幾個函數(shù)模型的比較高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第8章函數(shù)應(yīng)用8.2函數(shù)與數(shù)學(xué)模型函數(shù)可以刻畫事物變化過程中有依賴關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系，我們能運用函數(shù)的概念與性質(zhì)有效地解決問題.例如，要研究氣溫的變化規(guī)律，從氣象臺溫度記錄儀上收集到如下信息(圖8-2-1)，怎樣來研究氣溫的變化狀況呢?我們是這樣來研究的：(1)分別用數(shù)(數(shù)量)T(單位：℃)，(單位：h)來刻畫溫度和時間的狀態(tài)，就得到兩個數(shù)集，例如，t

的范圍為[0，24]，T的范圍為[－2，9].●不同的數(shù)學(xué)模型之間有什么區(qū)別?●怎樣建立函數(shù)模型去解決實際問題?8.2.1幾個函數(shù)模型的比較不同的函數(shù)模型可以刻畫不同的自然現(xiàn)象，不同函數(shù)的“變化趨勢”也不同.對不同函數(shù)的“變化趨勢”的研究和比較，可以加深我們對自然現(xiàn)象的理解.例1(1)用計算器或計算機計算下列各值：1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.解：1.012＝1.0201，0.992＝0.9801，1.013＝1.030301，0.993＝0.970299，1.014＝1.04060401，0.994＝0.96059601.猜測一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?(2)用計算器或計算機計算下列各值：1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94.猜測一下，1.1100大概是多少?1.1260大概是多少?猜測一下，0.9100大概是多少?0.91000大概是多少?解：1.12＝1.21，0.92＝0.81，1.013＝1.030301，0.993＝0.970299，1.014＝1.04060401，0.994＝0.96059601.(3)用計算器或計算機計算一下(1)(2)中的結(jié)果，與你的猜測進(jìn)行比較，談?wù)勀銓Α爸笖?shù)爆炸”的理解.解：1.01365≈37.8，0.99365≈0.03，1.1100≈13781，0.9100≈2.656×10－5，1.1260≈57822669934，0.91000≈1.748×10－46.一、“指數(shù)爆炸”的含義：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)隨著x的增大a＞1時y______，且增大的速度越來越_____，呈“______”的趨勢0＜a＜1時y_______，并逐步趨向于______增大快爆炸減小0例2(1)在同一個直角坐標(biāo)系中畫出下列4個函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖象：y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝log2x.結(jié)合這4個函數(shù)的圖象，比較它們隨著x

的增大函數(shù)值增長的快慢，并指出：當(dāng)x

的值足夠大(x＞16)的時候，這4個函數(shù)的值的大小關(guān)系；解這4個函數(shù)的圖象如圖8-2-2所示.由圖8-2-2可知：當(dāng)0＜x＜2時，0＜x＜2＜4；當(dāng)x＝2時，2x＝x2＝4；當(dāng)2＜x＜4時，4＜2＜x＜16；當(dāng)x＝4時，2x＝x2＝16；當(dāng)x＞4時，16＜x2＜2.對應(yīng)地，當(dāng)0＜x＜4時，0＜log2x＜x0.5＜2；當(dāng)x＝4時，x0.5－log2x＝2；當(dāng)4＜x＜16時，2＜x0.5＜log2x＜4；當(dāng)x＝16時，x0.5＝log2x＝4；當(dāng)x＞16時，x0.5＞log2x.可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x

的值足夠大(x＞16)時，這4個函數(shù)值的大小關(guān)系是2x＞x2＞x0.5＞log2x.(2)先想象下列兩組函數(shù)圖象之間的關(guān)系，再用數(shù)值驗算，提出更一般的猜想.①y＝1.01x與y＝x100；②y＝x0.25與y＝lgx.解

①可以想象，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝1.01x與y＝x10的圖象都是隨著x

的增大而上升的，函數(shù)值的大小有如下特征：當(dāng)0＜x＜1時，1.01x＞x10；

當(dāng)2≤x≤9000時，1.01x＜x10，例如，當(dāng)x＝9000時，1.019000

≈7.8×1038，900010≈3.5×1039，顯然1.019000

＜900010；當(dāng)x

≥

10000時，1.01x＞x10，例如，當(dāng)x＝10000時，

1.0110000≈1.6×1043，1000010≈

1040，顯然1.0110000

＞1000010.②可以想象，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝x與y＝lgx的圖象都是隨著x

的增大而上升的，函數(shù)值的大小有如下特征：當(dāng)0＜x＜10時，x0.1＞1＞lgx；

當(dāng)30≤x＜1010時，x0.1＜lgx，例如，當(dāng)x＝30時，300.1≈1.4051，lg30≈1.4771，顯然300.1

＜lg30；當(dāng)x＝10時，x0.1＝lgx＝10；當(dāng)x＞10時，x0.1＞lgx，例如，當(dāng)x＝1011

時，(1011)0.1≈12.59，lg1011≈11，顯然(1011)0.1＞lg1011.因此，我們可以得到更一般的猜想：對于指數(shù)函數(shù)y＝a(a＞1)，冪函數(shù)y＝xa(a＞0)和對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，當(dāng)x足夠大時，總有ax＞xa＞logax.(3)借助圖形計算器或計算機，作出下列兩組函數(shù)的圖象，驗證你在(2)中的猜想.①y＝2x與y＝x100；②y＝x0.25與y＝log2x.解借助圖形計算器或計算機，觀察函數(shù)y＝2x，y＝x100的圖象(圖8-2-3)，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x的值從0開始增大時，隨著x的增大，當(dāng)0≤x≤1時，2x＞x100；之后很快有2x＜x100，直到x＞997時，總有2x＞x100.同樣，借助圖形計算器或計算機，觀察函數(shù)y＝x0.25，y＝log2x的圖象(圖8-2-4)，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)從4開始增大時，一直有x0.25＜log2x，直到x＞65536時，總有x0.25＞log2x.由此，我們進(jìn)一步驗證了(2)中的猜想：當(dāng)足夠大時，總有ax＞xa＞logax.二、三種函數(shù)的增長速度的比較對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)，冪函數(shù)y＝xα(α＞0)和對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，當(dāng)x足夠大時，總有_______________.ax＞xα＞logax(1)本質(zhì)：通過數(shù)據(jù)運算、圖象的變化歸納出三種函數(shù)的增長特點和增長速度的差異.(2)應(yīng)用：根據(jù)現(xiàn)實的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.【思考】在三種函數(shù)增長關(guān)系的結(jié)論中，怎樣理解“總會存在一個x0”?提示：因為三種函數(shù)增長速度不同，當(dāng)自變量逐漸增大時，三種函數(shù)以不同的速度增加.使函數(shù)值相等的值可視為臨界點就是x0，因此可以理解為自變量足夠大時一定會出現(xiàn)x0.當(dāng)然x0不唯一，比x0大的任意一個實數(shù)也可以作為x0.1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)函數(shù)y＝logx

的衰減速度越來越慢.

(

)(2)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型. (

)(3)對應(yīng)任意x∈(0，＋∞)，總有2x＞x2. ()

【基礎(chǔ)小測】???2.小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是 (

)C解析：小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.解析3.有一組實驗數(shù)據(jù)如表所示：x12345y1.55.913.424.137

C解析：通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A，D中的函數(shù)增長速度越來越慢，B中的函數(shù)增長速度保持不變.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是 (

)A.y＝100 B.y＝100xC.y＝1.01x D.y＝log2xC解析：結(jié)合函數(shù)y＝100，y＝100x，y＝1.01x及y＝log2x的圖象可知，隨著x的增大，增長速度最快的是y＝1.01x.解析2.如圖，點M為?ABCD的邊AB上一動點，過點M作直線l垂直于AB，且直線l與?ABCD的另一邊交于點N.當(dāng)點M從A→B勻速運動時，設(shè)點M的運動時間為t，△AMN的面積為S，能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是(

)C解析

3.三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為 (

)A.y1，y2，y3B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1D.y1，y3，y2C解析解析通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，y2隨x的變化符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，y1隨x的變化符合此規(guī)律.4.函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlg

x在區(qū)間(0，＋∞)上增長較

快的一個是___________.

y＝x2解析：當(dāng)x變大時，x比lgx

增長要快，所以x2

要比xlgx

增長的要快.解析5.某電腦公司六年來電腦年產(chǎn)量y(臺)與生產(chǎn)時間x(年)的函數(shù)關(guān)系如圖.有下列說法：①前三年產(chǎn)量增長速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長速度越來越慢；③后三年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④后三年產(chǎn)量保持不變.其中說法正確的是_______.(填序號)

②④練習(xí)1.利用計算器或計算機，計算下表中與的值對應(yīng)的函數(shù)y＝0.99x與y＝1.01x

的值(精確到0.0001)：x1020100365730y＝0.99x0.90440.81790.36600.02550.0007y＝1.01x1.10461.22022.704837.78341427.58792.利用圖形計算器或計算機，在同一個直角坐標(biāo)系中畫出下列各組兩個函數(shù)在區(qū)間(0，

＋∞)上的圖象，并結(jié)合函數(shù)的圖象，比較它們隨著x的增大函數(shù)值增長的快慢，并指出當(dāng)x的值足夠大的時候，這兩個函數(shù)值的大小關(guān)系.(1)y＝10x，y＝x100；(2)y＝x0.6，y＝log1.5x；(3)y＝1.01x，y＝x2；(4)y＝x－2，y＝2－x.(1)y＝10x，y＝x100；解y＝10x紅色圖象，y＝x100藍(lán)色圖象.在(0，＋∞)上，y＝10x的圖象初期在y＝x100

的圖象的上方，隨著x的增大圖象變化到y(tǒng)＝x100

的圖象的下方，當(dāng)x的值足夠大，圖象又變化到y(tǒng)＝x100的圖象的上方，即相對于y＝x100來說，y＝10x的圖象增長的速度先快后慢，當(dāng)x的值足夠大，y＝10x的圖象增長的速度越來越快，并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過y＝x100

的增長速度.(2)y＝x0.6，y＝log1.5x；解y＝x0.6

紅色圖象，y＝log1.5x藍(lán)色圖象.在(0，＋∞)上，y＝x0.6

的圖象起點高，所以初期圖象在y＝log1.5x的上方，相對于y

＝log1.5x來說，y＝x0.6

的圖象增長的速度先慢后快，隨著的增大，y＝x0.6的圖象變化到y(tǒng)＝log1.5x的圖象的下方，當(dāng)x的值足夠大，圖象又變化到y(tǒng)＝log1.5x的圖象的上方.解y＝1.01x紅色圖象，y＝x2藍(lán)色圖象.(3)y＝1.01x，y＝x2；在(0，

＋∞)上，y＝1.01x

的圖象初期在y

的圖象的上方，隨著x的增大圖象變化到y(tǒng)＝x2

的圖象的下方，當(dāng)x

的值足夠大，圖象又變化到y(tǒng)＝x2的圖象的上方，即相對于y＝x2來說，y＝1.01x的圖象增長的速度先快后慢，當(dāng)x的值足夠大，y＝1.01x

的圖象增長的速度越來越快，并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過y＝x2的增長速度.(4)y＝x－2，y＝2－x.解y＝x－2紅色圖象，y＝2－x

藍(lán)色圖象.y＝x－2和y＝2－x在(0，＋∞)上都是單調(diào)遞減的函數(shù)，y＝2－x的圖象初期在y＝x－2的圖象的下方，隨著x的增大圖象變化到y(tǒng)＝x－2的圖象的上方，當(dāng)x的值足夠大，圖象又變化到y(tǒng)＝x－2的圖象的下方，即相對于y＝x－2來說，y＝2－x的圖象減小的速度先慢后快，當(dāng)x的值足夠大，y＝2－x的圖象減小的速度越來越快，并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過y＝x－2的減小速度.8.2.2函數(shù)的實際應(yīng)用函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是研究變量之間依賴關(guān)系的有效工具.利用函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)、生活中許多實際問題.●怎樣建立函數(shù)模型，解決實際問題?●怎樣選擇合適的數(shù)學(xué)模型刻畫客觀世界的變化規(guī)律?例3某計算機集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元.分別寫出總成本C(單位：萬元)單位成本P(單位：萬元)、銷售收入R(單位：萬元)以及利潤L(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式.解：總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為C＝200＋0.3x，x∈N*.單位成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為P＝200x＋0.3，x∈N*.銷售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為R＝0.5x，x∈N*.利潤與總產(chǎn)量的關(guān)系為L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.例4

例5在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝

f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(x∈N*)的收入函數(shù)為R(x)＝3000x－20x(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)＝500x＋4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值?(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；解由題意知，x∈[1，100]，且x∈N*.

P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000)

＝－20x2＋2500x－4000，

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)

＝2480－40x.(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值?

例5中邊際利潤函數(shù)MP(x)當(dāng)1時取最大值，說明生產(chǎn)第二臺與生產(chǎn)第一臺的總利潤差最大，即生產(chǎn)第二臺報警系統(tǒng)裝置利潤最大.MP(x)＝2480－40x

是減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.通過上述3個例子，我們可以看出，解決實際問題通常按的程序進(jìn)行，其中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵.練習(xí)1.某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.6℃.已知山頂?shù)臏囟仁?4.6℃，山腳的溫度是26℃.

問：此山有多高?解設(shè)從山腳起每升高x百米時，溫度為y攝氏度根據(jù)題意得y＝26－0.6x，山頂溫度是14.6攝氏度，代入得14.6＝26－0.6x.∴x＝19(百米)，∴山的相對高度是1900米.2.某車站有快、慢兩種車，始發(fā)站距終點站7.2km，慢

車到終點站需16min，快車比慢車晚發(fā)車3min，且行

駛10min后到達(dá)終點站.試分別寫出兩車所行路程關(guān)

于慢車行駛時間的函數(shù)關(guān)系式.兩車在何時相遇?相遇

時距始發(fā)站多遠(yuǎn)?解慢車所行路程y1與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y1

＝0.45x(0＜x≤16)，快車所行路程y2

與慢車行駛時間x

的函數(shù)關(guān)系式為0，0＜x

≤3y

＝0.72x－3，3＜x≤13，7.2，13＜x≤16設(shè)兩車在慢車出發(fā)xmin時相遇，則y1＝y(tǒng)2，即0.45x

＝0.72(x－3)，解得x＝8，此時y1＝y(tǒng)2＝3.6.即兩車在慢車出發(fā)8min時相遇，相遇時距始發(fā)站3.6km.

解根據(jù)題意，得S＝f(t)·g(t)＝

4.某店從水果批發(fā)市場購得椰子兩筐，連同運費總共花了300元，回來后發(fā)現(xiàn)有12個是壞的，不能將它們出售，余下的椰子按每個高出成本價1元售出售完后共賺得78元.問：這兩椰子原來共有多少個?

5.已知鐳經(jīng)過100年剩留原來的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是怎樣的?試寫出.解設(shè)鐳的年衰減率為r，鐳開始的質(zhì)量為1，則一年后鐳的剩留量為：1－1×r＝1－r，二年后鐳的剩留量為：(1－r)－(1－r)r＝(1－r)2，三年后鐳的剩留量為：(1－r)2－(1－r)2r＝(1－r)3，······經(jīng)過x

年后鐳的剩留量為y，所以y＝(1－r)x，又因為鐳經(jīng)過100年剩留原來的95.76%，所以0.9576＝(1－r)100，所以1－r＝0.9576，所以

y＝(0.9576)x＝0.9576(x∈N*).

習(xí)題8.2感受·理解1.已知某產(chǎn)品今年年產(chǎn)量是m

件，計劃以后每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，寫出x

年后該產(chǎn)品的年產(chǎn)量y

與

x之間的函數(shù)關(guān)系式.解

1年后，年產(chǎn)量為y＝m·(1＋20%)＝1.2m(件)；2年后，年產(chǎn)量為y＝1.2m·(1＋20%)＝1.22m(件)；3年后，年產(chǎn)量為y＝1.22m·(1＋20%)＝1.23m(件)；······x年后年產(chǎn)量為y＝m·1.2x(件).所以x年后該產(chǎn)品的年產(chǎn)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝m·12x(x∈N*)

3.一種放射性元素，最初質(zhì)量為1000g，按每年10%衰減.(1)寫出x

年后這種放射性元素質(zhì)量y

與之間的函數(shù)

關(guān)系式；(2)求這種放射性元素的半衰期(放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰

減為原來的一半所需要的時間).(精確到0.1)(1)寫出x

年后這種放射性元素質(zhì)量y

與之間的函數(shù)

關(guān)系式；解最初的質(zhì)量為1000g，經(jīng)過1年，y＝1000(1－10%)＝1000×0.9，經(jīng)過2年，y＝1000(1－10%)2＝1000×0.92，經(jīng)過x年，y＝1000(1－10%)3＝1000×0.9x，所以年x后這種放射性元素質(zhì)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系是y＝1000×0.9x，x＞0.(2)求這種放射性元素的半衰期(放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰

減為原來的一半所需要的時間).(精確到0.1)

思考·運用4.某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量分別為10000件、12000件13000件為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這3個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)

量y(單位：件)與月份x的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選用二

次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(其中a，b，c

為常數(shù))已知4月

份的產(chǎn)量為13600件，問：用以上哪個函數(shù)作為模擬

函數(shù)較好?為什么?解

選二次函數(shù)作為模擬函數(shù)時，設(shè)f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0).

p＋q＋r＝10000由已知4p＋2p＋r＝12000，9p＋3q＋r＝13000

p＝－500解得q＝3500，

r＝7000故f(x)＝－500x2＋3500x＋7000.

f(x)＝500x＋3500x＋7000.f(4)＝－500×4＋3500×4＋7000＝13000(件).選指數(shù)型函數(shù)g(x)＝abx＋c(a≠0)作為模擬函數(shù)時，ab＋c＝10000由已知ab2＋c＝12000，ab3＋c＝13000a＝－8000解得b＝0.5，c＝14000故g(x)＝－8000×0.5x＋14000.

g(4)＝－8000×0.54＋14000＝13500(件)經(jīng)比較可知，13500件比13000件更接近于4月份的產(chǎn)量13600件，故選用指數(shù)型函數(shù)y＝－8000×0.5x＋14000作為模擬函數(shù)較好.5.甲、乙兩家電子商店同時上市一批移動硬盤原價800元/個.為了促銷，甲商店推出如下優(yōu)惠政策：買1個，單價為780元；買2個，單價為760元······依此類推，每多買1個，則單價減少20元，但價格底線為440元/個商店一律按原價的75%降價促銷.某單位需購買一批該型號的移動硬盤問：選擇去哪一家商店購買，才能使得花費較少?

解：設(shè)單位購買x個移動硬盤，去甲、乙兩商店購買花費分別為y甲，y乙，800－20x＞440，解得x≤18.當(dāng)1≤x≤18時，則y＝(800－20x)x；當(dāng)x＞18時，y甲＝440x，(800－20x)x；(1≤x≤18)，∴y甲＝440x，(x＞18).y乙＝800×0.75x＝600x，當(dāng)x＝10時，y甲＝y(tǒng)乙；當(dāng)1≤x≤10時，y甲－y乙＝200x－20x2＝20x(10－x)＞0，∴y甲＞y乙.當(dāng)x＞10時，y甲－y乙＝20x(10－x)＜0，∴y甲＜y乙.綜上可知：當(dāng)個數(shù)大于10個時，在甲商店買便宜；當(dāng)個數(shù)小于10個時，在乙商店買便宜；當(dāng)買10個時，兩商店一樣.6.某建材實驗室在做陶?；炷翉姸葘嶒炛校疾烀苛⒎矫谆炷恋乃嘤昧縳(單位：kg)對28天后的混凝土抗壓強度

y(單位：kg/m)的影響，測得如下數(shù)據(jù)：試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型回答以下問題：(1)每立方米混凝土中增加1

kg水泥時，可提高抗壓強度多少?解：畫出散點圖，如圖所示由散點圖可設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx＋b.取(160，58.3)，(260，89.7)代入解得

k＝0.314，b＝8.06，所以近似方程為y＝0.314x＋8.06，所以每立方米混凝土中增加1kg水泥時，可提高抗壓強度0.314kg/m2；(2)當(dāng)x＝225(kg)時，y的預(yù)測值是多少?解當(dāng)x＝225(kg)時，y＝0.314×225＋8.06＝78.71kg/m2，即y的預(yù)測值是78.71kg/m2.7.某公司今年頭6個月的月利潤如下表所示：假定短期內(nèi)利潤增長基本符合對數(shù)規(guī)律，預(yù)測一下今年7，8兩個月的月利潤各是多少.解：由題意設(shè)利潤隨月份增長的函數(shù)解析式為y＝klogax＋b，

探究·拓展8.(寫作題)到學(xué)校附近的農(nóng)村、工廠、商店、機關(guān)作調(diào)

查，了解函數(shù)模型在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，收集一些生

活中的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)分段函

數(shù)等)實例，并做出分析，寫成調(diào)查報告.解我國現(xiàn)有人口約13億.如果今后能將人口平均增長率控制在1%，x為年份，y(億)為人口數(shù).指數(shù)函數(shù)：那么經(jīng)過20年后，我國人口最多為多少億?y＝13×(1＋1%)x＝13×1.01x，當(dāng)x＝20時，y＝13×1.0120

≈16(億).對數(shù)函數(shù)：那么經(jīng)過幾年后，我國人口將達(dá)到18億?

冪函數(shù)：我國現(xiàn)有人口約13億，經(jīng)過20年后，我國人口將達(dá)到16億，求今后每年人口平均增長率a應(yīng)控制在多少?

分段函數(shù)：某城市出租汽車收費標(biāo)準(zhǔn)為：當(dāng)行程不超過3km時，收費7元；行程超過3km，但不超過10km時，在收費7元的基礎(chǔ)上，超過3km的部分每公里收費1.0元，不足1km的按1km算；超過10km時，超過部分除每公里收費1.0元外，再加收50%的回程空駛費，求車費y(元)與路程x(km)之間的函數(shù)解析式設(shè)z為大于等于x的最小整數(shù)，則由題意得：

7，(0＜x≤3)y＝7＋(z－3)，(3＜x≤10)

7＋(10－3)＋1.5(z－10)，(x＞10)，

7，(0＜x≤3)即

y＝4＋z，(3＜x≤10)

1.5z－1，(x＞10)，應(yīng)用與建模體重與脈搏問題生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫.研究表明，消耗的能量E

與通過心臟的血流量Q成正比.根據(jù)生物學(xué)常識知道，動物的體重與體積成正比，表1給出了一些動物體重與脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù).(1)根據(jù)生物學(xué)常識，給出血流量與體重之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；(2)建立脈搏率與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；(3)根據(jù)表1，作出動物的體重和脈搏率的散點圖，驗證所建立的數(shù)學(xué)模型.簡化假設(shè)為了建立數(shù)學(xué)模型，需要了解一些生物學(xué)概念，例如，血流量Q是單位時間流過的血量，脈博率f

是單位時間心跳的次數(shù)；還需要知道一些生物學(xué)假設(shè)，例如，心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大小成正比，動物心臟的大小與這個動物體積的大小成正比.建立模型(1)因為動物體溫通過身體表面散發(fā)熱量，表面積越大，散發(fā)的熱量越多，保持體溫需要的能量也就越大，所以動物體內(nèi)消耗的能量E

與身體的表面積S

成正比，即E＝p1S.又因為動物體內(nèi)消耗的能量E

與通過心臟的血流量Q

成正比，即E＝p2Q.由此可得Q＝S，其中p1，p2

和p為均為正的比例系數(shù).

(3)我們用Excel作出數(shù)據(jù)的散點圖：在工作表中輸入數(shù)據(jù)，選中數(shù)據(jù)區(qū)，按“插入/圖表/散點圖”的順序作出散點圖(圖1).右