中考數(shù)學(xué)試題分類匯總《等腰三角形與直角三角形》練習(xí)題

第第頁中考數(shù)學(xué)試題分類匯總《等腰三角形與直角三角形》練習(xí)題（含答案）等腰三角形的判定與性質(zhì)1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則底角的度數(shù)為69°或21°．【分析】分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出底角的度數(shù)．【解答】解：分兩種情況討論：①若∠A＜90°，如圖1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝48°，∴∠A＝90°﹣48°＝42°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣42°）＝69°；②若∠A＞90°，如圖2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣48°＝42°，∴∠BAC＝180°﹣42°＝138°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣138°）＝21°；綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69°或21°．2．已知a，b，4是等腰三角形的三邊長，且a，b是關(guān)于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值是（）A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3【分析】①當(dāng)腰長為4時(shí)，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值；②當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，那么x的方程x2﹣20x+m＝0的兩根是相等的，利用判別式為0即可求出m的值．【解答】解：①當(dāng)腰長為4時(shí)，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+6＝0，∴m＝2，∴原方程變?yōu)椋簒2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∵4+2＞4∴能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，那么x的方程x2﹣6x+m+6＝0的兩根是相等的，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+6）＝0，∴m＝3，∴方程變?yōu)閤2﹣6x+9＝0，∴方程的兩根相等為x1＝x2＝3，∵3+3＞4∴能構(gòu)成三角形；綜上，m的值是2或3，3．將一根橡皮筋兩端固定在點(diǎn)A，B處，拉展成線段AB，拉動(dòng)橡皮筋上的一點(diǎn)P，當(dāng)△APB是頂角為120°的等腰三角形時(shí)，已知AB＝6cm，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．4cm C． D．【分析】過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APC，AC，再在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)求出AP長，進(jìn)而可求出橡皮筋被拉長的長度．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，∴在Rt△APC中，AP＝＝＝2cm，∴橡皮筋被拉長了：2×2﹣6＝（4﹣6）cm．故選：C．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中線，∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，等邊三角形的性質(zhì)5．如圖，等邊△OAB的邊長為4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）．【解答】解：過A點(diǎn)作AC⊥OB于C，如圖∵△OAB為等邊三角形，且邊長為4，∴OC＝BC＝OA＝2，∠BOA＝60°，在Rt△OBC中，BC＝OC＝2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．6．將兩個(gè)直角三角板如圖放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，CE與AB交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為120°．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等邊三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出答案．【解答】解；∵∠DCE＝90°，點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∴AC＝AD＝AE，∵∠D＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，∵∠FAC＝90°，∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，7．如圖，將△ABC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ADE的位置，D在BC邊上，則∠B＝60度．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠B＝60°，直角三角形的性質(zhì)8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝3，則DE的長為（）A．3 B． C．2 D．6【解答】解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故選：A．9．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝3，則AC＝．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AB，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BC，根據(jù)勾股定理，即可求出AC．【解答】解：∵∠C＝90°，D是AB的中點(diǎn)，CD＝3，∴AB＝2CD＝6，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC＝．10．如圖，將正方形ABCD剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分），得到邊長為c的四邊形EFGH．下列等式成立的是（）A．a(chǎn)+b＝c B．c2＝（a+b）2﹣4ab C．c2＝（a+b）（a﹣b） D．a(chǎn)2+b2＝c2【分析】用兩種方法表示剩下正方形的面積，列出等式，化簡(jiǎn)即可得到答案．【解答】解：由圖可得剩下正方形面積為：（a+b）2﹣4×ab，根據(jù)正方形面積公式，剩下正方形面積也可以表示為：c2，∴（a+b）2﹣4×ab＝c2，化簡(jiǎn)得a2+b2＝c2，故選：D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，AD平分∠CAB，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，線段AB的垂直平分線ED分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連接BD．若CD＝，則AD的長為2．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，CD＝，∴BC＝1，∴BD＝2BC＝2，∴AD＝BD＝2．13．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，CD＝15，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則BC的長為45．【解答】解：∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴∠DAE＝∠B＝30°，∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAE＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2CD＝2×15＝30，∴BD＝AD＝30，∴BC＝CD+BD＝15+30＝45，等腰三角形、直角三角形的綜合14．如圖，在△ABC中，AB＝CB＝9，∠B＝90°，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作邊AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，且OD2+OE2＝36，連接OA、OC，則△AOC面積的最小值為．【分析】由OD2+OE2＝36可得出DE＝6，由矩形的性質(zhì)得出OB＝6，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的AC邊上的高上時(shí)，△AOC面積的最小，則可求出答案．【解答】解：連接OB，DE，∵OD2+OE2＝36，∴DE＝6，∵四邊形ODBE是矩形，∴OB＝DE＝6，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的AC邊上的高上時(shí)，△AOC面積的最小，∴△AOC面積的最小值＝＝．15．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△FDE，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AC上，連接AF．則AF的長為（）A． B． C． D．2【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB＝＝3，設(shè)CD＝x，∴