廣東省深圳市名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)第一章至第三章3.2．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列元素的全體可以組成集合的是（）A.人口密度大的國(guó)家 B.所有美麗的城市C.地球上的四大洋 D.優(yōu)秀的高中生【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性和無序性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，選項(xiàng)ABD，都不滿足集合元素的確定性，選項(xiàng)C的元素是確定的，可以組成集合.故選：C.2.命題“存在一個(gè)銳角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角相等”的否定為（）A.存在一個(gè)銳角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角不相等 B.銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等C.銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角都不相等 D.銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角不都相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含有量詞的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題“存在一個(gè)銳角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角相等”的否定為“銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角不都相等”．故選：D3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意聯(lián)立，即可解.【詳解】由得所以.故選：B4.設(shè)a，b，c為的三條邊長(zhǎng)，則“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別討論命題的充分性和必要性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，充分性：若，則為等腰三角形.必要性：若為等腰三角形，則a，b不一定相等.故選：A.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得且．故選：C6.的最小值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為．故選：A.7.若為奇函數(shù)，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知，列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，解得．故選：C.8.某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價(jià)為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（，），則被租出的禮服會(huì)減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價(jià)應(yīng)定為（）A.220元 B.240元 C.250元 D.280元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出收入表達(dá)式，則得到一元二次不等式，解出即可.【詳解】依題意，每天有套禮服被租出，該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為元.因?yàn)橐乖摱Y服租賃公司每天租賃6.24萬元，所以，即，解得.因?yàn)榍遥?，即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價(jià)應(yīng)定為250元.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，不正確的有（）A.對(duì)角線垂直的四邊形是菱形B.若，則C.若兩個(gè)三角形相似，則它們面積之比等于周長(zhǎng)之比D.若，則方程有實(shí)根【答案】ABC【解析】【分析】由幾何，代數(shù)知識(shí)判斷相應(yīng)選項(xiàng)正誤即可.【詳解】A選項(xiàng)，等腰梯形的對(duì)角線也可能垂直，則A錯(cuò)誤;B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，則B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若兩個(gè)三角形相似，則它們的面積之比等于周長(zhǎng)之比的平方，則C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由，得，即，則方程有實(shí)根，故D正確.故選：ABC10.圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)所給圖中陰影部分，結(jié)合集合的運(yùn)算，可得答案?！驹斀狻繉?duì)于A選項(xiàng)，即為圖中所示；對(duì)于B選項(xiàng)，應(yīng)為如下圖：對(duì)于C選項(xiàng)，應(yīng)為如下圖：對(duì)于D選項(xiàng)，即為圖中所示.故選：AD11.若，，則下列判斷正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由不等式性質(zhì)判斷A，作差法判斷B、C，由已知得，再把目標(biāo)式左側(cè)展開化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】A：若，則，，錯(cuò)誤.B：若，則，正確.C：若，則，，正確.D：若，則，即，得，正確.故選：BCD12.已知函數(shù)滿足對(duì)任意恒成立，則（）A. B.C. D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】通過賦值法得到等的值，進(jìn)而得到函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：令，得，則，所以A正確；對(duì)于B：令，則，令，得，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，得，即，所以為偶函數(shù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，所以，C正確；對(duì)于D：由C可知為偶函數(shù)，所以為向右平移3個(gè)單位得到，此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱，D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上，13.用符號(hào)“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】根據(jù)，和代表的數(shù)集，得到答案.【詳解】因?yàn)槭亲匀粩?shù)集，是有理數(shù)集，是整數(shù)集，所以.故答案為：.14.比較大?。篲___________.（請(qǐng)從“”“”“”中選擇合適的符號(hào)填入橫線中）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，，結(jié)合作差比較法和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，，因?yàn)?，可得，所?故答案為：.15.某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班課程共有90人報(bào)名，其中有45人報(bào)名舞蹈，有26人報(bào)名太極，有33人報(bào)名聲樂，同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名聲樂的有8人，同時(shí)報(bào)名聲樂和報(bào)名太極的有5人，沒有人同時(shí)報(bào)名三門課程，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有3人；②只報(bào)名舞蹈的有36人；③只報(bào)名聲樂的有20人；④報(bào)名兩門課程的有14人.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.【答案】②③④【解析】【分析】畫出圖，結(jié)合圖形求出同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的人數(shù)，再逐一分析即可得解.【詳解】如圖，設(shè)同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有x人，則，解得，所以同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有1人，只報(bào)名舞蹈的有人，只報(bào)名聲樂的有人，報(bào)名兩門課程的有人.故答案：②③④.16.設(shè)集合，，函數(shù)，已知，且，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，由，可得，解得，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，命題．（1）判斷是全稱量詞命題，還是存在量詞命題；（2）若均為真命題，求的取值范圍．【答案】（1）是存在量詞命題，是全稱量詞命題（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義判斷是全稱量詞命題，或是存在量詞命題即可；（2）根據(jù)命題均為真命題分別求出的范圍，之后取交集即可.【小問1詳解】因?yàn)榉?hào)“”表示“存在一個(gè)”，“存在一個(gè)”是存在量詞，所以是存在量詞命題．因?yàn)榉?hào)“”表示“所有”，“所有”是全稱量詞，所以是全稱量詞命題．【小問2詳解】若為真命題，則，解得．若為真命題，則，解得．因?yàn)榫鶠檎婷}，所以的取值范圍為．18.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，結(jié)合并集的與運(yùn)算即可求解；（2）由知，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可求解.【小問1詳解】由題意可得.當(dāng)時(shí)，.故.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則解得，即a的取值范圍為.19.已知．（1）若與均為正數(shù)，求的最大值；（2）若與均為負(fù)數(shù)，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式和為定值求解乘積的最值即可；（2）利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【小問1詳解】因?yàn)榕c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的最大值為．【小問2詳解】因?yàn)榕c均為負(fù)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．20已知函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用構(gòu)造方程組法求解析式，即可求解；（2）由（1）知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，得，通過消元可得．【小問2詳解】由題意可得，因?yàn)榈膱D象為一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上的值域?yàn)椋?1.某餅莊推出兩款新品月餅，分別為流心月餅和冰淇淋月餅，已知流心月餅的單價(jià)為x元，冰淇淋月餅的單價(jià)為y元，且.現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案（）方案一：流心月餅的購(gòu)買數(shù)量為a個(gè)，冰淇淋月餅的購(gòu)買數(shù)量為b個(gè).方案二：流心月餅的購(gòu)買數(shù)量為b個(gè)，冰淇淋月餅的購(gòu)買數(shù)量為a個(gè).（1）試問采用哪種購(gòu)買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說明理由.（2）若a，b，x，y滿足，，求這兩種方案花費(fèi)的差值S的最小值（注；差值較大值較小值）.【答案】（1）方案二，理由見解析（2）32【解析】分析】（1）列出函數(shù)式子，作差比較即可；（2）利用換元法，結(jié)合基本不等式即可.【小問1詳解】方案一的總費(fèi)用為（元），方案二的總費(fèi)用為（元），則，因?yàn)椋?，所以，即，所以采用方案二，花費(fèi)更少.【小問2詳解】由（1）可知，令，，，因?yàn)?，所以，所以差值S的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，即，時(shí)，等號(hào)成立.所以兩種方案花費(fèi)的差值S的最小值為32元.22.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并證明．（2）利用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞增．（3）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義，即可證明；（2）利用單調(diào)增函數(shù)的定義，即可證明；（3）首