2022年重慶高考數(shù)學英語語文試題解析

2022年重慶高考數(shù)學試題解析

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=卜肛—1區(qū)1},則AC|8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】求出集合8后可求AAB.

【詳解】3={x|0WxW2},故AnB={l,2},

故選：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故選：D.

3.中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為票=05景=勺，景=&,￡?=%，若%1,%,%是公差為0」的等差數(shù)列，且直線

OD]￡?C]CJD]DA]

Q4的斜率為0.725,則%=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)OR=0G=CB】=BA=1,則可得關(guān)于%的方程，求出其解后可得正確的選

項.

【詳解】設(shè)。。=DJ=CB[=BA]-1,則CC]=kx,BB}=k2,AAx=%,

DD,+CC,+BB,+蝴

依題意，有匕一0.2=人,左3-0.1=右，且=0.725,

OD,+DC,+CB}+5A,

所以05+3j-03=0725,故匕=0.9,

故選：D

4.已知a=(3,4),可=(l,0),c=a+而，若<a,c>=<瓦c>,貝也=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

,、9+3/+163+/

【詳解】解：d=（3+f,4）,cosM]=cos"以即一泄一=百，解得f=5,

故選：C

5.有甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種O

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在i起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,

有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個

位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

6.角滿足sin(a+/7)+cos(a+/7)=20cos(a+?)sin/7,^J()

A.tan(?+/?)=1B.tan(a+/?)=-l

C.tan(a-￡)=lD.tan(a-4)=-l

【答案】D

【分析】由兩角和差正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由已知得：

sinacosf3+cosasin6+cosacos￡-sinasin/3=2(cosa-sina)sin尸，

即：sinacos13—cosasin/3+cosacos/?+sintzsin/?=0,

即：sin(a-p)+cos(a-p)=0,

所以tan(a-p)=-l,

故選：D

7.正三棱臺高為1,上下底邊長分別為3g和46，所有頂點在同一球面上，則球的表面

積是()

A.10071B.128TIC.144KD.19271

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面半徑4，與，再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑4,與，所以2/；=總一,2%=小目一，即

sin60,~sin60

彳=3,4=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,為，球的半徑為A，所以4=J/?2—9,

4=奴_16,故|4一4=1或4+4=1，即收一9一，/?2一］6=1或

,火2_9+&2_16=1，解得代=25符合題意，所以球的表面積為S=4?；?=100兀.

故選：A.

22

8.若函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/\l)=l,則工/(%)=

*=1

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(X)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的

/⑴,/(2),…,〃6)的值，即可解出.

【詳解】因為“x+y)+/(x—y)=/(x)/(y)，令x=i,y=?？傻?，

2/⑴=”1)/(0)，所以"0)=2,令％=0可得，/(y)+/(-y)=2〃y),即

〃>)=/(一y)，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，令y=l得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知

/(x+2)=—/(x—l),/(x—l)=_/(%—4),故/(x+2)=/(x—4),即

〃%)=/(%+6),所以函數(shù)“X)的一個周期為6.

因為〃2)=〃1)一/(。)=1一2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的〃1)+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/㈤=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1—1—2—1=—3.

k=l

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(0<e<7t)的圖象以中心對稱，貝ij()

y=/?在(0,葛)單調(diào)遞減

A.

尸所)在(卜立兀，五1171

B.有2個極值點

771

C.直線x=L是一條對稱軸

6

直線y=且一X是一條切線

D.

-2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出.

2兀=sin(與+夕)=0,所以4當兀+夕=%兀，keZ,

【詳解】由題意得：f

3

4兀

即9=--—+hr,A:GZ,

又。<(p<it,所以k=2時，夕=笄2無，故/(x)=sin12x+當).

3

LC2兀2兀3兀

時,2x+—￡，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(x)在

對A,當T'T

5兀1

0,而上是單調(diào)遞減;

兀1171L小2兀715兀

對B,當XG口寸，2工+G,由正弦函數(shù)y=sin“圖象知y=/(x)只

2'T

57r5

有1個極值點，由2》+2胃7r=3兀/，解得x—,即％=上為函數(shù)的唯一極值點;

1212

7兀2兀7兀771

對C,當尤=」時-，2X+—=3TI,/(—)=0,直線光=」不是對稱軸;

6366

對D,由y'=2cos12x+g-U2兀

=-1得：cosI2x4——

2

…,rC2兀2兀--2714兀c,,~

解得2xH-F2kli或2xH-F2ATT,keZ,

3333

兀

從而得：X=E或x=—+&7t,ZwZ,

3

所以函數(shù)y=/(x)在點(o,*)處的切線斜率為女=y'Lo=2cos笄=—1，

切線方程為：y-*=—(X—0)即y=^—X.

故選：AD.

10.已知O為坐標原點,過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的直線與C交于A,B兩點,

點4在第一象限，點M(p,0),若IAFRAMI,則()

A.直線A8的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB|>4|(?F|D.ZOAM+ZOBM<1SQ°

【答案】ACD

【分析】由|A目=|40］及拋物線方程求得&子,冬)，再由斜率公式即可判斷A選項;

表示出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線求得即可求出|。目判斷B選項；由拋

物線的定義求出|AB|=答即可判斷C選項；由礪.礪<0，M4.碗<0求得NAQB,

為鈍角即可判斷D選項.

對于A,易得F（事,0）,由|4尸|=|40|可得點A在用心的垂直平分線上，則A點橫坐標

為萬+

2-T

代入拋物線可得丁=2/?=g/,則&軍警），則直線AB的斜率為

瓜P

—_-=2\/6,A正確;

3￡_￡

42

L1P

對于B,由斜率為2娓可得直線AB的方程為尤=南＞+5,聯(lián)立拋物線方程得

212八

>~mpy~p=o.

p,則必=一也，代入拋物線得

=2p?再，

乎=B錯誤;

對于C,由拋物線定義知：四=學+與+〃=答＞2，=41M,C正確;

對于D,西.麗=（,,當）.（不一殍）=,（+殍?卜殍卜—乎＜。，則

Z4O3為鈍角,

又

麗麗=（.,冬.（_羊_爭T上第+冬卜季,率〈0,

則NAM8為鈍角，

又ZAO8+NAM8+NQ4M+NO8M=360，則NOAM+N08M<180，D正確.

故選：ACD.

11.如圖，四邊形A8CD為正方形，ED±￥?ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E-AC。，F(xiàn)-ABC,尸一ACE的體積分別為K，%,匕，貝U()

A.匕=2%B.匕=2匕

C,匕=匕+匕D.2匕=3Vl

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計算X，%,連接BO交AC于點"，連接由

%=匕.EFM+yC-EFM計算出X,依次判斷選項即可.

【詳解】

設(shè)A6=EQ=2E6=2?,因為即，平面A8CQ,FB\\ED,貝ij

11114

Vj=-.ED.SACD=--26Z.--（2?）-=-?\

23

^=1-Ffi-SiABC=1-?--（2a）=1a,連接80交AC于點M,連接易

得3O_LAC,

又平面ABC。，ACu平面ABO）,則E0J.AC,又EDC\BD=D,ED,BDu

平面BDEF，則AC,平面3?！晔?/p>

又BM=DM=，BD=Oa,過尸作/GJ.OE于G,易得四邊形3OGF為矩形，則

FG=BD=2y/2a,EG=a,

EM2+FM2=EF2>則EMLFM，S.EFM=GEMFM=當。2,AC=20a，

則匕=%.EFM+%.EF”=；ACS.EFM=2a3,則2%=3匕，匕=3匕，％=■+%，故

A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

12.對任意x,y,x2+y2-xy=1,則（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為土電】〈竺之Ca,blR）,由f+丁一孫=1可變形為，

\2J2

z\2

（%+丁）2-1=3孫43忙上，解得一2Vx+yW2,當且僅當x=y=-1時，

、2J

x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

22

由f+y2一砂=1可變形為1+丫2）_]=孫4^^二，解得％2+/42,當且僅當

*=y=±l時取等號，所以C正確；

因為/+;/一孫=1變形可得(x--+—=1>設(shè)x-2=cos6,^^y=sin。，所以

2)422-

八1?八2.

X=cos0H—產(chǎn)sin0,y=siin。，因此

X2+y2=cos?O+gsin?。+姬=sin6cos。=l+^=sin2^--cos2^+—

5633

+—sinf2^——^G—,2,所以當％=2^.,y=—2^.時滿足等式，但是f+ybl不

33I6八3」3-3

成立，所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,CT2）,且P（2<XW2.5）=0.36,則

P（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##—.

50

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因為X~N（2,b2）,所以尸（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

14.寫出曲線y=In|x|過坐標原點的切線方程：,.

【答案】①.y=L②.y=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設(shè)切點為（Xo/nxo）,求出函數(shù)導函數(shù)，

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出％,即可求出切線

方程，當》<（）時同理可得；

【詳解】解：因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設(shè)切點為（拓,In%），由y'='，所以了'憶與=’-，所以切線方程為

y-lnxo=—（x-x0）,

xo

又切線過坐標原點，所以-In/=」■（一/）,解得Xo=e,所以切線方程為

y-l=-（x-e）,BPy=-x；

ee

當x<0時y=ln(-x),設(shè)切點為(/In(一玉))，由y'=L所以所以切線

X芭

方程為)'-ln(—xj='(x-xj,

X]

又切線過坐標原點，所以-In(一玉)=-!■(-xj,解得占=-6,所以切線方程為

x\

y-1=—(x+e),即y=--x；

-ee

故答案為：y=-x；y=-x

ee

15.已知點A(—2,3),5(0,a),若直線A8關(guān)于y的對稱直線與圓

(x+3)2+(y+2)2=1存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為.

-

【答案】m13-

【分析】首先求出點A關(guān)于y=a對稱點A'的坐標，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直

線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：4(-2,3)關(guān)于丁=。對稱的點的坐標為4(一2,2。-3),B(0,a)在直線y=a

上，

所以A8所在直線即為直線/，所以直線/為y=——x+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

一2

圓C:(x+3y+(y+2)2=l,圓心。(一3,-2),半徑「=1,

\-3(a-3]-4-2a\

依題意圓心到直線/的距離d=-~]」W1,

V(?-3)+22

.13「13一

即(5—5a)~<(a—3)9+22,解得即aw；

ri3-

故答案為：

16.已知橢圓「+?=1,直線，與橢圓在第一象限交于A,3兩點，與x軸，y軸分別交于

63

M,N兩點,且|M4|=|N3|,|MN|=2jL則直線/的方程為.

【答案】x+42y-2s/2=0

【分析】令A(yù)8的中點為E，設(shè)A（x,,yJ,B（x2,y2）,利用點差法得到&在?怎8=一；，

設(shè)直線A8：y=^+〃?，k<Q,m>0,求出M、N的坐標，再根據(jù)|MN|求出2、m,

即可得解；

【詳解】解：令A(yù)B的中點為E，因為所以|阿=加同，

2229

設(shè)8（孫％），則工+』-=1，MI%1

6363

所以日一互=o,即乜二Jgq)+EtMU二M.=o

663363

所以即后設(shè)直線A3:y=fcx+m,k<0,m>0,

(%-XQ)(%+%7)22

m

令元=()得y=〃2,令y=o得x=一一,即M,0,N(0,m),所以E

k

m

即Ax上一=—1，解得上=_也或％=也（舍去），

_rn_222

~2k

又|M/V|=2jL即|"N|=.+（行前=2G，解得機=2或加=一2（舍去）,

所以直線AB:y=-半x+2,即x+0y—20=O；

故答案為：x+y/2y-2yf2=0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

17.已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且4=4

（1）證明：q=4；

（2）求集合視優(yōu)=。,“+%,14根〈500｝中元素個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

（2）9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡可得加=2-2,即可解出.

【小問1詳解】

6+d_2bl=4+2d—4/?.?/

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為"‘所以'1+。-24=幽4+31）'即可解得’i=3,

所以原命題得證.

【小問2詳解】

由（I）知，偽=q='1?，所以仇=。,”+4。4X2*T=4+（/n-l）d+G,即2"T=2m，

亦即加=2"2€11,500],解得2W&K10,所以滿足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛攵也=4"+4/＜加＜500｝中的元素個數(shù)為10—2+1=9.

18.記AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,其對邊分別為a,b,c,分別以。，b,c為邊長

的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3,已知S,-5,+S.=—,sinB=-.

23

（1）求AABC的面積；

5

（2）若sinAsinC=——，求從

3

【答案】（1）—

8

⑵?

【分析】（1）先表示出S,S2,S3,再由S「S2+S3=曰求得一〃=2,結(jié)合余弦

定理及平方關(guān)系求得在，再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得—^—=——即可求解.

sin-8sinAsinC

【小問1詳解】

由題意得51=S邑=@°2,則

'2242434

CC,C626t2___62如

S,-S.+S,=——abl+——c=——，

1234442

即/+/一尸=2,由余弦定理得cosB=a-",整理得accos8=1,則cosB>0,

2ac

【小問2詳解】

由正弦定理得：r”=/一=—J,則

smBsinAsinC

372

2

bacac_9riub3,3.n1

sin2BsinAsinCsinAsinC&4'sin/?22"2-

T

19.在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

【答案】(1)44.65歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；

(2)設(shè)4={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡亍=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(歲).

【小問2詳解】

設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70）｝，所以

P(A)=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.11=0.89.

【小問3詳解】

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

則由條件概率公式可得

P(C⑶=3==0.001x0.23=00014375，0.0014.

P(B)16%0.16

20.如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB，ABVAC,E是尸8的中點.

（2）若NABO=NC8O=30°,PO=3,24=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

、11

（2）——

13

【分析】（1）連接80并延長交AC于點。，連接04、PO,根據(jù)三角形全等得到OA=OB,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=OO,即可得到。為8。的中點從而得到。七〃P。，即

可得證；

（2）過點A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；

小問1詳解】

證明：連接B。并延長交AC于點Q,連接Q4、PD，

因為PO是三棱錐。一ABC的高，所以PO_L平面ABC,AO,BOu平面A8C,

所以POLAO、POA.BO,

又PA=PB，所以△尸Q43△P08，即Q4=QB,所以NQ48=NQ84，

又即/班C=90。，所以NOW+N(MD=90°,ZOBA+ZODA^90°,

所以NQa4=NQ4Z>

所以AO=￡>O,即AO=￡)O=OB,所以。為3。的中點，又E為尸3的中點，所以

OE//PD,

又。石2平面尸AC,PDu平面PAC，

所以0E〃平面P4C

【小問2詳解】

解：過點A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標系，

因為PO=3,AP=5,所以Q4=JAP?_pc>2=4,

又NO胡=NO3C=30°,所以30=204=8,則AD=4,AB=4B

所以AC=12,所以0（2百,2,0）,8（4百,0,0）,網(wǎng)2百,2,3）,C（0,12,0）,所以

則在二36,1,2,AB=（473,0,0）,AC=（0,12,0）,

_n-AE=3^x+y+-z=0

設(shè)平面AES法向量為〃=（x,y,z）,則12，令z=2,則

n?AB=4=0

丁=-3,x=0,所以〃=（0,—3,2）；

'一r3

、一—一/、比?AE=3>/3Q+/?+—c=04l

設(shè)平面AEC的法向量為加=（a,/?,c）,則v2,令〃=百，則

m-AC=12b=0

c=-6,b=0,所以初二(6,0,-6)；

—124^/3

所以小〃/--，-加-\)n=-t而n=而礪=一千

設(shè)二面角。一AE—3為。，由圖可知二面角。一AE-3為鈍二面角,

所以cos6=—迪，所以sin￡=Jl—cos2e=U

1313

故二面角C—AE—3的正弦值為口；

13

比2v2l

21.設(shè)雙曲線C:*?-方=l(q>0,b>0)的右焦點為22,0),漸近線方程為y=±JL：.

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于4,B兩點，點產(chǎn)(占,%),。(%,％)在C上,

且%>々>。,%>0.過P且斜率為-百的直線與過。且斜率為G的直線交于點M,請

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立:

①M在AB上；②PQ〃4B：③|M4|=|M6|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

2

【答案】(1)尤2_匕=]

3

(2)見解析

【分析】（1）利用焦點坐標求得C的值，利用漸近線方程求得。涉的關(guān)系，進而利用。，"C

的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M（x0,y。），由

8左2

③=等價分析得到/+%為=2=；由直線PM和QM的斜率得到直線方程，

K-D

結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率旭=也，由②PQ//AB等價轉(zhuǎn)

%

化為60=3/，由①M在直線上等價于⑥（）=-（%—2）,然后選擇兩個作為已知條

件一個作為結(jié)論，進行證明即可.

【小問1詳解】

右焦點為/（2,0）,.?.c=2「.漸近線方程為y=±石x,...2=6，.?.匕=J5a，

a

??c2=a2+b2=4/=4，；?a=1，h=V3?

2

，C的方程為：％2—21=1；

3

【小問2詳解】

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零：

若選①③推②，則M為線段AB的中點，假若直線A3的斜率不存在，則由雙曲線的對稱

性可知M在x軸上，即為焦點F,此時由對稱性可知P、。關(guān)于x軸對稱，與從而玉=々，

己知不符；

總之，直線AB的斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB的斜率為A,直線48方程為y=《（》一2）,

則條件①M在上，等價于%=左（與一2）000=*（七-2）；

兩漸近線的方程合并為3爐—丁=0,

聯(lián)立消去y并化簡整理得：（左2—3卜2-4公尤+4*=o

設(shè)4（七,%）,3（彳3，乂），線段中點為N（4，yv），則

&+Z2k2,6k

XN--~一~Ti一~^N_k?N-2）一萬~~-）

2k-3k-3

設(shè)M（Xo,%），

則條件③I=忸叫等價于（毛_%3）2+（%_%）2=5_￡）2+（為_%）2,

移項并利用平方差公式整理得：

（不—Z）[2%—（七+Z）]+（y3-%）[2%—（必+”）]=0,

[2工0-（工3+*4）]+'3_）4[2%-（%+%）]=°,即/一%N+4（為一為）=°.

X3一七

8女2

即為+機=為；

由題意知直線PM的斜率為Y,直線QM的斜率為6,

...由X—%=一6（％一毛），％一%=總（％2一X。），

?'1X一%=-V3（X|+x2-2x0）,

所以直線PQ的斜率m="&=_盧（二+工2二2一）,

直線PM:y=-V3（x-x0）+y0,即y=%+6小一gx,

代入雙曲線的方程3/一y2-3=0,即（61+），）（出彳一丫）=3中,

得：（%+6%）[2②一卜o+岳。）=3,

，條件②PQ//AB等價于機=&oky0=3x0,

綜上所述：

條件①M在AB上，等價于配=/(%—2)；

條件②PQ//AB等價于ky°=3/；

oJL2

條件③14V7|=忸閘等價于/+kyQ=

k—3

選①②推③:

2k18小

由①②解得:%=='.."。+"。=%=口？；念成立;

選①③推②:

2k2,6k2

由①③解得:

%=正萬砥氏2-3

，60=3%,.?.②成立;

選②③推①：

,6k2.「6

由②③解得：x=——

0°r一3吼=二'八E

機=/(小一2),.?.①成立.

22.已知函數(shù)/(》)=比3-61

(1)當。=1時，討論A*)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，/(x)<-1,求a的取值范圍;

111

(3)設(shè)〃eN*，證明:IH—/一?H1—/>ln(n+l).

JF+16+2J/+L

【答案】(1)/(X)的減區(qū)間為(7,0),增區(qū)間為(0,+8).

1

(2)a<-

2

(3)見解析

【分析】(1)求出，討論其符號后可得/(x)的單調(diào)性.

(2)設(shè)〃(x)=xe'"-e'+l,求出〃"(x),先討論a〉Q時題設(shè)中的不等式不成立，再就

結(jié)合放縮法討論"(X)符號，最后就結(jié)合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)

的取值范圍.

(3)由⑵可得小<一；對任意的石恒成立，從而可得ln(〃+l)—In”<1事=對

\ln~+n

任意的〃GN*恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.

【小問1詳解】

當a=l時，/(x)=(x—l)e，，則/(x)=xe*,

當x<0時，/<x)<0，當x>0時，用工)>0,

故“X)的減區(qū)間為(—8,0),增區(qū)間為(0,+8).

【小問2詳解】

設(shè)/z(x)=Ae"—ev+l,則〃(0)=0,

又/z'(x)=(l+or)e"r_e*,設(shè)g(x)=(l+(zx)e""—e',

貝|Jg'(x)=(2a+?2x)eav-ev,

若a>；,則g'(())=2a—1>0,

因為g'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在與e(0,+8),使得Vxe(O,x(J,總有g(shù)4x)>0,

故g(x)在(0,x。)為增函數(shù)，故g(x)>g(O)=。，

故/z(x)在(0,%)為增函數(shù)，故〃(力>力(。)=一1,與題設(shè)矛盾.

若0<a色，則〃'(x)=(1+辦)產(chǎn)—e'=,

下證：對任意x〉0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立，

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)-x,故S(x)=f--1=/<0,

故S(x)在(0,M)上為減函數(shù)，故5(x)<S(())=0即ln(l+x)<x成立.

ttr+ln(,+<u)vav+<Hrtttv

由上述不等式有e-e<e'-e=e2-e<0，

故〃'(x)WO總成立，即/z(x)在(O,+8)上為減函數(shù)，

所以/i(x)</z(O)=-1.

當時，，有〃'(x)=em-ex+caem<1—1+0=(),

所以/z(x)在(0,+。。)上為減函數(shù),所以及(%)<力(0)=-1.

綜上，aS—.

2

【小問3詳解】

取。=g,則Vx>0,總有底；"_/+]<0成立，

令則f>1,』=e\x=21nr,

故24nf<產(chǎn)一1即對任意的f>1恒成立.

t

所以對任意的〃GN*，有21n

整理得到：ln(n+l)-ln?<1,

7n+n

故/1++…+>In2-In1+In3-In2+?

VfTT歷I77金

=ln(〃+l),

故不等式成立.

2022年重慶高考物理試題解析

1.如圖所示，吸附在豎直玻璃上質(zhì)量為m的擦窗工具，在豎直平面內(nèi)受重力、拉力和摩擦

力（圖中未畫出摩擦力）的共同作用做勻速直線運動。若拉力大小與重力大小相等，方向水

平向右，重力加速度為g,則擦窗工具所受摩擦力（）

C.方向豎直向上D.方向水平向左

【答案】B

【詳解】對擦窗工具進行正視圖的受力分析如圖所示

水平方向上拉力F與擦窗工具所受滑動摩擦力森等大反向，豎直方向上重力mS與擦窗工

具所受靜摩擦力益等大反向，所以擦窗工具所受摩擦力方向如圖中,所示，大小為

f=J儲+篇=圓g

故選Bo

2.如圖為某同學采用平行板電容器測量材料豎直方向尺度隨溫度變化的裝置示意圖，電容

器上極板固定，下極板可隨材料尺度的變化上下移動，兩極板間電壓不變。若材料溫度降低

時，極板上所帶電荷量變少，則（）

1=■~d

接外電路

I]?_I——9

—被測材料

J____L

：加熱器：

II

/）/〃〃/〃〃/，//

A.材料豎直方向尺度減小B.極板間電場強度不變

C.極板間電場強度變大D.電容器電容變大

【答案】A

【詳解】D.根據(jù)題意可知極板之間電壓U不變，極板上所帶電荷量。變少，根據(jù)電容定義

式。=尚可知電容器得電容C減小，D錯誤；

BC.根據(jù)電容的決定式。=萬一可知極板間距d增大，極板之間形成勻強電場，根據(jù)

4ikd

E=4可知極板間電場強度E減小，BC錯誤；

a

A.極板間距d增大，材料豎直方向尺度減小，A正確。

故選A。

3.低壓鹵素燈在家庭電路中使用時需要變壓器降壓。若將“12V50W”的交流鹵素燈直

接通過變壓器（視為理想變壓器）接入電壓為220V的交流電后能正常工作，則（）

A.鹵素燈兩端的電壓有效值為6&VB.變壓器原、副線圈的匝數(shù)比為

55:3

C.流過鹵素燈的電流為0.24AD.鹵素燈的電阻為968Q

【答案】B

【詳解】A.鹵素燈上標記的額定電壓12V即為鹵素燈兩端的電壓有效值，A錯誤；

B.根據(jù)理想變壓器的原理可知

.._22055

4U、123

B正確；

C.流過鹵素燈的電流為

,P50W25

I=—==—AA

U12V6

C錯誤；

D.鹵素燈是非線性元件，電阻隨著電壓不同而改變，D錯誤。

故選Bo

4.在測試汽車的安全氣囊對駕乘人員頭部防護作用的實驗中，某小組得到了假人頭部所受

安全氣囊的作用力隨時間變化的曲線（如圖）。從碰撞開始到碰撞結(jié)束過程中，若假人頭部

只受到安全氣囊的作用，則由曲線可知，假人頭部（）

F/N

Or/ms

A.速度的變化量等于曲線與橫軸圍成的面積B.動量大小先增大后減小

C.動能變化正比于曲線與橫軸圍成的面積D.加速度大小先增大后減小

【答案】D

【詳解】AB.由題知假人的頭部只受到安全氣囊的作用，則F—t圖像的面積即合外力的沖

量，再根據(jù)動量定理可知F—t圖像的面積也是動量的變化量，且圖線一直在t軸的上方，

則動量的大小一直增大，AB錯誤；

C.根據(jù)動量與動能的關(guān)系有紇="，而F—t圖像的面積是動量的變化量，則動能的變

2m

化量與曲線與橫軸圍成的面積不成正比，C錯誤；

D.由題知假人的頭部只受到安全氣囊的作用，則根據(jù)牛頓定律可知。^尸，即假人頭部的加

速度先增大后減小，D正確。

故選D。

5.2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創(chuàng)造了新的紀錄。為粗略了解等離子體在托

卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運動狀況，某同學將一小段真空室內(nèi)的電場和磁場理想化為方向均水

平向右的勻強電場和勻強磁場(如圖)，電場強度大小為E,磁感應(yīng)強度大小為8。若某電荷

量為q的正離子在此電場和磁場中運動，其速度平行于磁場方向的分量大小為V1,垂直于

磁場方向的分量大小為火，不計離子重力，則()

A.電場力的瞬時功率為qEyjv；+v；B.該離子受到的洛倫茲力大小為qviB

C.V2與vi