安徽省合肥市一六八中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

安徽省合肥市一六八中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)]時(shí)，，則（）A.B.C.D.2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.3．已知在上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知O是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的（）A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心6．把的圖象上各點(diǎn)的橫標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則（）A. B.C. D.7．已知全集，集合，，則?U(A∪B)=A. B.C. D.8．已知函數(shù)在上的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是A. B.C. D.9．已知，且，則的最小值為（）A.3 B.4C.6 D.910．若點(diǎn)、、在同一直線上，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______.12．已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為1，其高與母線的夾角為45°，則該圓錐的體積為_(kāi)___________.13．在正方形ABCD中,E是線段CD的中點(diǎn),若,則________.14．函數(shù)f（x）=log2（x2-5），則f（3）=______15．在上，滿足的取值范圍是______.16．化簡(jiǎn)：=____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）直接寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間，并選擇一個(gè)單調(diào)區(qū)間根據(jù)定義進(jìn)行證明；（2）解不等式.18．某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取名按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第，，組中用分層抽樣的方法抽取名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第，，組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該市決定在這名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第組志愿者有被抽中的概率.19．某廠商計(jì)劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如圖所示，甲、乙商品的投資x與利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）分別滿足函數(shù)關(guān)系與（1）求，與，的值；（2）該廠商現(xiàn)籌集到資金20萬(wàn)元，如何分配生產(chǎn)甲、乙商品的投資，可使總利潤(rùn)最大？并求出總利潤(rùn)的最大值20．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中為常數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．已知函數(shù)，若，且，.（1）求與的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由，可得的周期為，利用周期性和單調(diào)性化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以的周期為?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減因?yàn)椋宜怨使蔬x：A.2、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：D3、B【解析】令，，（）若，則函數(shù)，減函數(shù)，由題設(shè)知為增函數(shù)，需，故此時(shí)無(wú)解（）若，則函數(shù)是增函數(shù)，則為減函數(shù)，需且，可解得綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是故選點(diǎn)睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點(diǎn)：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對(duì)應(yīng)自變量取值范圍.4、B【解析】令，要使已知函數(shù)的值域?yàn)?，需值域包含，?duì)系數(shù)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】解：∵函數(shù)的值域?yàn)?，令，?dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域包含，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要使函數(shù)的值域?yàn)?，需要作為真?shù)的函數(shù)值域必須包含，對(duì)系數(shù)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)圖像，即可求解.5、A【解析】表示的是方向上的單位向量，畫(huà)圖象，根據(jù)圖象可知點(diǎn)在的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)必過(guò)三角形的內(nèi)心.【詳解】如圖，設(shè)，，已知均為單位向量，故四邊形為菱形，所以平分，由得，又與有公共點(diǎn)，故三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心.故選：A.6、C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期變換和平移變換的原理即可得解.【詳解】解：把的圖象上各點(diǎn)的橫標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，可得的函數(shù)圖像，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，所以.故選：C.7、C【解析】,,,?U(A∪B)=故答案為C.8、A【解析】利用分段函數(shù)，通過(guò)一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)判斷求解即可【詳解】解：函數(shù)在上的值域?yàn)镽，當(dāng)函數(shù)的值域不可能是R，可得，解得：故選A【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】將變形為，再將變形為，整理后利用基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)?，故，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒(méi)有積為定值或和為定值，則需要對(duì)給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.10、A【解析】利用結(jié)合斜率公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椤?、在同一直線上，則，即，解得.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】利用兩角和的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】由于，所以，即，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，屬于中檔題.12、##【解析】由題可得，然后利用圓錐的體積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h,由圓錐的母線長(zhǎng)為1，其高與母線的夾角為45°，∴，∴該圓錐的體積為.故答案為：.13、【解析】詳解】由圖可知，，所以))所以，故，即，即得14、2【解析】利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則直接求解【詳解】∵函數(shù)f（x）=log2（x2-5），∴f（3）=log2（9-5）=log24=2故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題15、【解析】結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知時(shí)，結(jié)合的范圍可得到結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值的范圍求解角所處的范圍，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用正弦函數(shù)圖象得到對(duì)應(yīng)的自變量的取值集合.16、【解析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡(jiǎn)求解即可【詳解】===又，所以，所以=，故填：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)根據(jù)增減函數(shù)的定義，利用作差法比較與0的大小即可；(2)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用函數(shù)的單調(diào)性列出三角不等式，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.①選區(qū)間進(jìn)行證明.，，且，有，由，所以，由，所以，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.②選區(qū)間進(jìn)行證明.，，且，有，由，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.③選區(qū)間進(jìn)行證明.參考②的證明，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)椋?，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，（），所以，所求解集為.18、（1）分別抽取人，人，人；（2）【解析】（1）頻率分布直方圖各組頻率等于各組矩形的面積，進(jìn)而算出各組頻數(shù)，再根據(jù)分層抽樣總體及各層抽樣比例相同求解；（2）列出從名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者所有的情況，再根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】（1）第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為，第組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，，組共有名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第組:；第組:；第組:.所以應(yīng)從第，，組中分別抽取人，人，人.（2）設(shè)“第組的志愿者有被抽中”為事件.記第組的名志愿者為，，，第組的名志愿者為，，第組的名志愿者為，則從名志愿者中抽取名志愿者有:，，，，，，，，，，，，，，，共有種.其中第組的志愿者被抽中的有種，答：第組的志愿者有被抽中的概率為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，分層抽樣和古典概型,注意列舉所有情況時(shí)不要遺漏.19、（1），，，（2）分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬(wàn)元，甲商品的投資為萬(wàn)元，此時(shí)總利潤(rùn)的最大值為31.5萬(wàn)元.【解析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，與，的值；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，表達(dá)出總利潤(rùn)的關(guān)系式，利用配方求出最大值.【小問(wèn)1詳解】將代入中，，解得：，將代入中，，解得：，所以，，，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)分配生產(chǎn)乙商品的投資為m（0≤m≤20）萬(wàn)元、甲商品的投資為萬(wàn)元，此時(shí)的總利潤(rùn)為w，則，因?yàn)?≤m≤20，所以當(dāng)，即時(shí)，w取得最大值，即分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬(wàn)元，甲商品的投資為萬(wàn)元，此時(shí)總利潤(rùn)的最大值為31.5萬(wàn)元.20、（1）（2）【解析】（1）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，有，代入即可得出的值；（2）時(shí)，恒成立轉(zhuǎn)化為即，令，求在的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以；【小問(wèn)2詳解】由，得，即，令，易知在上單調(diào)遞減，則的最大值為.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，所以.21