專題11.7多邊形及其內(nèi)角和大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)40題）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題11.7多邊形及其內(nèi)角和大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)40題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答題（共40小題）1．（2023春?商水縣期末）請(qǐng)閱讀嘉嘉和琪琪對(duì)話，并解決下列問(wèn)題：（1）嘉嘉說(shuō)的“多邊形內(nèi)角和為2030”可能嗎？不可能．（選填“可能”或“不可能”）（2）問(wèn)嘉嘉求的幾邊形的內(nèi)角和？【答案】（1）不可能；（2）嘉嘉求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式（n﹣2）×180°可得多邊形內(nèi)角和都是180的倍數(shù)，進(jìn)而判斷即可；（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程，解方程即可求解．【解析】解：（1）∵多邊形內(nèi)角和公式為（n﹣2）×180°，∴多邊形內(nèi)角和都是180的倍數(shù)，∴2030÷180＝11余50，∴多邊形內(nèi)角和不可能為2030°．故答案為：不可能；（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意，可列方程（n﹣2）×180°＝2030°+x﹣y，∵﹣180°＜x﹣y＜180°，∴2030°﹣180°＜（n﹣2）×180°＜2030°+180°，解得125又∵n為正整數(shù)，∴n＝13或n＝14，故嘉嘉求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式．2．（2023春?商水縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝42°，∠B＝58°，則∠E＝50°．（2）請(qǐng)你探究∠A，∠B，∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）50°；（2）∠A+∠B＝2∠E，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B＝260°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠CDE+∠DCE=12（∠ADC+∠BCD）＝（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠ADC＝2∠CDE，∠BCD＝2∠ECD，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得∠A+∠B+2（∠EDC+∠ECD）＝360°，所以∠A+∠B+2（180﹣∠E）＝360°，即可得∠A+∠B＝2∠E．【解析】解：（1）∵∠A＝42°，∠B＝58°，∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B＝260°，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=1∴∠CDE+∠DCE=12（∠ADC+∠BCD）＝∴∠E＝180°﹣130°＝50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠B＝2∠E，理由：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠CDE，∠BCD＝2∠ECD，∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠A+∠B+2（∠EDC+∠ECD）＝360°，∴∠A+∠B+2（180﹣∠E）＝360°，∴∠A+∠B＝2∠E．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的定義是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?建昌縣期末）如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處．（1）①探究∠AOD與∠BOC的關(guān)系：因?yàn)椤螦OB＝∠COD＝90°，所以∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC；②探究∠AOC與∠BOD的關(guān)系：因?yàn)椤螦OB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，所以∠AOC+∠BOD＝180°；（2）若將這副三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖乙的位置：①直接寫(xiě)出∠AOC與∠BOD的關(guān)系：∠AOC＝∠BOD；②探究∠AOD與∠BOC的關(guān)系，并仿照（1）①中的探究寫(xiě)出推過(guò)程．【答案】（1）①＝，②180°；（2）①∠AOD＝∠BOC．理由見(jiàn)解答；②成立，理由見(jiàn)解答．【分析】（1）①根據(jù)等式的性質(zhì)等式的兩邊分別加上∠BOD，等式仍然成立，即可得出答案；②根據(jù)∠AOB＝∠COD＝90°以及∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°即可得出∠AOC與∠BOD的關(guān)系；（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)等式的兩邊分別減去∠BOD，等式仍然成立，即可得出答案；②根據(jù)∠AOB＝∠COD＝90°，即可得出∠AOB+∠BOC+∠DOB＝180°．【解析】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD即∠AOD＝∠BOC②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°∴∠AOC+∠BOD＝180°．即∠AOC與∠BOD的關(guān)系為互補(bǔ)．故答案為：①＝，②180°；（2）①∠AOD＝∠BOC．理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD即∠AOD＝∠BOC；故答案為：∠AOD＝∠BOC；②成立．理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠BOC+∠DOB＝180°．即：∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOC與∠BOD的關(guān)系為互補(bǔ)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的計(jì)算以及互補(bǔ)兩角的性質(zhì)，結(jié)合等式的性質(zhì)得出角之間的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G點(diǎn)．（1）如圖1，若∠A＝90°，①求證：∠EDG＝∠ABC；②作DF平分∠ADC，如圖2，求證：DF∥BG．（2）如圖3，作DF平分∠ADC，在銳角∠BAD內(nèi)部作射線AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小為45°，試說(shuō)明：AN平分∠BAD．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）①根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠EDG+∠ADC＝180°，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義結(jié)合∠ABC+∠ADC＝180°，得出∠2+∠4=12∠ABC+12∠ADC=90°，根據(jù)∠DFC+∠4＝90（2）延長(zhǎng)AB、DF交于點(diǎn)M，求出∠DAN＝135°﹣∠2﹣∠3，∠BAN＝135°﹣∠2﹣∠3，證明∠DAN＝∠BAN，即可證明AN平分∠BAD．【解析】證明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠EDG+∠ADC＝180°，∴∠EDG＝∠ABC；②∵BE平分∠ABC，∴∠1=∵DF平分∠ADC，∴∠3=∴∠2+∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠4＝90°，∴∠2＝∠DFC，∴DF∥BG；（2）延長(zhǎng)AB、DF交于點(diǎn)M，如圖所示：∵∠AND﹣∠GBC＝45°，∴∠AND＝∠2+45°，∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3＝135°﹣∠2﹣∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1=∵DF平分∠ADC，∴∠3=∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3＝135°﹣∠2﹣∠3，∴∠DAN＝∠BAN，∴AN平分∠BAD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定，補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合．5．（2023春?臺(tái)兒莊區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．試說(shuō)明：AE∥DC．【答案】（1）100°；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解即可；（2）根據(jù)AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E和AD∥BC，求出∠AEB＝∠BCD，再根據(jù)平行線的判定證明即可．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°；（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°，∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理，準(zhǔn)確進(jìn)行推理證明和計(jì)算．6．（2023春?秦安縣期末）如圖①，∠1、∠2是四邊形ABCD的兩個(gè)不相鄰的外角．（1）猜想并說(shuō)明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O．若∠A＝60°，∠C＝130°，求∠BOD的度數(shù)；（3）如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系∠C﹣∠A＝2∠O．【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）145°；（3）∠C﹣∠A＝2∠O．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說(shuō)明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)∠ABC與∠ADC的平分線，∠A＝60°，∠C＝130°，即可求∠BOD的度數(shù)；（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．進(jìn)而可以寫(xiě)出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，理由如下：∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠C；（2）∵∠A＝60°，∠C＝130°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣190°＝170°，∵BO、BO分別平分∠ABC與∠ADC，∴∠OBC=12∴∠OBC+∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝360°﹣85°﹣130°＝145°；（3）∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系為：∠C﹣∠A＝2∠O，理由如下：∵BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線，∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，由（1）可知：∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，∴∠C﹣∠A＝2∠O，故答案為：∠C﹣∠A＝2∠O．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角．7．（2023春?宛城區(qū)期末）閱讀小明和小紅的對(duì)話，解決下列問(wèn)題．（1）這個(gè)“多加的銳角”是30°．（2）小明求的是幾邊形的內(nèi)角和？（3）若這是個(gè)正多邊形，則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是多少度？【答案】（1）30；（2）12；（3）30°．【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式進(jìn)行估算即可；（2）根據(jù)對(duì)話和多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可；（3）根據(jù)正多邊形外角和為360°，而每一個(gè)外角都相等進(jìn)行計(jì)算即可；【解析】解：（1）12邊形的內(nèi)角和為（12﹣2）×180°＝1800°，而13邊形的內(nèi)角和為（13﹣2）×180°＝1980°，由于小紅說(shuō)：“多邊形的內(nèi)角和不可能是1830°，你一定是多加了一個(gè)銳角”，所以這個(gè)“多加的銳角是1830°﹣1800°＝30°，故答案為：30；（2）設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，由題意得：（n﹣2）×180°＝1800°，解得：n＝12；答：小明求的是12邊形的內(nèi)角和；（3）正12邊形的每一個(gè)外角都相等，而多邊形的外角和始終為360°，所以每一個(gè)外角為360°12答：這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角為30°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及多邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．8．（2023春?鶴壁期末）【感知】如圖1所示，在四邊形AEFC中，EB、FD分別是邊AE、CF的延長(zhǎng)線，我們把∠BEF、∠DFE稱為四邊形AEFC的外角，若∠A+∠C＝220°，則∠BEF+∠DFE＝220°；【探究】如圖2所示，在四邊形AECF中，EB、FD分別是邊AE、AF的延長(zhǎng)線，我們把∠BEC、∠DFC稱為四邊形AECF的外角，試探究∠A、∠C與∠BEC、∠DFC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，F(xiàn)M、EM分別是四邊形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分線，若∠A+∠C＝200°，則∠M的度數(shù)為80°．【答案】（感知）220°；（探究）∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由見(jiàn)解析；（應(yīng)用）80°．【分析】（感知）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案；（探究）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案；（應(yīng)用）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角定義可求出∠BEF+∠DFE的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義即可求出∠MFE+∠MEF度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和即可求出∠M的度數(shù)．【解析】解：（感知）∵四邊形AEFC的內(nèi)角和為：（4﹣2）×180°＝360°，∠A+∠C＝220°，∴∠CFE+∠AEF＝360°﹣220°＝140°，∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣140°＝220°．故答案為：220°．（探究）∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC）．∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC）．∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC．（應(yīng)用）∵四邊形AEFC的內(nèi)角和為：（4﹣2）×180°＝360°，∠A+∠C＝200°，∴∠CFE+∠AEF＝360°﹣200°＝160°，∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠BEF+∠DFE＝180°+180°﹣160°＝200°．∴12∵FM、EM分別是四邊形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分線，∴∠DFM=∠MFE=∴∠MFE+∠MEF＝100°，∴∠M＝180°﹣100°＝80°．故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角和角平分線，解題的關(guān)鍵在于掌握多邊形內(nèi)角和公式，以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．9．（2023春?梅江區(qū)期末）直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來(lái)探究一下這些奇妙的圖形吧!【問(wèn)題探究】（1）①如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD內(nèi)部，∠B＝55°，∠D＝30°，則∠BPD＝85°；②如圖2，若AB∥CD，將點(diǎn)P在AB，CD外部，則∠BPD，∠B，∠D之間數(shù)量關(guān)系：∠BFD+∠D＝∠B（不需證明）；③如圖3，寫(xiě)出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD（不需證明）．【變式拓展】（2）如圖4，五角星ABCDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（3）如圖5，將五角星ABCDE去掉一個(gè)角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）①85°；②∠B＝∠BPD+∠D；③∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（2）180°；（3）∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；②利用平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理可得答案；③利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案；（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和是360°進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：（1）①如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∵ABCD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠B＝∠BPQ，∠D＝∠DPQ，∴∠BPD＝∠B+∠D＝55°+30°＝85°，故答案為：85°；②如圖2，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BQD，又∵∠BQD＝∠D+∠BPD，∴∠B＝∠BPD+∠D，故答案為：∠B＝∠BPD+∠D；③如圖3，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，∵∠BPD＝∠D+∠BED，∠BED＝∠QBP+∠BQD，∴∠BPD＝∠D+∠QBP+∠BQD，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D，故答案為：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（2）如圖4，∵∠CMN＝∠A+∠D，∠CNM＝∠B+∠E，又∵∠CMN+∠CNM+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故答案為：180°；（3）證明：如圖5，連接CD，∵∠B+∠E+∠BME＝∠DCE+∠BDC+∠CMD＝180°，∠BME＝∠CMD，∴∠B+∠E＝∠DCE+∠BDC，∵∠PCE+∠DCE+∠BDC+∠BDQ+∠P+∠Q＝360°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q＝360°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角，掌握平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．10．（2023春?甘井子區(qū)校級(jí)月考）如圖1是一張長(zhǎng)方形的紙片，將這張長(zhǎng)方形的紙片沿EF折疊成圖1的形狀．張明同學(xué)發(fā)現(xiàn)折疊之后，四邊形CDEF與四邊形C'D'EF是完全相同的圖形，因此折痕恰好是∠DED'的平分線．（1）圖1中，若∠DEF＝70°時(shí)，求∠EMB的值；（2）將長(zhǎng)方形紙片的右邊沿著EF折疊，左邊沿著EG折疊，如圖2所示，若兩條折痕形成的夾角∠FEG＝70°，求FC與EA形成的夾角∠FNE的度數(shù)．（3）將長(zhǎng)方形紙片的右邊沿著EF折疊，左邊沿著GH折疊，如圖3所示，試探究?jī)蓷l折痕形成的夾角∠P與DE、BH形成的夾角∠EOH之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）140°；（2）40°；（3）∠EOH+2∠P＝180°．【分析】（1）根據(jù)翻折以及平行的性質(zhì)即可作答；（2）根據(jù)題意，結(jié)合翻折可知，∠GEA＝∠GEA'，∠DEF＝∠D'EF，即有∠A'ED＝180°﹣2∠DEF，根據(jù)∠FEG＝70°，可得∠DEF﹣∠DEG＝∠FEG＝70°，根據(jù)∠DEA＝∠GEA+∠GEA'﹣∠A'ED，可得∠DEA＝2（∠GEA+∠DEG）﹣40°，即可得∠DEA＝40°，再根據(jù)DE∥CF，有∠ENF＝∠DEA＝40°；（3）根據(jù)題意，結(jié)合翻折可知，∠BHG＝∠B'HG，∠DEF＝∠D'EF，根據(jù)平行的性質(zhì)有∠A'ET＝∠ETH，∠D'EF＝∠EFH，根據(jù)∠EFH＝∠P+∠FHP，可得∠EFH﹣∠P＝∠B'HG，根據(jù)∠EOH＝∠ETH+∠BHT，可得∠EOH＝∠ETH+2∠B'HG，即可得∠EOH+2∠P＝∠ETH+2∠EFH，問(wèn)題隨之得解．【解析】解：（1）∵EF平分∠DED'，∠FED＝70°，∴∠DED'＝2∠FED＝140°，∵AD∥BC，∴∠EMB＝∠DED'＝140°，即所求角度為140°；（2）如圖，根據(jù)題意，結(jié)合翻折可知，∠GEA＝∠GEA'，∠DEF＝∠D'EF，∴∠A'ED＝180°﹣∠DEF﹣∠D'EF＝180°﹣2∠DEF，∵∠FEG＝70°，∴∠DEF﹣∠DEG＝∠FEG＝70°，∴∠DEF＝∠DEG+70°，∵∠DEA＝∠GEA+∠GEA'﹣∠A'ED，∴∠DEA＝2∠GEA﹣（180°﹣2∠DEF），∴∠DEA＝2∠GEA﹣[180°﹣2（∠DEG+70°）]，∴∠DEA＝2（∠GEA+∠DEG）﹣40°，∴∠DEA＝2∠DEA﹣40°，∴∠DEA＝40°，∵DE∥CF，∴∠ENF＝∠DEA＝40°，∴∠ENF＝40°；（3）如圖，根據(jù)題意，結(jié)合翻折可知，∠BHG＝∠B'HG，∠DEF＝∠D'EF，∵A'D'∥B'C'，DE∥CF，∴∠A'ET＝∠ETH，∠D'EF＝∠EFH，∵∠EFH＝∠P+∠FHP，∴∠EFH＝∠P+∠B'HG，即∠EFH﹣∠P＝∠B'HG，∵∠EOH＝∠ETH+∠BHT，∴∠EOH＝∠ETH+2∠B'HG，∴∠EOH＝∠ETH+2（∠EFH﹣∠P），∴∠EOH+2∠P＝∠ETH+2∠EFH，∵∠D'EF＝∠EFH，∠DEF＝∠D'EF，∴∠DEF＝∠EFH，∴∠EOH+2∠P＝∠ETH+∠DEF+∠EFH＝180°，即滿足關(guān)系∠EOH+2∠P＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方形翻折、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)翻折找到正確的角的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春?襄汾縣期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．已知“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，那么五邊形的外角與內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？如圖1，在五邊形ABCDE中，∠1，∠2是它的兩個(gè)外角，∠1+∠2＝∠A+∠B+∠C﹣180°．下面是該結(jié)論的證明過(guò)程（部分）：∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4＝540°．……（1）按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分．（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，EF，DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線，若∠A+∠B+∠C＝320°，求∠F的度數(shù)；（3）拓展提升：如圖3，∠C=∠E=90°，∠ABH=23∠ABF，∠GFH=2【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；（2）110°；（3）120°．【分析】（1）根據(jù)五邊形內(nèi)角和表示出∠A+∠B+∠C的值，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義表示出∠1+∠2的值，即可求解；（2）由（1）中的結(jié)論，求出∠DEH+∠EDG，再根據(jù)角平分線定義求出∠DEF+∠EDF的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）根據(jù)已知條件求出∠ABF+∠BFG的值，再由（1）中的結(jié)論，求出∠C+∠D+∠E的值，進(jìn)而可求∠D的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4＝540°．∴∠A+∠B+∠C＝540°﹣∠3﹣∠4，∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4，∴∠A+∠B+∠C﹣（∠1+∠2）＝540°﹣∠3﹣∠4﹣（360°﹣∠3﹣∠4）＝180°∴∠1+∠2＝∠A+∠B+∠C﹣180°；（2）解：由（1）得∠DEH+∠EDG＝∠A+∠B+∠C﹣180°，∵∠A+∠B+∠C＝320°，∴∠DEH+∠EDG＝320°﹣180°＝140°，∵EF平分∠DEH，DF平分∠EDG，∴∠DEF=12∠DEH，∠EDF=1∴∠DEF+∠EDF=12（∠DEH+∠EDG）=12∵∠DEF+∠EDF+∠F＝180°∴∠F＝180°﹣70°＝110°；（3）解：∵∠H＝140°，∴∠HBF+∠HFB＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABH=23∠ABF，∠GFH=2∴∠ABF+∠BFG＝3（∠HBF+∠HFB）＝3×40°＝120°，由（1）得∠ABF+∠BFG＝∠C+∠D+∠E﹣180°，∴∠C+∠D+∠E＝∠ABF+∠BFG+180°＝120°+180°＝300°，∵∠C＝∠E＝90°，∴∠D＝300°﹣90°﹣90°＝120°．故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角，三角形的內(nèi)角和，閱讀題目，理解（1）中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．12．（2023春?通許縣期末）在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°，（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為α，則與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°÷α；（2）剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應(yīng)內(nèi)角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】解：（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為α，則與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，由題意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多邊形的每個(gè)外角為40°．又∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個(gè)數(shù)=36040∴多邊形的邊數(shù)＝9，答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9；（2）因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內(nèi)角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)多邊形一組對(duì)邊的直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)不變，內(nèi)角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；當(dāng)截線為只經(jīng)過(guò)多邊形一組鄰邊的一條直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內(nèi)角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是1080°或1260°或1440°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系，運(yùn)用方程求解比較簡(jiǎn)便．第2問(wèn)在理解剪掉多邊形的一個(gè)角的含義時(shí)，確定其剩余幾邊形是關(guān)鍵．13．（2023春?泰興市校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點(diǎn)E、F．（1）若∠A＝∠C＝90°，試說(shuō)明DF∥BE．（2）若DF∥BE，則結(jié)論“∠A＝∠C＝90°”一定成立嗎？說(shuō)明你的理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解答；（2）詳見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，則∠ABE+∠ADF＝90°，加上∠AFD+∠ADF＝90°，利用等角的余角相等得∠AFD＝∠ABE，然后根據(jù)平行線的判定定理得到（2）先根據(jù)∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點(diǎn)E、F得∠ABE=12∠ABC，而∠ADF=1【解析】解：（1）DF∥BE，理由：∵在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE是∠ABC、DF是∠ADC的平分線，∴∠ABE=12∠ABC，∠ADF=1∴∠ABE+∠ADF＝90°，而∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠ABE，∴DF∥BE；（2）不成立，理由：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠∵∠ADF＝∠AFD=12∠∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠AFD＝∠CBE，∠ADF＝∠CDF＝∠CEB，∵∠C+∠CEB+∠CBE＝180°＝∠A+∠AFD+∠ADF，∴∠A＝∠C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義是正確解答的前提．14．（2023春?玄武區(qū)期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做對(duì)補(bǔ)四邊形．（1）已知四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形．①若∠BAD＝65°，則∠BCD＝115°．②如圖①，∠BAD、∠BCD的平分線分別與BC、AD相交于點(diǎn)E、F，且∠D＝90°，求證：AE∥CF；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，且AC平分∠BAD，∠ABC＝∠BEC，CF平分∠BCD，與AD交于點(diǎn)F，且CF⊥BD于點(diǎn)G，則四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形，其三個(gè)頂點(diǎn)A，B，D如圖③所示，連接AB，AD．若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，且直線AE，CF交于點(diǎn)O（與點(diǎn)C不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AOC與∠D之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①115；②見(jiàn)解答；（2）見(jiàn)解答；（3）∠AOC﹣∠D＝90°或∠D+∠AOC＝90°或∠D﹣∠AOC＝90°【分析】（1）①由對(duì)補(bǔ)四邊形的定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；②由對(duì)補(bǔ)四邊形的定義及角平分線的定義可得∠DAE+∠DCF＝12（∠BAD+∠BCD）＝90°，由同角的余角相等可得∠EAD＝∠CFD，從而即可得證；（2）由角平分線的性質(zhì)、三角形外角的定義以及同角的余角相等可求得∠BAD+∠BCD＝2（∠1+∠BCG）＝180°，從而即可得到四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)對(duì)補(bǔ)四邊形的定義、角平分線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和為360°，以及三角形外角的定義，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】解：（1）①∵四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形，∠BAD＝65°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115②∵∠BAD+∠BCD+∠B+∠D＝360°，又∵四邊形ABCD是互補(bǔ)四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠EAF+∠ECF＝90°，∵∠ECF＝∠3，∴∠EAF+∠3＝90°，在Rt△CDF中，∠D＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠EAF＝∠2，∴AE∥CF．（2）四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形理由：∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC＝∠1+∠3，又∵∠ABC＝∠BEC，∴∠2+∠3＝∠1+∠3，∴∠1＝∠2，∵CF⊥BD，∠BGC＝90°，在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∴∠2+∠BCG＝90°，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCG＝90°，∵AC、CF分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAC＝2∠1，∠BCD＝2∠BCG，∴∠BAC+∠BCD＝2（∠1+∠BCG）＝180°，∴四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形．（3）第一種答案：∠AOC﹣∠D＝90°∵四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，∵AE、CE分別為∠BAD和∠BCD的角平分線，∴∠1+∠2＝90°，∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴在四邊形ABCO中∠B+∠AOC＝270°，即∠AOC＝270°﹣∠B，∵∠B+∠D＝180°，∴∠AOC＝270°﹣（180°﹣∠D），即∠AOC﹣∠D＝90°；第二種答案：∠D+∠AOC＝90°∵四邊形ABCD是互補(bǔ)四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF為角平分線，∴∠1+∠2＝90°，∵在AFO中，∠AFO＝180°﹣∠2﹣∠AOC，在△CDF中，∠AFO＝1+∠D，∴∠1+∠D＝180°﹣∠2﹣∠AOC，即∠D+∠AOC＝90°；第三種答案：∠D﹣∠AOC＝90°∵四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠D＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE、CF為角平分線，∴∠1+∠2＝90°，∵在△OEC中，外角∠BEA＝∠AOC+∠2，在△ABE中，∠BEA＝180°﹣∠1﹣∠B，∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠1﹣∠B∵∠B＝180°﹣∠D∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠1﹣180°+∠D即∠D﹣∠AOC＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15．（2023春?杞縣期末）模型認(rèn)識(shí)：我們學(xué)過(guò)三角形的內(nèi)角和等于180°，又知道角平分線可以把一個(gè)角分成大小相等的兩部分，接下來(lái)我們就利用上述知識(shí)進(jìn)行下面的探究活動(dòng)．如圖①．在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．解決問(wèn)題：（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BPC＝120°；（直接寫(xiě)出答案）（2）若∠BAC＝100°，求出∠BPC的度數(shù)：拓展延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，直接寫(xiě)出∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）120°；（2）140°；（3）∠BPC=12（∠A+∠【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（3）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【解析】解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠PBC=12∠ABC=12×40°＝20°，∠PCB=12∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣20°﹣40°＝120°；故答案為：120°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（180°﹣∠BAC）＝90°+1∵∠BAC＝100°，∴∠BPC＝90°+12∠BAC＝90°+12（3）∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?成華區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝α，∠BCD＝β，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，AF是∠DAB的平分線，BG是∠CBE的平分線．（1）如圖1，當(dāng)AF∥BG時(shí)，求證：α+β＝180°（2）如圖2，當(dāng)α+β＞180°時(shí)，直線AF交直線BG于點(diǎn)M，問(wèn)∠AMB與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；（3）如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，那么∠AMB與α，β之間又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明．?【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）2∠AMB＝α+β﹣180°，證明見(jiàn)解答；（3）2∠AMB＝180°﹣α﹣β．【分析】（1）AF是∠DAB的平分線，BG是∠CBE的平分線，得∠BAD＝2∠BAF，∠EBC＝2∠EBG，由AF∥BG，得∠BAF＝∠EBG，所以∠BAD＝∠EBC，則AD∥BC，所以α+β＝180°；（2）延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H，由∠EBM=12∠EBC，∠BAM=12∠BAD，得∠AMB＝∠EBM﹣∠BAM=12（∠EBC﹣∠BAD）=12∠H，則2∠AMB＝∠H＝180°﹣（∠HDC+∠HCD）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣（3）延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)L，由∠ABM＝∠EBG=12∠EBC=12∠ABL，∠BAF=12∠BAD，得∠AMB＝∠BAF﹣∠ABM=12（∠BAD﹣∠ABL）=12∠L，則2∠【解析】（1）證明：∵AF是∠DAB的平分線，BG是∠CBE的平分線，∴∠BAD＝2∠BAF，∠EBC＝2∠EBG，∴AF∥BG，∴∠BAF＝∠EBG，∴2∠BAF＝2∠EBG，∴∠BAD＝∠EBC，∴AD∥BC，∴α+β＝180°．（2）解：2∠AMB＝α+β﹣180°，證明：如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H，∵∠EBM=12∠EBC，∠BAM=1∴∠AMB＝∠EBM﹣∠BAM=12（∠EBC﹣∠BAD）=1∴2∠AMB＝∠H，∵∠H＝180°﹣（∠HDC+∠HCD）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°，∴2∠AMB＝α+β﹣180°．（3）2∠AMB＝180°﹣α﹣β，證明：如圖3，α+β＜180°，延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)L，∵∠ABM＝∠EBG，∠EBC＝∠ABL，∴∠ABM＝∠EBG=12∠EBC=1∵∠BAF=12∠∴∠AMB＝∠BAF﹣∠ABM=12（∠BAD﹣∠ABL）=1∴2∠AMB＝∠L，∵∠L＝180°﹣α﹣β，∴2∠AMB＝180°﹣α﹣β．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查角平行線的性質(zhì)、平分線的定義、三角形的內(nèi)角和等于180°、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?歷下區(qū)期末）如圖1，小紅沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小路，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，跑步的方向改變一定的角度．（1）該五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和是540度；（2）她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是360度；（3）如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國(guó)”活動(dòng)，從點(diǎn)A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點(diǎn)E，若MA∥EN，且∠1+∠2＝200°，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度的和（即∠3+∠4+∠5的值）．【答案】（1）540；（2）360；（3）∠3+∠4+∠5＝160°．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)多邊形外角和都是360°可得；（3）延長(zhǎng)NE構(gòu)成新的四邊形，根據(jù)外角和360°減去200°即可得出結(jié)果．【解析】解：（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°得，五邊形內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°；故答案為：540．（2）根據(jù)多邊形外角和都是360°，跑完一圈，跑步方向改變的角度的和，360°；故答案為：360．（3）延長(zhǎng)NE交AB于點(diǎn)F，∵M(jìn)A∥EN，∴∠1＝∠6，∠1+∠2＝200°，∠6+∠2＝200°，∵在五邊形FBCDE中，∠6+∠3+∠4+∠5+∠2＝360°，∠3+∠4+∠5＝160°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和以及平行線的性質(zhì)，熟記內(nèi)角和公式是求內(nèi)角和的關(guān)鍵．18．（2023春?海滄區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，點(diǎn)E在AB邊上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．（1）求證：AD∥BC；（2）如圖2，DF⊥BC交BC邊于點(diǎn)G，交AB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＝42°，求∠F的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）∠F＝26°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE＝∠ADE，再結(jié)合已知條件可得∠CDE＝∠DEA，從而得出CD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及已知條件可得∠B+∠A＝180°，從而證得AD∥BC；（2）由垂直的定義可得∠BGF＝90°，由AD∥BC可得∠ADF＝∠BGF＝90°，由CD∥AB可得∠CDF＝∠F，∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y(tǒng)°，則∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，得出y＝90﹣4x，再根據(jù)∠BDC＝42°求解即可．【解析】（1）證明：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠DEA，∴∠CDE＝∠DEA，∴CD∥AB，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）解：∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，又∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BGF＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠F．設(shè)∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y(tǒng)°，則∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，∴y＝90﹣4x，∵∠BDC＝42°，∴x+y＝42°，解得x＝16°，y＝26°，∴∠F＝26°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，AD與BC交于點(diǎn)O．（1）如圖1，判斷∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠B＝∠C+∠D，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為540°．（3）如圖3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF與DE交于點(diǎn)M，∠E+∠F＝50°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A+∠B＝100°．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）100°．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論以及五邊形的內(nèi)角和計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用角平分線的定義以及（1）的結(jié)論可得∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝2（∠E+∠F）即可．【解析】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，連接AB，由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為五邊形ABEFM的內(nèi)角和，即（5﹣2）×180°＝540°，故答案為：540°；（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠MCD=12∠OCD，∠MDC=1由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，∴12∠OCD+12∠ODC∴∠OCD+∠ODC＝100°，∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，故答案為：100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和是180°，角平分線的定義以及多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法是正確解答的前提．20．（2023春?南京期中）研究一個(gè)問(wèn)題：多邊形的一個(gè)外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【回顧】如圖①，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ACD與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系：∠ACD＝∠A+∠B．【探究】如圖②，∠DCE是四邊形ABCD的外角，求證∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．【結(jié)論】若n邊形的一個(gè)外角為x°，與其不相鄰的內(nèi)角之和為y°，則x，y與n的數(shù)量關(guān)系是y﹣x＝180（n﹣3）．【答案】【回顧】∠ACD＝∠A+∠B；【探究】見(jiàn)解析；【結(jié)論】y﹣x＝180（n﹣3）．【分析】【回顧】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出答案；【探究】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；【結(jié)論】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：【回顧】∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B；故答案為：∠ACD＝∠A+∠B；【探究】∵∠A+∠B+∠D+∠BCD＝360°，∠DCE+∠BCD＝180°，∴360°﹣（∠A+∠B+∠D）＝180°﹣∠DCE，∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D﹣180°．【結(jié)論】∵n邊形的某一個(gè)外角的度數(shù)是x°，∴與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是（180﹣x）°，∵與這個(gè)外角不相鄰的所有內(nèi)角的和是y°，∴（180﹣x）+y＝（n﹣2）180，整理得：y﹣x＝180（n﹣3），故答案為：y﹣x＝180（n﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形的內(nèi)角和公式：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）．21．（2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖1，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)，連接CE，∠ABC的平分線與∠ECD的平分線相交于點(diǎn)P．（1）求證：①AB∥CD；②2∠P+∠ECB＝180°；（2）如圖2，∠BCP的平分線交AD于點(diǎn)F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度數(shù)．【答案】（1）①證明見(jiàn)解答；②證明見(jiàn)解答；（2）54°．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得：∠ABC+∠DCB＝180°，從而得結(jié)論；②如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，由角平分線的定義，角的和差，三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（2）如圖2，設(shè)∠P＝3x，∠DEC＝4x，∠D＝2y，∠DFC＝3y，根據(jù)△BPC中三角形的內(nèi)角和定理可得x的值，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義表示∠CBP＝y(tǒng)，∠BCP＝2∠BCF＝6y，列方程可得y的值，從而可以解答．【解析】（1）證明：①∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠DCB，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥CD；②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PG，∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝∠ABP+∠DCP＝∠PBC+∠ECP，在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠ECP+∠ECB＝180°，∴2∠BPC+∠ECB＝180°；（2）解：如圖2，設(shè)∠P＝3x，∠DEC＝4x，∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC＝4x，由（1）知：2∠P+∠ECB＝180°，∴6x+4x＝180，∴x＝18°，∴∠P＝54°，∵3∠D＝2∠DFC，∴設(shè)∠D＝2y，∠DFC＝3y，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y，∴∠ABC＝∠D＝2y，∴∠CBP＝y(tǒng)，∵CF平分∠BCP，∴∠BCP＝2∠BCF＝6y，△BCP中，∠CBP+∠P+∠BCP＝180°，∴y+54°+6y＝180°，∴y＝18°，∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，靈活運(yùn)用相關(guān)定義與性質(zhì)求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?東麗區(qū)期末）如圖1：BE平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)E．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，求∠E的度數(shù)；（2）若把∠A截去，得到四邊形MBCN，如圖2，猜想∠E，∠M，∠N的關(guān)系并證明．【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E=【分析】（1）由角平分線定義得到∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，由三角形外角性質(zhì)得到∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠（2）延長(zhǎng)BM和CN相交于點(diǎn)A，進(jìn)一步得到∠A＝∠BMN+∠MNC﹣180°，由（1）的結(jié)論即可得到答案．【解析】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠EBC=12∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC，∴12∴12∴12∴12∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，∴∠A＝50°，∴∠E＝25°；（2）證明：∠E=延長(zhǎng)BM和CN相交于點(diǎn)A，∵∠A+∠AMN+∠ANM＝180°，∠AMN+∠BMN＝180°，∠ANM+∠MNC＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣∠BMN+180°﹣∠MNC）＝∠BMN+∠MNC﹣180°，∵由（1）知∠E=∴∠E=【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)定理，理清各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?海城市期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BG⊥AE，垂足為點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．（1）求證：BG平分∠ABE．（2）若∠DCE＝105°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠BAE，從而得出∠E＝∠BAE，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出BG平分∠ABE；（2）根據(jù)∠DAB＝60°，AD∥BC，得出∠ABE＝120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBE＝60°，從而得出∠DCE＝105°，最后根據(jù)∠BGC＝∠DCE﹣∠GBE即可得出答案．【解析】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠E＝∠BAE，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）解：∵∠DAB＝60°，AD∥BC，∴∠ABE＝120°，∵BG平分∠ABE，∴∠GBE＝60°，∵∠DCE＝105°，∴∠BGC＝∠DCE﹣∠GBE＝105°﹣60°＝35°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?興城市月考）探究一：（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝64°，BP，CP分別是兩個(gè)內(nèi)角∠ABC，∠ACB的角平分線，則∠P＝122度．（2）如圖2，在△ABC中，∠A＝70°，BP，CP分別是兩個(gè)外角∠CBD，∠BCE的角平分線，則∠P＝55度．探究二：（1）如圖3，在△ABC中，BP是三角形內(nèi)角∠ABC的角平分線，CP是外角∠ACD的角平分線．請(qǐng)說(shuō)明∠P和∠A之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（2）如圖4，在四邊形ABCD中，BP是內(nèi)角∠ABC的角平分線，CP是外角∠DCE的角平分線，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P與∠A，∠D之間的數(shù)量關(guān)系．（不用說(shuō)明理由）【答案】探究一：（1）122．（2）55．探究二：（1）∠A＝2∠P；證明見(jiàn)解答．（2）∠P=12（∠A+∠D）﹣【分析】探究一：（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）根據(jù)角平分線的定義、平角定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；探究二：（1）根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠DCE，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠P+∠【解析】解：探究一：（1）如圖1，∵∠A＝64°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝116°，∵BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠P＝180°﹣58°＝122°，故答案為：122．（2）如圖2，∵∠A＝70°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵BP，CP分別平分∠DBC，∠ECB，∴∠PBC=12∠DBC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠=12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣125°＝55°，故答案為：55．探究二：（1）∠A＝2∠P．理由如下：如圖3，∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是外角∠ACD的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴12∠ACD=12∠ABC+∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∴∠A＝2∠P；（2）∠P=12（∠A+∠D）﹣如圖4，由四邊形內(nèi)角和定理得∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠PCE＝∠P+∠PBC，∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCE的平分線，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=1∴∠P+∠PBC=12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=12（∠A+∠D）+1∴∠P=12（∠A+∠D）﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，補(bǔ)角的定義，三角形的內(nèi)角和定理等，此類題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個(gè)角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．25．（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）【結(jié)論探究】如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP相交于點(diǎn)P，則有結(jié)論：∠P=12∠請(qǐng)完成上述結(jié)論的證明過(guò)程：∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠ABC∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12∠ACD-12∠ABC請(qǐng)直接應(yīng)用上面的結(jié)論解決下面問(wèn)題：【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC的平分線BE與外角∠ACD的平分線CE相交于點(diǎn)E，外角∠HBC的平分線BF與EC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【拓展應(yīng)用】如圖3，已知四邊形ABCD與四邊形BCEF，BF平分角∠ABC，CE平分外角∠DCH．①若∠A＝100°，∠D＝142°，則∠E+∠F＝211°；②若∠A+∠D＝α，∠E+∠F＝β，則α＝2β﹣180°（用含β的代數(shù)式表示）．【答案】結(jié)論探究：ABC，A，ABC；結(jié)論應(yīng)用：55°；拓展應(yīng)用：①211，2β﹣180°．【分析】結(jié)論探究：由角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，即可證明；結(jié)論應(yīng)用：由角平分線定義推出∠EBF＝90°，應(yīng)用結(jié)論探究中的結(jié)論，即可得到答案；拓展應(yīng)用：延長(zhǎng)BA，CD交于M，延長(zhǎng)BF，CE交于N，由結(jié)論探究中的結(jié)論，即可解決問(wèn)題．【解析】解：結(jié)論探究：∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=12∠∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12∠ACD-12∠ABC故答案為：ABC，A，ABC．結(jié)論應(yīng)用：如圖2，∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，∴∠EBC=12∠ABC，∠FBC=1∴∠EBC+∠FBC=12（∠ABC+∠∴∠EBF=12∠ABH=12∵∠E=12∠A=12∴∠F＝90°﹣∠E＝55°；拓展應(yīng)用：如圖3，延長(zhǎng)BA，CD交于M，延長(zhǎng)BF，CE交于N，①∵∠BAD＝∠M+∠ADM，∠ADC＝∠M+∠MAD，∴∠BAD+∠ADC＝∠M+∠ADM+∠MAD+∠M＝180°+∠M，∴∠M＝∠BAD+∠ADC﹣180°＝100°+142°﹣180°＝62°，∴∠N=12∠M＝∴∠BFE+∠CEF＝180°+∠N＝211°，故答案為：211；②由①知∠M＝∠BAD+∠ADC﹣180°，∴∠M＝α﹣180°，∴∠N=12∠M=12∵∠BFE+∠CEF＝180°+∠N＝180°+12α﹣∴β=12α∴α＝2β﹣180°．故答案為：2β﹣180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，關(guān)鍵是應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)，探究得到的結(jié)論．26．（2022春?泰興市期中）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠ABE，∠ADF是四邊形ABCD的外角．（1）求∠ABE+∠ADF的度數(shù)；（2）直線l1，l2分別經(jīng)點(diǎn)B，D，且l1，l2分別平分∠ABE，∠ADF，①如圖2，若l1∥l2，求∠C的度數(shù)；②若l1與l2相交于點(diǎn)M，設(shè)∠C＝α，∠BMD＝β，試探究α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠ABE+∠ADF＝180°；（2）①∠C＝90°，②α+β＝90°或α﹣β＝90°．【分析】（1）通過(guò)題意得∠A+∠C＝180°，再由補(bǔ)角定理可直接得到∠ABE+∠ADF的度數(shù)；（2）①延長(zhǎng)BA至l2于點(diǎn)G，通過(guò)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等得∠DGB＝∠GBH，再由角平分線的性質(zhì)可得到解答；②有兩種答案，都要連接BD，把各個(gè)需要求的角表達(dá)出來(lái)，再通過(guò)角平分線、對(duì)頂角相等對(duì)角的轉(zhuǎn)換，最后進(jìn)行相加減即可得到答案．【解析】解：（1）在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADF+∠ADC＝∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADF＝180°；（2）①延長(zhǎng)BA至l2于點(diǎn)G，如圖：∵l1∥l2，∴∠DGB＝∠GBH，∵∠BAD＝∠AGD+∠ADG，∴∠BAD＝∠GBH+∠ADG，∵l1，l2分別平分∠ABE，∠ADF且由（1）知∠ABE+∠ADF＝180°，∴∠BAD＝∠GBH+∠ADG＝180°÷2＝90°，∴∠C＝∠BAD＝90°；②一：如圖，連接BD，由圖可得∠BMD＝∠MBD∠+MDB＝180°﹣（∠MBA+∠ABD+∠MDA+∠ADB），∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB），∵∠ABE+∠ADF＝180°且MB，MD分別平分∠ABE，∠ADF，∴∠A﹣∠BMD＝∠MBA+∠MDA＝90°，∵∠C+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C，∴∠C+∠BMD＝90°＝α+β＝90°；二：連接BD，如圖由圖可得∠M＝180°﹣（∠CBD+∠CBM+∠CDB+∠CDM），∠C＝180°﹣（∠CBD+∠CDB），∵∠CBM＝∠PBE，∠CDM＝∠QDF（對(duì)頂角相等）且PM，MQ分別平分∠ABE，∠ADF，∴∠M＝180°﹣（∠CBD+∠CDB+90°），∵∠CBD+∠CDB＝180°﹣∠C，∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠C+90°）＝∠C﹣90°，∴∠C﹣∠M＝90°＝α﹣β＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，掌握有關(guān)補(bǔ)角的計(jì)算、平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等、角平分線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵．27．（2022春?宿城區(qū)校級(jí)期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)．【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁(yè)第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點(diǎn)，則有∠E=12∠請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延長(zhǎng)BA至G，延長(zhǎng)AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫(xiě)出∠E+∠F與∠A+∠D的關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；（2）70°；（3）①205°；②2（∠F+∠E）＝∠A+∠D+180°．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，即可得到答案；（2）先推導(dǎo)出∠AEC=12∠ABC=20°，再推導(dǎo)出∠EAC+∠（3）①延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，可得∠N=②根據(jù)∠N=【解析】解：（1）∵∠EBC+∠EBD＝180°，又因?yàn)樵凇鱁BC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，∴∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB，∴∠EBD＝∠E+∠ECB，同理可得：∠ABD＝∠A+∠ACB，又因?yàn)锽E和CE分別是∠ABD和∠ACB的角平分線，∴∠EBD=∴12即∠E=∴∠E=（2）∵∠ABC＝40°，∴∠AEC=∵∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，∴∠EAC+∠∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°；（3）①延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，如圖所示，∵BF、CE平分∠ABG，∠DCB，∴∠N=∵∠BAD＝150°，∠ADC＝80°，∴∠M＝180°﹣（180°﹣150°）﹣（180°﹣80°）＝50°，∴∠N＝25°，∴∠AEF+∠BFE＝360°﹣（180°﹣25°）＝205°；②∵∠AEF+∠BFE＝360°﹣（180°﹣∠N）＝180°+∠N，∠BAD+∠ADC＝180°+∠M，又∵∠N=∴∠AEF+即：2（∠F+∠E）＝∠A+∠D+180°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．28．（2022春?江都區(qū)期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A'的位置，（1）探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如果點(diǎn)A落在四邊形BCDE外點(diǎn)A''的位置，∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系有何變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）2∠A＝∠1+∠2；（2）∠A=12（∠2﹣∠【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出∠1、∠2，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解析】解：（1）2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵沿DE折疊A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．（2）∵沿DE折疊A和A'′重合，∴∠AED＝∠A′'ED，∠ADE＝∠A′'DE，又∵∠1＝∠A'ED﹣∠BED＝∠AED﹣（180°﹣∠AED）＝2∠AED﹣180°，∠2＝180°﹣2∠ADE，∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∴12∠1+90°+90°-12∠2＝180即∠A=12（∠2﹣∠【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．29．（2022春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）在四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝120°，點(diǎn)E、F分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PED＝∠1，∠PFC＝∠2，∠EPF＝∠α．初探：（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段CD上，且∠α＝70°，則∠1+∠2＝110°；（2）如圖②，若點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)，試探究∠1+∠2與∠α之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；再探：（3）如圖③，若點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，∠α之間的關(guān)系為∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到四邊形ABCD的內(nèi)部，直接寫(xiě)出此時(shí)∠1，∠2，∠α之間的關(guān)系為∠1+∠2＝∠a+40°．【答案】（1）110；（2）∠1+∠2＝∠a+40°，理由見(jiàn)解答；（3）∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）∠1+∠2＝∠a+40°．【分析】（1）根據(jù)多邊形4ABFPE的內(nèi)角和等于540°，∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°﹣∠2即可得到答案；（2）根據(jù)多邊形ABFPE的內(nèi)角和等于540°，∠AEP＝180﹣∠I，∠BFP＝180°﹣∠2即可得到答案；（3）根據(jù)多邊形4BFPE的內(nèi)角和等于540°，∠AEP＝180°﹣∠I，∠BFP＝180°+∠2即可得到答案；（4）過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，構(gòu)造出（2）的條件，即可得到答案．【解析】解：（1）∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°﹣∠2，在多邊形ABFPE中，∠A+∠B+∠AEP+∠BFP+∠a＝540°，∴∠A+∠B+180°﹣∠1+180﹣∠2+∠α＝540°，∴∠1+∠2＝100°+120°+360°+70°﹣540°＝110°，故答案為：110；（2）∠1+∠2＝∠a+40°；理由：由（1）得∠1+∠2＝100°+120°+360°+∠a﹣540°＝∠a+40°，∴∠1+∠2＝∠a+40°；（3）在多邊形ABFPE中，∠AEP＝180°﹣∠1，∠BFP＝180°+∠2，∠A+∠B+∠AEP+∠BFP+∠L＝540°，∴∠A+∠B+180°﹣∠1+180+∠2+∠a＝540°，∴∠1﹣∠2＝100°+120°+360°+∠a﹣540°，∴∠1﹣∠2＝∠a+40°，故答案為：∠1﹣∠2＝∠a+40°；（4）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交DC于點(diǎn)N，由（2）得∠1+∠2＝∠a+40°，故答案為：∠1+∠2＝∠a+40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的性質(zhì)，熟知多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．30．（2022春?慈溪市校級(jí)期中）若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)，例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4．（1）求出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S＝3，N＝1，L＝6；（2）已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝N+aL+b，N＝82，其中a，b為常數(shù)若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝82，L＝38，求S的值．【答案】（1）3，1，6；（2）100．【分析】（1）直接觀察圖形即可得出結(jié)論；（2）①先根據(jù)圖形得出圖中格點(diǎn)三角形ABC的面積為1，格點(diǎn)四邊形DEFG的面積為3，進(jìn)而代入格點(diǎn)多邊形的面積公式即可求出a，b；②代入①中得出的格點(diǎn)多邊形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）觀察圖形，可得S＝3，N＝1，L＝6；故答案為：3，1，6；（2）由圖知，圖中格點(diǎn)三角形ABC的面積為1，格點(diǎn)四邊形DEFG的面積為3，∵格點(diǎn)多邊形的面積S＝N+aL+b，∴結(jié)合圖中的格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG可得4a+b=11+6a+b=3∴a=1（3）由（2）知，a=12，b＝﹣∴S＝N+12L﹣將N＝82，L＝38代入S＝N+12L﹣1，得S＝82+12×38【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解，也考查了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，注意區(qū)分多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)是解本題的關(guān)鍵．31．（2022春?慈溪市校級(jí)期中）若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的袼點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)．例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4．（1）求出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的s＝3，N＝1，L＝6；（2）已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為s＝N+aL+b，其中a，b為常數(shù)．若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝82，L＝38，求S的值．【答案】（1）3，1，6；（2）100．【分析】（1）直接觀察圖形即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)圖形得出圖中格點(diǎn)三角形ABC的面積為1，格點(diǎn)四邊形DEFG的面積為3，進(jìn)而代入格點(diǎn)多邊形的面積公式即可求出a，b；代入a，b得出的格點(diǎn)多邊形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）觀察圖形，可得S＝3，N＝1，L＝6；故答案為：3，1，6；（2）由圖知，圖中格點(diǎn)三角形ABC的面積為1，格點(diǎn)四邊形DEFG的面積為3，∵格點(diǎn)多邊形的面積S＝N+aL+b，∴結(jié)合圖中的格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG可得4a+b=11+6a+b=3解得：a=1∴S＝N+12L﹣將N＝82，L＝38代入S＝N+12L﹣1，得S＝82+12×38【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解，也考查了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，注意區(qū)分多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)是解本題的關(guān)鍵．32．（2022春?鯉城區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，