2023年高考數(shù)學題型預測卷（上海） 猜題17 第17-18題 數(shù)列（題型歸納）

猜題17第17-18題數(shù)列（題型歸納）

目錄：一、定義法、數(shù)列求和基礎(chǔ)；二、證明不等式；三、導數(shù)、平面解析幾何等在數(shù)列中

的應用；四、等差等比數(shù)列的綜合運用；五、多種方法求遞推公式

一、解答題

一、定義法、數(shù)列求和基礎(chǔ)

1.已知數(shù)列｛《,｝的前頤項和為S,，滿足S,,=2a「l（〃€N）

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式冊及S“；

⑵若數(shù)列也｝滿足2=國-31],求數(shù)列也｝的前10項的和幾.

【答案】⑴%=2"-'5=2"-1；

（2）1922.

【分析】（1）由4=岳求出％,由%=5,-5,1（〃*2）求得數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系得其為等比數(shù)列并得出公比,

從而易得通項公式、前〃項和；

（2）根據(jù)絕對值的定義按正負分類討論去絕對值符號，然后分組求和.

【解析】（1）由邑=2?！?1得:S,=20,-1,即4=1,

由S“=2a“-1得：Sn+1=2a?+1-l,兩式相減得:a同=2。向-24,

即%=24,

所以數(shù)列｛?！埃且?為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a“=2"T,則s"=三=2"-1；

⑵由⑴知："=|2"-32|,則〃=5-32；〃>5）'

所以7；,=（32-21）+（32-22）++（32-25）+（26-32）+（27-32）++（2|0-32）

=2'+22++2|0-2（2'+22++25）

2(1-2'°)4(1-29_,

2-126=1922.

1-21-2

n

2.已知數(shù)列｛%｝中，q=1,??+l=2?n+3x2-'(n€N*).

(1)判斷數(shù)列｛我)是否為等差數(shù)列，并說明理由;

(2)求數(shù)列｛4｝的前"項和5.

【答案】(1)是等差數(shù)列，理由見解析

(2)S“=2+(3I>2"T

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論得出%=(3”-1>2*2(〃WN*),然后利用錯位相減法即可求解.

【解析】(1)因為q-&=生上半1-%=3,

2〃+i2〃2"+i2〃4

所以數(shù)列［$］是以T為首項，以1為公差的等差數(shù)列；

(2)由(1)知:

數(shù)列例的通項公式為：云=；+(〃-1"'=；(3〃-1),

則q=(3〃-l>2"2(〃eN*),

S“=2x2T+5*20+8x2i+~?+(3〃-4)x2"3+(3〃—l)x2"^,

2S?=2x20+5x2l+8x22+--+(3n-4)x2,,-2+(3/7-l)x2,"'l(2),

①-②得：-S“=1+3X(2°+2'+--+2”2)-(3〃-1)X2"T

i-2'i

=l+3x-p^--(3”-1)X2"T

=—2+(4-3〃>2"T,

則S“=2+(3〃_4).2"T.

3.設(shè)S“為等差數(shù)列伍“｝的前”項和，已知%=9,1=25.

(1)求數(shù)列｛4“｝的通項公式；

(2)記2=」一，7；為數(shù)列｛〃｝的前"項和，求Z,的取值范圍.

anan+l

【答案】(l)4=2〃_l(weN")

【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前〃項公式列出方程組解出等差數(shù)列的首項和公差即可；

（2）先求出數(shù)列依｝的通項公式，然后利用裂項相減法求和，在根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出的取值范圍.

【解析】（1）等差數(shù)列｛?｝中，/4=9,55=25,

q+4J=9

5x4

5q+q-d=25

解得q=1,d=2,

an=2〃-1(幾￡N").

[

(2).bn=

4,4+1

11______

(2n-l)(2n+l)2\2n-\2n+\)

If.11111)

213352n-l2n+l)

n_1

由于訴為遞增數(shù)列，

n

n_11

<

〃=1時，取得最小值彳，且2〃+10,12，

3/十一

n

則”,《，

故7；的取值范圍為：[J）.

4.已知公差不為0的等差數(shù)列｛q｝的首項6=3,且‘，,，成等比數(shù)歹!].

a\a4a\3

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項公式;

（2）若〃=100-??,求數(shù)列｛|可｝的前〃項和T?.

【答案】⑴%=2〃+1

-n2+98/z,1<n<49

⑵1,=

M2-98M+4802,/?>50

【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式即可求解；

（2）根據(jù)數(shù)列｛"｝的通項公式“=99-2〃可以得出數(shù)列｛6,,｝的前49項為正值，進而求解即可.

【解析】（1）因為'，—＞成等比數(shù)列，所以3=-^----，即

?（?4%?46%

設(shè)｛4｝的公差為d,因為4=3,所以（3+3"）2=3（3+124）,即d?-24=0.

因為“#0,所以1=2,所以通項公式為““=2〃+1.

(2)由(1)知仇,=100-q=99-2”.

設(shè)數(shù)列｛"｝的前n項和為S?,則5?=9-2;+97)〃_^?

。=+98

當〃V49時,7；=S?=-n2+98n；

當〃250時,Tn=-S?+2s49=-98〃+4802.

-n2+98/7,1<n<49

"'"-|n2-98n+4802,rt>50,

5.已知數(shù)列｛叫滿足4=1,4M=24+1.

（1）證明：數(shù)列｛見+1｝是等比數(shù)列;

（2）設(shè)bn=-,求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

【答案】（1）證明見解析

（2）S“=2一竽

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求證，

（1）由等比數(shù)列求解見+1=2",進而根據(jù)錯位相減法即可求和.

【解析】（1）由%=2a“+1得：an+1+l=2（a?+l）

由q=l知：q+l=2

%+i+l

=2,???數(shù)列｛%+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列

%+1

(2)方法一

nn

由(【)得：an+\=2",：.b?=

%+12〃

.123幾個

Yc="+￥+?、①

2S,,=1+|+攝+…+券②

1n〃

②-①得：=1+—+H1-=23

~~1T2〃

2

〃+2

5?=2-

2"

方法二

nn

由(1)得:a”+l=2",；也=

%+12"

.123〃公

?-5cn=2+F+￥+"-+F①

112H-1n不

-S=-7H-rH-----1-----------1-----yr②

22223T2n+,

1I」

nnn〃

①-②得：=；+'+???+-1------=22〃+2

T2向-洛西一

T1-----*尹二

2

〃+2

；應=2-

2"

6.已知數(shù)列滿足今+4++/=〃-2+擊?

22

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵若2=%?cosmt,求數(shù)列也｝前2〃項和T2?.

【答案】(1)。"=2"-2

2?4"-2

⑵&=

3

【分析】(1)用數(shù)列中前〃項和5?與項的關(guān)系求解;

(2)先寫出奇數(shù)項、偶數(shù)項的通項公式，再按奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和.

【解析】(1)由題意?~+生++苔=〃-2+手才.

當九=1時，q=0；

當〃22時，++弱=”-3+3，

兩式相減得號="-2+擊-(〃-3+3)=1-擊,

所以%=2"-2,當”=1時也成立.

所以數(shù)列包｝的通項公式q=2"-2.

2-2",〃為奇數(shù)

(2)根據(jù)題意,得b=a.cos〃兀=(2"-2)cosim=?

nn2"-2,〃為偶數(shù)

所以&=4+匕2+么+…+瓦“_]+b2?

=(-2'+22-2i+...-221'-'+22")+(2-2+2-...-2+2)

=-2'+22-23+...-22"-1+22"

-2[l-(-2)2n]2-4"-2

1-(-2)3

2-4"-2

所以耳

3

7.已知數(shù)列｛4｝滿足q+3%++(2〃_l)a.=〃.

(1)求｛《,｝的通項公式;

上,〃為奇數(shù),

(2)已知%=〈19?！皵?shù)列｛%｝的前20項和.

儲,4+2，〃為偶數(shù),

【答案】⑴凡年

八1300

(2)----

129

【分析】(1)根據(jù)4+3%++(2〃-1)4,=〃得到4+3%++(2〃-3)4一=〃一1(〃之2),然后兩式相減得

到4=5匕(“22),最后驗證”=1時是否成立，即可得到%;

(2)分奇偶項求和，奇數(shù)項用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項用裂項相消的方法求和，最后相加即可.

【解析】（1）當“=1時，可得%=1,

當〃22時，4+3%++（2〃—=〃，

%+3%++（2〃一3）q_[=/?-1（?>2）,

上述兩式作差可得q=止1（〃22）,

因為4=1滿足??=—,所以｛%｝的通項公式為%=T二,

2n-l2〃-I

272-1二大她

—為奇數(shù)

⑵c,.=\]，

一，、力八，〃為偶數(shù)

（2?-1）（2?+3）

er-.U1+5+9++37（1+37）x10

所以j+C3++c=--------------=----------=10,

1319192x19

111If11111110

6+g++=---------1------------FH-------------=-----------1-------------F-H--------------=,

-4203x77x1139x434（377113943J129

所以數(shù)列匕,｝的前20項和為詈.

8.已知數(shù)列｛《,｝是以d為公差的等差數(shù)列，“H0,S”為｛可｝的前〃項和.

⑴若&-S3=6g=1,求數(shù)列｛??｝的通項公式；

（2）若｛〃“｝中的部分項組成的數(shù)列｛%“｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，且4=4q,求數(shù)列｛〃?“｝的前〃

項和7“.

【答案】（1）%=g〃一g

⑵Z,=

【分析】（1）由56-邑=6,可得%=2,后由等差數(shù)列性質(zhì)可得公差，即可得通項公式；

（2）由題可得%,.=4%,,,叫=1.后由｛4｝是以“為公差的等差數(shù)列，4=44可得數(shù)列“%是以;

為首項.4為公比的等比數(shù)列，可求得數(shù)列｛町,｝的通項公式，后由分組求和法可得｛町J的前〃項和刀一

【解析】（1））因為56-邑=6,所以44+%+，=6,

所以。4+4+%=3%=6=%=2.

所以d=-----=—=>an=%+(〃-3)d=—n-

5-3222

則數(shù)列｛q｝的通項公式為a,,=g〃-

(2)因為數(shù)列｛冊“｝是以首項為6,公比為4等比數(shù)列.

所以4“=4q”.,，a叫=qn叫=1.

因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，所以％+(%一l)d=4[q+(〃*-l)d].

化簡得啊=9+4mn_t-3.

因為/+d=4q,所以3=2,即帆“=4m-2.

a3

因為叫一：=3,所以數(shù)列］取一：:是以;為首項.4為公比的等比數(shù)列

711?

所以外^m"=r4+f-

+=

所以（，=mt+m2++mH=g（4°+4,+4*）~^'一:+.

則數(shù)列｛外｝的前〃項和。為：7；=4“一；+6”

9.已知等差數(shù)列｛4｝和正項等比數(shù)列他｝，4=偽=1,%=4=4.

⑴求4，%

⑵設(shè)c“=log，,+4「5,記數(shù)列｛c,,｝的前,項和為S“，求S”的最小值：

⑶設(shè)也｝的前"項和為是否存在常數(shù)P、c,使。,,=，+1。82（7；+。）恒成立？若存在，求出P、c的值；若

不存在，說明理由.

【答案】⑴4=g〃+；;4=（亞）；

（2）-10；

（3）存在，其中p=log?（2-6），c=0+L

【分析】（1）由題干條件可求出等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比，后可得通項公式;

（2）由（1）可得q=〃-5,后由數(shù)列單調(diào)性結(jié)合項的正負性可得S“的最小值；

（3）可求得7；=（亞,（亞+1）-（亞+1）,后由%=0+1（g億+。）可得

網(wǎng).鼻（亞了（亞+1）-（也+1）+c,后比較相關(guān)系數(shù)可得答案.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d,等比數(shù)列公比為4（夕>0）.

則由題有：d=—...-=—,=bq4=4=>^=5/2.

7-1251

故q=q+（〃_1）4=；〃+g；2=btq"-'=（亞）;

（2）由（1）可得=log2%+a"-5=］〃一耳+萬九+耳一5=〃-5,

則｛%｝是以T為首項，公差為1的遞增等差數(shù)列，注意到臼=7,與二°，"=1，

則S“>S4=S5=-4-3-2-1=-10,即求S“的最小值為TO；

-1

=［（可一1］（亞+1）=（可（也+卜

（72+1）.

因4=g（"+1）,則若為="+地2（Z,+c），

可得

；（"+1）=p+log2［（亞）（近+1）一（J2+1）+c=>

g（〃+1）-0=log21（亞）（亞+1）-（72+1）+c.注意到

n+，V=1嗎］網(wǎng)，李，

+1）-0=log,2和叫一"=log,（亞:

則網(wǎng).落（閭"（亞+1）-（亞+1）

+C恒成立，從而可得

正=拒+1=>2°=?.J-=2-41-

>p=log2（2-五卜

2。&+1

-（亞+l）+c=0nc=^+l.

則存在常數(shù)P=1%（2-&），c=6+l使4,=P+log2（Z,+c）恒成立.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及求數(shù)列通項,前〃項和，及數(shù)列中的恒成立問題.

本題難點在于第三問，關(guān)鍵需整理出關(guān)于。c的等式，后通過比較系數(shù)可得關(guān)于。，c的方程.

二、證明不等式

10.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前"項和為s“，已知邑=7,且4-4=-7.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)2=%+2〃-1,數(shù)列也｝的前〃項和為小證明：當〃25時，7；,>56.

【答案】(l)a“=2"T

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求4,4,即可得結(jié)果;

(2)利用分組求和可求得北=2"-1+",再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛〃,,｝的公比為4,

日(1-力

邑=7=74=1

??,3_」，則,解得

[a-a=-7q=2

i4q(i-0=-7

故“"=2"，

(2)由(1)知2=2"T+2〃-1,

z,'

所以Z,=hi+b2+---+hn=(1+1)+(2+3)+…+(2"T+2〃-l)=(l+2+L+2')+(l+3+L+2”-1)

1-2"H(1+2H-1)C”I

----+-^------^=2”-1+〃

1-22

?."(工)=2*-1+/在［1,”)上單調(diào)遞增,則數(shù)列｛=｝為遞增數(shù)列,

當〃25時，Tn>T5=56f

故當〃25時，Tn>56.

,、S,H+2

11.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S?,滿足宅=——，4=1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)數(shù)歹U｛2｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足%=—1%，若瓦=2,4么"么么=2'°,求證：q+c?+…+g<1.

an*an+\4+1

【答案】⑴?！?〃，neN,

(2)證明見解析.

【分析】(1)先由累乘法求得S.，再根據(jù)M與S”的關(guān)系即可求得數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)先由條件求得數(shù)列也｝的通項公式，即可得到呢，然后根據(jù)裂項相消法即可證明.

…，+2,S,3s34S5nS?n+\

【解析】⑴因為于=丁，則才下才5臂4不

Sn-2"-2'S"Tn-\

口不一先S?345nn+l+

累乘可得，-=7X^X^Xx-------x-------=-------------n>2

J〕IZDn—2n—\2

所以S又s,=q=l符合式子,

2

+.

所以S〃=------,

2

(?-1):+(?-1)_n2-n

當〃22時，加

22

所以兩式相減可得an=Sn-S,-=〃，〃22,

又4=1符合上式，所以〃,,=〃，〃eN*

⑵因為數(shù)列也｝為等比數(shù)列,%=2,且她她A=2,°,

設(shè)數(shù)列出｝的公比為4,則色力'=21°,即(2辦=*,

所以4=2,則b“=2"T

…2+?11

所以C”二仆+1>2"=n-2"-'~(〃+1)2，

即…+…+%=(1-￡|+-丹?+占-高港

12.已知工，為數(shù)列｛q｝的前〃項和，S“=2%-4〃+2.

⑴證明：數(shù)列｛。"+4｝為等比數(shù)列；

2"11

(2)設(shè)數(shù)列------的前〃項和為Z,,證明：Tn<~.

Uq+J6

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）取〃=1計算4=2,q=5“-5,1=24,-2為_「4得到9^=2,得到證明.

%-]十4

n

（2）確定q+4=3x2〃-4,變換---2---=\（-1[1、I,利用裂項求和計算得到證明.

313X2-43x2-4）

【解析】（1）4=S]=2q-4x1+2,4=2,ax+4=6.

由5“=24_4〃+2,得Si=4_[_4（〃—1）+2,〃22,

as

?=n~S,I=（2q-4"+2）-[2a?-1-4（-l）+2]=2a?-2a?_,-4,n>2,

a”+42a”,4-4+4

所以q=2a,i+4,n>2,故j=2,n>2,

所以數(shù)列｛a?+4｝是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列.

（2）+4=6x2"'=3x2"-4,

2___________T___________\_（___1_________[

nn++l

故a?-an+l-（3x2-4）.（3x2'-4）"313x2"-4.3x2"-4

2

所以2+=2-+2"

4?！禞%

1fl1111111111

3(288203x2"-43x2**'-4)633x2”"-46

13.設(shè)首項為的數(shù)列｛《,｝的前〃項積為「，且滿足q4M=(M+1)an-na^

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

[n],1113

⑵設(shè)數(shù)列1瓦卜的前〃項和為S”，求證：三+不++不<7.

[/〃Jdi%~4

參考公式：『+22+3，+〃2=L〃(”+1)(2〃+1).

6

【答案】(1)4=—、

(2)證明見解析

〃+1〃n

【分析】(1)由己知可得---------=1,即數(shù)列｛一｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，然后求解即

〃+1

可;

(2)由參考公式可得S="(〃+[(〃+2),則1=]1一J-―-,然后累加求和即

"35,2|_n(/?+1)(“+1)(〃+2)

可.

【解析】(1)數(shù)列伍”｝的前?項積為T?,且滿足aa^=(?+1)?-nan+｛.

n+\ni1n

則---------=1,又4=：，一=2,則數(shù)列｛一｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

??+i424a?

則一=2+(〃-1)=〃+1=〃=—!L-.

盤〃+1

1?n1n

(2)由(1)可得7；=士x*xx-^=—,則k=/2+〃

"23n+1n+1T

222

則Sn=(l+2+3+

〃(〃+l)(〃+2)J_=_______3_______

3，'S“〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

I12p______q+p______q++_J______________!_______

211x22X3j(2x33x4)(〃(”+1)(n+1)(n+2)

S,邑

3________]3

22(〃+1)(”+2)4

14.已知數(shù)列｛《,｝的前"項和為S"，且q=0,〃4+I=("+1)4+2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)若1=證明：

1Zo

【答案】(1)4=2〃-2；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由條件可得黑=++"高，利用累加法求腎，由此可求數(shù)列｛《,｝的通項公式;

(2)利用裂項相消法求7；,再證明4WTLv"

12o

【解析】⑴因為叫用=5+1）4+2.所以煞（=?+/m，

所以署吟=2（齊舟?

因為"—當=2

nn—\

當“22時,---L+

n1\n—\nn-2n—\12)(n)

因為4=0,所以卓=21

nJ

又4=0也滿足關(guān)系于=2（11-1

n

所以M=2(1_L],所以a“=2〃-2.

nvnJ

（2）因為勺=2〃-2,所以S,,=（2〃；2）〃=“（〃_］）

因為------=--------------=----------------------

S"“+32n(n+l)(n+2)4|_n(n+l)(〃+1)("+2)

]

所以＜=

S"+|“"+3

_____1__1_____1__J__________]

4U2-2^32^3~3^4〃(“+l)一(x+l)(>+2)

“一W叵一（?+l）（n+2）J，

所以1=q-4（“+］）（〃+2廣

因為4（"+；（“+2）＞°，所"，

因為刀,在“eN*時單調(diào)遞增，所以7；的=!，故3鈉＜］

1212o

15.己知數(shù)列｛叫滿足q=l,a?+]=2a?+1.

⑴證明：數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列;

⑵設(shè)"=J，S“=々+4++b?,證明：S?＜2.

【答案】（1）證明見解析:

（2）證明見解析.

【分析】（1）將。e=2勺+1配湊得a向+1=2（4+1）,從而可得?嚕=2,根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）

由（1）可得q=2"-122"-,，從而得?='=八4白，再利用等比數(shù)列的求和公式計算$“，即可證明

anI-2

S“<2.

【解析】（1）由。,向=2%+1得：a?+1+1=2（a?+1）.

由q=1可得，q+l=2

%+i

數(shù)列｛??+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）得:4+1=2".

an=2"-\>2"-',當且僅當n=1時取等號

.,：1=1v1

"n~~a~2"-]~2^,

1」

,,1111ow1

.\Sn=b]+b2++bn<l+-+^++于7=----f=2-西<2

~2

即S〃<2.

16.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,%二號嬴.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）記S”為數(shù)列｛q｝的前〃項和，證明：14S“<2.

【答案】⑴""二而片

（2）證明見解析

a11c

【分析】（1）把。用=77-化為-------=2"，從而利用累加法可求；

1+2””“a?+]an

1I11/c'

（2）由3?？赏芐L，利用4=訴的（而旺=不r**2）放縮，可證S,<2.

11c11c

【解析】（1）由題意知?！ü?,所以——=—+2〃，即-------=2"

4Man/an

—=2(/7-l)+2(n-2)+--+2+l=n(n-l)4-l,

顯然4=1滿足上式，所以1

(2)由(1)知4>0,—=—+2n>0

所以%>〃”+1，所以S〃之4=1.

1111/C\

又因為%=---------<-------=(n>2]

九(〃一1)+1-----------n-in

所以S〃=%+4+…+4wi+=2--<2,

n

所以14szi<2.

17.已知數(shù)列｛《,｝滿足：4=1,-^=—；數(shù)列｛〃,｝是等比數(shù)列，并滿足a=2,且a-1,bA,4-1成

等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項公式；

(2)若數(shù)列出｝的前〃項和是S,,,數(shù)列｛&｝滿足呢=/喂丁，求證：c,+c2+...+cn<l

an+2十勺2

【答案】(1)4=4，2=2"；(2)證明見解析.

n

【解析】⑴由己知可得〃4,=(〃+1)-=1,可求｛。,,｝通項；再根據(jù)題設(shè)得溝=魚-1)+(4-1)解得4,可得

｛〃｝通項公式;

(2)由(1)可得｛%｝通項公式，裂項求和即可.

【解析】(1)由已知4=1,"%=("+1)4田，所以卜叫｝是常數(shù)列,

nan=l-at=1,故a,,=’

n

設(shè)也｝的公比是4,由已知得次=伯-1)+他-1),所以4『=2/

所以4=2,故2=2"

〃1-2

c二-〃+2_1________[

"見+2（S“+2）如+1）?2向幾?2〃（〃+1>2向

一,111111

12"1-22-222-223-23n-2"（"+1）-2向

所以C1+C2+…+q,—[訶<：,得證.

【點睛】此題考查數(shù)列的通項公式的求法:一是由遞推關(guān)系求通項公式，二是確定基本量求通項公式；另一

方面考查裂項求和，屬于中檔題.

三、導數(shù)、平面解析幾何等在數(shù)列中的應用

18.已知對于任意〃eN*,函數(shù)/。）=1+2》在點（〃,/（〃））處切線斜率為%,正項等比數(shù)列也｝的公比

qe（0,1）,且〃么+26也+仇4=25,又打與打的等比中項為2.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

⑵若2>a?-log2%對任意〃eN?恒成立，求彳取值范圍.

【答案】⑴q=2〃+2,

(2)2>12

【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求得數(shù)列｛4｝的通項公式，根據(jù)題意求出數(shù)列也｝的首項和公比,

即可求得數(shù)列｛q｝的通項公式;

（2）先求出4Jog2dM的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解析】(1)由題意/'(x)=2x+2,a“=2w+2,

俄+2b也+攻=5=4=4瓦=1

（舍），

AA=44=J4=4

q代"…"

2

(2)an-log,bn+l=2(n+1)(4-n)=-2n+6n+8=-2-1J+y<12,

當〃=1或2時取“=”，

AA>12.

19.函數(shù)y=/(x)的圖象為自原點出發(fā)的一條折線，當〃-14”〃(〃€曠)時，該函數(shù)圖象是斜率為夕(bwO)

的一條線段.已知數(shù)列｛%｝由/(??)=?(?eN,)定義.

⑴用〃表示4，%；

(2)若b=2,記刀,="1+2”,++naN,求證：T">"+"—.

2

【答案】⑴6=：,。2=:+/

(2)證明見解析

【分析】(1)由條件結(jié)合兩點斜率公式列方程求4,4；

(2)由兩點斜率公式可得q利用累加法求《,，再由等差數(shù)列求和公式和錯位相減法求7.，由

此證明結(jié)論.

【解析】⑴由已知可得函數(shù)y=過點(0,0),(a"),(生,2),

又當〃74y時，該函數(shù)圖象是斜率為〃'作工0)的一條線段，

1—0.2—1.2

所以——=b,-----=b',

%a2-%

22

所以的=1,ba2-ba｝=1,

1I11

所以4=產(chǎn)=3+*

(2)因為函數(shù)y=/(x)過點,

又當14丫4〃(〃€^)時，該函數(shù)圖象是斜率為夕9工0)的一條線段，

所以一!-=b"

a,.~an-y

又6=2,所以1/=2"，即4-%=3，

Un~Un-\L

w111

所以。2-。=齊，ay-az=—,…，an-an_x=—,

所以當〃之2時，?！?4=/+*+…弓’又4=；，

所以當時,111

U..-----1----7+一---=

“222TT

2

又〃=1時，4=；也滿足關(guān)系式％=1-^-,

所以neN*,

Y\

所以“4=〃-R7，

12n

所以t=］一］+2-牙+…+〃一歹

所以7；=1+2+…,+…+幻，

、幾o12n

設(shè)S,,=5+蘇+???+*，

112n

則nil”r=尹+就+…+廣，

朱一仕「

所以入」+LL…+匚/-=21_12〃_、1一絲2,

2〃2222?2〃2"+i12"+i2""

1—

2

所以S“=2-喀，

又1+2+3+…+〃=-----

2

，(九+1)(2+〃)712+/?-42+nn2+n-4

所以北=^_—I?—亍上+

20.已知數(shù)列｛5｝的前〃項和為5,，且S“+2"=2a“+l

(1)求為,并證明數(shù)列是等差數(shù)列:

(2)若2《＜5”，求正整數(shù)%的所有取值.

【答案】⑴q=l,證明見解析

(2)1,2,3

【分析】⑴根據(jù)可|卡S.,7?證=1叼一尹為a定a值即可;

（2）先根據(jù)（1）求出““，再利用錯位相減法求出S“，從而可得2d,52”，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【解析】（1）由5“+2"=2勺+1,得S“=2%-2"+l,

當”=1時，Sl=al=2a｝-2+1,所以q=l,

n|

當〃22時，5?,1=2a?.l-2-+l,

兩式相減得/=2a?-an_,-2-',即a?=+2"',

所以"=%+L

2"2"-'2

所以數(shù)列｛祟｝是以自=；為首項，,為公差的等差數(shù)列；

（2）由⑴得/=]，所以為=小2j

S?=1+2X2+3X22++n-2"-',

25?=2+2X22+3X23++n-T,

I_on

兩式相減得一S“=l+2+2?+23+,

所以S.=（〃—l）2"+1,

則52*=（24—1）+1,,

由2a：<S2k>

得<（2jt-l）22*+l,

BPk~—4k+2-2*_]<0>

令〃x）=x2-4x+2一擊，

因為函數(shù)y=》2-4*+2,〉=-壑，在（2,+8）上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)〃x）=x2-4x+2-擊在（2,內(nèi)）上是增函數(shù)，

13117

由〃1）=1-4+2——=——<0,/（2）=4-8+2——=——<0,

2288

/⑶=9T2+2-*=-1“4）=16-16+2-/=2一/>。,

則當x24時，/（x）＞0,

所以若2《<邑/，正整數(shù)k的所有取值為123.

21.已知數(shù)列｛4｝各項都不為0,4=2,%=4,｛q｝的前〃項和為5“，且滿足"My=45”.

(1)求｛4｝的通項公式；

A2"+11

(2)若b?="C,+0c+0c:+…+%C：T+a,C：,求數(shù)列=—的前”項和T?.

23她用J

【答案】⑴凡=2w,neN";

_11

⑵n-2-(?+1)-2,,+|

【分析】(1)利用S“與4的關(guān)系，得到。向-勺一」=4,再利用隔項等差數(shù)列的性質(zhì)，分別求出〃為奇數(shù)與"

為偶數(shù)時的通項?！?，進而可得答案.

b+2.11

(2)利用倒序相加，求得“=小2",整理得七一=---~--7,進而利用裂項求和法，得到刀，

帥田?-2(?+1)-2

【解析】(1)”22時，anan+l=4Sn,an_xan=4S,,..,兩式相減，可得可(。用-%_1)=4%,由題意得a戶0,

可得加=4,則有

當“為奇數(shù)時，《,生，％，，可為等差數(shù)列，a.=4+4.(m—1)=2〃，

當”為偶數(shù)時，/，4，%4為等差數(shù)列，/=的+4g-1)=2”,

/.an=2〃(〃GN*)

(2)bn=a]C\+02c:+…+?丁+a?C：,

n

b?=anC"?+a^C；'++，C+aC，利用倒序相加，可得

2b,,=(《+a”-)(C：+C：++C：)+2a?C；；=2〃(2"-2)+4〃=2〃?2",

解得勿=〃-2”，

,〃,+2"i_小2"+2向__J________]

n+l

"b?b?+l-n-2-(n+l)-2"一IvT-(〃+])?2向'

._L__L__!___L_+J____!_=1___!-

“r"=1x22x22+2x223x23+n-2"(”+1>2"“2(n+l)-2n+l

22.在數(shù)列｛/｝中彷=2,q?+l=2-■-,在數(shù)列｛《,｝中q=1,9-=&"=%.

a2n-\a2n

(1)求證數(shù)列1j匕I成等差數(shù)列并求或；

1111cl1,

(2)求證：—+—++——+—<3--------

%a2?2?-la2??"+1

,?4-1

【答案】(1)證明見解析，q?=—

n

(2)證明見解析

【分析】(1)條件等式兩邊取倒數(shù)化簡變形即可;

(2)由累乘法求得生”的通項公式，對不等式進行縮放，結(jié)合裂項相消求和即可證明.

【解析】(1)由/M=2-L知4用=亥」，

%q.

11q?,1

故%+「12q“-1_]qn-\qn-\,

Qn

即」7--1=1,數(shù)列成等差數(shù)列,

q“+「iq”-i

所以----7=----+(n-l)xl=/?所以為=巴］

q“T0Tn

⑵由一=%,得以■=

a2n-\

所以〃2〃=幺包=〃5+1),

%

<

/?(/?+!))

+i—

nn+1)

四、等差等比數(shù)列的綜合運用

23.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4+/+34=25,且2+2,%,%-2成等比數(shù)歹人

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公