第二十四章 相似三角形50題（5類壓軸題專練）（原卷版）

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動點，且，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．當(dāng)點E與點B重合時，C． D．2．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知F是內(nèi)的一點，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·福建·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點，F(xiàn)是與的交點，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點是的中點，延長至點，使得，過點作于點，為的中點，給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點為上一點，過點作的垂線交的延長線于點，若，則線段的長為．

7．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，為邊的中點，點在直線上（點不與點、重合），連接，過點作交直線于點．若，，，則線段的長為．

8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點為的中點，點為上一點，連接、交于點，連接，當(dāng)時，線段的長度是．9．（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┮阎冗吶切蔚倪呴L為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當(dāng)時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，求的面積．10．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，．將矩形沿折疊，點A的對應(yīng)點為點H，點B的對應(yīng)點為點G，交于點N，交于點P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點M，連接．判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．壓軸題型二函數(shù)中的相似三角形問題1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動點，，交于點，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點是上的一個動點，交四邊形另一邊于點．設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點．若將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點恰好落在y軸正半軸上時，點的坐標(biāo)為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）4．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，，，點沿從點勻速運動到點．設(shè)點的運動時間為，，圖是點運動時隨變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖中最低點的縱坐標(biāo)的值為（）A． B． C． D．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點，點，軸于點，軸于點，是線段上的一點，連接，，若，則點的坐標(biāo)為．

6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點A在第一象限，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

7．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，，，，將的頂點O與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，頂點B落在x軸上，另一頂點A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．8．（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點坐標(biāo)為，點是線段上的一個動點（不運動至，兩點）過點作軸，垂足為，以為邊在右側(cè)作正方形，連接并延長交軸的正半軸于點，連接，若以，，為頂點的三角形與相似，則的坐標(biāo)是．

9．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動至點停止．若點的運動速度為，設(shè)點的運動時間為．的長度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)當(dāng)恰好平分時，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點，，過點作交于點，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為點，若，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，連接，在射線上是否存在點，連結(jié)，使為等腰三角形．若存在，求出的長．壓軸題型三動點關(guān)系的相似三角形問題1．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點從點出發(fā)以1個單位長度/秒的速度向點運動，同時點從點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向點運動，其中一點到達(dá)另一點即停．當(dāng)以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣3．（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運動，設(shè)E點的運動時間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.54．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動．作于點G，則運動過程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．85．（2023春·江蘇揚州·九年級儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊向終點C運動，作于點G，設(shè)運動的時間為t秒，則AG的最大值是．6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發(fā)，沿運動到點B停止，過點E作交射線于點Q，設(shè)O是線段的中點，則在點P運動的整個過程中，點O運動路線的長為．7．（2023秋·河北保定·九年級?？计谀┤鐖D，已知在中，，，點在邊上（點與點，不重合），，射線與邊交于點，過點作的平行線，交射線于點．（1）若，則的長為；（2）當(dāng)是等腰三角形時，的長為．8．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F(xiàn)處，且點F在線段CD上（不與兩端點重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．9．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點D、E分別為邊、的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點A運動，連結(jié)．作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，．設(shè)點P運動時間為t秒．

(1)線段的長為；(2)當(dāng)點P在折線上時，用含t的代數(shù)式表示線段的長；(3)當(dāng)點在內(nèi)部時，求t的取值范圍；(4)當(dāng)與相等時，直接寫出t的值．10．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為上一點，，動點從點出發(fā)沿射線方向以每秒個單位的速度運動，連，，，過作的平行線交射線于點，設(shè)點的運動時間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當(dāng)時，試求出的長；(2)當(dāng)與相似時，求的值；(3)當(dāng)在線段上時，設(shè)面積為，周長為，①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出的最小值．壓軸題型四相似三角形中最值問題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點D，E分別是邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點在邊上，，，，點是矩形內(nèi)一動點，滿足，連接繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．184．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點B是線段上任意一點，在射線上取一點C，使，在射線上取一點D，使．所在直線的關(guān)系式為，點F、G分別為線段的中點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．85．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在中，，，點分別在邊上，且，連接，相交于點，則面積最大值為．

6．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

8．（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿向點A運動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿向點C運動，連接，過點B作于點H，連接．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段長度的最小值為．

9．（2023·江蘇泰州·?？既＃?一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點，則；用字母表示與間有怎樣的相等關(guān)系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點，交于點，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長用字母，表示三猜想：、、間的大小關(guān)系：，用、的表達(dá)式表示并對與間的關(guān)系進(jìn)行證明；四應(yīng)用：如圖，在中，，，，點、分別在、上，平分的面積，求周長的最小值．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，對角線交于點O，E是邊的中點，連接，分別交于點P，Q，過點P作交的延長線于點F．以下結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結(jié)論正確的序號有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點時，；⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤5．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形中，點E在邊上運動，連接，在的左側(cè)作等腰直角三角形，，連接．

（1）當(dāng)?shù)拈L為時，的長為；（2）當(dāng)?shù)拈L為時，的長最短．6．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)拿出如圖所示的矩形紙片，其中，他們將紙片對折使、重合，展開后得折痕，又沿折疊使點C落在處，展開后又得到折痕，再沿折疊使點A落在上的處，大家發(fā)現(xiàn)了很多有趣的結(jié)論．就這個圖形，請你探究的值為