專題22 一次函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）（解析版）

專題22一次函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）【題型目錄】題型一方案分配問題題型二最大利潤(rùn)問題題型三行程問題題型四幾何問題題型五其他綜合性問題【經(jīng)典例題一方案分配問題】1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段，北京科興中維需運(yùn)輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調(diào)查得知，2輛A型冷鏈運(yùn)輸車與3輛B型冷鏈運(yùn)輸車一次可以運(yùn)輸600盒；5輛A型冷鏈運(yùn)輸車與6輛B型冷鏈運(yùn)輸車一次可以運(yùn)輸1350盒．(1)求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運(yùn)輸多少盒疫苗．(2)計(jì)劃用兩種冷鏈運(yùn)輸車共12輛運(yùn)輸這批疫苗，A型車一次需費(fèi)用5000元，B型車一次需費(fèi)用3000元．若運(yùn)輸物資不少于1500盒，且總費(fèi)用小于54000元，請(qǐng)問有幾種運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【答案】(1)每輛型車和每輛型車一次可以分別運(yùn)輸150盒疫苗、100盒疫苗(2)共有3種方案，當(dāng)型車6輛，型車6輛，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是48000元【分析】（1）解：設(shè)每輛型車和每輛型車一次可以分別運(yùn)輸盒疫苗、盒疫苗，由題意可得，，計(jì)算求解即可；（2）設(shè)型車輛，則型車輛，由題意可得，，解得，由為正整數(shù)，可得，即共有三種運(yùn)輸方案，設(shè)所需費(fèi)用為元，則，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輛型車和每輛型車一次可以分別運(yùn)輸盒疫苗、盒疫苗，由題意可得，，解得，答：每輛型車和每輛型車一次可以分別運(yùn)輸150盒疫苗、100盒疫苗．（2）解：設(shè)型車輛，則型車輛，由題意可得，，解得，∵為正整數(shù)，∴，∴共有三種運(yùn)輸方案，設(shè)所需費(fèi)用為元，則，整理得，∵，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，所需費(fèi)用最少，此時(shí)的費(fèi)用為（元），∴（輛），答：共有3種方案，當(dāng)型車6輛，型車6輛，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是48000元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式、不等式．2．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）長(zhǎng)沙某城建公司共有50臺(tái)渣土運(yùn)輸車，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)．現(xiàn)將這些渣土運(yùn)輸車全部配往長(zhǎng)株潭城際輕軌建設(shè)的兩工地，其中30臺(tái)派往A地，20臺(tái)派往B地．兩工地與城建公司商定的每天的租賃價(jià)格如下：甲型渣土車租金乙型渣土車租金A地1800元/臺(tái)1600元/臺(tái)B地1600元/臺(tái)1200元/臺(tái)(1)設(shè)派往A地x臺(tái)甲型渣土運(yùn)輸車，該城建公司這50臺(tái)渣土車一天獲得的租金為y（元），請(qǐng)求出y與x的函數(shù)解析式．(2)若該城建公司這50臺(tái)渣土運(yùn)輸車一天的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案寫出．(3)在（2）條件下，選擇哪種方案該城建公司一天獲得租金最多？最多租金是多少？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)（）；(2)3種方案，具體見解析；(3)派往A地乙車30臺(tái)；派往B地甲車20臺(tái)．租金最高為80000元．【分析】（1）利用甲車共有20臺(tái)，A地共有30臺(tái)車，得出甲乙發(fā)往A、B兩地的車輛數(shù)量，再根據(jù)價(jià)格算出一天租金即可；（2）利用租金限制列出不等式得到發(fā)往A地的甲車數(shù)量范圍，得到發(fā)車方案；（3）根據(jù)函數(shù)y隨x增大的變化情況及x的范圍求出最多租金和其方案即可．【詳解】（1）甲車發(fā)A地x臺(tái)，甲車發(fā)B地，乙車發(fā)A地臺(tái)，乙車發(fā)B地x臺(tái)，，（）；（2）由題意得：，解得，或1或2，故有如下三種方案，第一種：派往A地的甲車0臺(tái)，乙車30臺(tái)；派往B地的甲車20臺(tái)，乙車0臺(tái)；第二種：派往A地的甲車1臺(tái)，乙車29臺(tái)；派往B地的甲車19臺(tái)，乙車1臺(tái)；第三種：派往A地的甲車2臺(tái)，乙車28臺(tái)；派往B地的甲車18臺(tái)，乙車2臺(tái)．（3）（），y隨x的增大而減小，x取最小值0時(shí)，租金最多為80000元，此時(shí)方案為：派往A地乙車30臺(tái)；派往B地甲車20臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)題意找到對(duì)應(yīng)數(shù)量和價(jià)格，根據(jù)一次函數(shù)圖像與性質(zhì)得到符合題意的范圍和方案是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┠呈?，兩個(gè)蔬菜基地得知黃崗，兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240t和260t的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū)，已知蔬菜基地有蔬菜200t，蔬菜基地有蔬菜300t，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)，兩個(gè)災(zāi)區(qū)安置點(diǎn)，從地運(yùn)往，兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從地運(yùn)往，兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從地運(yùn)往處的蔬菜為噸．（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，用含的代?shù)式填空，結(jié)果要化簡(jiǎn)：總計(jì)/__________________200_________300總計(jì)/240260500（2）設(shè)，兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為元，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案；（3）經(jīng)過搶修，從地到處的路況得到進(jìn)一步改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少元，其余線路的運(yùn)費(fèi)不變，試討論總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)動(dòng)方案．【答案】（1），，；（2）；A→C：200噸，A→D：0噸，B→C：40噸，B→D：260噸；（3）時(shí)，在的前提下調(diào)運(yùn)方案的總費(fèi)用不變；時(shí)，總費(fèi)用最小，其調(diào)運(yùn)方案為：A→C：0噸，A→D：200噸，B→C：240噸，B→D：60噸；【分析】（1）根據(jù)題意，從A處調(diào)運(yùn)到C處的數(shù)量為（240-x）t；從A處調(diào)往D處的數(shù)量為[200-（240-x）]t；則從B調(diào)運(yùn)到D處的數(shù)量為（300-x）t；（2）根據(jù)調(diào)運(yùn)總費(fèi)用等于四種調(diào)運(yùn)單價(jià)乘以對(duì)應(yīng)的噸數(shù)的積的和，易得w與x的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)調(diào)運(yùn)的數(shù)量非負(fù)即可不等式組，求得x的范圍，從而可求得總費(fèi)用的最小的調(diào)運(yùn)方案；（3）由題意可得w與x的關(guān)系式，根據(jù)x的取值范圍不同而有不同的解，分情況討論：當(dāng)0<m<2時(shí)；當(dāng)m=2時(shí)；當(dāng)2<m<15時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決．【詳解】（1）填表如下：總計(jì)/200300總計(jì)/240260500故答案為：，，；（2）與之間的函數(shù)關(guān)系為：由題意得：∴∵在中，∴隨的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小此時(shí)調(diào)運(yùn)方案為：200噸0噸40噸260噸（3）由題意得即，其中∴，（2）中調(diào)運(yùn)方案總費(fèi)用最??；時(shí)，在的前提下調(diào)運(yùn)方案的總費(fèi)用不變；時(shí)，總費(fèi)用最小，其調(diào)運(yùn)方案如下：0噸200噸240噸60噸【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，具有較強(qiáng)的綜合性與較大的難度．它考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，解一元一次方程組等知識(shí)，用到分類討論思想．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）漣水外賣市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，美團(tuán)、餓了么等公司訂單大量增加，某公司負(fù)責(zé)招聘外賣送餐員，具體方案如下：每月不超出750單，每單收入4元；超出750單的部分每單收入m元．（1）若某“外賣小哥”某月送了500單，收入元；（2）若“外賣小哥”每月收入為y（元），每月送單量為x單，y與x之間的關(guān)系如圖所示，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若“外賣小哥”甲和乙在某個(gè)月內(nèi)共送單1200單，且甲送單量低于乙送單量，共收入5000元，問：甲、乙送單量各是多少？【答案】（1）2000；（2）y＝5x﹣750；（3）甲送250單，乙送950單【分析】（1）根據(jù)題意可以求得“外賣小哥”某月送了500單的收入情況；（2）分段函數(shù)，運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；（3）根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以求得甲、乙送單量各是多少．【詳解】解：（1）由題意可得，“外賣小哥”某月送了500單，收入為：4×500＝2000元，故答案為：2000；（2）當(dāng)0≤x＜750時(shí)，y＝4x當(dāng)x≥750時(shí)，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝3000設(shè)y＝kx+b，根據(jù)題意得，解得，∴y＝5x﹣750；（3）設(shè)甲送a單，則a＜600＜750，則乙送（1200﹣a）單，若1200﹣a＜750，則4a+4（1200﹣a）＝4800≠5000，不合題意，∴1200﹣a＞750，∴4a+5（1200﹣a）﹣750＝5000，∴a＝250，1200﹣a＝950，故甲送250單，乙送950單．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組，從函數(shù)圖象中找出有用的信息是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二最大利潤(rùn)問題】5．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購進(jìn)甲乙兩種服裝進(jìn)行銷售．甲種服裝每件進(jìn)價(jià)160元，售價(jià)220元；乙種服裝每件進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)160元．現(xiàn)計(jì)劃購進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于60件．設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，兩種服裝全部售完，商場(chǎng)獲利y元．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若購進(jìn)100件服裝的總費(fèi)用不超過15000元，求最大利潤(rùn)為多少元？(3)在（2）的條件下，該服裝店對(duì)甲種服裝以每件優(yōu)惠a（）元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，乙種服裝每件進(jìn)價(jià)減少b元，售價(jià)不變，且，若最大利潤(rùn)為4950元，求a的值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，y最大為5500元(3)【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，則購進(jìn)乙種服裝件，然后根據(jù)進(jìn)價(jià)、售價(jià)和利潤(rùn)之間的關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)不等關(guān)系“購進(jìn)100件服裝的總費(fèi)用不超過15000元”和“甲種服裝不少于60件”列不等式組求得x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可解答；（3）由題意可得：，再由題意可得，根據(jù)然后分和兩種情況分別y最大值，再根據(jù)最大利潤(rùn)為4950元，列出關(guān)于a的方程分別求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，則購進(jìn)乙種服裝件，由題意得：，（2）解：由題意得：，∴，∵中，，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y最大（元）．（3）解：∵，∴，由題意得：．∵，，∴①當(dāng)，即時(shí)，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y最大，∴，符合題意．當(dāng)時(shí)，，不合題意．②當(dāng)時(shí)，即，y隨x的增大而減小．∴當(dāng)時(shí)，y最大，∴，不合題意，舍去．綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一次函數(shù)關(guān)系式、一次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的增減性等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進(jìn)水果的情況如表所示：進(jìn)貨批次甲種水果（單位：千克）乙種水果（單位：千克）總費(fèi)用（單位：元）第一次80502500第二次40702420(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)；(2)第一次和第二次購進(jìn)的水果全部售完后，第三次又購進(jìn)甲、乙兩種水果共150千克，購買的資金不超過3240元；①求購進(jìn)的甲種水果至少為多少千克？②第三次購進(jìn)的甲、乙兩種水果的售價(jià)分別為22元/千克、35元/千克．由于失水和腐爛，甲種水果減少了千克，乙種水果減少了千克．若第三次購進(jìn)的水果全部售出后，獲得的最大利潤(rùn)為1134元，則常數(shù)的值為______．【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價(jià)是15元，乙種水果的進(jìn)價(jià)是26元(2)①至少為；②【分析】（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為每千克元，乙種水果的進(jìn)價(jià)為每千克元，列出方程組求解即可；（2）①設(shè)購進(jìn)的甲種水果為，則有：，即可求解；②利潤(rùn)為，值最小時(shí)，利潤(rùn)最大，從而得解．【詳解】（1）解：設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)是每千克元，乙種水果的進(jìn)價(jià)是每千克元．由題意得：，解得：，答：甲種水果的進(jìn)價(jià)是15元，乙種水果的進(jìn)價(jià)是26元．（2）①設(shè)購進(jìn)的甲種水果為，則有：，解得，答：購進(jìn)的甲種水果至少為．②設(shè)利潤(rùn)為元，，整理得：，所以，當(dāng)時(shí)，最大為1134；即：，解得：，所以的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組及不等式的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程或不等式解決問題．7．（2022·江蘇無錫·?？级＃┠尺\(yùn)動(dòng)器械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的按摩椅，其部分信息如下：A、B兩種型號(hào)的按摩椅共生產(chǎn)40臺(tái)，現(xiàn)已知A、B兩種按摩椅的生產(chǎn)成本和售價(jià)如表：型號(hào)成本（萬元/臺(tái)）售價(jià)（萬元/臺(tái)）A22.4B2.53根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)若該公司銷售完兩種型號(hào)按摩椅恰好獲利18.8萬元，則該公司分別生產(chǎn)A、B種型號(hào)按摩椅各多少臺(tái)？(2)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)A型按摩椅的售價(jià)將會(huì)提高a萬元（），每臺(tái)B型按摩椅售價(jià)不會(huì)改變，現(xiàn)受資金影響，該公司生產(chǎn)A型按摩椅不超過20臺(tái)但是不少于18臺(tái)，則該公司應(yīng)如何生產(chǎn)才可以獲得最大利潤(rùn)？【答案】(1)生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為12臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅28臺(tái)(2)，生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅22臺(tái)，才可以獲得最大利潤(rùn)；，三種方案獲利相同，都為20萬元；，生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅20臺(tái)，才可以獲得最大利潤(rùn)【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為m臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅臺(tái)，根據(jù)獲利18.8萬元列一元一次方程解答；（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅x臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅臺(tái)，生產(chǎn)利潤(rùn)為y元，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，且，根據(jù)a的取值范圍及函數(shù)的增減性解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為m臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅臺(tái)，解得，∴，答：生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為12臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅28臺(tái)；（2）設(shè)生產(chǎn)A型按摩椅x臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅臺(tái)，生產(chǎn)利潤(rùn)為y元，，∵，且x為正整數(shù)，∴共有三種方案：生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為18臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅22臺(tái)，生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為19臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅21臺(tái)，生產(chǎn)A種型號(hào)按摩椅為20臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅20臺(tái)，當(dāng)時(shí)，，即，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y最大，即生產(chǎn)A型按摩椅18臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅22臺(tái)，才可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)時(shí)，，即三種方案獲利相同，都為20萬元；當(dāng)時(shí)，，即，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y最大，即生產(chǎn)A型按摩椅20臺(tái)，則生產(chǎn)B種型號(hào)按摩椅20臺(tái)，才可以獲得最大利潤(rùn)．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列得方程及函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg．(1)求出0≤x≤2000和x＞2000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為w元（利潤(rùn)＝銷售額一成本），請(qǐng)求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案；(3)為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對(duì)兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價(jià)分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤(rùn)不低于15000元，求a的最大值．【答案】(1)．(2)；當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時(shí)，利潤(rùn)最大為24000元．(3)的最大值為．【分析】（1）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可知，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知，降價(jià)后，與的關(guān)系式，并根據(jù)利潤(rùn)不低于15000，可得出的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，．．（2）根據(jù)題意可知，購進(jìn)甲種產(chǎn)品千克，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為（元，綜上，；當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時(shí)，利潤(rùn)最大為24000元．（3）根據(jù)題意可知，降價(jià)后，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，解得．的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式．【經(jīng)典例題三行程問題】9．（2023·江蘇鹽城·?？级＃〢、B兩地相距，甲車從A地駛往B地，乙車從B地以的速度勻速駛往A地，乙車比甲車晚出發(fā)．設(shè)甲車行駛的時(shí)間為x（），甲、乙兩車離A地的距離分別為，圖中線段表示與x的函數(shù)關(guān)系．

(1)若兩車同時(shí)到達(dá)目的地．①a的值為．②在圖中畫出與x（）的函數(shù)圖像；(2)若甲、乙兩車在距A地至之間的某處相遇，求a的取值范圍．【答案】(1)①，②圖見解析(2)【分析】（1）①乙車從B地以的速度勻速駛往A地，兩車同時(shí)到達(dá)目的地,求出乙車行駛時(shí)間為，則，即可得到乙車比甲車晚出發(fā)，即，②根據(jù)①中數(shù)據(jù)即可畫出圖象；（2）求得，，由得，當(dāng)時(shí)，，則，解不等式即可得答案．【詳解】（1）解：①∵乙車從B地以的速度勻速駛往A地，兩車同時(shí)到達(dá)目的地，∴乙車行駛時(shí)間為，∵，∴乙車比甲車晚出發(fā)，即，故答案為：②圖象如下：

（2）解：根據(jù)題意得：甲的速度為，∴，，由得：，當(dāng)時(shí)，，∵甲、乙兩車在距A地至之間的某處相遇，∴，解得，∴a的范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．10．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，A，B兩地相距，在A，B之間有汽車站C站，客車由A地駛向C站、貨車由B地駛向A地，兩車同時(shí)出發(fā)，勻速相向行駛，圖2是客車、貨車離C站的路程y、y（單位：）與行駛時(shí)間x（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．

(1)客車的速度為______：貨車的速度為______：(2)求兩小時(shí)后，貨車離C站的路程與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求圖2中點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)60，45(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意并結(jié)合圖象可知，貨車從地駛向站花費(fèi)了2小時(shí)，行駛了，根據(jù)“速度路程時(shí)間”即可求出貨車的速度；再算出地與站的距離，由圖象可知客車從地駛向站花費(fèi)了9小時(shí)，根據(jù)“速度路程時(shí)間”即可求出客車的速度；（2）根據(jù)“路程速度時(shí)間”即可求解；（3）根據(jù)待定系數(shù)法先求出關(guān)于的函數(shù)解析式，再聯(lián)立（2）所求的函數(shù)關(guān)系式，求解即可．【詳解】（1）解：由圖象可得：貨車從地駛向站花費(fèi)了2小時(shí)，行駛了，則貨車的速度為，地與站的距離為，客車的速度為；故答案為：60，45；（2）由（1）知，貨車的速度為，2小時(shí)后貨車的行駛時(shí)間為小時(shí)，；（3）設(shè)，因?yàn)?，在的函?shù)圖象上，，解得：，，聯(lián)立得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵聯(lián)立兩函數(shù)解析式得出方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)校科技小組進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為___________．②請(qǐng)求出在時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，據(jù)此可求得乙機(jī)器人行走的速度；（2）①先求得甲機(jī)器人行走的總路程540米，再分段求得甲機(jī)器人行走的路程，根據(jù)速度、時(shí)間、路程的關(guān)系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運(yùn)動(dòng)，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運(yùn)動(dòng)那一刻為分界點(diǎn)．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，∴乙機(jī)器人行走的速度為(米/分)；故答案為：50．（2）①設(shè)甲機(jī)器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：，解得，甲機(jī)器人行走的總路程為：(米)，甲機(jī)器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：(米)，時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案為：．②∵6分鐘后甲機(jī)器人的速度又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度，∴6分鐘后甲機(jī)器人的速度是80米/分，當(dāng)時(shí)，甲乙兩機(jī)器人的距離為：（米），當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，（分），乙到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，（分）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得解得甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間的值為7或【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明從A地勻速前往B地，同時(shí)小亮從B地勻速前往A地，如圖表示兩人距B地的路程y（m）與行駛時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系．馬小虎審題不清，將“兩人距B地的路程y”看成了“兩人距A地的路程y”，由此得到小明的速度為100m/min（1）A地與B地的距離為m，a＝m，b＝min，小明的速度為m/min；（2）求當(dāng)0≤x≤60時(shí)，兩人的距離s（m）與x的函數(shù)表達(dá)式，并在圖2中畫出圖像；（3）當(dāng)兩人之間的距離不大于2000m時(shí)，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）4500，1500，30，150；（2），見解析；（3）10≤x≤35．【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象仔細(xì)分析題目中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則可得A地與B地的距離為4500m，再根據(jù)馬小虎的信息可知a的值，并利用a的值求出b，即可求得小明到達(dá)B地的時(shí)間，利用速度公式即可得出小明的實(shí)際速度；（2）根據(jù)題目中已知的兩人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則可將0≤x≤60分成四個(gè)時(shí)間段，分別根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系，求出兩人的距離s（m）與x的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)各段的時(shí)間與距離的關(guān)鍵點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；（3）由（2）中所得的函數(shù)圖象可知，在兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)兩人之間的距離不大于2000m，則分別利用這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)已求得的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，即可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）A地與B地的距離為4500m，小明在A地，且速度為100m/min，∴a＝100×15＝1500m，（4500－1500）÷100＝30minb＝60-30＝30min，則小明的實(shí)際速度為4500÷30＝150m/min．故答案為：4500，1500，30，150；（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，；圖象如圖所示：（3）根據(jù)（2）中函數(shù)圖象可得：當(dāng)與時(shí)，兩人之間的距離不大于2000m，∴將s＝2000代入得：x＝10，將s＝2000代入得：x＝35，則當(dāng)兩人之間的距離不大于2000m時(shí)，10≤x≤35．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能利用圖象獲取信息解決問題．【經(jīng)典例題四幾何問題】13．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，直線交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且．

(1)求線段的長(zhǎng)度．(2)P為線段（不含A，B兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段于點(diǎn)Q，記四邊形的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線交x軸于點(diǎn)A，求出m的值，可得出，，，根據(jù)可得，再根據(jù)勾股定理求出即可．（2）設(shè)點(diǎn)P，求出直線表達(dá)式為，由于P在直線上，可得，根據(jù)四邊形APOQ面積等于與面積之和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：把A代入得：，一次函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，，在中，由勾股定理得：，，，在中，由勾股定理得：．（2）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，P為線段（不含A，B兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，，，設(shè)解析式為，把AC代入：，解得，，軸，則，，，當(dāng)時(shí)，，解得：．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一次函數(shù)（k為常數(shù)，）．(1)不論k為何值，該函數(shù)圖像都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；(2)若該函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，求k的值，(3)若該函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，結(jié)合圖像，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，進(jìn)行求解即可；（3）分和兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴不論k為何值，該函數(shù)圖像都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：．（2）解：當(dāng)時(shí)，．∴與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：；由題意得：．解得．（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵該函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，∴該點(diǎn)只能是，如圖：∴的函數(shù)值在和之間，且函數(shù)值可以等于，即：；當(dāng)時(shí)，∵該函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）中只有1個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，∴該點(diǎn)只能是，如圖：∴的函數(shù)值在和之間，且函數(shù)值可以等于，即：；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．15．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在x軸正半軸上，且．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B的直線與成夾角，試求該直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，連接，射線交于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)或(3)定值，【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解得出，進(jìn)而得出，即可得證；（2）作K字型全等，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）作于D，取，連接接，證明，得出是等腰直角三角形，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，則，即可求解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）設(shè)直線，∵，∴，∴，∴，∴將點(diǎn)代入，，解得，∴直線；過點(diǎn)B作直線與直線，使得與直線夾角為，

設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)Q作軸，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，∴，，∴，∵Q在直線上，∴代入得，∴，∴，∴直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或（3）的度數(shù)為定值，．理由：作于D，取，連接接，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴可由平移所得，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)校考期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，并且與x軸以及的圖象分別交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

(1)求函數(shù)表達(dá)式;(2)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線的解析式；（2）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)分別求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，∴，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，∴，解得，∴一次函數(shù)；（2）解：如圖，①當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，時(shí)，∵，∴，或，則或，

②如圖，當(dāng)D為頂點(diǎn)時(shí)，時(shí)，設(shè)，∵、，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，則，，∵，∴，∴，∴，

③當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，∵，，，解得，∴，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點(diǎn)問題、等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論思想的運(yùn)用．【經(jīng)典例題五其他綜合性問題】17．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載，浮箭漏（圖①）出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計(jì)算時(shí)間，某學(xué)校STEAM小組仿制了一套浮箭漏，并從函數(shù)角度進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)探究：（實(shí)驗(yàn)觀察）實(shí)驗(yàn)小組通過觀察，每2小時(shí)記錄一次箭尺讀數(shù)，得到下表：供水時(shí)間x（小時(shí)）02468箭尺讀數(shù)y（厘米）618304254

(1)（探索發(fā)現(xiàn)）：若以供水時(shí)間x為橫軸，箭尺讀數(shù)y為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系，描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn)，試判斷這些點(diǎn)是否在同一條直線上．如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不在同一條直線上，說明理由．(2)（結(jié)論應(yīng)用）應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí)，箭尺的讀數(shù)為多少厘米？(3)如果本次實(shí)驗(yàn)記錄的開始時(shí)間是上午8：00，那么當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是幾點(diǎn)鐘？【答案】(1)圖象見解析；(2)供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí)，箭尺的讀數(shù)為78厘米(3)當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是22點(diǎn)鐘【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn)即可；觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，可知它們?cè)谕粭l直線上，設(shè)這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：利用前面求得的函數(shù)表達(dá)式求出時(shí)，y的值即可得出箭尺的讀數(shù)；（3）利用前面求得的函數(shù)表達(dá)式求出時(shí)，x的值，由本次實(shí)驗(yàn)記錄的開始時(shí)間是上午，即可求解．【詳解】（1）如圖，

觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，可知它們?cè)谕粭l直線上，設(shè)這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得：，解得：，∴；（2）時(shí)，，∴供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí)，箭尺的讀數(shù)為78厘米；（3）時(shí)，，解得：，∴供水時(shí)間為14小時(shí)，∵本次實(shí)驗(yàn)記錄的開始時(shí)間是上午8：00，，∴當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是22點(diǎn)鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用了待定系數(shù)法求解析式，利用函數(shù)值求自變量的值．18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和城市交通的多樣化，人們出行方式、時(shí)間有了更多的選擇，我市有類快車、類快車等網(wǎng)約車，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下．類快車：起步價(jià)8.5元，超過3.5千米的部分2元/千米，時(shí)長(zhǎng)費(fèi)：0.4元/分鐘（類快車行駛的平均速度為40千米/時(shí)）類快車：起步價(jià)8元，超過3千米的部分1.8元/千米（函數(shù)圖像如下圖所示）．

(1)圖中______，______；(2)若乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，則類快車的費(fèi)用是______元；當(dāng)里程數(shù)超過3.5千米時(shí)，求快車的費(fèi)用（元）與行駛路程x（千米）之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)求與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(4)若從甲地到乙地有5千米，你將選擇哪種網(wǎng)約車？為什么？【答案】(1)8，3(2)27.5；(3)(4)選擇類快車【分析】（1）根據(jù)類快車：起步價(jià)8元，超過3千米的部分1.8元/千米即可得到答案；（2）先求出乘坐類快車的里程數(shù)是10千米所花費(fèi)的時(shí)間，再根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；直接根據(jù)類快車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）分和，直接根據(jù)類快車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（4）當(dāng)時(shí)，分別求出、的值，進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，故答案為：8，3；（2）解：根據(jù)題意可得：乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，花費(fèi)的時(shí)間為：（小時(shí)），乘坐類快車的里程數(shù)是10千米，則類快車的費(fèi)用是：（元），故答案為：27.5，快車的費(fèi)用（元）與行駛路程x（千米）之間的函數(shù)表達(dá)式為：，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：；（4）解：從甲地到乙地有5千米，當(dāng)時(shí)，，，，選擇類快車．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與圖象、一次函數(shù)的應(yīng)用、求一次函數(shù)的解析式，讀懂題意，正確得到、與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）我縣安徒生童話樂園門票價(jià)格如圖所示，甲、乙兩校，計(jì)劃在“國(guó)慶”黃金周期間組織員工及家屬到該景點(diǎn)游玩．兩校組織游玩人數(shù)之和為90人，乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，設(shè)甲校組織游玩人數(shù)為x人．如果甲、乙兩校分別購買門票，兩校門票款之和為W元．

(1)求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍：(2)若甲校人數(shù)不超過80人，請(qǐng)說明甲、乙兩校聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約多少錢？(3)“國(guó)慶”黃金周之后，該風(fēng)景區(qū)對(duì)門票價(jià)格作了如下調(diào)整：人數(shù)不超過40人時(shí)，門票價(jià)格不變；人數(shù)超過40人但不超過80人時(shí)，每張門票降價(jià)a元；人數(shù)超過80人時(shí)，每張門票降價(jià)元，在（2）的條件下，若甲、乙兩?！皣?guó)慶”黃金周之后去游玩，最多可節(jié)約3500元，求a的值．【答案】(1)；(2)2200元(3)【分析】（1）根據(jù)乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，討論x取值范圍，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）討論y的最大值與聯(lián)合購票費(fèi)用相減即可求解；（3）再（2）基礎(chǔ)上購票單價(jià)減去a元，求解購票最大費(fèi)用，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲校組織游玩人數(shù)為x人，則設(shè)乙校組織游玩人數(shù)為人，∵乙校組織游玩人數(shù)不超過40人，∴，解得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）解：∵甲校人數(shù)不超過80人，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值8500，甲、乙兩校聯(lián)合購票費(fèi)用為元，（元），答：甲、乙兩校聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約2200元；（3）解：在（2）條件下，每張門票降價(jià)a元,則，又，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值，調(diào)價(jià)后甲、乙兩校聯(lián)合購票費(fèi)用為，由題意得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一次函數(shù)關(guān)系式，并會(huì)利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解最值是解答的關(guān)鍵．20．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）某動(dòng)力科學(xué)研究院實(shí)驗(yàn)基地內(nèi)裝有一段筆直的軌道，長(zhǎng)度為的金屬滑塊在上面做往返滑動(dòng)．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動(dòng)，滑動(dòng)速度為，滑動(dòng)開始前滑塊左端與點(diǎn)重合，當(dāng)滑塊右端到達(dá)點(diǎn)時(shí)，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點(diǎn)重合，滑動(dòng)停止．設(shè)時(shí)間為時(shí)，滑塊左端離點(diǎn)的距離為，右端離點(diǎn)的距離為，記與具有函數(shù)關(guān)系．已知滑塊在從左向右滑動(dòng)過程中，當(dāng)和時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的的兩個(gè)值互為相反數(shù)；滑塊從點(diǎn)出發(fā)到最后返回點(diǎn)，整個(gè)過程總用時(shí)（含停頓時(shí)間）．請(qǐng)你根據(jù)所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點(diǎn)到點(diǎn)的滑動(dòng)過程中，的值________________；（填“由負(fù)到正”或“由正到負(fù)”）(2)滑塊從點(diǎn)到點(diǎn)的滑動(dòng)過程中，求與的函數(shù)表達(dá)式；(3)在整個(gè)往返過程中，若，求的值．【答案】(1)由負(fù)到正(2)(3)當(dāng)或時(shí)，【分析】（1）根據(jù)等式，結(jié)合題意，即可求解；（2）設(shè)軌道的長(zhǎng)為，根據(jù)已知條件得出，則，根據(jù)當(dāng)和時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的的兩個(gè)值互為相反數(shù)；則時(shí)，，得出，繼而求得滑塊返回的速度為，得出，代入，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，有兩種情況，由（2）可得，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別令，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）∵，當(dāng)滑塊在點(diǎn)時(shí)，，，當(dāng)滑塊在點(diǎn)時(shí)，，，∴的值由負(fù)到正．故答案為：由負(fù)到正．（2）解：設(shè)軌道的長(zhǎng)為，當(dāng)滑塊從左向右滑動(dòng)時(shí)，∵，∴，∴∴是的一次函數(shù)，∵當(dāng)和時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的的兩個(gè)值互為相反數(shù)；∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴滑塊從點(diǎn)到點(diǎn)所用的時(shí)間為，∵整個(gè)過程總用時(shí)（含停頓時(shí)間）．當(dāng)滑塊右端到達(dá)點(diǎn)時(shí)，滑塊停頓，∴滑塊從點(diǎn)到點(diǎn)的滑動(dòng)時(shí)間為，∴滑塊返回的速度為，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴與的函數(shù)表達(dá)式為；（3）當(dāng)時(shí)，有兩種情況，由（2）可得，①當(dāng)時(shí)，，解得：；②當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分析得出，并求得往返過程中的解析式是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·湖北隨州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）甲乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)，同方向勻速跑步米，先到終點(diǎn)的人原地休息，已知甲先出發(fā)秒．在跑步過程中，甲、乙兩人之間的距離（米）與乙出發(fā)的時(shí)間（秒）之間的關(guān)系如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③，其中錯(cuò)誤的是（

）A．② B．①② C．②③ D．①②③【答案】A【分析】先求出甲的速度和乙的速度，再根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求得、、的值，即可解答本題．【詳解】解：甲先出發(fā)秒，相距米，甲的速度為（米秒），秒時(shí)乙開始休息，乙的速度為（米秒），，故②錯(cuò)誤；秒后，甲乙相遇，，解得，故①正確；，故③正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，則的最大值與最小值之差為（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】由于的縱坐標(biāo)為2，故點(diǎn)在直線上，由圖像可知，當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最大值；當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，故可求得答案．【詳解】解∵點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊上）的一點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上，如圖所示，

由圖像可知，當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最大值；當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，對(duì)于函數(shù)，令，即，解得，對(duì)于函數(shù)，令，即，解得，∴的最大值為，的最小值為，則的最大值與最小值之差為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)克東縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速步行2400米，先到終點(diǎn)的人原地休息．已知甲先出發(fā)4分鐘，在整個(gè)步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間t（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為60米/分；②乙走完全程用了34分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲離終點(diǎn)還有300米．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中得數(shù)據(jù)逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得：甲步行的速度為：（米/分），故①正確；設(shè)乙的速度為米/分，由題意得：，解得：，乙的速度為：米/分，乙走完全程的時(shí)間為：（分），故②錯(cuò)誤；由圖得：乙追上甲的時(shí)間為：（分），故③錯(cuò)誤；乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲離終點(diǎn)的距離為：（米），故④錯(cuò)誤，則正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，從函數(shù)圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北滄州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）王先生和李先生兩人分別開車從甲城出發(fā)勻速行駛至乙城，在整個(gè)行駛過程中，王先生和李先生兩人離開甲城的距離y（千米）與行駛的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列判斷正確的是（

）

A．甲、乙兩城相距600千米B．李先生的車比王先生的車早出發(fā)1小時(shí)C．直線的函數(shù)解析式為D．李先生的車出發(fā)2小時(shí)后，與王先生的距離為40千米【答案】C【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，千米，得到甲、乙兩城相距300千米；結(jié)合函數(shù)圖像，判斷李先生的車比王先生的車晚出發(fā)1小時(shí)；待定系數(shù)法確定解析式；根據(jù)圖像信息，得到王先生的車速為，李先生的車速為，李先生的車出發(fā)2小時(shí)后，行駛了，王先生行駛了，計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)圖像信息，得當(dāng)時(shí)，千米，故甲、乙兩城相距300千米；故A錯(cuò)誤；結(jié)合函數(shù)圖像，得李先生的車比王先生的車晚出發(fā)1小時(shí)，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意，得，解得，所以，故C正確；根據(jù)圖像信息，得到王先生的車速為，李先生的車速為，李先生的車出發(fā)2小時(shí)后，行駛了，王先生行駛了，他們相差，故D錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的信息讀取，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握信息讀取，并活用待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校統(tǒng)考階段練習(xí)）在5.1勞動(dòng)節(jié)期間，甲乙兩人相約一起去登山，登山過程中，甲先爬了米、乙才開始追趕甲，乙行了2分鐘后，速度變成甲登山速度的3倍，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與乙登山時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖所示，根據(jù)圖像所提供的信息有下列說法：①甲的登山速度米/分；②分；③當(dāng)乙行了分鐘后，甲乙相遇；④甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距米，其中正確的有（

）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】①根據(jù)圖象可知道山的高度和所用時(shí)間，即可求出乙登山的速度；②當(dāng)2時(shí)，根據(jù)，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，令可求出相應(yīng)的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距離底面函數(shù)解析式，再根據(jù)路程之間的關(guān)系列出方程求解即可；④求出兩個(gè)解析式后，分別根據(jù)時(shí)間計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值，作差即可求解．【詳解】解：①甲的登山高度是米，用時(shí)分鐘，故速度是米/分，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故②正確；③乙提速后距地面的高度(米)與登山時(shí)間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為：；甲登山全程中，距地面的高度(米)與登山時(shí)間(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)時(shí)解得:；故③正確；④令，，，，甲乙相遇后，甲再經(jīng)過1分鐘與乙相距米，故④正確；綜上，①②③④均正確，故正確答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式．6．（2023春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)，，軸，與直線交于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，P是線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)．連接，．當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離為．

【答案】/【分析】連接，作于點(diǎn)，根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出四邊形的面積，根據(jù)一次函數(shù)的的性質(zhì)，可得點(diǎn)在點(diǎn)位置的時(shí)候，四邊形的面積最大，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接

∵點(diǎn)，，軸，軸∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入解得：∴，∵P是線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)．四邊形的面積∴當(dāng)最大時(shí)，四邊形的面積取得最大值，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，作于點(diǎn)，

在中，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為運(yùn)輸一批醫(yī)用物質(zhì)，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時(shí)的速度是，兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖，則；轎車比貨車早小時(shí)到達(dá)乙地．

【答案】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出a的值，然后再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出轎車和貨車用的時(shí)間，然后即可計(jì)算出轎車比貨車早幾小時(shí)到達(dá)乙地．【詳解】由題意可得，，貨車到達(dá)乙地的所用的時(shí)間為：，轎車所用時(shí)間為：，轎車比貨車早：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．（2023秋·湖北·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）桿秤是我國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)重工具，如圖，可以用秤砣到秤紐的水平距離，來得出秤鉤上所掛物體的質(zhì)量．稱重時(shí)，若秤砣到秤紐的水平距離為x（單位：）時(shí)，秤鉤所掛物重為y（單位：），則y是x的一次函數(shù)．下表記錄了四次稱重的數(shù)據(jù)，其中只有一組數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤，它是第組．組數(shù)123412470.600.851.452.10

【答案】3【分析】設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法解決問題即可．【詳解】解：設(shè)，把，，，代入可得：，解得，，當(dāng)時(shí)，，第3組數(shù)據(jù)不在這條直線上，當(dāng)時(shí)，，第4組數(shù)據(jù)在這條直線上，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．9．（2023春·福建莆田·八年級(jí)校考期末）如圖，有一種動(dòng)畫程序，在平面直角坐標(biāo)系屏幕上，直角三角形是黑色區(qū)域（含直角三角形邊界），其中，，，用信號(hào)槍沿直線發(fā)射信號(hào)，當(dāng)信號(hào)遇到黑色區(qū)域時(shí)，區(qū)域便由黑變白，則能夠使黑色區(qū)域變白的b的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)直線的解析式可知此直線必然經(jīng)過一三象限，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)b的值最小，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)b的值最大，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線中，，∴此直線必然經(jīng)過一三象限．∵，，，∴當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，解得；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答此類題目時(shí)一定要注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．10．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，地在地的正東方向，某一時(shí)刻，乙車從地開往地，小時(shí)后，甲車從地開往地，當(dāng)甲車到達(dá)地的同時(shí)乙車也到達(dá)地如圖，橫軸（小時(shí)）表示行駛時(shí)間（從乙車出發(fā)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)），縱軸（千米）表示兩車與地的距離．

根據(jù)圖象信息，下列問題正確的是：（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）、兩地相距千米；乙車速度是千米時(shí)；甲車出發(fā)小時(shí)與乙車相遇；甲乙兩車相遇時(shí)距離地千米．【答案】①②/②①【分析】由圖象可知，兩地的距離；由圖象可以得到甲乙兩車行駛的時(shí)間和路程，從而可以求得它們各自的速度；根據(jù)圖象可以分別設(shè)出甲乙兩車對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并求出它們各自的函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組即可解答本題．【詳解】解：由圖象可知，，兩地的距離是千米，故正確；由圖象可知，甲車行駛小時(shí)，行駛的路程是千米，故甲車的速度是：千米時(shí)，乙車行駛個(gè)小時(shí)，行駛的路程是千米，故乙車的速度是：千米時(shí)，故正確；設(shè)乙車行駛的路程在坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是：，點(diǎn)，在上，，解得，．即，設(shè)甲車行駛的路程在坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是：，點(diǎn)，在上，，解得，，即，解方程組，得，，即甲車出發(fā)小時(shí)與乙車相遇，甲乙兩車相遇時(shí)距離地千米，故錯(cuò)誤．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，由數(shù)形結(jié)合的思想入手，找出所求問題需要的條件．11．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）我國(guó)政府把發(fā)展新能源汽車作為解決能源及環(huán)境問題、實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的重大舉措．某品牌汽車經(jīng)銷商向網(wǎng)約車公司提供新能源與燃油兩種動(dòng)力類型汽車：燃油汽車的燃料費(fèi)用為0.7元/公里；新能源汽車銷售價(jià)格為24萬元，設(shè)燃油汽車運(yùn)營(yíng)成本（運(yùn)營(yíng)成本＝購車費(fèi)用+燃料費(fèi)用）為（萬元），新能源汽車的運(yùn)營(yíng)成本為（萬元），兩種汽車行駛的里程數(shù)為x（萬公里），，與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象解答下列問題：

(1)燃油汽車的銷售價(jià)格為______萬元，兩種汽車行駛______萬公里時(shí)，運(yùn)營(yíng)成本相同？(2)求與的函數(shù)關(guān)系式。(3)若燃油汽車每公里燃油費(fèi)用上漲為0.8元/公里，兩種車型平均每天都運(yùn)行200公里，新能源汽車將提前多少天與燃油汽車運(yùn)營(yíng)成本相同？【答案】(1)20，10(2)(3)新能源汽車將提前100天與燃油汽車運(yùn)營(yíng)成本相同【分析】（1）根據(jù)圖象解答即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可；（3）根據(jù)題意得出油價(jià)上漲后燃油汽車的函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立（2）的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，燃油汽車的銷售價(jià)格為萬元，兩種汽車行駛?cè)f公里時(shí)，運(yùn)營(yíng)成本相同（2）由題知經(jīng)過點(diǎn)所以．當(dāng)時(shí)，．設(shè)過，．得解得所以函數(shù)關(guān)系式為．（3）根據(jù)題意得，油價(jià)上漲后燃油汽車的函數(shù)關(guān)系式為．解得（天）．∴新能源汽車將提前100天與燃油汽車運(yùn)營(yíng)成本相同．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出正確信息是解題關(guān)鍵．12．（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？计谥校└６κ心成痰隃?zhǔn)備購進(jìn)，兩種商品，種商品每件進(jìn)價(jià)20元，種商品每件進(jìn)價(jià)15元．商店為了獲取一定的利潤(rùn)，將種商品的每件售價(jià)定為65元，種商品的每件售價(jià)定為45元．(1)商店計(jì)劃用不超過700元的資金購進(jìn)、兩種商品共40件，請(qǐng)問：種商品的進(jìn)貨數(shù)量不超過多少件？(2)“五一”期間，商店決定開展優(yōu)惠活動(dòng)，準(zhǔn)備對(duì)每件種商品的售價(jià)優(yōu)惠元，但種商品售價(jià)不變；已知種商品的進(jìn)貨數(shù)量不低于16件，在（1）的條件下，求銷售這40件商品商店獲得利潤(rùn)最大時(shí)的進(jìn)貨方案．【答案】(1)A種商品的進(jìn)貨數(shù)量不超過20件；(2)A購買20件，B購買20件利潤(rùn)最大或A購買16件，B購買24件利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大．【分析】（1）根據(jù)題意，列不等式，解答即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性求最值．【詳解】（1）解：設(shè)A種商品的數(shù)量x件，B種商品的