2024屆江西省頂級名校數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測試題含解析

2024屆江西省頂級名校數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數(shù)，且，則的最小值是（）A.6 B.C. D.2．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B.6C. D.73．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的值域為C.在上單調(diào)遞減D.的圖象關(guān)于點對稱4．函數(shù)的部分圖像是A. B.C. D.5．若函數(shù)的三個零點分別是，且，則（）A. B.C. D.6．若函數(shù)y=f（x）圖象上存在不同的兩點A，B關(guān)于y軸對稱，則稱點對[A，B]是函數(shù)y=f（x）的一對“黃金點對”（注：點對[A，B]與[B，A]可看作同一對“黃金點對”）．已知函數(shù)f（x）=，則此函數(shù)的“黃金點對“有（）A.0對 B.1對C.2對 D.3對7．已知全集，集合，圖中陰影部分所表示的集合為A. B.C. D.8．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的值域是A. B.C. D.10．下列哪組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)（）A與 B.與C.與 D.與二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．當(dāng)曲線與直線有兩個相異交點時，實數(shù)的取值范圍是________12．已知圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關(guān)系是__．(請?zhí)顚懀合嗲小⑾嘟?、相離)13．已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為________.14．下列四個命題：①函數(shù)與的圖象相同；②函數(shù)的最小正周期是；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；④函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)其中正確的命題是__________（填寫所有正確命題的序號）15．若，則___________；16．水葫蘆又名鳳眼蓮，是一種原產(chǎn)于南美洲亞馬遜河流域?qū)儆谟昃没?，鳳眼藍(lán)屬的一種漂浮性水生植物，繁殖極快，廣泛分布于世界各地，被列入世界百大外來入侵種之一．某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30m2；③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個月；④設(shè)野生水葫蘆蔓延至2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．其中，正確的是________．(填序號)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在長方體中，，，是與的交點.求證：(1)平面(2)求與的所成角的正弦值.18．設(shè)全集實數(shù)集,,（1）當(dāng)時,求和；（2）若,求實數(shù)的取值范圍19．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.20．計劃建造一個室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道．設(shè)溫室的一邊長度為米，兩個養(yǎng)殖池的總面積為平方米，如圖所示：（1）將表示為的函數(shù)，并寫出定義域；（2）當(dāng)取何值時，取最大值？最大值是多少?21．已知函數(shù).（1）用五點法作函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（2）解關(guān)于的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】構(gòu)造，利用均值不等式即得解【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立故選：B【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題2、D【解析】先求出，再求出即得解.【詳解】由已知，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則由題設(shè)，當(dāng)時，，則因為為奇函數(shù)，所以.故選：D3、C【解析】利用分段函數(shù)化簡函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖像和性質(zhì)，從而得出結(jié)論.【詳解】故函數(shù)的周期為，即，故排除A,顯然函數(shù)的值域為，故排除B,在上，函數(shù)為單調(diào)遞減，故C正確，根據(jù)函數(shù)的圖像特征，可知圖像不關(guān)于點對稱，故排除D.故選：C.【點睛】本題解題時主要利用分段函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，在化簡的過程中注意函數(shù)的定義域，以及充分利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解題.4、D【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值在某個區(qū)間上的符號，對選項進(jìn)行排除，由此得出正確選項.【詳解】∵是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，∴排除A,C項；當(dāng)時，，∴排除B項.故選D.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】利用函數(shù)的零點列出方程，再結(jié)合，得出關(guān)于的不等式，解之可得選項【詳解】因為函數(shù)的三個零點分別是，且，所以，，解得，所以函數(shù)，所以，又，所以，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地運用零點存在定理6、D【解析】根據(jù)“黃金點對“，只需要先求出當(dāng)x＜0時函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的解析式，再作出函數(shù)的圖象，利用兩個圖象交點個數(shù)進(jìn)行求解即可【詳解】由題意知函數(shù)f（x）=2x，x＜0關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為，x＞0，作出函數(shù)f（x）和，x＞0的圖象，由圖象知當(dāng)x＞0時，f（x）和y=（）x，x＞0的圖象有3個交點所以函數(shù)f（x）的““黃金點對“有3對故選D【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合“黃金點對“的定義，求出當(dāng)x＜0時函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵7、A【解析】由題意可知，陰影部分所表示的元素屬于，不屬于，結(jié)合所給的集合求解即可確定陰影部分所表示的集合.【詳解】由已知中陰影部分在集合中，而不在集合中，故陰影部分所表示的元素屬于，不屬于（屬于的補(bǔ)集），即.【點睛】本題主要考查集合表示方法，Venn圖及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、C【解析】根據(jù)自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集以及有理數(shù)集的含義判斷數(shù)與集合的關(guān)系.【詳解】對于A，，所以A錯誤；對于B，不是整數(shù)，所以，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，因為不含任何元素，則，所以D錯誤.故選：C.9、C【解析】函數(shù)中，因為所以.有.故選C.10、D【解析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故A錯；B選項，定義域為，的定義域為，定義域不同，故B錯；C選項，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故C錯；D選項，與的定義域都為，且，對應(yīng)關(guān)系一致，故D正確.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個交點的臨界狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點連線斜率公式求得斜率的取值范圍.【詳解】為恒過的直線則曲線圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)直線斜率時，曲線與直線有兩個相異交點與半圓相切，可得：解得：又本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用曲線與直線的交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式找到臨界狀態(tài)，易錯點是忽略曲線的范圍，誤認(rèn)為曲線為圓.12、相交【解析】求得的圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為、半徑為，圓心到直線的距離為，小于半徑，所以直線和圓相交，故答案為相交.【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解答直線與圓的位置關(guān)系的題型，常見思路有兩個：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系；二是直線方程與圓的方程聯(lián)立，考慮運用判別式來解答.13、2【解析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結(jié)果.【詳解】因為該組數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因為，所以該組數(shù)據(jù)的方差為故答案為：.14、①②④【解析】首先需要對命題逐個分析，利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】對于①，，所以兩個函數(shù)的圖象相同，所以①對；對于②，，所以最小正周期是，所以②對；對于③，因為，所以，，，因為，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以③錯，對于④，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以④對，故答案為①②④【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及到的知識點有利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題目.15、1【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，從里到外計算即可得解.【詳解】，所以.故答案為：116、①②④【解析】設(shè)且，根據(jù)圖像求出，結(jié)合計算進(jìn)而可判斷①②③④；根據(jù)第1到第3個月、第2到第4個月的面積即可求出對應(yīng)的平均速度，進(jìn)而判斷⑤.【詳解】因為其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，所以可設(shè)且，又圖像過點，所以.所以指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2，故①正確；當(dāng)時，，故②正確；當(dāng)y=4時，；當(dāng)y=12時，；所以，故③錯誤；因為，所以，故④正確；第1到第3個月之間的平均速度為：，第2到第4個月之間的平均速度為：，，故⑤錯誤.故答案為：①②④三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)【解析】（1）根據(jù)長方體的性質(zhì)，側(cè)棱平行且相等，利用平行四邊形判定及性質(zhì)，推出線線平行，再證線面平行；（2）由（1），取平行線，即可求解異面直線所成角的平面角，再求正弦值.【詳解】(1)連結(jié)交于點，連結(jié)，，，，..又平面，平面，平面(2)與的所成角為在中：【點睛】（1）立體幾何中平行關(guān)系的證明，常見方法有平行四邊形對邊平行，本題比較基礎(chǔ).（2）借助平行線，將兩條異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成角，為常用方法，中等題型.18、(1)，;(2).【解析】把代入集合B，求出集合B的解集，再根據(jù)交集和并集的定義進(jìn)行求解；因為，可知，求出，再根據(jù)子集的性質(zhì)進(jìn)行求解；【詳解】（1）由題意，可得，當(dāng)時，，則，若，則或，、當(dāng)時，，滿足A.當(dāng)時，，又，則綜上，【點睛】本題主要考查了交集和并集的定義以及子集的性質(zhì)，其中解答中熟記集合的運算，以及合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】（1）先由得，再由并集的概念，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)，分別討論，兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若，則，又，所以；（2）因為，若，則，即；若，只需，解得，綜上，取值范圍為.【點睛】本題主要考查求集合的并集，考查由集合的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于?？碱}型.20、（1），定義域為；（2）當(dāng)取30時，取最大值，最大值是1215.【解析】（1）應(yīng)用矩形的面積公式寫出表示為的函數(shù)，并寫出定義域.（2）利用基本不等式求的最大值，并確定對應(yīng)值.【小問1詳解】依題意得：溫室的另一邊長為米，則養(yǎng)殖池的總面積，因為，解得∴定義域為