專題12 圖形的位似變換-解析版

專題12圖形的位似變換★知識點1：位似圖形如圖，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比.①位似圖形是相似圖形的特例；

②位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形；

③位似圖形的對應邊互相平行或共線.性質：位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比.

1.位似圖形對應線段的比等于相似比；2.位似圖形也是相似圖形.3.位似圖形對應點連線的交點是位似中心.4.位似圖形對應邊互相平行或在同一直線上.典例分析【例1】（2022秋·九年級單元測試）如圖，下面三組圖形中，位似圖形有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質逐一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：三組圖形都是相似圖形，第一組和第三組圖形的對應點連線所在的直線經過同一點，第二組圖形的對應點連線所在的直線不經過同一點，第一組和第三組圖形是位似圖形，第二組不是位似圖形，故選：C．【點睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形必須同時滿足兩個條件：①兩個圖形是相似圖形；②兩個相似圖形每組對應點連線所在的直線都經過同一個點，二者缺一不可．【例2】（2023·河北保定·校考一模）如圖，與都是等邊三角形，固定，將從圖示位置繞點逆時針旋轉一周，在旋轉的過程中，下列說法正確的是（

）A．總與位似B．與不會位似C．當點落在上時，與位似D．存在的兩個位置使得與位似【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可．【詳解】與都是等邊三角形，總與相似．在旋轉的過程中，只有當點落在線段和線段的延長線上，和相交于點，在旋轉的過程中，只有當點落在線段和線段的延長線上，與位似．故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的定義，熟練掌握位似圖形的定義是解本題的關鍵．【即學即練】1．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）每年秋季開學，學校組織同學們進行視力測試，如圖是視力表的一部分，其中開口向上的兩個“”之間的變換是（

）A．平移 B．對稱 C．位似 D．旋轉【答案】C【分析】根據(jù)平移、對稱、位似、旋轉的特點進行判斷，即可求解．【詳解】解：選項，平移的特點是不改變大小，故平移不符合題意；選項，對稱的特點是不改變大小，故對稱不符合題意；選項，位似的特點是根據(jù)位似比進行縮小或放大，故位似符合題意；選項，旋轉的特點是不改變大小，故旋轉不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查圖形變換，掌握圖形平移、對稱、位似、旋轉的特點是解題的關鍵．2．（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行∴①②③④能使得是位似圖形，故選：D．【點睛】本題考查了位圖圖形的性質與畫法，掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．★知識點2：判斷位似中心位似圖形對應點連線的的交點即為位似中心典例分析【例1】（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）把放大為原圖形的2倍得到，則位似中心可以是（

）A．G點 B．F點 C．E點 D．D點【答案】B【分析】如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，這個點叫做位似中心，據(jù)此解答即可．【詳解】由位似中心的定義可知，此位似中心可以是點F，故選：B【點睛】本題考查了位似中心，解決本題的關鍵是熟練掌握位似中心的定義．【例2】（2022秋·山東濟南·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，則位似中心是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】找位似圖形的位似中心直接連接位似圖形的對應點并延長，延長線的交點即所找位似中心，寫出坐標即可．【詳解】作圖如下：延長線的交點為(7,0)，位似中心即為(7,0)．故選：B．【點睛】本題考查了找位似圖形的位似中心，理解位似中心的定義做出圖像是做出本題的關鍵．即學即練1．（2022秋·山西太原·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）【答案】C【分析】連接兩組對應點，對應點的連線的交點即為位似中心．【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E（10，0），故選：C．【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關鍵．2．（2021春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（）A．點P B．點Q C．點R D．點S【答案】A【分析】直接利用位似圖形的性質得出對應點連線的交點，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：圖中的兩個三角形的位似中心是點P．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵．★知識點3：求位似圖形的相似比位似圖形的相似比等于對應邊的比典例分析【例1】（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，四邊形與四邊形位似，點O是它們的位似中心，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵四邊形與四邊形位似，∴，∴，∴∵∴故選：B．【點睛】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的對應邊互相平行是解題的關鍵．【例2】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，將放大后得到，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用位似性質得到，然后根據(jù)相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵以點O為位似中心，將放大后得到，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了位似變換：位似的兩圖形兩個圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點；對應邊平行（或共線）．即學即練1．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（

）

A． B．點A、O、三點在同一直線上C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似性質直接逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，∴，，點A、O、三點在同一直線上，∴，故選D．【點睛】本題考查位似性質，解題的關鍵是熟練掌握位似的定義及性質．2．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，若的周長與的周長比是，則與之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，根據(jù)相似三角形的性質求出，再根據(jù)相似三角形的性質計算，得到答案．【詳解】解：與是以點為位似中心的位似圖形，，，的周長與的周長比是，，，，，故選：D．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，熟記相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．★知識點4求位似圖形的對應坐標在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).典例分析【例1】（2022秋·湖南衡陽·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知點、，以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，則點A的對應點的坐標是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或解答．【詳解】解：∵點A的坐標為，以原點為位似中心將縮小，位似比為，∴點的對應點的坐標為：或，即或，故選：D．【點睛】本題考查坐標與圖形變換-位似變換，熟知位似變換規(guī)則是解答的關鍵．【例2】（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的位似圖形，已知，，則點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面積比可得相似比為，然后可得答案．【詳解】解：∵，∴和的相似比為，∵，∴，故選：A．【點睛】此題考查了位似圖形的性質，此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．即學即練1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考期末）已知的頂點A的坐標為，若以原點O為位似中心畫，使與的相似比為，則點的坐標為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】利用位似圖形的性質結合位似比得出點A的對應頂點的坐標．【詳解】解：∵以O為位似中心畫，使得與位似，且相似比為，∴對應點坐標乘以，∵點A的坐標為，∴點的坐標為：或．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換以及坐標與圖形的性質，正確得出對應點關系是解題關鍵．2.（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點為位似中心的位似圖形，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的坐標為，則點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，得到，進而求出，根據(jù)位似變換的性質計算，得到答案．【詳解】解：點的橫坐標為，點的橫坐標為，∴，與是以原點為位似中心的位似圖形，∴，，∴，與的相似比為：，點的坐標為，點的坐標是，故選：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．★知識點5求位似圖形的周長比和面積比位似圖形的周長比等于相似比；位似圖形的面積比等于相似比的平方。典例分析【例1】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，與是以點O為位似中心的位似圖形，若，的周長為15，則的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質，得到，根據(jù)得到相似比為：，再結合三角形的周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點O為位似中心的位似圖形∴的周長為15，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解決問題的關鍵．【例2】．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點為位似中心的位似圖形，若，的面積為2，則的面積為（

）

A．4 B．6 C．8 D．18【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質，得到，根據(jù)得到相似比，再結合相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：與是以原點為位似中心的位似圖形，，，，，，，的面積為2，的面積為18，故選：D．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解題的關鍵．即學即練1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，矩形與矩形位似，位似中心是原點，若點，，則矩形與矩形的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形與矩形位似，位似中心是原點，而點，，∴，∴它們的相似比為，∴矩形與矩形的面積比為．故選：A．【點睛】本題考查位似圖形，相似多邊形的性質．熟練掌握位似比等于相似比，是解題的關鍵．2．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或，得，再求正方形ODEF與正方形OABC的周長比．【詳解】解：∵正方形ODEF與正方形OABC位似，，∴，正方形ODEF與正方形OABC的周長為，故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．★知識點6畫位似圖形1.確定位似中心.2.確定原圖形的關鍵點.3.確定位似比.4.根據(jù)對應點所在直線經過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關鍵點的對應點，再按照原圖的順序連接各點(對應點都在位似中心同側，或兩側).典例分析【例1】（2021春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如果一個圖形上各點的橫坐標保持不變，而縱坐標分別都變化為原來的，那么所得的圖形與原圖形相比()A．形狀不變，圖形縮小為原來的一半B．形狀不變，圖形放大為原來的2倍C．整個圖形被橫向壓縮為原來的一半D．整個圖形被縱向壓縮為原來的一半【答案】D【詳解】試題解析：∵一個圖形上各點的橫坐標保持不變，而縱坐標分別都變化為原來的，∴整個圖形被縱向壓縮為原來的一半故選D．考點：位似變換．【例2】（2013秋·北京·九年級階段練習）如圖，每個正方形網格的邊長為1個單位長度，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△（頂點均在格點上），若它們是以點P為位似中心的位似圖形，則點P的坐標是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：∵△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，根據(jù)位似圖形的性質，對應點的坐標相交于一點，連接AA1，BB1，CC1，交點即是P點坐標，∴如圖所示，P點的坐標為：．故選C．考點：1.位似變換；2.坐標與圖形性質；3.數(shù)形結合思想的應用．即學即練1．（2023秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的定義，畫出位似中心，即可得出結果．【詳解】解：∵與是位似圖形，連接并延長，交于點，則點即為位似中心，如圖所示：由圖可知：；故選B．【點睛】本題考查坐標系下求位似中心的坐標．熟練掌握位似圖形的定義，確定位似中心的位置，是解題的關鍵．2．（2023春·河北邯鄲·九年級?？奸_學考試）在如圖所示正方形網格圖中，以O為位似中心，把線段放大為原來的2倍，則A的對應點為（

）A．N點 B．M點 C．Q點 D．P點【答案】B【分析】根據(jù)位似變換、位似中心的概念解答即可．【詳解】解：如圖，以O為位似中心，把線段AB放大為原來的2倍，根據(jù)位似的性質，則點A到點O的距離和點A的對應點到點O的距離的比是1：2，故點A的對應點是M點．故選B．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，而且每一對對應點到位似中心的距離的比都等于位似比．1．（2022秋·河北邯鄲·九年級?？计谀┤鐖D，已知，任取一點，連，，，分別取點，，，使，，，得，有下列說法：①與是位似圖形；②與是相似圖形；③與的周長比為；④與的面積比為．則正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用位似圖形的性質以及相似圖形的性質分別分析得出答案．【詳解】解：∵任取一點，連，，，分別取點，，，使，，，∴與的相似比為：，∴①與是位似圖形，正確；②與是相似圖形，正確；③與的周長比為，正確；④與的面積比為，正確．故選D．【點睛】此題主要考查位似圖形的性質，解題的關鍵是熟知位似的特點．2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知△ABC，任取一點O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點D、E、F、順次連接得到△DEF，下列結論：①△ABC與△DEF是位似圖形；②△ABC與△DEF是相似圖形；③△ABC與△DEF的周長之比1∶2；④△ABC與△DEF的面積之比為2∶1．其中結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中位線性質得出DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF=，得出線段的比值，根據(jù)相似三角形判定得出△DEF∽△ABC；可判斷故②，根據(jù)BE，AD，CF的延長線交于O，△DEF和△ABC位似，可判斷故①；根據(jù)DE=，DF=，EF=，得出DE+DF+EF=進而得可判斷故③；相似三角形面積比等于相似比的平方可判斷故④可得到答案．【詳解】解：在△ABC外取一點O，連結AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，得到△DEF，∴DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF=，∴，∴△DEF∽△ABC，∵BE，AD，CF的延長線交于O，∴△DEF和△ABC位似；與是位似圖形，故①正確；與是相似圖形，故②正確；∵DE=，DF=，EF=，∴DE+DF+EF=，∴，∴，的周長與的周長比為，故③正確；∵相似三角形面積比等于相似比的平方，∴與的面積比為，故④錯誤；∴正確的個數(shù)是3個．故選C．【點睛】本題主要考查三角形中位線定理，位似圖形的定義和性質，相似三角形的性質和判定定理，掌握位似圖形定義和相似三角形的性質和判定定理是解題的關鍵．3．（2021春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）將平面直角坐標系中某個圖形的各點坐標作如下變化，其中屬于位似變換的是（）A．將各點的縱坐標乘以2，橫坐標不變B．將各點的橫坐標除以2，縱坐標不變C．將各點的橫坐標、縱坐標都乘以2D．將各點的縱坐標減去2，橫坐標加上2【答案】C【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k，進而判斷即可．【詳解】解：A、將各點的縱坐標乘以2，橫坐標不變，不屬于位似，故此選項不合題意；B、將各點的橫坐標除以2，縱坐標不變，不屬于位似，故此選項不合題意；C、將各點的橫坐標、縱坐標都乘以2，屬于位似，故此選項符合題意；D、將各點的縱坐標減去2，橫坐標加上2，不屬于位似，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的定義是解題關鍵．4．（2022春·九年級單元測試）如圖所示的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（

）

A．點A B．點 C．點 D．點【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點A、B為對應點，位似中心在A、B所在的直線上，點D在直線上，點D為位似中心．故選：D．【點睛】此題主要考查了位似變換的性質，利用位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上是解題關鍵．5．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，與是位似圖形，位似比為1：4，若，則的長為()

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)對應點到位似中心距離之比等于位似比即可解答．【詳解】∵與是位似圖形，位似比為，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，掌握位似圖形中“對應點到位似中心距離之比等于位似比”是解答本題的關鍵．6．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，與位似，位似中心是點O，若，則與的面積比是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，，進而得出，根據(jù)相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：與位似，，，，，，，與的面積比為，故選：C．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的對應邊平行是解題的關鍵．7．（2023秋·九年級課時練習）如圖，與位似，點O為位似中心，已知，的面積為2，則的面積為（

）

A．4 B．8 C．6 D．18【答案】B【分析】根據(jù)位似比等于三角形的相似比，再結合面積之比等于相似比的平方計算即可．【詳解】解∵與位似，點O為位似中心，已知，∴，∵的面積為2，∴的面積是8．故選B．【點睛】本題主要考查了位似的性質，熟練掌握面積之比等于位似比的平方是解題的關鍵．8．（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心為原點，位似比為：，若點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)位似變換的性質解答即可．【詳解】解：與位似，位似中心為原點，位似比為：，點，點的橫坐標為，縱坐標為，即，故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．9．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，已知與是以原點O為位似中心的位似圖形，．若的周長為4，則的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質，得到，根據(jù)得到相似比為：，再結合三角形的周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點O為位似中心的位似圖形∴的周長為4，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解決問題的關鍵．10．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質得出所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，即可求解．【詳解】解：由圖得：，設直線的解析式為：，將點代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，∴當時，，∴位似中心的坐標為，故選：A．【點睛】題目主要考查位似圖形的性質，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點是解題關鍵．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若與是位似圖形且頂點均在格點上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標；(2)與的位似比為__________，面積比為__________．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）連接、，兩線相交于點D，根據(jù)位似中心的概念、結合圖形解答即可；（2）根據(jù)，，即可得出相似比和面積比．【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標為：．

（2）解：∵，，∴與的位似比為：，與的面積比為：．故答案為：，．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線所在直線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．12．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考二模）如圖所示，在學習《圖形的位似》時，小華利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了的位似圖形．

(1)僅借助不帶刻度的直尺，在圖1中標出與的位似中心M點的位置（保留作圖痕跡），并寫出點M的坐標________；(2)若以點O為位似中心，僅借助不帶刻度的直尺，在圖2中畫出在y軸左側的位似圖形，且與的相似比為；(3)在（2）中，若邊上的一點的坐標為，則點在在上的對應點的坐標為________．【答案】(1)圖見解析，(2)見解析(3)【分析】（1）連接，它們的交點為M點，然后寫出M點的坐標；（2）利用位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；（3）利用位似圖形的性質即可求解．【詳解】（1）解：如圖，點M為所作，M點的坐標為；

故答案為：；（2）解：如圖，為所作．

（3）解：∵若邊上的一點的坐標為，∴點在在上的對應點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了作圖-位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．也考查了位似的性質．專題12圖形的位似變換★知識點1：位似圖形如圖，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比.①位似圖形是相似圖形的特例；

②位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形；

③位似圖形的對應邊互相平行或共線.性質：位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比.

1.位似圖形對應線段的比等于相似比；2.位似圖形也是相似圖形.3.位似圖形對應點連線的交點是位似中心.4.位似圖形對應邊互相平行或在同一直線上.典例分析【例1】（2022秋·九年級單元測試）如圖，下面三組圖形中，位似圖形有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的性質逐一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：三組圖形都是相似圖形，第一組和第三組圖形的對應點連線所在的直線經過同一點，第二組圖形的對應點連線所在的直線不經過同一點，第一組和第三組圖形是位似圖形，第二組不是位似圖形，故選：C．【點睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形必須同時滿足兩個條件：①兩個圖形是相似圖形；②兩個相似圖形每組對應點連線所在的直線都經過同一個點，二者缺一不可．【例2】（2023·河北保定·校考一模）如圖，與都是等邊三角形，固定，將從圖示位置繞點逆時針旋轉一周，在旋轉的過程中，下列說法正確的是（

）A．總與位似B．與不會位似C．當點落在上時，與位似D．存在的兩個位置使得與位似【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可．【詳解】與都是等邊三角形，總與相似．在旋轉的過程中，只有當點落在線段和線段的延長線上，和相交于點，在旋轉的過程中，只有當點落在線段和線段的延長線上，與位似．故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的定義，熟練掌握位似圖形的定義是解本題的關鍵．【即學即練】1．（2023·青海·統(tǒng)考一模）每年秋季開學，學校組織同學們進行視力測試，如圖是視力表的一部分，其中開口向上的兩個“”之間的變換是（

）A．平移 B．對稱 C．位似 D．旋轉【答案】C【分析】根據(jù)平移、對稱、位似、旋轉的特點進行判斷，即可求解．【詳解】解：選項，平移的特點是不改變大小，故平移不符合題意；選項，對稱的特點是不改變大小，故對稱不符合題意；選項，位似的特點是根據(jù)位似比進行縮小或放大，故位似符合題意；選項，旋轉的特點是不改變大小，故旋轉不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查圖形變換，掌握圖形平移、對稱、位似、旋轉的特點是解題的關鍵．2．（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）下圖所示的四種畫法中，能使得是位似圖形的有（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵每組對應點所在的直線都經過同一個點，且對應邊互相平行∴①②③④能使得是位似圖形，故選：D．【點睛】本題考查了位圖圖形的性質與畫法，掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．★知識點2：判斷位似中心位似圖形對應點連線的的交點即為位似中心典例分析【例1】（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）把放大為原圖形的2倍得到，則位似中心可以是（

）A．G點 B．F點 C．E點 D．D點【答案】B【分析】如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，這個點叫做位似中心，據(jù)此解答即可．【詳解】由位似中心的定義可知，此位似中心可以是點F，故選：B【點睛】本題考查了位似中心，解決本題的關鍵是熟練掌握位似中心的定義．【例2】（2022秋·山東濟南·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，則位似中心是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】找位似圖形的位似中心直接連接位似圖形的對應點并延長，延長線的交點即所找位似中心，寫出坐標即可．【詳解】作圖如下：延長線的交點為(7,0)，位似中心即為(7,0)．故選：B．【點睛】本題考查了找位似圖形的位似中心，理解位似中心的定義做出圖像是做出本題的關鍵．即學即練1．（2022秋·山西太原·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）【答案】C【分析】連接兩組對應點，對應點的連線的交點即為位似中心．【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E（10，0），故選：C．【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關鍵．2．（2021春·湖北武漢·九年級華中科技大學附屬中學校考階段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（）A．點P B．點Q C．點R D．點S【答案】A【分析】直接利用位似圖形的性質得出對應點連線的交點，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：圖中的兩個三角形的位似中心是點P．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵．★知識點3：求位似圖形的相似比位似圖形的相似比等于對應邊的比典例分析【例1】（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，四邊形與四邊形位似，點O是它們的位似中心，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵四邊形與四邊形位似，∴，∴，∴∵∴故選：B．【點睛】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的對應邊互相平行是解題的關鍵．【例2】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，將放大后得到，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用位似性質得到，然后根據(jù)相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵以點O為位似中心，將放大后得到，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了位似變換：位似的兩圖形兩個圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點；對應邊平行（或共線）．即學即練1．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（

）

A． B．點A、O、三點在同一直線上C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似性質直接逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，∴，，點A、O、三點在同一直線上，∴，故選D．【點睛】本題考查位似性質，解題的關鍵是熟練掌握位似的定義及性質．2．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，若的周長與的周長比是，則與之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，根據(jù)相似三角形的性質求出，再根據(jù)相似三角形的性質計算，得到答案．【詳解】解：與是以點為位似中心的位似圖形，，，的周長與的周長比是，，，，，故選：D．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，熟記相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵．★知識點4求位似圖形的對應坐標在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).典例分析【例1】（2022秋·湖南衡陽·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知點、，以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，則點A的對應點的坐標是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或解答．【詳解】解：∵點A的坐標為，以原點為位似中心將縮小，位似比為，∴點的對應點的坐標為：或，即或，故選：D．【點睛】本題考查坐標與圖形變換-位似變換，熟知位似變換規(guī)則是解答的關鍵．【例2】（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的位似圖形，已知，，則點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面積比可得相似比為，然后可得答案．【詳解】解：∵，∴和的相似比為，∵，∴，故選：A．【點睛】此題考查了位似圖形的性質，此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．即學即練1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考期末）已知的頂點A的坐標為，若以原點O為位似中心畫，使與的相似比為，則點的坐標為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】利用位似圖形的性質結合位似比得出點A的對應頂點的坐標．【詳解】解：∵以O為位似中心畫，使得與位似，且相似比為，∴對應點坐標乘以，∵點A的坐標為，∴點的坐標為：或．故選：A．【點睛】此題主要考查了位似變換以及坐標與圖形的性質，正確得出對應點關系是解題關鍵．2.（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點為位似中心的位似圖形，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的坐標為，則點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，得到，進而求出，根據(jù)位似變換的性質計算，得到答案．【詳解】解：點的橫坐標為，點的橫坐標為，∴，與是以原點為位似中心的位似圖形，∴，，∴，與的相似比為：，點的坐標為，點的坐標是，故選：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．★知識點5求位似圖形的周長比和面積比位似圖形的周長比等于相似比；位似圖形的面積比等于相似比的平方。典例分析【例1】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，與是以點O為位似中心的位似圖形，若，的周長為15，則的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質，得到，根據(jù)得到相似比為：，再結合三角形的周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點O為位似中心的位似圖形∴的周長為15，故選B．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解決問題的關鍵．【例2】．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點為位似中心的位似圖形，若，的面積為2，則的面積為（

）

A．4 B．6 C．8 D．18【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質，得到，根據(jù)得到相似比，再結合相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案．【詳解】解：與是以原點為位似中心的位似圖形，，，，，，，的面積為2，的面積為18，故選：D．【點睛】本題考查了相似圖形的性質，掌握位似圖形與相似圖形的關系，熟記相似圖形的性質是解題的關鍵．即學即練1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，矩形與矩形位似，位似中心是原點，若點，，則矩形與矩形的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形與矩形位似，位似中心是原點，而點，，∴，∴它們的相似比為，∴矩形與矩形的面積比為．故選：A．【點睛】本題考查位似圖形，相似多邊形的性質．熟練掌握位似比等于相似比，是解題的關鍵．2．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或，得，再求正方形ODEF與正方形OABC的周長比．【詳解】解：∵正方形ODEF與正方形OABC位似，，∴，正方形ODEF與正方形OABC的周長為，故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．★知識點6畫位似圖形1.確定位似中心.2.確定原圖形的關鍵點.3.確定位似比.4.根據(jù)對應點所在直線經過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關鍵點的對應點，再按照原圖的順序連接各點(對應點都在位似中心同側，或兩側).典例分析【例1】（2021春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如果一個圖形上各點的橫坐標保持不變，而縱坐標分別都變化為原來的，那么所得的圖形與原圖形相比()A．形狀不變，圖形縮小為原來的一半B．形狀不變，圖形放大為原來的2倍C．整個圖形被橫向壓縮為原來的一半D．整個圖形被縱向壓縮為原來的一半【答案】D【詳解】試題解析：∵一個圖形上各點的橫坐標保持不變，而縱坐標分別都變化為原來的，∴整個圖形被縱向壓縮為原來的一半故選D．考點：位似變換．【例2】（2013秋·北京·九年級階段練習）如圖，每個正方形網格的邊長為1個單位長度，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△（頂點均在格點上），若它們是以點P為位似中心的位似圖形，則點P的坐標是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：∵△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1（頂點均在格點上），它們是以P點為位似中心的位似圖形，根據(jù)位似圖形的性質，對應點的坐標相交于一點，連接AA1，BB1，CC1，交點即是P點坐標，∴如圖所示，P點的坐標為：．故選C．考點：1.位似變換；2.坐標與圖形性質；3.數(shù)形結合思想的應用．即學即練1．（2023秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的定義，畫出位似中心，即可得出結果．【詳解】解：∵與是位似圖形，連接并延長，交于點，則點即為位似中心，如圖所示：由圖可知：；故選B．【點睛】本題考查坐標系下求位似中心的坐標．熟練掌握位似圖形的定義，確定位似中心的位置，是解題的關鍵．2．（2023春·河北邯鄲·九年級校考開學考試）在如圖所示正方形網格圖中，以O為位似中心，把線段放大為原來的2倍，則A的對應點為（

）A．N點 B．M點 C．Q點 D．P點【答案】B【分析】根據(jù)位似變換、位似中心的概念解答即可．【詳解】解：如圖，以O為位似中心，把線段AB放大為原來的2倍，根據(jù)位似的性質，則點A到點O的距離和點A的對應點到點O的距離的比是1：2，故點A的對應點是M點．故選B．【點睛】本題考查的是位似變換的性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，而且每一對對應點到位似中心的距離的比都等于位似比．1．（2022秋·河北邯鄲·九年級校考期末）如圖，已知，任取一點，連，，，分別取點，，，使，，，得，有下列說法：①與是位似圖形；②與是相似圖形；③與的周長比為；④與的面積比為．則正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用位似圖形的性質以及相似圖形的性質分別分析得出答案．【詳解】解：∵任取一點，連，，，分別取點，，，使，，，∴與的相似比為：，∴①與是位似圖形，正確；②與是相似圖形，正確；③與的周長比為，正確；④與的面積比為，正確．故選D．【點睛】此題主要考查位似圖形的性質，解題的關鍵是熟知位似的特點．2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知△ABC，任取一點O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點D、E、F、順次連接得到△DEF，下列結論：①△ABC與△DEF是位似圖形；②△ABC與△DEF是相似圖形；③△ABC與△DEF的周長之比1∶2；④△ABC與△DEF的面積之比為2∶1．其中結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中位線性質得出DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF=，得出線段的比值，根據(jù)相似三角形判定得出△DEF∽△ABC；可判斷故②，根據(jù)BE，AD，CF的延長線交于O，△DEF和△ABC位似，可判斷故①；根據(jù)DE=，DF=，EF=，得出DE+DF+EF=進而得可判斷故③；相似三角形面積比等于相似比的平方可判斷故④可得到答案．【詳解】解：在△ABC外取一點O，連結AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，得到△DEF，∴DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF=，∴，∴△DEF∽△ABC，∵BE，AD，CF的延長線交于O，∴△DEF和△ABC位似；與是位似圖形，故①正確；與是相似圖形，故②正確；∵DE=，DF=，EF=，∴DE+DF+EF=，∴，∴，的周長與的周長比為，故③正確；∵相似三角形面積比等于相似比的平方，∴與的面積比為，故④錯誤；∴正確的個數(shù)是3個．故選C．【點睛】本題主要考查三角形中位線定理，位似圖形的定義和性質，相似三角形的性質和判定定理，掌握位似圖形定義和相似三角形的性質和判定定理是解題的關鍵．3．（2021春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）將平面直角坐標系中某個圖形的各點坐標作如下變化，其中屬于位似變換的是（）A．將各點的縱坐標乘以2，橫坐標不變B．將各點的橫坐標除以2，縱坐標不變C．將各點的橫坐標、縱坐標都乘以2D．將各點的縱坐標減去2，橫坐標加上2【答案】C【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k，進而判斷即可．【詳解】解：A、將各點的縱坐標乘以2，橫坐標不變，不屬于位似，故此選項不合題意；B、將各點的橫坐標除以2，縱坐標不變，不屬于位似，故此選項不合題意；C、將各點的橫坐標、縱坐標都乘以2，屬于位似，故此選項符合題意；D、將各點的縱坐標減去2，橫坐標加上2，不屬于位似，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的定義是解題關鍵．4．（2022春·九年級單元測試）如圖所示的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（

）

A．點A B．點 C．點 D．點【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上，點A、B為對應點，位似中心在A、B所在的直線上，點D在直線上，點D為位似中心．故選：D．【點睛】此題主要考查了位似變換的性質，利用位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上是解題關鍵．5．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，與是位似圖形，位似比為1：4，若，則的長為()

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)對應點到位似中心距離之比等于位似比即可解答．【詳解】∵與是位似圖形，位似比為，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了位