四年級(jí)奧數(shù)：倍數(shù)應(yīng)用題

四年級(jí)奧數(shù)：倍數(shù)應(yīng)用題知識(shí)概述知識(shí)概述倍數(shù)問(wèn)題就是已知兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)的和或差以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)的問(wèn)題.而解題的關(guān)鍵就是要確定1倍的量，其次要弄清具體數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，并確定這些倍數(shù)關(guān)系相對(duì)應(yīng)的數(shù)量之間的和與差的大小，從而找到解題思路倍數(shù)關(guān)系基本常用公式如下：①總和÷(幾倍+1)=較小數(shù)；②兩數(shù)差÷(幾倍－1)=較小數(shù)；③(和+差)÷2＝較大數(shù)；④(和－差)÷2＝較小數(shù).掌握基本的和倍、差倍、和差的基本解法，學(xué)會(huì)處理多個(gè)量之間的和差倍問(wèn)題，掌握基本的和倍、差倍、和差的基本解法，學(xué)會(huì)處理多個(gè)量之間的和差倍問(wèn)題，學(xué)會(huì)分析較為隱藏的和差倍問(wèn)題，進(jìn)一步掌握畫(huà)線段圖的方法，學(xué)會(huì)利用不變量進(jìn)行分析的方法，根據(jù)數(shù)量關(guān)系逆向推理，列綜合算式解答，找出幾個(gè)數(shù)量的和、差或（和+差）、（和-差）對(duì)應(yīng)的份數(shù)，通過(guò)除法計(jì)算先求出標(biāo)準(zhǔn)量，再算出其它相關(guān)數(shù)量.名師點(diǎn)題例例1某超市進(jìn)貨，進(jìn)了一些白糖與紅糖.已知白糖比紅糖多220袋，當(dāng)天賣(mài)出白糖60袋，紅糖沒(méi)人買(mǎi)，這時(shí)白糖的總袋數(shù)是紅糖的3倍，求白糖和紅糖各進(jìn)貨多少袋？【解析】從圖3-3中可以看出，賣(mài)出60袋白糖后，白糖比紅糖多的袋數(shù)正好是紅糖的2份.可以先求出紅糖.紅糖：（220－60）÷（3－1）＝80（袋）白糖：80＋220＝300（袋）答：白糖進(jìn)貨300袋，紅糖進(jìn)貨80袋.例例2把一個(gè)減法算式里的被減數(shù)，減數(shù)與差相加，得數(shù)是592，已知減數(shù)比差的2倍還大2，問(wèn)減數(shù)是多少？【解析】已知減數(shù)比差的2倍還大2，根據(jù)減法的運(yùn)算關(guān)系我們又知：被減數(shù)＝減數(shù)+差，因此被減數(shù)必定比差的3倍還大2.根據(jù)三者的關(guān)系我們作圖如圖3-5，可以看出592包含了6份差和2個(gè)2，由此從592中減去2個(gè)2可以得到6份差，可以先求出差，那么減數(shù)也就迎刃而解了.差：(592－2－2)÷(1＋2＋3)＝98.減數(shù)：98×2＋2＝198.答：減數(shù)是198.例例3在書(shū)架上擺放著三層書(shū)共275本，第三層比第二層的書(shū)的3倍多2本，第一層比第二層的2倍少3本，問(wèn)：第三層擺放著多少本書(shū)？【解析】畫(huà)線段圖幫助講解第二層：（275-2+3）÷（3+2+1）=46（本）第三層：46×3+2=140（本）答：第三層擺放著140本書(shū)【鞏固拓展】1、在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少？【解析】這是一個(gè)和倍問(wèn)題.減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120，所以差＝120÷8＝15.120÷（1＋3＋1＋2）＝15

2、甲、乙、丙3數(shù)之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三數(shù)各是多少？

我們把丙數(shù)看作一份，畫(huà)出線段圖如下：

【解析】三個(gè)數(shù)的總和為：183+4-7=180，和對(duì)應(yīng)的份數(shù)為：1+2+3=6.所以，一份數(shù)即丙數(shù)為：180÷6=30；乙數(shù)為：30×2-4=56；甲數(shù)為：30×3+7=97.3、兩組學(xué)生參加義務(wù)勞動(dòng)，甲組學(xué)生人數(shù)是乙組的3倍，而乙組的學(xué)生人數(shù)比甲組的3倍少40人，求參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共有多少人？

【解析】甲=3×乙而乙=3×甲-40人，通過(guò)線段圖很容易看出，40人對(duì)應(yīng)的為“9×乙-乙”因此乙：40÷（9-1）=40÷8=5人甲：5×3=15人例1例1甲、乙、丙三所小學(xué)的學(xué)生人數(shù)的總和為1999.已知甲校學(xué)生人數(shù)的2倍等于乙校學(xué)生人數(shù)減去3人也等于丙校學(xué)生人數(shù)加上4人都相等.問(wèn)甲、乙、丙各校學(xué)生人數(shù)是多少？

【解析】把甲校學(xué)生人數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫(huà)出線段圖：把甲校人數(shù)看作1份，乙校人數(shù)就是2份多3，丙校就是2份少4.我們把乙校人數(shù)減去3，丙校人數(shù)加上4，都湊成2份，則總?cè)藬?shù)變成：1999-3+4=2000（人）.所以甲校人數(shù)為：2000÷（1+2+2）=400（人）；乙校人數(shù)為：400×2+3=803（人）；丙校人數(shù)為：400×2-4=796（人）.【鞏固拓展】商店運(yùn)來(lái)橘子、蘋(píng)果、香蕉共53千克，橘子的重量是蘋(píng)果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋(píng)果的2倍多2千克，橘子重多少千克？

【解析】蘋(píng)果：（53+3-2）÷（1+3+2）=54÷6=9千克橘子：9×3-3=24千克例例2(第五屆“中環(huán)杯”四年級(jí))甲筐中有蘋(píng)果400個(gè)，乙筐中有蘋(píng)果240個(gè)，現(xiàn)在從兩筐中取出數(shù)目相等的蘋(píng)果，剩下蘋(píng)果的個(gè)數(shù)，甲筐恰好是乙筐的5倍，甲筐剩下的蘋(píng)果是_____個(gè).【解析】根據(jù)差不變?cè)?，之前的差與取出后的差相同，400-240=160這時(shí)再來(lái)做差倍問(wèn)題160÷（5-1）=40個(gè)乙還剩40個(gè)，甲還剩：40×5=200個(gè)【鞏固拓展】（第12屆中環(huán)杯初賽）有A、B、C三輛貨車(chē)，C車(chē)裝的貨物是B車(chē)的一半，B車(chē)裝的貨物比A車(chē)少180千克，A車(chē)裝的貨物是C車(chē)的4倍.A、B兩輛車(chē)共裝貨物_____千克.不難發(fā)現(xiàn)，在本題中，設(shè)C車(chē)貨物為標(biāo)準(zhǔn)量比較合適.由于A車(chē)是C車(chē)的4倍，B車(chē)是C車(chē)的2倍，而A車(chē)比B車(chē)多180千克，可知C車(chē)為：180÷（4-2）=90（千克）A、B兩車(chē)共為：90×（2+4）=540（千克）例例3亞洲杯決賽中，中國(guó)記者的數(shù)量是外國(guó)記者數(shù)量的3倍.比賽結(jié)束后中國(guó)記者有180人離場(chǎng)，外國(guó)記者有40人離場(chǎng)，剩下的中、外記者數(shù)量相等.原來(lái)中、外記者各有多少人？【解析】選外國(guó)記者數(shù)量為“1”，用一條小線段表示，如圖：由線段圖知，原來(lái)中國(guó)記者比外國(guó)記者多：人，由兩條小線段表示那么每條小線段表示：人即外國(guó)記者原有70人，那么中國(guó)記者原有：人【鞏固拓展】甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)，如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍.求兩個(gè)數(shù)各是多少？分析：用一條小線段表示甲數(shù)，如圖根據(jù)線段圖可以看出：由兩條小線段表示那么每條小線段表示：即甲為390，那么乙為：例例4有一堆黑白棋子，黑子個(gè)數(shù)是白子個(gè)數(shù)的2倍.現(xiàn)在從這堆棋子中，每次取出黑子4個(gè)、白子3個(gè).若干次后白子取盡，而黑子還剩16個(gè)，原來(lái)黑、白棋子各有多少個(gè)？假設(shè)每次取出黑子4個(gè)、白子2個(gè)，由于黑子和白子原來(lái)是2倍關(guān)系，所以按照2倍關(guān)系取子最后剩下的子也必定是2倍關(guān)系.這樣當(dāng)黑子剩下16個(gè)時(shí)，白子剩下16÷2=8（個(gè)），由于白子實(shí)際是每次拿3個(gè)且沒(méi)有剩余的，所以剩下的8個(gè)白子實(shí)際經(jīng)過(guò)8÷（4-3）=8（次）拿完.那么顯而易見(jiàn)黑子和白子共拿了8次.黑子：16+8×4=48（個(gè)），白子：48÷2=24（個(gè)）.答：原來(lái)黑棋子有48個(gè)，白棋子有24個(gè).【鞏固拓展】(第六屆“中環(huán)杯”四年級(jí)復(fù)賽)某果園工人帶一筐蘋(píng)果和一筐梨去慰問(wèn)住院病人，已知梨的個(gè)數(shù)是蘋(píng)果的3倍，每次取出5個(gè)梨和2個(gè)蘋(píng)果分給一個(gè)病人，最后還剩11個(gè)梨，蘋(píng)果正好分完.那么，蘋(píng)果有________個(gè)，梨有_________個(gè).11÷（2×3-5）=11（次）蘋(píng)果：11×2=22（個(gè)）梨：22×3=66（個(gè)）例1例1四年級(jí)有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問(wèn)這四個(gè)班共有多少人？

【解析】用131＋134＝265，這是1個(gè)甲、丁和2個(gè)乙、丙的總和，因?yàn)橐?、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用265－1＝264就剛好是3個(gè)乙、丙的和，264÷3＝88，就是說(shuō)乙丙的和是88，那么甲丁和是88＋1＝89，所以四個(gè)班的和是88＋89＝177人.例例2（第13屆中環(huán)杯初賽）養(yǎng)兔場(chǎng)有一些大兔子和小兔子，小兔子的數(shù)量是大兔子的4倍.過(guò)了一段時(shí)間后，一些小兔子長(zhǎng)成了大兔子.結(jié)果有只小兔子長(zhǎng)成了大兔子，且這時(shí)大兔子和小兔子一樣多.那么原來(lái)共有大兔子（）只

【解析】一段時(shí)間后,小兔子少了只,大兔子多了只;差為,這對(duì)應(yīng)了原來(lái)大兔子的倍;故原來(lái)大兔子的數(shù)目為(只)例例3有兩個(gè)炮兵營(yíng)參加軍事演習(xí)，它們各準(zhǔn)備了若干枚炮彈．開(kāi)始一營(yíng)比二營(yíng)多準(zhǔn)備了5枚炮彈．后來(lái)因?yàn)檠萘?xí)需要，一營(yíng)給了二營(yíng)20枚炮彈．這時(shí)二營(yíng)炮彈數(shù)量就比一營(yíng)的3倍還多3枚．一營(yíng)最開(kāi)始準(zhǔn)備了幾枚炮彈？

【解析】根據(jù)線段圖知，一營(yíng)給二營(yíng)20枚后，二營(yíng)比一營(yíng)多枚又此時(shí)二營(yíng)比一營(yíng)的3倍還多3枚，如圖根據(jù)線段圖知，此時(shí)一營(yíng)的兩倍為：枚，那么一營(yíng)的數(shù)量為：枚，那么一營(yíng)最開(kāi)始有：枚例例4（第11屆中環(huán)杯決賽）有一筆獎(jiǎng)金，要把它分成一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)來(lái)頒發(fā).每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍，每個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍.如果一、二、三等獎(jiǎng)各設(shè)置兩人，那么，每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是616元.如果設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)、兩個(gè)二等獎(jiǎng)、三個(gè)三等獎(jiǎng)，那么每個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是多少元？

【解析】若一二三等獎(jiǎng)各設(shè)置兩人，設(shè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是1份，那么二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是2份，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為4份.所以1份是616÷4=154元，總獎(jiǎng)金：154×（1+2+4）×2=2156元若設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)，兩個(gè)二等獎(jiǎng)，三個(gè)三等獎(jiǎng)，那么共4+2×2+3=11份，1份是2156÷11=197元，那么一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為：196×4=784元例例5小琪問(wèn)陳老師今年多少歲，陳老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才4歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)43歲了.”你能算出陳老師、小琪今年的年齡各是多少嗎？

【解析】?jī)扇说哪挲g差：（43-4）÷3=13（歲）小琪的年齡：13+4=17（歲）陳老師年齡：17+13=30（歲）答：陳老師今年的年齡是30歲，小琪17歲.例例6甲乙兩個(gè)書(shū)架，甲書(shū)架上書(shū)的冊(cè)數(shù)是乙書(shū)架上的7倍，如果從甲書(shū)架上取出19冊(cè)，而往乙書(shū)架上放15冊(cè)，這時(shí)甲書(shū)架上的書(shū)的冊(cè)數(shù)是乙書(shū)架上的3倍.甲乙兩書(shū)架上原來(lái)各有書(shū)多少冊(cè)？根據(jù)線段圖，書(shū)架上的書(shū)調(diào)整后不難看出甲書(shū)架現(xiàn)有的書(shū)是乙書(shū)架的3倍，而乙書(shū)架上的書(shū)實(shí)際是原有書(shū)加上15冊(cè)書(shū)后組成的.因此甲書(shū)架現(xiàn)在上面的書(shū)實(shí)際包含了3份乙書(shū)架原有的書(shū)和3×15=45（冊(cè)）書(shū)，如果這些書(shū)再加上之前拿走的19冊(cè)書(shū)就和甲書(shū)架原有的書(shū)冊(cè)數(shù)相等了，從中不難看出3×15+19=64（冊(cè)）書(shū)正好是4份乙書(shū)架原有的書(shū).乙書(shū)架原有書(shū)：（3×15+19）÷（7-3）=16（冊(cè)）甲書(shū)架原有書(shū)：16×7=112（冊(cè)）答：甲書(shū)架原有書(shū)112冊(cè)，乙書(shū)架原有書(shū)16冊(cè).1、用中國(guó)象棋的車(chē)，馬，炮分別表示不同的自然數(shù).如果：車(chē)÷馬＝2，炮÷車(chē)＝4，炮－馬＝56，那么“車(chē)＋馬＋炮”等于多少？

【解析】這是一個(gè)差倍問(wèn)題.依題有，馬是1倍，車(chē)是馬的2倍，炮是車(chē)的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（2×4－1）7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是56，根據(jù)差倍問(wèn)題的公式就可分別求出車(chē)、馬、炮的值.56÷（8－1）＝8——馬；8×2＝16——車(chē)16×4＝64——炮8＋16＋64＝88——車(chē)＋馬＋炮

車(chē)、馬、炮的和是882、三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù).

【解析】要點(diǎn)：先把一，二小組看成一個(gè)整體！把第三小組看成一個(gè)整體，我們把這種方法叫“化三為二”即把三個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二個(gè)問(wèn)題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù).這也是一個(gè)和差問(wèn)題.解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小組的人數(shù)

（100－2）÷2＝49（人）——第一小組的人數(shù)答：第一小組的人數(shù)是49人.3、兩個(gè)自然數(shù)相除，商是4，余數(shù)是1.如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是56，那么被除數(shù)等于多少？

【解析】被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)，根據(jù)題意知被除數(shù)比除數(shù)的4倍還多1，且被除數(shù)與除數(shù)的和為：，畫(huà)出線段圖：5條小線段共為：每條小線段表示：即除數(shù)為10，那么被除數(shù)為：4、如下圖，4個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形和1個(gè)小正方形拼成了1個(gè)大正方形.大正方形的面積是64平方分米，小正方形的面積是4平方分米，問(wèn)長(zhǎng)方形的寬是幾分米？

【解析】對(duì)64和4分解因數(shù)：64=8×8；4=2×2.所以，大正方形的邊長(zhǎng)為8，即長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和為8；小正方形的邊長(zhǎng)為2，即長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的差為2.

所以，長(zhǎng)方形的寬為：（8-2）÷2=3（分米）.5、550是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？

【解析】這四個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)變化后都與丁相等，那么選取丁為“1”，用一條小線段表示，甲加上2與丁相等則甲原來(lái)比丁少2，乙減少2與丁相等則乙原來(lái)比丁多2，丙除以2與丁相等則丙原來(lái)是丁的2倍.如圖：根據(jù)線段圖可以看出，圖中共有條小線段，共表示那么每條小線段表示：即丁原來(lái)是110，那