習(xí)）如圖1，平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸正半軸于點B，直線交y軸負半軸于點C，且．

(1)求線段的長度．(2)P為線段（不含A，B兩點）上一動點，如圖2，過點P作y軸的平行線交線段于點Q，記四邊形的面積為S，點P的橫坐標為t，當時，求t的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線交x軸于點A，求出m的值，可得出，，，根據(jù)可得，再根據(jù)勾股定理求出即可．（2）設(shè)點P，求出直線表達式為，由于P在直線上，可得，根據(jù)四邊形APOQ面積等于與面積之和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：把A代入得：，一次函數(shù)表達式為，當時，，，在中，由勾股定理得：，，，在中，由勾股定理得：．（2）解：設(shè)點P的橫坐標為t，P為線段（不含A，B兩點）上一動點，，，設(shè)解析式為，把AC代入：，解得，，軸，則，，，當時，，解得：．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點的坐標特征及勾股定理等知識，熟練掌握坐標與圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一次函數(shù)（k為常數(shù)，）．(1)不論k為何值，該函數(shù)圖像都經(jīng)過一個定點，這個定點的坐標為___________；(2)若該函數(shù)的圖像與坐標軸所圍成的三角形的面積為3，求k的值，(3)若該函數(shù)的圖像與坐標軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個橫、縱坐標均為整數(shù)的點，結(jié)合圖像，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）當時，，即可得到定點的坐標；（2）求出與坐標軸的交點坐標，利用函數(shù)的圖像與坐標軸所圍成的三角形的面積為3，進行求解即可；（3）分和兩種情況進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴當時，，∴不論k為何值，該函數(shù)圖像都經(jīng)過一個定點，這個定點的坐標為；故答案為：．（2）解：當時，．∴與坐標軸的交點坐標為：；由題意得：．解得．（3）解：當時，，當時，∵該函數(shù)的圖像與坐標軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個橫、縱坐標均為整數(shù)的點，∴該點只能是，如圖：∴的函數(shù)值在和之間，且函數(shù)值可以等于，即：；當時，∵該函數(shù)的圖像與坐標軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個橫、縱坐標均為整數(shù)的點，∴該點只能是，如圖：∴的函數(shù)值在和之間，且函數(shù)值可以等于，即：；綜上：或．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解．15．（2023春·江蘇泰州·八年級校考期中）如圖，平面直角坐標系中，已知點在y軸正半軸上，點，點在x軸正半軸上，且．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，過點B的直線與成夾角，試求該直線與的交點的橫坐標；(3)如圖3，當時，點D在的延長線上，且，連接，射線交于點E．當點B在y軸負半軸上運動時，的度數(shù)是否為定值？如果是，請求出的度數(shù)；如果不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)或(3)定值，【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解得出，進而得出，即可得證；（2）作K字型全等，進而得出結(jié)論；（3）作于D，取，連接接，證明，得出是等腰直角三角形，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，則，即可求解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）設(shè)直線，∵，∴，∴，∴，∴將點代入，，解得，∴直線；過點B作直線與直線，使得與直線夾角為，

設(shè)點，過點P作軸，過點Q作軸，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，∴，，∴，∵Q在直線上，∴代入得，∴，∴，∴直線與的交點的橫坐標為或（3）的度數(shù)為定值，．理由：作于D，取，連接接，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴可由平移所得，∴，∴，∴【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標與圖形，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？计谀┤鐖D，已知函數(shù)的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，并且與x軸以及的圖象分別交于點C、D，點D的橫坐標為1．

(1)求函數(shù)表達式;(2)在y軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形，如果存在，求出點P坐標；如果不存在，說明理由；【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）根據(jù)點D在直線上，點D的橫坐標為1即可求得點D的坐標，用待定系數(shù)法求得直線的解析式；（2）分三種情況討論：①當時，②當時，③當時分別求解即可．【詳解】（1）解：∵點D在直線上，點D的橫坐標為1，∴，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，∴，解得，∴一次函數(shù)；（2）解：如圖，①當B為頂點時，時，∵，∴，或，則或，

②如圖，當D為頂點時，時，設(shè)，∵、，過點D作軸于點E，則，，∵，∴，∴，∴，

③當點P為頂點時，，設(shè)，∵，，，解得，∴，綜上所述，點P的坐標為或或或．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點問題、等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運用．【經(jīng)典例題五其他綜合性問題】17．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載，浮箭漏（圖①）出現(xiàn)于漢武帝時期，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計算時間，某學(xué)校STEAM小組仿制了一套浮箭漏，并從函數(shù)角度進行了如下實驗探究：（實驗觀察）實驗小組通過觀察，每2小時記錄一次箭尺讀數(shù)，得到下表：供水時間x（小時）02468箭尺讀數(shù)y（厘米）618304254

(1)（探索發(fā)現(xiàn)）：若以供水時間x為橫軸，箭尺讀數(shù)y為縱軸，建立平面直角坐標系，描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標的各點，試判斷這些點是否在同一條直線上．如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；如果不在同一條直線上，說明理由．(2)（結(jié)論應(yīng)用）應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：供水時間達到12小時時，箭尺的讀數(shù)為多少厘米？(3)如果本次實驗記錄的開始時間是上午8：00，那么當箭尺讀數(shù)為90厘米時是幾點鐘？【答案】(1)圖象見解析；(2)供水時間達到12小時時，箭尺的讀數(shù)為78厘米(3)當箭尺讀數(shù)為90厘米時是22點鐘【分析】（1）在平面直角坐標系中描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標的各點即可；觀察上述各點的分布規(guī)律，可知它們在同一條直線上，設(shè)這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：利用前面求得的函數(shù)表達式求出時，y的值即可得出箭尺的讀數(shù)；（3）利用前面求得的函數(shù)表達式求出時，x的值，由本次實驗記錄的開始時間是上午，即可求解．【詳解】（1）如圖，

觀察上述各點的分布規(guī)律，可知它們在同一條直線上，設(shè)這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為，把代入，得：，解得：，∴；（2）時，，∴供水時間達到12小時時，箭尺的讀數(shù)為78厘米；（3）時，，解得：，∴供水時間為14小時，∵本次實驗記錄的開始時間是上午8：00，，∴當箭尺讀數(shù)為90厘米時是22點鐘．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用了待定系數(shù)法求解析式，利用函數(shù)值求自變量的值．18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和城市交通的多樣化，人們出行方式、時間有了更多的選擇，我市有類快車、類快車等網(wǎng)約車，收費標準如下．類快車：起步價8.5元，超過3.5千米的部分2元/千米，時長費：0.4元/分鐘（類快車行駛的平均速度為40千米/時）類快車：起步價8元，超過3千米的部分1.8元/千米（函數(shù)圖像如下圖所示）．

(1)圖中______，______；(2)若乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，則類快車的費用是______元；當里程數(shù)超過3.5千米時，求快車的費用（元）與行駛路程x（千米）之間的函數(shù)表達式；(3)求與x之間的函數(shù)表達式；(4)若從甲地到乙地有5千米，你將選擇哪種網(wǎng)約車？為什么？【答案】(1)8，3(2)27.5；(3)(4)選擇類快車【分析】（1）根據(jù)類快車：起步價8元，超過3千米的部分1.8元/千米即可得到答案；（2）先求出乘坐類快車的里程數(shù)是10千米所花費的時間，再根據(jù)有理數(shù)的乘法進行計算即可；直接根據(jù)類快車的收費標準進行計算即可得到答案；（3）分和，直接根據(jù)類快車的收費標準進行計算即可得到答案；（4）當時，分別求出、的值，進行比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，故答案為：8，3；（2）解：根據(jù)題意可得：乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，花費的時間為：（小時），乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，則類快車的費用是：（元），故答案為：27.5，快車的費用（元）與行駛路程x（千米）之間的函數(shù)表達式為：，；（3）解：當時，，當時，，與x之間的函數(shù)表達式為：；（4）解：從甲地到乙地有5千米，當時，，，，選擇類快車．【點睛】本題主要考查了函數(shù)與圖象、一次函數(shù)的應(yīng)用、求一次函數(shù)的解析式，讀懂題意，正確得到、與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）我縣安徒生童話樂園門票價格如圖所示，甲、乙兩校，計劃在“國慶”黃金周期間組織員工及家屬到該景點游玩．兩校組織游玩人數(shù)之和為90人，乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，設(shè)甲校組織游玩人數(shù)為x人．如果甲、乙兩校分別購買門票，兩校門票款之和為W元．

(1)求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍：(2)若甲校人數(shù)不超過80人，請說明甲、乙兩校聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約多少錢？(3)“國慶”黃金周之后，該風(fēng)景區(qū)對門票價格作了如下調(diào)整：人數(shù)不超過40人時，門票價格不變；人數(shù)超過40人但不超過80人時，每張門票降價a元；人數(shù)超過80人時，每張門票降價元，在（2）的條件下，若甲、乙兩?！皣鴳c”黃金周之后去游玩，最多可節(jié)約3500元，求a的值．【答案】(1)；(2)2200元(3)【分析】（1）根據(jù)乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，討論x取值范圍，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）討論y的最大值與聯(lián)合購票費用相減即可求解；（3）再（2）基礎(chǔ)上購票單價減去a元，求解購票最大費用，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲校組織游玩人數(shù)為x人，則設(shè)乙校組織游玩人數(shù)為人，∵乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，∴，解得，即，當時，；當時，；（2）解：∵甲校人數(shù)不超過80人，∴，又，∴當時，W有最大值8500，甲、乙兩校聯(lián)合購票費用為元，（元），答：甲、乙兩校聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約2200元；（3）解：在（2）條件下，每張門票降價a元,則，又，∴當時，W有最大值，調(diào)價后甲、乙兩校聯(lián)合購票費用為，由題意得，解得．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一次函數(shù)關(guān)系式，并會利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解最值是解答的關(guān)鍵．20．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）某動力科學(xué)研究院實驗基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設(shè)時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數(shù)關(guān)系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應(yīng)的的兩個值互為相反數(shù)；滑塊從點出發(fā)到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據(jù)所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點到點的滑動過程中，的值________________；（填“由負到正”或“由正到負”）(2)滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數(shù)表達式；(3)在整個往返過程中，若，求的值．【答案】(1)由負到正(2)(3)當或時，【分析】（1）根據(jù)等式，結(jié)合題意，即可求解；（2）設(shè)軌道的長為，根據(jù)已知條件得出，則，根據(jù)當和時，與之對應(yīng)的的兩個值互為相反數(shù)；則時，，得出，繼而求得滑塊返回的速度為，得出，代入，即可求解；（3）當時，有兩種情況，由（2）可得，①當時，②當時，分別令，進而即可求解．【詳解】（1）∵，當滑塊在點時，，，當滑塊在點時，，，∴的值由負到正．故答案為：由負到正．（2）解：設(shè)軌道的長為，當滑塊從左向右滑動時，∵，∴，∴∴是的一次函數(shù)，∵當和時，與之對應(yīng)的的兩個值互為相反數(shù)；∴當時，，∴，∴，∴滑塊從點到點所用的時間為，∵整個過程總用時（含停頓時間）．當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，∴滑塊從點到點的滑動時間為，∴滑塊返回的速度為，∴當時，，∴，∴，∴與的函數(shù)表達式為；（3）當時，有兩種情況，由（2）可得，①當時，，解得：；②當時，，解得：，綜上所述，當或時，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分析得出，并求得往返過程中的解析式是解題的關(guān)鍵．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）甲乙兩人在直線跑道上同起點、同終點，同方向勻速跑步米，先到終點的人原地休息，已知甲先出發(fā)秒．在跑步過程中，甲、乙兩人之間的距離（米）與乙出發(fā)的時間（秒）之間的關(guān)系如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③，其中錯誤的是（

）A．② B．①② C．②③ D．①②③【答案】A【分析】先求出甲的速度和乙的速度，再根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求得、、的值，即可解答本題．【詳解】解：甲先出發(fā)秒，相距米，甲的速度為（米秒），秒時乙開始休息，乙的速度為（米秒），，故②錯誤；秒后，甲乙相遇，，解得，故①正確；，故③正確，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023春·河南商丘·八年級校聯(lián)考期末）如圖，直線分別與軸、軸交于點和點，直線分別與軸、軸交于點和點，點是內(nèi)部（包括邊上）的一點，則的最大值與最小值之差為（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】由于的縱坐標為2，故點在直線上，由圖像可知，當為直線與直線的交點時，取最大值；當為直線與直線的交點時，取最小值，故可求得答案．【詳解】解∵點是內(nèi)部（包括邊上）的一點，故點在直線上，如圖所示，

由圖像可知，當為直線與直線的交點時，取最大值；當為直線與直線的交點時，取最小值，對于函數(shù)，令，即，解得，對于函數(shù)，令，即，解得，∴的最大值為，的最小值為，則的最大值與最小值之差為：．故選：C．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級克東縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發(fā)4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與甲出發(fā)的時間t（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為60米/分；②乙走完全程用了34分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達終點時，甲離終點還有300米．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中得數(shù)據(jù)逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得：甲步行的速度為：（米/分），故①正確；設(shè)乙的速度為米/分，由題意得：，解得：，乙的速度為：米/分，乙走完全程的時間為：（分），故②錯誤；由圖得：乙追上甲的時間為：（分），故③錯誤；乙到達終點時，甲離終點的距離為：（米），故④錯誤，則正確的個數(shù)為1個，故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北滄州·八年級?？茧A段練習(xí)）王先生和李先生兩人分別開車從甲城出發(fā)勻速行駛至乙城，在整個行駛過程中，王先生和李先生兩人離開甲城的距離y（千米）與行駛的時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列判斷正確的是（

）

A．甲、乙兩城相距600千米B．李先生的車比王先生的車早出發(fā)1小時C．直線的函數(shù)解析式為D．李先生的車出發(fā)2小時后，與王先生的距離為40千米【答案】C【分析】根據(jù)當時，千米，得到甲、乙兩城相距300千米；結(jié)合函數(shù)圖像，判斷李先生的車比王先生的車晚出發(fā)1小時；待定系數(shù)法確定解析式；根據(jù)圖像信息，得到王先生的車速為，李先生的車速為，李先生的車出發(fā)2小時后，行駛了，王先生行駛了，計算即可．【詳解】根據(jù)圖像信息，得當時，千米，故甲、乙兩城相距300千米；故A錯誤；結(jié)合函數(shù)圖像，得李先生的車比王先生的車晚出發(fā)1小時，故B錯誤；設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意，得，解得，所以，故C正確；根據(jù)圖像信息，得到王先生的車速為，李先生的車速為，李先生的車出發(fā)2小時后，行駛了，王先生行駛了，他們相差，故D錯誤；故選C．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的信息讀取，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握信息讀取，并活用待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校統(tǒng)考階段練習(xí)）在5.1勞動節(jié)期間，甲乙兩人相約一起去登山，登山過程中，甲先爬了米、乙才開始追趕甲，乙行了2分鐘后，速度變成甲登山速度的3倍，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與乙登山時間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息有下列說法：①甲的登山速度米/分；②分；③當乙行了分鐘后，甲乙相遇；④甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距米，其中正確的有（

）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】①根據(jù)圖象可知道山的高度和所用時間，即可求出乙登山的速度；②當2時，根據(jù)，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，令可求出相應(yīng)的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距離底面函數(shù)解析式，再根據(jù)路程之間的關(guān)系列出方程求解即可；④求出兩個解析式后，分別根據(jù)時間計算出相應(yīng)的函數(shù)值，作差即可求解．【詳解】解：①甲的登山高度是米，用時分鐘，故速度是米/分，故①正確；②當時，，當時，，故，故②正確；③乙提速后距地面的高度(米)與登山時間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為：；甲登山全程中，距地面的高度(米)與登山時間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為：當時解得:；故③正確；④令，，，，甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距米，故④正確；綜上，①②③④均正確，故正確答案為D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式．6．（2023春·陜西商洛·八年級校考期末）如圖，已知點，，軸，與直線交于點C，軸于點D，P是線段（含端點）上一動點．連接，．當四邊形的面積最大時，點P到直線的距離為．

【答案】/【分析】連接，作于點，根據(jù)題意求得點的坐標，根據(jù)題意得出四邊形的面積，根據(jù)一次函數(shù)的的性質(zhì)，可得點在點位置的時候，四邊形的面積最大，進而根據(jù)等面積法求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接

∵點，，軸，軸∴點的縱坐標為，代入解得：∴，∵P是線段（含端點）上一動點．四邊形的面積∴當最大時，四邊形的面積取得最大值，∴當點與點重合時，作于點，

在中，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形，坐標與圖形，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）為運輸一批醫(yī)用物質(zhì)，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時的速度是，兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖，則；轎車比貨車早小時到達乙地．

【答案】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出a的值，然后再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出轎車和貨車用的時間，然后即可計算出轎車比貨車早幾小時到達乙地．【詳解】由題意可得，，貨車到達乙地的所用的時間為：，轎車所用時間為：，轎車比貨車早：，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2023秋·湖北·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）桿秤是我國傳統(tǒng)的計重工具，如圖，可以用秤砣到秤紐的水平距離，來得出秤鉤上所掛物體的質(zhì)量．稱重時，若秤砣到秤紐的水平距離為x（單位：）時，秤鉤所掛物重為y（單位：），則y是x的一次函數(shù)．下表記錄了四次稱重的數(shù)據(jù)，其中只有一組數(shù)據(jù)記錄錯誤，它是第組．組數(shù)123412470.600.851.452.10

【答案】3【分析】設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法解決問題即可．【詳解】解：設(shè)，把，，，代入可得：，解得，，當時，，第3組數(shù)據(jù)不在這條直線上，當時，，第4組數(shù)據(jù)在這條直線上，故答案為：3．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．9．（2023春·福建莆田·八年級?？计谀┤鐖D，有一種動畫程序，在平面直角坐標系屏幕上，直角三角形是黑色區(qū)域（含直角三角形邊界），其中，，，用信號槍沿直線發(fā)射信號，當信號遇到黑色區(qū)域時，區(qū)域便由黑變白，則能夠使黑色區(qū)域變白的b的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)直線的解析式可知此直線必然經(jīng)過一三象限，當經(jīng)過點B時b的值最小，當經(jīng)過點C時b的值最大，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線中，，∴此直線必然經(jīng)過一三象限．∵，，，∴當經(jīng)過點B時，，解得；當經(jīng)過點C時，，解得，∴．故答案為：．【點睛】此題主要考查是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答此類題目時一定要注意數(shù)形結(jié)合的運用．10．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，地在地的正東方向，某一時刻，乙車從地開往地，小時后，甲車從地開往地，當甲車到達地的同時乙車也到達地如圖，橫軸（小時）表示行駛時間（從乙車出發(fā)的時刻開始計時），縱軸（千米）表示兩車與地的距離．

根據(jù)圖象信息，下列問題正確的是：（填寫正確結(jié)論的序號）、兩地相距千米；乙車速度是千米時；甲車出發(fā)小時與乙車相遇；甲乙兩車相遇時距離地千米．【答案】①②/②①【分析】由圖象可知，兩地的距離；由圖象可以得到甲乙兩車行駛的時間和路程，從而可以求得它們各自的速度；根據(jù)圖象可以分別設(shè)出甲乙兩車對應(yīng)的函數(shù)解析式并求出它們各自的函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組即可解答本題．【詳解】解：由圖象可知，，兩地的距離是千米，故正確；由圖象可知，甲車行駛小時，行駛的路程是千米，故甲車的速度是：千米時，乙車行駛個小時，行駛的路程是千米，故乙車的速度是：千米時，故正確；設(shè)乙車行駛的路程在坐標系中的對應(yīng)的函數(shù)解析式是：，點，在上，，解得，．即，設(shè)甲車行駛的路程在坐標系中的對應(yīng)的函數(shù)解析式是：，點，在上，，解得，，即，解方程組，得，，即甲車出發(fā)小時與乙車相遇，甲乙兩車相遇時距離地千米，故錯誤．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，由數(shù)形結(jié)合的思想入手，找出所求問題需要的條件．11．（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）我國政府把發(fā)展新能源汽車作為解決能源及環(huán)境問題、實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的重大舉措．某品牌汽車經(jīng)銷商向網(wǎng)約車公司提供新能源與燃油兩種動力類型汽車：燃油汽車的燃料費用為0.7元/公里；新能源汽車銷售價格為24萬元，設(shè)燃油汽車運營成本（運營成本＝購車費用+燃料費用）為（萬元），新能源汽車的運營成本為（萬元），兩種汽車行駛的里程數(shù)為x（萬公里），，與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象解答下列問題：

(1)燃油汽車的銷售價格為______萬元，兩種汽車行駛______萬公里時，運營成本相同？(2)求與的函數(shù)關(guān)系式。(3)若燃油汽車每公里燃油費用上漲為0.8元/公里，兩種車型平均每天都運行200公里，新能源汽車將提前多少天與燃油汽車運營成本相同？【答案】(1)20，10(2)(3)新能源汽車將提前100天與燃油汽車運營成本相同【分析】（1）根據(jù)圖象解答即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可；（3）根據(jù)題意得出油價上漲后燃油汽車的函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立（2）的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，燃油汽車的銷售價格為萬元，兩種汽車行駛?cè)f公里時，運營成本相同（2）由題知經(jīng)過點所以．當時，．設(shè)過，．得解得所以函數(shù)關(guān)系式為．（3）根據(jù)題意得，油價上漲后燃油汽車的函數(shù)關(guān)系式為．解得（天）．∴新能源汽車將提前100天與燃油汽車運營成本相同．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出正確信息是解題關(guān)鍵．12．（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校└６κ心成痰隃蕚滟忂M，兩種商品，種商品每件進價20元，種商品每件進價15元．商店為了獲取一定的利潤，將種商品的每件售價定為65元，種商品的每件售價定為45元．(1)商店計劃用不超過700元的資金購進、兩種商品共40件，請問：種商品的進貨數(shù)量不超過多少件？(2)“五一”期間，商店決定開展優(yōu)惠活動，準備對每件種商品的售價優(yōu)惠元，但種商品售價不變；已知種商品的進貨數(shù)量不低于16件，在（1）的條件下，求銷售這40件商品商店獲得利潤最大時的進貨方案．【答案】(1)A種商品的進貨數(shù)量不超過20件；(2)A購買20件，B購買20件利潤最大或A購買16件，B購買24件利潤最大，利潤最大．【分析】（1）根據(jù)題意，列不等式，解答即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性求最值．【詳解】（1）解：設(shè)A種商品的數(shù)量x件，B種商品的