2023年湖北省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2023年湖北省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題(共8小題，滿分40分)

1.(5分)若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3-2八1-2h2+i所對應(yīng)的點分別為4,B,C,則4/8C

的面積為()

A.6B.4C.3D.2

2.(5分)已知集合4=04y=3jc-2},8={x[y=/"(χ-3)},則ZC(CRB)=()

A.(-8,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.(-2,+∞)

3.(5分)函數(shù)y=cos2x+sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[fcττ—Q-fkτι+豆](kEZ)B.[2fcττ—?-/2∕cτr+g](kWZ)

C.[2∕cττ—^―,2∕cττ+^?](kEZ)D.[∕cττ+今，kτc4—?-](kEZ)

4.(5分)已知〃=IOgO.4θ?3,?=logo,7θ.4,c=0.30?7,則()

A.c<a<hB.a<c<hC.c<b<aD.b<c?a

5.(5分)法國有個名人叫做布萊爾?帕斯卡，他認(rèn)識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出一個

問題，他們說，他們下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭

了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去.假設(shè)每局兩賭

徒輸贏的概率各占;，每局輸贏相互獨立，那么這700法郎如何分配比較合理()

A.甲400法郎，乙300法郎B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎D.甲350法郎，乙350法郎

6.(5分)已知圓C的方程為/-2χ+6y+l=0,點P在圓C上，O是坐標(biāo)原點，則IOPl

的最小值為()

A.3B.√10-3C.3-√3D.2√2-2

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7.（5分）已知雙曲線C：^∣-∣∣=l（α>O,b>O）的右焦點為凡過點廣且垂直于X軸的

直線與雙曲線的漸近線交于點N（/在第一象限內(nèi)），以04為直徑的圓與雙曲線的另一

條漸近線交于點8,若8尸〃。/,則雙曲線C的離心率為（）

2√3-.

A.§B.√r2C.Vγ3D.2

1

8.（5分）已知正四棱柱48CD-48ιCιOι中，BE=^BB?=2,4AB=3AA↑,則該四棱柱被

過點4,C,E的平面截得的截面面積為（）

A.24√2B.36C.12√19D.6√95

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）使“l(fā)og2（Zr-3）<2”成立的一個充分不必要條件是（）

QQ7

A.x>^B.XVW或x>3C.2<x<3D.3<x<^

10.（5分）若樣本α+xι,a+xi，???>a+x”的平均值是5,方差是4,樣本l+Zri，1+2x2，…,

1+2X”的平均值是9,標(biāo)準(zhǔn)差是s,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.α=lB.α=2C.s=2D.s=4

11.（5分）設(shè)函數(shù)/（x）=x∕"2χ+χ的導(dǎo)函數(shù)為，（X）,貝IJ（）

1

A./(-)=0

e

B.x=?∣是/(X)的極值點

C.f（x）存在零點

D.f（X）在（±+∞）單調(diào)遞增

e

12.（5分）如圖，正方體N88-Z∣8ιC∣Z）∣的棱長為2,E,尸分別是棱44∣,CCl的中點,

過E廠的平面與棱881,DDl分別交于點G,，.設(shè)8G=x,x∈[0,1].下列結(jié)論正確的

是（）

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A.四邊形EGF4一定是菱形

B.AC//nEGFH

C.四棱錐Z-EGFH的體積為定值

D.四邊形EGF”的面積S=/（x）在區(qū)間［O,I］上單調(diào)遞增

Ξ.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知向量詞夾角為30。，向=2,?=√3,則而+2a=.

14.（5分）（x2-∣）"的展開式中，第5項為常數(shù)項，則〃=.

15.（5分）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（一去0）對稱，且關(guān)于直線x=l對稱，則/（x）

=（寫出滿足條件的一個函數(shù)即可）.

16.（5分）拋物線/=2∕zx（p>0）的準(zhǔn)線截圓x2+y2-2y-I=0所得弦長為2,則P=

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在遞增的等比數(shù)列｛α,J中，a2a5=32,α3+α4=12.

（1）求｛<?｝的通項公式；

n

（2）若bn=（-I）an+?,求數(shù)列｛a｝的前〃項和S,.

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18.(12分)在a∕8C中，角/,B,C的對邊分別為α,h,c,A=B+3C.

(1)求SinC的取值范圍；

(2)若C=6b,求SinC的值.

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19.（12分）永村老醋以其色澤鮮艷、濃香醇厚的獨特風(fēng)味，與山西陳醋、鎮(zhèn)江香醋、保寧

藥醋并稱中國四大名醋.為提高效率、改進(jìn)品質(zhì)，某永村老醋生產(chǎn)公司于2018年組織技

術(shù)團隊進(jìn)行發(fā)酵工藝改良的項目研究.2020年底，技術(shù)團隊進(jìn)行階段試驗成果檢驗，為

下階段的試驗提供數(shù)據(jù)參考.現(xiàn)從改良前、后兩種發(fā)酵工藝生產(chǎn)的成品醋中，各隨機抽

取100件進(jìn)行指標(biāo)值M的檢測，檢測分兩個步驟，先檢測是否合格.若合格.再進(jìn)一步

檢測是否為一等品.因檢測設(shè)備問題，改良后的成品醋有20件只進(jìn)行第一步檢測且均為

合格，已完成檢測的180件成品醋的最終結(jié)果如表所示.

指[-2,-1)[-1,0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)

標(biāo)

區(qū)

間

來改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良

源前后前后前后前后前后前后

個315230263134241572

數(shù)

附：成品醋的品質(zhì)采用指標(biāo)值以進(jìn)行評價.評價標(biāo)準(zhǔn)如表所示.

Λ∕∈[0,1)Λ∕∈[l,3)Mg[0,3)

一等品二等品三等品

合格不合格

（1）現(xiàn)從樣本的不合格品中隨機抽取2件，記來自改良后的不合格品件數(shù)為X,求X的

分布列:

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(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，每銷售一件成品醋的利潤y(單位：元)與指標(biāo)值"的關(guān)系為

5,M∈[0,1)

3,M∈[1,3),若欲實現(xiàn)“改良后成品醋利潤比改良前至少增長20%”，則20

{-2,M?[0,3)

件還未進(jìn)一步檢測的樣本中，至少需要幾件一等品？

20.(12分)如圖，四棱錐P-NBCO的底面NBCO為梯形，CDLAD,BC//AD,以_L底面

ABCD,且刃=∕O=CO=2,8C=3.

(I)E為PO的中點，證明ZE與平面PCO垂直；

PF1

(2)點尸在PC上，且m=§,求二面角尸-NE-P的正弦值.

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21.(12分)已知橢圓C：盤+∣∣=l(α>b>O)離心率為|,點4,B,D,E分別是C的左,

右，上，下頂點，且四邊形/O8E的面積為6西.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知F是C的右焦點，過F的直線交橢圓C于P,0兩點，記直線/P,80的交

點為T,求證：點T橫坐標(biāo)為定值.

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22.(12分)已知函數(shù)F(X)=--------.

x-1x+1

(I)設(shè)函數(shù)〃(x)=(X-I)尸(%),當(dāng)。=2時，證明：當(dāng)x>l時，h(x)>0；

(H)若尸G)有兩個不同的零點，求α的取值范圍.

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2023年湖北省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題，滿分40分)

1.(5分)若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3-2i、1-2八2+i所對應(yīng)的點分別為小B,C,貝IJZ?∕8C

的面積為()

A.6B.4C.3D.2

【解答】解：依題意，A(3,-2),B(1,-2),C(2,1),

在復(fù)平面內(nèi)作出A∕8C的圖形如圖所示，

1

所以ANBC的面積為5X2X3=3.

故選：C.

2.(5分)已知集合∕={MP=3JC-2},B={x?y=ln(X-3)},則力。(QRB)=()

A.(-8,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.(-2,+∞)

【解答】解：y=3'-2>-2,即N=(-2,+?),8={x[y=>(X-3)}={x∣χ-3>0}

={x∣x>3},

則CR8={X∣X≤3},

貝IJZn(CRS)=(-2,3],

故選：C.

3.(5分)函數(shù)y=cos2x+sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[fcτr—g->kτι+百](kGZ)B.[2fcττ—?->2kτt+豆](kWZ)

C.[2fcττ-,2kττ+*](k∈Z)D.[∕ot+今，kττ+?^J(k∈Z)

【解答】解：y=cos2x+sin2x=V∑cosC2x-

■JT

由2Aπ-π≤2x-4≤2?π,A∈Z,

得ATT-≤x<Aτι+人∈Z,

第9頁共21頁

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為時—普，Λπ+部A∈Z,

故選：A.

4.（5分）已知α=logo.4θ.3,6=logo.7θ.4,c=0.3°）,則（）

A.CVaVbB.a<c<bC.c<b<aD.6<c<ɑ

【解答】解：:l=logo.4θ.4VQ=logo.4θ.3Vk）go,4θ.l6=2,h=logo,7θ.4>logo,7θ.49=2,c

=O.3o?7<O.3o=l,

故c<b<a,

故選：A.

5.（5分）法國有個名人叫做布萊爾?帕斯卡，他認(rèn)識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出一個

問題，他們說，他們下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭

了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去.假設(shè)每局兩賭

徒輸贏的概率各占去每局輸贏相互獨立，那么這700法郎如何分配比較合理（）

A.甲400法郎，乙300法郎B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎D.甲350法郎，乙350法郎

【解答】解：由題意得：

甲贏得700法郎的概率為Λ=∣+∣×i=∣,

乙贏得700法郎的概率為P2=I×I

Q1

這700法郎應(yīng)該分配給甲：700x）=525法郎,分配乙：700Xa=I75法郎.

故選：C.

6.（5分）已知圓C的方程為Λ2+f-2χ+6y+i=0,點P在圓C上，。是坐標(biāo)原點，則IoPl

的最小值為（）

A.3B.√Tθ-3C.3-√3D.2√2-2

22

【解答】解：圓C的方程為χ2+y2-2χ+6y+l=0,即（x-1）+（y+3）≈9,

圓的圓心（1,-3）,半徑為3.

點P在圓C上，。是坐標(biāo)原點，則QPI的最小值：√l2+（-3）2-3=√10-3.

故選：B.

7.（5分）已知雙曲線C：苴—掾=l（α>0,b>0）的右焦點為F,過點尸且垂直于X軸的

直線與雙曲線的漸近線交于點/在第一象限內(nèi)），以04為直徑的圓與雙曲線的另一

第10頁共21頁

條漸近線交于點8,若8尸〃。4則雙曲線C的離心率為（）

A.——B.√2C.√3D.2

3

【解答】解：如圖，因為所以點F在圓上，又8尸〃。I,尸是/C的中點，所

以NAOF=NoFB,

if?ZAOF=ZBOF,所以AOB廠是等腰三角形，∣O∕∣=2∣O8∣=2∣8FI=23尸|,

1

8.（5分）己知正四棱柱/8CZ）-出81。。|中，BEwBBI=2,4AB=3AAi,則該四棱柱被

過點小，C,E的平面截得的截面面積為（）

A.24√2B.36C.12√19D.6√95

【解答】解：由題意可知，正四棱柱/8Cr）-∕181C1L>I中，BE=^BBι=2,4/8=3/4,

可得Z4=88ι=CCi=8,BE=2,

在。。I上取一點尸，使得Dl尸=2,如圖所示，

連結(jié)小尸，CF,可得小F=CE且Z尸〃CE,則四邊形由ECF是平行四邊形，

四棱柱被過點小，C,E的平面截得的截面為由ECR

2222

由勾股定理可得，A1E=V6+6=6Λ∕2/CE=V2+6=2VlO,&C=

第11頁共21頁

√62+62+82=2√l4,

222

A1E+CE-A1C72+40-136√5

所以cos?AiEC=

2A1E?CE2×6√2×2√10^-10,

乙

所以sin?A1EC=y∕T-cos2AIEC=?

所以平行四邊形∕∣ECF的面積為AlE?CE-Sinz.A1EC=6√2×2√10X罌=12√19.

故選：C.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）使“l(fā)og2（2χ-3）<2w成立的一個充分不必要條件是（）

A.x>∣B.x<∣或x>3C.2<x<3D.3<x<∣

【解答］解:由k>g2（2χ-3）<2=log24,

解得:<?<7,

L乙

37737

V{x∣2<x<3}?{xH<rVf,{x?3<x<^}Q［x?-<x<-}.

故選：CD.

10.（5分）若樣本α+xι,α+x2,…，a+x”的平均值是5,方差是4,樣本l+2rι,1+2x2，…，

1+2X”的平均值是9,標(biāo)準(zhǔn)差是s,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a—1B.a—2C.s—2D.s=4

【解答】解：樣本a+x”α+x2,…，a+、”的平均值是5,方差是4,樣本l+2xι,1+2x2，…,

1+2X"的平均值是9,標(biāo)準(zhǔn)差是s,

則i+2xi=2（α+x,）-2α+l,

則樣本l+2xι,1+2x2,…，1+2%”的平均值為2X5-2α+l=9,a=?,

.s?2=22×4=16,5=4.

故選：AD.

11.（5分）設(shè)函數(shù)［（x）=x∕,4+χ的導(dǎo)函數(shù)為，（x）,則（）

第12頁共21頁

1

A.f(-)=O

e

B.x=:是/(X)的極值點

C.f(x)存在零點

D.f(X)在(±+∞)單調(diào)遞增

e

【解答】解：由題可知∕G)=X歷2"X的定義域為(0,+8),

f(X)=∕W2X+2∕WX÷1,

所以∕v(-)=In2-+2∕∏-+1=0,故Z正確；

eee

f(X)=ln2x+2lnx+l=Clnx+l)2≥0,

故函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故無極值點，故8錯誤，。正確，

f(x)-xln2x+x-x(∕n2x+l)>0>故函數(shù)/(x)不存在零點，故C錯誤.

故選：AD.

12.(5分)如圖，正方體Z8CZ)-∕∣8ιC∣O∣的棱長為2,E,尸分別是棱44∣,CCl的中點,

過EF的平面與棱881,DZ)I分別交于點G,H.設(shè)8G=x,x∈[0,1].下列結(jié)論正確的

A.四邊形EGF〃一定是菱形

B.4C〃平面EGFH

C.四棱錐N-EGFH的體積為定值

D.四邊形EGF”的面積S=/(X)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增

【解答】解：對于4,由面面平行的性質(zhì)定理可得EG〃切，EH//GF,

可得四邊形EG”為平行四邊形，

又直角梯形CBG尸和直角梯形/8GE全等，可得EG=FG,

即有四邊形EGF”為菱形，故/正確：

對于8,由四邊形NEFC為平行四邊形，

第13頁共21頁

可得4C7∕EF,∕4C?jPffiEGFH,EFU平面EGFH,

可得/C〃平面EGF，，故8正確：

對于C,四棱錐/-EG”的體積為：

1

y=yG-4EF+VH"EF=QXDB義SdAEF為常數(shù)，故C正確；

對于。，由菱形EGFH可得￡7口.G4,四邊形EG五，的對角線E廠是固定的，根據(jù)對稱

性，

可得四邊形EGFa的面積S=/（X）在x∈[0,1]上單調(diào)遞減，在x∈[l,2]上單調(diào)遞增，故

。不正確.

故選：ABC.

≡.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知向量N,Z的夾角為30。,?a?=2,?b?=√3,則區(qū)+2a=2√7.

【解答】解：因為向量K而夾角為30。，而∣=2,?b?=√3,

所以（α+2b）2=a2+4α?b+4h2=22+4×2×V3×cos30o+4×（V3）2=28,

所以值+2a=2夕.

故答案為：2√7?

14.（5分）。2一|）”的展開式中，第5項為常數(shù)項，則〃=6.

【解答】解：二項式的展開式的第項為244

5T5=C^（X）N-（-∣）=24c*2n-i2,

令2〃-12=0,解得〃=6,

故答案為：6.

15.（5分）若函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點（一意0）對稱，且關(guān)于直線x=l對稱，則/G）

=Sin—（寫出滿足條件的一個函數(shù)即可）.

【解答】解：設(shè)/（x）=Sin（ωx+φ）,

第14頁共21頁

；函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(—去0)對稱，且關(guān)于直線X=I對稱，

3

?/(x)的一個周期為］X4=6,

.27Γ2TrTr

??ω=7=T=?

Tr

.*./(X)=Sin(-x+φ),

又/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

,Tt

當(dāng)tX=1時，有sin(?+φ)=土1,

不妨取Sin(-÷φ)=1,WlJ~+φ=?÷2?π,%∈Z,即φ=看+2?π,?∈Z,

令A(yù)=O,則φ=看，

.?∕(x)=Sin(F+看)?

故答案為：sin拿+看)(答案不唯一).

16.(5分)拋物線/=2PX(P>0)的準(zhǔn)線截圓％2+/-2y-1=0所得弦長為2,則P=

2.

【解答】解：圓x2+y2-2y-I=0化為X2+(廠1)2=2,得圓心C(0,1),半徑r=V2.

如圖所示，由拋物線∕=2*(p>0)得準(zhǔn)線/方程為X=—1設(shè)準(zhǔn)線與圓相交于點aB.

過點。作COL準(zhǔn)線/,垂足為。.則4。=%B=L

在RtZ?ZCO中，CD=%=-AD?=1'解得P=2?

故答案為2.

X

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)在遞增的等比數(shù)列｛“"｝中，0245=32,43+04=12.

第15頁共21頁

(1)求｛α,,｝的通項公式；

n

(2)若b”=(-1)αn+ι,求數(shù)列｛b"｝的前N項和S".

。2@5=a3a4=32

ɑ3+?=12,解得：的=4,44=8,

｛α?Va4

.?.公比q=粵=2,

α3

,3,,3πl(wèi)

Λ‰=a3√'=4×2-=2;

(2)由(1)可得：6”=(-I)"?2"=(-2)",

_一2[1—(-2)叼__(-2尸+1+2

?■?"―1+2_3?

18.(12分)在4/8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A^B+3C.

(1)求Sine的取值范圍;

(2)若c=6b,求Sine的值.

【解答】解：(1)由N=8+3C及/+8+C=n,得22+4C=n,

所以8=占一2C,所以4=冷+C

,(0<A<π,zθ(θ<^+C<π,

由4得4乙

lθ<B<π,O<C<π,∣0<≡-2C<π,O<C<π,

得OVCV?

故SinC的取值范圍為(O,y).

(2)若c=6b,由正弦定理有SinC=6sinβ,①

由⑴知8=提一2C,則SinB=Sin(--20=cos2C.②

/2

1

由①②得^sinC=CoS2C=1-2sin2C,所以12sin2C+sinC-6=0,

6

解得SinC=.或SinC=—

√2

又πSinC∈(0,―),

?

所以SinC=?.

19.(12分)永村老醋以其色澤鮮艷、濃香醇厚的獨特風(fēng)味，與山西陳醋、鎮(zhèn)江香醋、保寧

藥醋并稱中國四大名醋.為提高效率、改進(jìn)品質(zhì)，某永村老醋生產(chǎn)公司于2018年組織技

術(shù)團隊進(jìn)行發(fā)酵工藝改良的項目研究.2020年底，技術(shù)團隊進(jìn)行階段試驗成果檢驗，為

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下階段的試驗提供數(shù)據(jù)參考.現(xiàn)從改良前、后兩種發(fā)酵工藝生產(chǎn)的成品醋中，各隨機抽

取IOO件進(jìn)行指標(biāo)值M的檢測，檢測分兩個步驟，先檢測是否合格.若合格.再進(jìn)一步

檢測是否為一等品.因檢測設(shè)備問題，改良后的成品醋有20件只進(jìn)行第一步檢測且均為

合格，已完成檢測的180件成品醋的最終結(jié)果如表所示.

指[-2,-1)[-L0)[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)

標(biāo)

區(qū)

間

來改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良改良

源前后前后前后前后前后前后

個315230263134241572

數(shù)

附：成品醋的品質(zhì)采用指標(biāo)值歷進(jìn)行評價.評價標(biāo)準(zhǔn)如表所示.

Λ√∈[0,I)Λ∕∈[l,3)Λ∕?[0,3)

一等品二等品三等品

合格不合格

(1)現(xiàn)從樣本的不合格品中隨機抽取2件，記來自改良后的不合格品件數(shù)為X,求X的

分布列：

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，每銷售一件成品醋的利潤y(單位：元)與指標(biāo)值M的關(guān)系為

'5,M∈[0,1)

y=?3,M∈[1,3),若欲實現(xiàn)''改良后成品醋利潤比改良前至少增長20%”，則20

-2,M?[0,3)

件還未進(jìn)一步檢測的樣本中，至少需要幾件一等品？

【解答】解：(1)由題意分析可知X可能取值為0,1,2,

C?r21?1

P(X=O)=點=??;P(X=2)=票=τ?;P(X=I)=1-P(X=O)-P(X=2)

。20C20

_15

=38;

所以X的分布列:

X012

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P21151

383819

(2)改良前的利潤：30X5+(31+24)×3-(3+5+7)X2=285元，

增長20%后：285X(1+20%)=342元，

設(shè)有X件一等品，其余均為二等品，此時的一等品數(shù)量最少，

貝IJ(26+x)×5+(34+15+20-χ)X3-2X52342,

解得x2苧，

所以至少8件.

20.(12分)如圖，四棱錐尸-NBCZ)的底面ZBCo為梯形，CDLAD,BC//AD,EI，底面

ABCD,且Λ4=4D=CD=2,SC=3.

(I)E為尸。的中點，證明ZE與平面PCA垂直；

PF1

(2)點E在尸C上，且正=石，求二面角尸-/E-P的正弦值.

【解答】（1）證明：?.ZP=∕1O=2,E為PO的中點

，ZkNPD為等腰三角形，J.AEVPD,

又?.?∕?，底面N3C0,：.PAVCD,

,：CDA.AD,ADΠPA^A,,81.平面以O(shè),CDlAE,

AELPD,AEl.CD,PDHCD=D,Pr）U平面尸。C,JDc5FfflPDC,

平面尸CZX

(2)解：因為以，底面48CD,CDLAD,BC//AD,

所以A4、AD.CO兩兩垂直，

以4點為原點，NO為y軸，/P為Z軸，過/做平面N8C。內(nèi)C。的平行線，交BC于

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點4,為X軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

因為P4=/。=CD=2,BC=3,

所以Z(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

PF?774

因為E為尸。的中點，點F在PC上，且外=個所以E(0,1,1),F(?,?,1).

PC????

設(shè)平面ZEF的?個法向量為薪=(α,b,c),

h+C=O

則何Y=0,即224

-Q+--C=O取b=l,則〃=1,C=-I,得Zn=(L1,-1).

3

?AF=033

又平面ZEP的一個法向量為n=(L0,0),所以COS〈m,>=F2=F;=H

∣τn∣?∣n∣√3×1?

√6

所以二面角F-AE-P的正弦值為三.

21.(12分)已知橢圓C：蕓+，=l(α>b>O)離心率為|,點4B,D,E分別是C的左,

右，上，下頂點，且四邊形4O8E的面積為6遍.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知尸是C的右焦點，過尸的直線交橢圓C于P,。兩點，記直線/P,8。的交

點為T,求證：點7橫坐標(biāo)為定值.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,根據(jù)題意，

Cc_2

a=3(ɑ=3

,i?2α?2h=6√5,解得歸產(chǎn)，

ICr2—_nu2-Dk2

22

所以橢圓的方程為§χ+?y^=1?

(2)證明：由(1)知Z(-3,0),8(3,0),b(2,0),

設(shè)T(X0,yo),P(xι,y?),Q(X2，"),

Voyι

由kτA=kpAy得

%θ+3%l+3

,一舛y。也

KTB-KOBf待_一_，

%0-3X2-3

χ∩一3一

兩式相除得一yi--X-2----3?-------

%o+3*1+3'2

產(chǎn)2靖

"T=_工但Z等地?絲