廣東省深圳市名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章至第三章3.2．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列元素的全體可以組成集合的是（）A.人口密度大的國家 B.所有美麗的城市C.地球上的四大洋 D.優(yōu)秀的高中生【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性和無序性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，選項ABD，都不滿足集合元素的確定性，選項C的元素是確定的，可以組成集合.故選：C.2.命題“存在一個銳角三角形，它的三個內(nèi)角相等”的否定為（）A.存在一個銳角三角形，它的三個內(nèi)角不相等 B.銳角三角形的三個內(nèi)角都相等C.銳角三角形的三個內(nèi)角都不相等 D.銳角三角形的三個內(nèi)角不都相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含有量詞的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題“存在一個銳角三角形，它的三個內(nèi)角相等”的否定為“銳角三角形的三個內(nèi)角不都相等”．故選：D3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意聯(lián)立，即可解.【詳解】由得所以.故選：B4.設(shè)a，b，c為的三條邊長，則“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別討論命題的充分性和必要性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，充分性：若，則為等腰三角形.必要性：若為等腰三角形，則a，b不一定相等.故選：A.5.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得且．故選：C6.的最小值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以的最小值為．故選：A.7.若為奇函數(shù)，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知，列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，所以，解得．故選：C.8.某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（，），則被租出的禮服會減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應(yīng)定為（）A.220元 B.240元 C.250元 D.280元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出收入表達(dá)式，則得到一元二次不等式，解出即可.【詳解】依題意，每天有套禮服被租出，該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為元.因為要使該禮服租賃公司每天租賃6.24萬元，所以，即，解得.因為且，所以，即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應(yīng)定為250元.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中，不正確的有（）A.對角線垂直的四邊形是菱形B.若，則C.若兩個三角形相似，則它們面積之比等于周長之比D.若，則方程有實根【答案】ABC【解析】【分析】由幾何，代數(shù)知識判斷相應(yīng)選項正誤即可.【詳解】A選項，等腰梯形的對角線也可能垂直，則A錯誤;B選項，當(dāng)，時，，則B錯誤.C選項，若兩個三角形相似，則它們的面積之比等于周長之比的平方，則C錯誤.D選項，由，得，即，則方程有實根，故D正確.故選：ABC10.圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)所給圖中陰影部分，結(jié)合集合的運算，可得答案?！驹斀狻繉τ贏選項，即為圖中所示；對于B選項，應(yīng)為如下圖：對于C選項，應(yīng)為如下圖：對于D選項，即為圖中所示.故選：AD11.若，，則下列判斷正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由不等式性質(zhì)判斷A，作差法判斷B、C，由已知得，再把目標(biāo)式左側(cè)展開化簡判斷D.【詳解】A：若，則，，錯誤.B：若，則，正確.C：若，則，，正確.D：若，則，即，得，正確.故選：BCD12.已知函數(shù)滿足對任意恒成立，則（）A. B.C. D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】通過賦值法得到等的值，進(jìn)而得到函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可【詳解】對于A：令，得，則，所以A正確；對于B：令，則，令，得，即，所以B錯誤；對于C：令，得，即，所以為偶函數(shù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，所以，C正確；對于D：由C可知為偶函數(shù)，所以為向右平移3個單位得到，此時關(guān)于直線對稱，D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上，13.用符號“”或“”填空：0___________；___________；2.4___________；___________；4___________．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】根據(jù)，和代表的數(shù)集，得到答案.【詳解】因為是自然數(shù)集，是有理數(shù)集，是整數(shù)集，所以.故答案為：.14.比較大?。篲___________.（請從“”“”“”中選擇合適的符號填入橫線中）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，，結(jié)合作差比較法和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，，因為，可得，所以.故答案為：.15.某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班課程共有90人報名，其中有45人報名舞蹈，有26人報名太極，有33人報名聲樂，同時報名舞蹈和報名聲樂的有8人，同時報名聲樂和報名太極的有5人，沒有人同時報名三門課程，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①同時報名舞蹈和報名太極的有3人；②只報名舞蹈的有36人；③只報名聲樂的有20人；④報名兩門課程的有14人.其中，所有正確結(jié)論的序號是____________.【答案】②③④【解析】【分析】畫出圖，結(jié)合圖形求出同時報名舞蹈和報名太極的人數(shù)，再逐一分析即可得解.【詳解】如圖，設(shè)同時報名舞蹈和報名太極的有x人，則，解得，所以同時報名舞蹈和報名太極的有1人，只報名舞蹈的有人，只報名聲樂的有人，報名兩門課程的有人.故答案：②③④.16.設(shè)集合，，函數(shù)，已知，且，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式直接計算即可.【詳解】因為，所以，則，由，可得，解得，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，命題．（1）判斷是全稱量詞命題，還是存在量詞命題；（2）若均為真命題，求的取值范圍．【答案】（1）是存在量詞命題，是全稱量詞命題（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義判斷是全稱量詞命題，或是存在量詞命題即可；（2）根據(jù)命題均為真命題分別求出的范圍，之后取交集即可.【小問1詳解】因為符號“”表示“存在一個”，“存在一個”是存在量詞，所以是存在量詞命題．因為符號“”表示“所有”，“所有”是全稱量詞，所以是全稱量詞命題．【小問2詳解】若為真命題，則，解得．若為真命題，則，解得．因為均為真命題，所以的取值范圍為．18.已知集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，結(jié)合并集的與運算即可求解；（2）由知，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可求解.【小問1詳解】由題意可得.當(dāng)時，.故.【小問2詳解】因為，所以，則解得，即a的取值范圍為.19.已知．（1）若與均為正數(shù)，求的最大值；（2）若與均為負(fù)數(shù)，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式和為定值求解乘積的最值即可；（2）利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【小問1詳解】因為與均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以的最大值為．【小問2詳解】因為與均為負(fù)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為．20已知函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用構(gòu)造方程組法求解析式，即可求解；（2）由（1）知，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，得，通過消元可得．【小問2詳解】由題意可得，因為的圖象為一條開口向上的拋物線，對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上的值域為．21.某餅莊推出兩款新品月餅，分別為流心月餅和冰淇淋月餅，已知流心月餅的單價為x元，冰淇淋月餅的單價為y元，且.現(xiàn)有兩種購買方案（）方案一：流心月餅的購買數(shù)量為a個，冰淇淋月餅的購買數(shù)量為b個.方案二：流心月餅的購買數(shù)量為b個，冰淇淋月餅的購買數(shù)量為a個.（1）試問采用哪種購買方案花費更少？請說明理由.（2）若a，b，x，y滿足，，求這兩種方案花費的差值S的最小值（注；差值較大值較小值）.【答案】（1）方案二，理由見解析（2）32【解析】分析】（1）列出函數(shù)式子，作差比較即可；（2）利用換元法，結(jié)合基本不等式即可.【小問1詳解】方案一的總費用為（元），方案二的總費用為（元），則，因為，，所以，即，所以采用方案二，花費更少.【小問2詳解】由（1）可知，令，，，因為，所以，所以差值S的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，即，時，等號成立.所以兩種方案花費的差值S的最小值為32元.22.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并證明．（2）利用單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞增．（3）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義，即可證明；（2）利用單調(diào)增函數(shù)的定義，即可證明；（3）首