(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）2.5《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》 (原卷版)

頁第五節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的換底公式相結(jié)合考查對數(shù)的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．與不等式等問題相結(jié)合考查對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．與不等式等問題相結(jié)合考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等性質(zhì)，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．對數(shù)概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域?yàn)?0，＋∞)值域?yàn)镽過定點(diǎn)(1,0)，即x＝eq\a\vs4\al(1)時，y＝eq\a\vs4\al(0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)0<x<1時，y>0在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)3．底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖，0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大．(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大)4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．計算：2＋lg8＋eq\f(3,2)lg25＋(eq\f(9,25))＝________.2．log225·log34·log59＝________.3．已知函數(shù)y＝loga(x﹣3)﹣1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．4．函數(shù)y＝eq\r(log2x－1)的定義域?yàn)開_______．5．函數(shù)y＝log(3x﹣1)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．二、易錯點(diǎn)練清1．有下列結(jié)論：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，則x＝10；④若log22＝x，則x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，則n＝9.其中正確結(jié)論的序號是____________．2．已知lgx＋lgy＝2lg(x﹣2y)，則eq\f(x,y)＝________.3．若函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________.考點(diǎn)一對數(shù)式的化簡與求值[典例](1)設(shè)alog34＝2，則4﹣a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D．eq\f(1,6)(2)計算下列各式的值：①log535＋2logeq\r(2)﹣log5eq\f(1,50)﹣log514；②[(1﹣log63)2＋log62·log618]÷log64.[方法技巧]解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.[針對訓(xùn)練]1．(多選)若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2B．b﹣a＝1C．a(chǎn)b>8lg22D．b﹣a>lg62．計算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝________.3．已知log23＝a,3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________．考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用考法(一)對數(shù)函數(shù)圖象的辨析[例1]在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x+eq\f(1,2))(a>0，且a≠1)的圖象可能是()[方法技巧]研究對數(shù)型函數(shù)圖象的思路研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，要注意底數(shù)a>1或0<a<1這兩種不同情況．考法(二)對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用[例2]當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax，則a的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(2),2))B.(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)[方法技巧]與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題常常結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象來解決，即數(shù)形結(jié)合法，應(yīng)用時要準(zhǔn)確畫出圖象，把方程根、不等式的解等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的問題．[針對訓(xùn)練]1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)與g(x)＝logax的圖象可能是()2．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋4b的取值范圍是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)3．已知函數(shù)f(x)＝|logx|的定義域?yàn)閇eq\f(1,2),m]，值域?yàn)閇0,1]，則m的取值范圍為________．考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法(一)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題[例1]若函數(shù)y＝log2(mx2﹣2mx＋3)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,3)B．[0,3)C．(0,3]D．[0,3][方法技巧]已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定義域?yàn)镽，求參數(shù)范圍時，要注意分p＝0，p≠0討論．同時p≠0時應(yīng)結(jié)合圖象說明成立條件．考法(二)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小問題[例2](1)設(shè)a＝30.7，b＝(eq\f(1,3))﹣0.8，c＝log0.70.8，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a(chǎn)＞2bB．a(chǎn)＜2bC．a(chǎn)＞b2D．a(chǎn)＜b2[方法技巧]對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系考法(三)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式問題[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log\f(1,2)－x，x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)[方法技巧]簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論．(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．考法(四)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題[例4]已知函數(shù)f(x)＝loga(3﹣ax)．(1)當(dāng)x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[方法技巧]解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的3個注意點(diǎn)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)．(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行．(3)轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性．[針對訓(xùn)練]1．(多選)設(shè)函數(shù)y＝ln(x2﹣x＋1)，則下列命題中正確的是()A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的值域?yàn)镽D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱2．已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b3．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)，若a＝g(﹣log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a4．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(x＋1)，則滿足不等式f(a﹣2a2)＋4>0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．5．已知logaeq\f(3,4)<1，那么a的取值范圍是________．創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法指數(shù)式、對數(shù)式比大小類型(一)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小比較大小時，若題設(shè)涉及指數(shù)式、對數(shù)式，則應(yīng)考慮指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，此外，要特別注意數(shù)字“0”和“1”等在比較大小問題中的橋梁作用．[例1]設(shè)a＝5﹣0.7，b＝logeq\f(1,2)，c＝lgeq\f(3,4)，則這三個數(shù)之間的大小關(guān)系是()A.a>b>cB．a(chǎn)>c>bC.b>c>aD．b>a>c[名師微點(diǎn)]利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，要注意考慮a，b，c與特殊數(shù)字“0”“1”的大小關(guān)系，以便比較大小．[例2]若a＝(eq\f(1,5))﹣0.3，b＝log52，c＝e，則()A.a<b<cB．c<a<bC.b<c<aD．c<b<a[名師微點(diǎn)]本題易錯點(diǎn)是不會借助中間橋梁，比較log52與e的大?。捎趌og52與e均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，故需要尋找一個新的中間橋梁“eq\f(1,2)”，以便順利獲解．類型(二)利用特例法、設(shè)元法，巧解涉及三元變量的比較大小問題比較大小時，若題設(shè)涉及三個指數(shù)式連等，或三個對數(shù)式連等，則可利用特例法求解，也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求解．[例3]設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．3y<2x<5zB．2x<3y<5zC．3y<5z<2xD．5z<2x<3y[名師微點(diǎn)]本例可利用特例法或設(shè)元法求解，利用特例法，顯得簡潔、明了；關(guān)鍵根據(jù)對數(shù)換底公式，將x，y，z寫成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比較，也可借助中間值比較大?。?dāng)然解題時也可直接取一個固定的k值．[例4]設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>0，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系不可能是()A.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)B．eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5)C.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)D．eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)[名師微點(diǎn)]本例可取特例，在特例的基礎(chǔ)上，結(jié)合排除法解答；也可借助設(shè)元變形，先將目標(biāo)問題等價轉(zhuǎn)化為考查2k﹣1,3k﹣1,5k﹣1的大小，再對冪函數(shù)f(x)＝xk﹣1的單調(diào)性加以討論分析．[提醒]冪函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上的單調(diào)性可分為三種情況：①若a>0，則單調(diào)遞增；②若a＝0，則為常數(shù)函數(shù)；③若a<0，則單調(diào)遞減．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．log29·log32＋logaeq\f(5,4)＋loga(eq\f(4,5)a)(a>0，且a≠1)的值為()A．2B．3C．4D．52．函數(shù)y＝eq\r(log2x－1)的定義域是()A．[1,2]B．[1,2)C.[eq\f(1,2)，1]D．(eq\f(1,2)，1]3．設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝log(x＋eq\f(1,x))，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)B．f(x)的值域?yàn)閇﹣1，＋∞)C．f(x)是奇函數(shù)D．f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增5．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的圖象恒過點(diǎn)P.若點(diǎn)P也在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)＝________.6．函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為__________，單調(diào)遞增區(qū)間為__________．二、綜合練——練思維敏銳度1．已知函數(shù)f(x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2，則f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝()A．4B．2C．1D．02．(多選)已知函數(shù)f(x)＝(log2x)2﹣log2x2﹣3，則下列說法正確的是()A．f(4)＝﹣3B．函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)C．函數(shù)y＝f(x)的最小值為﹣4D．函數(shù)y＝f(x)的最大值為43．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，則()A．ln(y﹣x＋1)＞0B．ln(y﹣x＋1)＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜04．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(﹣∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能確定5．(多選)如果函數(shù)f(x)＝loga|x﹣1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無最小值C．f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱6．5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog2(1+eq\f(S,N)).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，則C大約增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%7．已知函數(shù)f(x)＝loga(2x﹣a)在區(qū)間[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上恒有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(eq\f(1,3)，1).B．[eq\f(1,3)，1).C.(eq\f(2,3)，1).D．[eq\f(2,3)，1)8．如果函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f(4x﹣x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．9．已知函數(shù)f(x)＝loga(8﹣ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．10．已知