2024屆廣東省廣州荔灣區(qū)真光中學高一數學第一學期期末質量檢測試題含解析

2024屆廣東省廣州荔灣區(qū)真光中學高一數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知向量，，若，則實數的值為（）A.或 B.C. D.或32．直線與函數的圖像恰有三個公共點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.3．已知集合，，若，則實數a值的集合為（）A. B.C. D.4．函數是奇函數，則的值為A.0 B.1C.-1 D.不存在5．已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則函數的零點個數為（）A.20 B.18C.16 D.146．要想得到函數的圖像，只需將函數的圖象A.向左平移個單位，再向上平移1個單位 B.向右平移個單位，再向上平移1個單位C.向左平移個單位，再向下平移1個單位 D.向右平移個單位，再向上平移1個單位7．若函數取最小值時，則（）A. B.C. D.8．已知命題，，則命題否定為（）A.， B.，C.， D.，9．已知一個直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（）A. B.C. D.10．若方程表示圓，則實數的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知水平放置的按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為___________12．計算：（）0+_____13．若，則的終邊所在的象限為______14．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，，則的取值范圍是__________15．已知則________三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．在直角坐標平面中，角α的始邊為x軸正半軸，終邊過點（-2，y），且tana=-，分別求y，sinα，cosα的值17．已知函數（Ⅰ）當時，求在區(qū)間上的值域；（Ⅱ）當時，是否存在這樣的實數a，使方程在區(qū)間內有且只有一個根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由18．某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料（Ⅰ）求三位同學都沒有中獎的概率；（Ⅱ）求三位同學中至少有兩位沒有中獎的概率.19．已知冪函數的圖象經過點（1）求的解析式；（2）設，（i）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增（ii）若在上恒成立，求t的取值范圍20．已知，函數.（1）當時，解不等式；（2）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（3）設，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.21．已知函數，.（1）求函數的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最小值及相應的的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、A【解析】先求的坐標，再由向量垂直數量積為0，利用坐標運算即可得解.【詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.2、C【解析】解方程組，得，或由直線與函數的圖像恰有三個公共點，作出圖象，結合圖象，知∴實數的取值范圍是故選C【點睛】本題考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用3、D【解析】,可以得到，求出集合A的子集，這樣就可以求出實數值集合.【詳解】,的子集有，當時，顯然有；當時，；當時，；當，不存在符合題意，實數值集合為，故選:D.【點睛】本題考查了通過集合的運算結果，得出集合之間的關系，求參數問題.重點考查了一個集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結論.4、C【解析】由題意得，函數是奇函數，則，即，解得，故選C.考點：函數的奇偶性的應用.5、C【解析】解方程，得或，作出的圖象，由對稱性只要作的部分，觀察的圖象與直線和直線的交點的個數即得【詳解】,或根據函數解析式以及偶函數性質作圖象，當時，.，是拋物線的一段，當，由的圖象向右平移2個單位，并且將每個點的縱坐標縮短為原來的一半得到，依次得出y軸右側的圖象，根據對稱軸可得左側的結論，時，，的圖象與直線和的交點個數，分別有3個和5個，∴函數g(x)的零點個數為，故選：C【點睛】本題考查函數零點個數，解題方法是數形結合思想方法，把函數零點個數轉化為函數圖象與直線交點個數，由圖象易得結論6、B【解析】，因此把函數的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位可得的圖象，故選B.7、B【解析】利用輔助角公式化簡整理，得到輔助角與的關系，利用三角函數的圖像和性質分析函數的最值，計算正弦值即可.【詳解】，其中，因為當時取得最小值，所以，故.故選：B.8、D【解析】根據全稱命題的否定是特稱命題形式，直接選出答案.【詳解】命題，，是全稱命題，故其否定命題為：，，故選：D.9、C【解析】根據斜二測畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖，然后可解.【詳解】由斜二測畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面積為.故選：C10、A【解析】由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A考點：圓的一般方程二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、2【解析】∵∠B'A'C'=90°,B'O'=C'O'=1，.∴A'O'=1，∴原△ABC的高為2，△ABC面積為.點睛：由斜二測畫法知，設直觀圖的面積為，原圖形面積為，則12、【解析】根據根式、指數和對數運算化簡所求表達式.【詳解】依題意，原式.故答案為：【點睛】本小題主要考查根式、指數和對數運算，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.13、第一或第三象限【解析】將表達式化簡，，二者相等，只需滿足與同號即可，從而判斷角所在的象限.【詳解】由，，若，只需滿足，即與同號，因此的終邊在第一或第三象限.故答案為：第一或第三象限.14、【解析】由三角形中三邊關系及余弦定理可得應滿足，解得，∴實數的取值范圍是答案：點睛：根據三角形的形狀判斷邊滿足的條件時，需要綜合考慮邊的限制條件，在本題中要注意銳角三角形這一條件的運用，必須要考慮到三個內角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，進一步得到邊所要滿足的范圍15、【解析】分段函數的求值，在不同的區(qū)間應使用不同的表達式.【詳解】，故答案為：.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、.【解析】利用直接求出y的值；然后直接構造直角三角形利用即可得解【詳解】解：∵角α的始邊為x軸正半軸，終邊過點（-2，y），且tana=-=，∴y=1，∴sinα==，cosα==-【點睛】如果在單位圓中，可直接得出，在非單位圓則是，為圓的半徑17、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求對稱軸，進而得到函數的單調性，即可求出值域；（Ⅱ）函數在區(qū)間內有且只有一個零點，轉化為函數和的圖象在內有唯一交點，根據中是否為零，分類討論，結合函數的性質，即可求解.【詳解】（Ⅰ）當時，，對稱軸為：，所以函數在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增；則，所以在區(qū)間上的值域為；（Ⅱ）由，令，可得，即，令，，，函數在區(qū)間內有且只有一個零點，等價于兩個函數與的圖象在內有唯一交點；①當時，在上遞減，在上遞增，而，所以函數與的圖象在內有唯一交點.②當時，圖象開口向下，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內有唯一交點，當且僅當，即，解得，所以.③當時，圖象開口向上，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內有唯一交點，，即，解得，所以.綜上，存在實數，使函數于在區(qū)間內有且只有一個點.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了求一元二次函數的值域問題，以及函數與方程的綜合應用，其中解答中把函數的零點問題轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，結合函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查轉化思想，以及推理與運算能力.18、（1）；（2）.【解析】（1）因為甲、乙、丙三位同學是否中獎是相互獨立，因此可用相互獨立事件同時發(fā)生的概率求三位同學都沒有中獎的概率；（2）將此問題看成是三次獨立重復試驗，每試驗“中獎”發(fā)生的概率為.試題解析：解：設甲、乙、丙三位同學中獎分別為事件A、B、C，那么事件A、B、C相互獨立，且P(A)=P(B)=P(C)(1)三位同學都沒有中獎的概率為：P(··)=P()P()P().(2)三位同學中至少有兩位沒有中獎的概率為：P=考點：1、相互獨立事件同時發(fā)生的概率；2、獨立重復試驗.19、（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】（1）設，然后代點求解即可；（2）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范圍【小問1詳解】設，則，得，所以【小問2詳解】（i）由（1）得任取，，且，則因為，所以，，所以，即所以函數在上單調遞增（ii）由（i）知在單調遞增，所以在上，因為在上恒成立，所以，解得20、（1）．（2）．（3）【解析】（1）當時，解對數不等式即可；（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論的取值范圍進行求解即可；（3）根據條件得到，恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可.試題解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①則（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，當a＝4時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當a＝3時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當a≠4且a≠3時，方程②的解為x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，則a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，則a＝2a﹣4＞0，即a＞2，則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2綜上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a＝3或a＝4（3）函數f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a設1﹣t＝r，則0≤r，，當r＝0時，0，當0＜r時，，∵y＝r在（0，）上遞減，∴r，∴，∴實數a的取值范圍是a【一題多解】（3）還可采用：當時，，，所以在上單調遞減